1. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES ´
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
PREFACULTATIVO
´
PENSAMIENTO LOGICO
´
MATEMATICO
MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO
Texto de ense˜ anza para el curso de
n
Admisi´n de la Facultad de Ciencias sociales
o
La Paz - Bolivia
2009

2. Resumen
Este texto abarca las actividades a desarrollarse durante la segunda gesti´n del a˜ o acad´mico
o n e
2009 en el curso Pre-Facultativo de la Facultad de Ciencias Sociales de la Universidad Mayor
de San Andr´s (U.M.S.A.) y ha sido elaborado tomado en cuenta que la formaci´n b´sica de un
e o a
Licenciado en Ciencias Sociales radica en el manejo de los conceptos de aritm´tica y ´lgebra.
e a
La comprensi´n de estos conceptos y la destreza en hacer c´mputos elementales usando las
o o
propiedades del algebra le permitir´n afrontar las asignaturas propias de la carrera, que no solo
a
son imprescindibles en el aspecto te´rico, sino de forma especial, en el pr´ctico.
o a
Agradezco la confianza de las autoridades de la Facultad de Ciencias Sociales para realizar esta
labor did´ctica educativa.
a
I

3. ´
Indice general
1. Sistemas Num´ricos
e 1
1.1. Conjuntos de N´ meros y operaciones aritm´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u e 1
1.2. Reglas para el orden de las operaciones aritm´ticas . . . . . . . . . . . . . . . .
e 6
1.3. Reglas para los par´ntesis y corchetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 6
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Exponentes 9
2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Operaciones Algebraicas 11
3.1. Marco Te´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
3.2. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Productos Notables y Factorizaci´n
o 15
4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
o
4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Ecuaciones de primer y segundo grado con una inc´gnita
o 19
5.1. Marco Te´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
5.2. Ecuaci´n de primer grado con una inc´gnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o o
ii

4. ´
INDICE GENERAL
5.3. Resoluci´n de ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
o
5.4. Problemas de Aplicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6. Sistemas de ecuaciones lineales 24
6.1. M´todo de igualaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
e o
6.2. M´todo de sustituci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
e o
6.3. M´todo de sumas y restas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
e
6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. Signo simple de sumar 27
7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8. Signo doble de sumar 30
8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9. Introducci´n al c´lculo de probabilidades
o a 33
9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.Reglas de contar 37
10.1. Notaci´n factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
o
10.2. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Bibliograf´
ıa 41
III

5. CAP´
ITULO 1
Sistemas Num´ricos
e
1.1. Conjuntos de N´ meros y operaciones aritm´ticas
u e
Los n´ meros son entes ideales que el hombre tuvo que inventar para poder contar los elementos
u
de las colecciones que observaba en su mundo circundante.
Los n´ meros se clasifican de la siguiente manera:
u
N´meros Naturales: N = {1, 2, 3, 4, ....}
u
A partir del n´ mero 1 podemos expresar todos los dem´s n´ mero naturales a trav´s de
u a u e
la suma, por ejemplo
2 = 1+1
3 = 1+1+1
4 = 1+1+1+1
.
.
.
n veces
n = 1+···+1
Suma: Si a ∈ N y b ∈ N, entonces la suma entre a y b es otro numero en N dado por
a veces b veces
a+b = 1+···+1+1+···+1
Ejemplo 1.
1

6. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
3 veces 5 veces
3 + 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8.
Multiplicaci´n: Si a ∈ N y b ∈ N, entonces el producto entre a y b es un numero en N
o
dado por
b veces a veces
ab = a + · · · + a = b + · · · + b
Ejemplo 2.
5 veces 3 veces
3 · 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 = 15
N´meros Enteros: Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ....}
u
A partir del n´ mero −1 podemos expresar todos los n´ meros negativos a trav´s de la
u u e
suma, por ejemplo
−2 = (−1) + (−1)
−3 = (−1) + (−1) + (−1)
−4 = (−1) + (−1) + (−1) + (−1)
.
.
.
n veces
−n = (−1) + · · · + (−1)
Suma:
1 + (−1) = 0.
Ejemplo 3.
3 veces 5 veces
(−3) + 5 = (−1) + (−1) + (−1) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2.
Ejemplo 4.
3 veces 5 veces
3 + (−5) = 1 + 1 + 1 + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −2.
Resta: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces a menos b es un numero c en Z siempre que b mas c
es a, esto es
a − b = c simpre que b + c = a.
2

7. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
Ejemplo 5.
5 − 3 = 2 por que 3 + 2 = 5.
Ejemplo 6.
3 − 5 = −2 por que 5 + (−2) = 3.
Multiplicaci´n:
o
1(−1) = (−1)1 = −1.
Ejemplo 7.
3 veces
3 · (−5) = −5 − 5 − 5 = −15
5 veces
(−3) · 5 = −3 − 3 − 3 − 3 − 3 = −15
Regla de signos:
Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces
(−a)(−b) = ab.
(−a)b = a(−b) = −ab.
Ejemplo 8.
(−3)(−5) = 3 · 5 = 15.
(−3)5 = 3(−5) = −15.
N´meros Racionales o fraccionarios:
u
a
Q= : a, b ∈ Z, b = 0
b
Ejemplo 9.
4 1 2 9 12 11
, , − , , ,
3 2 7 8 53 56
Interpretaci´n geom´trica: Si consideramos como unidad el rect´ngulo de la figura 1,
o e a
las figuras 2, 3, 4, 5, corresponden a las fracciones indicadas en cada caso.
Suma de fracciones: Para sumar dos facciones,
3

8. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
Figura 1.1: 1
Figura 1.2: La parte sombreada se describe con la fracci´n 1/3 (un tercio).
o
(1) se determina el m´
ınimo com´ n denominador,
u
(2) se expresa cada fracci´n en t´rminos del m´
o e ınimo com´n denominador, y
u
(3) se suman los numeradores y se divide la suma entre el com´n denominador.
u
Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces
a c ad + bc
+ = .
b d bd
Ejemplo 10.
4 2 4·5+3·2 26
+ = = .
3 5 3·5 15
Resta de fracciones: Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces
a c ad − bc
− = .
b d bd
Ejemplo 11.
4 2 4·5−3·2 14
− = = .
3 5 3·5 15
Multiplicaci´n de fracciones: Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre si
o
los numeradores y se divide este resultado entre el producto de los denominadores.
Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces
a c ac
· = .
b d bd
Ejemplo 12.
4

9. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
Figura 1.3: La parte sombreada se describe con la fracci´n 3/9 (tres novenos).
o
4 2 4·2 8
· = = .
3 5 3·5 15
Divisi´n de fracciones: Si p ∈ Q, q ∈ Q, p dividido entre q es c ∈ Q si qc = p, esto es,
o
p
= c simpre que qc = p.
q
Ejemplo 13.
7
3 = 28 por que
1 28
·
7
= .
1 3 4 3 3
4
Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces
a
b = ad .
c bc
d
Ejemplo 14.
7
3 = 7 · 4 = 28 .
6 3·6 18
4
Regla de signos: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces
−a a
= .
−b b
−a a a
= =− .
b −b b
Ejemplo 15.
5

10. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
−2 2
= .
−7 7
−3 3 3
= =− .
4 −4 4
N´ meros Iracionales: Qc = {x : x ∈ Q}
u /
N´ meros Reales: R = Q ∪ Qc
u
1.2. Reglas para el orden de las operaciones aritm´ticas
e
El orden en que se suman los n´ meros no modifica el resultado.
u
6 + 4 + 11 = 4 + 6 + 11 = 11 + 6 + 4 = 21
6 + (−3) + 2 = −3 + 6 + 2 = 2 + 6 + (−3) = 5
El orden en que se multiplican los n´ meros no modifica el resultado.
u
3x5x8 = 8x5x3 = 5x8x3 = 120
Si aparece una multiplicaci´n y una suma o resta, la multiplicaci´n debe realizarse en
o o
primer lugar, a menos que los par´ntesis o corchetes indiquen lo contrario.
e
4x5 + 2 = 20 + 2 = 22
6x(14 − 12)x3 = 6x2x3 = 36
6x(4 + 3)x2 = 6x7x2 = 84
Si aparece una divisi´n y una suma o resta, la divisi´n debe realizarse en primer lugar, a
o o
menos que los par´ntesis o corchetes indiquen lo contrario
e
12/4 + 2 = 3 + 2 = 5
12/(4 + 2) = 12/6 = 2
12/4 − 2 = 3 − 2 = 1
12/(4 − 2) = 12/2 = 6
1.3. Reglas para los par´ntesis y corchetes
e
Los par´ntesis y corchetes indican que lo encerrado por ellos debe considerarse como un
e
solo n´ mero.
u
6

11. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
(2 + 8)(6 − 3 + 2) = 10(5) = 50
Cuando haya par´ntesis dentro de unos corchetes, primero se realizan las operaciones
e
dentro de los par´ntesis.
e
[(4)(6 − 3 + 2) + 6][2] = [(4)(5) + 6][2] = [26][2] = 52
Cuando no sea conveniente reducir a un solo n´ mero lo encerrado por unos par´ntesis,
u e
estos pueden eliminarse como sigue:
a) Si aparece un signo positivo antes de los par´ntesis, ´stos se eliminan sin modificar
e e
el signo de los n´ meros contenidos en ellos
u
1 + (3 + 5 − 2) = 1 + 3 + 5 − 2 = 7
b) Si aparece un signo negativo antes de los par´ntesis, ´stos se eliminan cambiando el
e e
signo de los n´ meros contenidos en ellos
u
4 − (6 − 2 − 1) = 4 − 6 + 2 + 1 = 1
c) Si aparece un n´ mero multiplicando fuera de los par´ntesis, todos los t´rminos dentro
u e e
de ellos deben ser multiplicados por dicho n´ mero
u
3(2 + 3 − 4) = 6 + 9 − 12 = 3
a(b + c + d) = ab + ac + ad
d) El producto de dos sumas se obtiene multiplicando cada elemento de una suma por
los elementos de la otra.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
e) Si los n´ meros contenidos dentro de los par´ntesis se operan de alguna otra forma,
u e
siempre se realizan primero la operaci´n antes de combinarlos con otros t´rminos.
o e
5 + 4(3 + 1) + 6 = 5 + 4(4) + 6 = 5 + 16 + 6 = 27
4 + (3 + 1)/2 = 4 + 4/2 = 4 + 2 = 6
1.4. Ejercicios
(I) Una vez que terminaste de leer las operaciones aritm´ticas, resuelve los siguientes ejerci-
e
cios, ten cuidado al realizar tus c´lculos num´ricos.
a e
7

12. CAP´ ´
ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS
(1) 2 + 12 + 4 + 14 + 49 + 52 =.
(2) −16 + 14 + (−25) + 45 + 12 + (−19) =
(3) 4(12)(−2)(−5)(13)(−6)(100) − (12000) =
(4) d) − 1/4 + 3/5 − (−5) + 1/2 + 1/4 + (−2/9) =
(5) (−a)(−b)(−c)(−d) =
(6) (a)(b)(c)(−d) =
(−2)5(−3)
(7)
20
(−a)(−b)(c)
(8) =
−h
(9) 8(3 − 5)4(3 + 5 − 16) =
(II) Una vez que terminaste de leer las reglas para los par´ntesis y corchetes, resuelve los
e
siguientes ejercicios, ten cuidado al realizar tus c´lculos num´ricos.
a e
(1) [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] =.
(2) [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] × [3 × (5 + 6)] + 10 =
(3) [15 + (4 × 2) − (5 × 6 + 5)] × [−3 × (5 + 6) × (8 − 12)] + 40 =
(4) [9 × (4 × 2 − 5) − (5 × 6 − 15)] × [3 × (5 − 6) × (8 − 12)] − 60 =
8

13. CAP´
ITULO 2
Exponentes
Multiplicaci´n de un n´ mero por si mismo 2 veces
o u
a2 = aa
42 = 4 × 4 = 6
Multiplicaci´n de un n´ mero por si mismo 3 veces
o u
a3 = aaa
43 = 4 × 4 × 4 = 64
Multiplicaci´n de un n´ mero por si mismo n veces
o u
n veces
an = a × · · · × a
n veces
n
4 = 4×···×4
Propiedades
1 Multiplicaci´n de dos cantidades exponenciales con la misma base: El producto de dos
o
cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la suma de los
exponentes.
an am = an+m
2 3 2 5 = 28
9

14. CAP´
ITULO 2. EXPONENTES
2 Elevar una base a un exponente negativo: Una base a un exponente negativo es igual
a 1 entre la base elevada al valor positivo del exponente.
1
a−n =
an
1
5−3 = 3
5
2 Divisi´n de dos cantidades exponenciales con la misma base: El cociente de dos canti-
o
dades exponenciales con la misma base es la base elevada a un exponente igual a la
resta del exponente en el numerador menos el exponente en el denominador.
an
m
= an−m
a
23 1
= 23−5 = 23−5 = 2−2 = 2
2 5 2
2.1. Ejercicios.
Una vez que terminaste de leer las fracciones y exponentes, resuelve los siguientes ejercicios,
realiza con cuidado las operaciones que te piden.
1. 32 × 34 × 33 =
2. 12−3 × 124 × 126 × 12−3 =
3. [15 × 156 × (152 )]2 =
1
4. 2−3 × 2−2 × =
24
1 1
5. × 104 × −2 =
103 10
10

15. CAP´
ITULO 3
Operaciones Algebraicas
3.1. Marco Te´rico
o
´
DEFINICION 3.1 (Expresi´n Algebraica). Una expresi´n algebraica es una combinaci´n de
o o o
s´
ımbolos representativos de n´meros reales, mediante las operaciones suma, diferencia, producto
u
y cociente.
Ejemplo. 2x + 5y; 4x3 + 3y − 2
´
DEFINICION 3.2 (Polinomios). Un polinomio en una variable es una expresi´n algebraica
o
de la forma:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
El grado del polinomio es el valor de n. En el caso de polinomios de dos o m´s variables el
a
grado es la mayor suma de exponentes.
Ejemplo 1. Los polinomios P y Q son de una variable, R es de dos variables
P (x) = 4x3 + 2x2 + x + 2
Q(x) = x5 + x2 − 2x
R(x, y) = 2x2 y + 3xy 3
Donde: Grado de P (x) es 3. Grado de Q(x) es 5 y el Grado de R(x, y) es 4.
11

16. CAP´
ITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS
´
DEFINICION 3.3 (T´rminos semejantes). Son aquellos que tienen los mismos factores lit-
e
erales, cada uno con el mismo exponente. Los t´rminos semejantes tiene el mismo coeficiente
e
literal.
Ejemplo 1. 6x2y y 4x2y son t´rminos semejantes.
e
Ejemplo 2. En el siguiente polinomio: x6+3x5+2x4−2x+1. Indicar: a) N´ mero de t´rminos.
u e
b) Grado del polinomio.
Soluci´n: a) El polinomio tiene 5 t´rminos: x6, 3x5, 2x4, −2x, 1. b) Grado es 6.
o e
3.2. Operaciones con polinomios
Suma y diferencia.- Para sumar o restar polinomios, simplemente sumamos o restamos los
coeficientes de los t´rminos semejantes.
e
Ejemplo 3. 3x + 4x = (3 + 4)x = 7x
Procedimiento para sumar y restar polinomios:
I. Ordenar los polinomios, situando los t´rminos semejantes en la misma columna.
e
II. Sumar o restar los t´rminos semejantes
e
Ejemplo 4. Si P (x, y) = 4x2 + 3xy − 2y 2 y Q(x,y) = 3x2 + 2xy . Hallar: (P + Q)(x, y)
Soluci´n. 1ro. Se ordenan los polinomios, situando los t´rminos Semejantes en la misma colum-
o e
na. 2do. Se suman los t´rminos semejantes:
e
4x2 + 3xy - 2y 2
3x2 + 2xy
7x2 + 5xy - 2y 2
Multiplicaci´n.- Para multiplicar polinomios se usa el axioma de la distributividad a∆(b+c) =
o
ab + ac y las propiedades de los exponentes.
Procedimiento para multiplicar polinomios.
I. Ordenar cada polinomio.
II. Multiplicar cada t´rmino de un polinomio por todos y cada uno de los del otro polinomio.
e
III. Sumar t´rminos semejantes.
e
12

17. CAP´
ITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 5. Multiplicar: 2x2 + 2x − 3 por 3x + 1
Soluci´n. 1ro. Se ordena cada polinomio. 2do. Multiplicar cada t´rmino de un polinomio por
o e
todos y cada uno de los del otro polinomio. 3ro. Se suman los t´rminos semejantes.
e
2x2 + 2x - 3
3x + 1
6x3 + 6x2 - 9x
+ 2x2 + 2x - 3
3
6x + 8x2 - 7x - 3
Divisi´n.- Para dividir polinomios se usa las siguientes propiedades de los exponentes.
o
an
= an−m si n m.
am
an
= 1.
an
an 1
m
= m−n si n m.
a a
Procedimiento para dividir polinomios.
I. Disponer los polinomios en la forma ordinaria de efectuar una divisi´n num´rica en orden
o e
decreciente, dejando espacios para los t´rminos que no aparezcan en el dividendo.
e
II. Dividir el primer t´rmino del dividendo entre el primer t´rmino del divisor, obteni´ndose
e e e
as´ el primer t´rmino del cociente.
ı e
III. Multiplicar el primer t´rmino del cociente por cada uno de los t´rminos del divisor.
e e
IV. Restar los t´rminos semejantes y bajar uno a m´s t´rminos del dividendo seg´ n se necesite.
e a e u
V. Repetir los pasos II a IV, utilizando el resto como un nuevo dividendo; esto es dividir,
multiplicar, restar y bajar.
VI. Continuar repitiendo los pasos II a IV tanto como sea posible.
VII. Multiplicar cada t´rmino de un polinomio por todos y cada uno de los del otro polinomio.
e
VIII. Sumar t´rminos semejantes.
e
Para comprobar la divisi´n multiplicar el cociente por el divisor y a˜ adir el resto (si hubiera),
o n
el resultado debe ser igual al dividendo.
Ejemplo 6. Dividir x3 − 2x2 − 6x + 2 entre x − 3 y realizar la prueba.
Soluci´n.
o
13

18. CAP´
ITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS
3.3. Ejercicios
1. Escribir un polinomio de una variable 4 t´rminos y grado 6.
e
2. Escribir 3 t´rminos semejantes de grado 2.
e
3. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los t´rminos semejantes.
e
a) 2xy − 3xy + 4yz − yz.
b) y 2 − x2 + 3z 2 − 4y 2
c) xy 2 + x2 y 2 − 3x2 y + 7x2 y
d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y)
4. Hallar el grado de: P (x) = 2x2 y + 3xy 2 + xy 3
5. Realizar las siguientes operaciones algebraicas.
a) 5x + 10x
b) (−3y3) + (−7y3)
c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2)
d) 6y 2 − x2 + 10xy + 8x2
6. Expresar algebraicamente: cuatro veces c disminuido en un quinto de d.
a)4c − 5d, b)4c − d/5, c)4c + d/5, d)d + 4c, e)4c + 5d.
7. 7. Dados los polinomios: A(x) = −3x4 + 2x3 − x2 − 6 y B(x) = x4 − 2x3 − 3x. Hallar
S(x) = A(x) + B(x).
8. Dados dos polinomios Q1 (x) = x5 +2x3 +4x2 , y Q2 (x) = x3 −2x2 , encuentre los siguientes
polinomios:
P1 = Q1 + Q2 , P2 = Q1 − Q2 , P3 = Q1 ∗ Q2
14

19. CAP´
ITULO 4
Productos Notables y Factorizaci´n
o
4.1. Productos Notables
Es conveniente recordar algunos ”Productos Notables”que se presentan con mucha frecuencia en
el .Algebra”todos ellos naturalmente est´n basados en los Axiomas o Teoremas de los n´ meros
a u
reales. A continuaci´n se presenta una tabla de los productos notables m´s utilizados:
o a
x Axioma de Distributividad a(x + y) = ax + ay
y Diferencia de cuadrados. (x + y)(x − y) = (x2 − y2)
z Binomio al cuadrado (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y 2.
{ Producto de binomios (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
| Diferencia de cubos (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3
} Suma de cubos (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3
~ Cubo de suma (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
 Cubo de diferencia (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
€ Cuadrado de trinomio (x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2(xy + xz + yz)
15

20. CAP´ ´
ITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
4.2. Ejercicios Resueltos
1. Resolver empleando productos notables: (x + 5y)2. Soluci´n: Empleando el producto no-
o
table Binomio al cuadrado se tiene: (x + 5y) = x + 10xy + 25y 2
2 2
2. Resolver empleando productos notables: (y + 6)(y − 3) Soluci´n: Empleando el producto
o
de binomios. Se tiene: (y + 6)(y − 3) = y + (6 − 3)y + (6)(−3) = y 2 + 3y + 3
2
3. Resolver empleando productos notables: (4 + 5y)3 Soluci´n: Empleando el cubo de una
o
suma se tiene: (4+5y)3 = (4)3 +(3)(42 )5y+(3)(4)(5y)2 +125y 3 = 64+240y+300y 2 +125y 3
4. Resolver empleando productos notables: (x + y + z)2 Soluci´n: Empleando el producto
o
notable cuadrado de un trinomio se tiene: (x + 2y + z)2 = x2 + (2y)2 + z 2 + 2(x(2y) +
xz + (2y)z) == x2 + 4y 2 + z 2 + 2(2xy + xz + 2yz)
5. Resolver empleando productos notables: (2x+y)(2x−y) Soluci´n: Empleando el producto
o
notable diferencia de cuadrados: 4x2 − y 2
6. Multiplicar: (a − b)(a2 + ab + b2 ) Utilizando el producto notable (5) el resultado es: a3 − b3
7. Multiplicar: (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ). Utilizando el producto notable 10 y se obtiene:
a4 − b4
4.3. Factorizaci´n
o
Al factorizar una expresi´n algebraica, intentamos reducir la expresi´n a los componentes m´s
o o a
sencillos tales que al ser multiplicados entre si dan la expresi´n original.
o
Factor Com´n. Se usa la ley distributiva
u
ab + ac = a(b + c).
Si tenemos un polinomio con la variable x y queremos factorizarlo se debe elegir el m´ximo
a
factor com´ n. El t´rmino axn es el m´ximo factor com´ n del polinomio si:
u e a u
1. a es el m´ximo entero que divide a cada uno de los coeficientes del polinomio.
a
2. n es el m´
ınimo exponente de x en todos los t´rminos del polinomio.
e
Ejemplo 1. Factorizar 24x3 + 18x2 .
Soluci´n. Para factorizar 24x3 + 18x2 hallemos el m´ximo factor com´ n.
o a u
16

21. CAP´ ´
ITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
(i) Descomponemos 24 y 18 en sus factores primos.
24 = 23 · 3. 18 = 2 · 32
Entre 23 y 2 elegimos 2 (el de menor exponente). Entre 3 y 32 elegimos 3 (el de
menor exponente).
Luego el m´ximo entero que divide a 24 y a 18 es 2 · 3 = 6.
a
(ii) Para la letra x: elegimos el de menor exponente que es x2 .
(iii) El m´ximo factor com´ n es 6x2 .
a u
24x3 + 18x2 = 6x2 (4x + 3).
Diferencia de dos cuadrados. Se usa la formula
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Ejemplo 2. Factorizar x2 − 16.
Soluci´n.
o
x2 − 16 = x2 − 42 = (x + 4)(x − 4).
Suma y diferencia de cubos. Se usan las formulas
a3 + b3 = (a + b)(a2 + ab + b2 ), a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Ejemplo 3. Factorizar a3 − 27.
Soluci´n.
o
a3 − 27 = a3 − 33 = (a − 3)(a2 + a3 + 32 ) = (a − 3)(a2 + 3a + 9).
Agrupamiento de T´rminos. Dada una expresi´n no siempre es f´cil reconocer si
e o a
pertenece a uno de los casos anteriores, pero puede reducirse a ´l haciendo algunas op-
e
eraciones como agrupar los t´rminos adecuados.
e
Ejemplo 4. Factorizar 16x2 y 2 + 12ab − 4a2 − 9b2 .
Soluci´n.
o
16x2 y 2 + 12ab − 4a2 − 9b2 = 16x2 y 2 − 4a2 + 12ab − 9b2
= 16x2 y 2 − [4a2 − 12ab + 9b2 ]
= 16x2 y 2 − [(2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2 ]
= 16x2 y 2 − (2a − 3b)2
= (4xy)2 − (2a − 3b)2
= [4xy + (2a − 3b)][4xy − (2a − 3b)]
= (4xy + 2a − 3b)(4xy − 2a + 3b).
17

22. CAP´ ´
ITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
4.4. Ejercicios
1. Resolver empleando productos notables: (b + 4)2
2. Resolver empleando productos notables: (5 − c)2
3. Representar el ´rea de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m.
a
a)x2 + 49, b)x + 49, c)x2 , d)x2 + 14x + 49, e)x2 + 7.
4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a − b). Subraye el inciso correcto.
a)a2 − b2 , b)ab, c)a2 + b2 − a − b, d)1, e)a − b.
5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto
a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2.
6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1)
7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2 )(x2 − a2 )
a)x2 a2 , b)x4 + a4 , c)x2 + a4 , d)x4 − a4 , e)x4 − x2 + a2 x2
8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3)2
9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y − 2)2
10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 − ab + b2)
a)a3 + ab + a3 , b)a3 + b3 , c)a3 + ab2 + a2 b + b3 , d)a3 − b3 e)N.A.
11. Factorizar
a) 16x2 y 2 − 81a2 b2 c2
b) x2 y 2 − 36y 4
c) 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2
12. Factorizar
a) 8x3 − 27y 3
b) 64(m + n)3 − 125
c) (x + y)3 − (x − y)3
13. Factorizar
a) 3ax − ay − 3bx + by
b) x2 − 4y 2 + x + 2y
c) x3 + 6x6 y + 12xy 2 + 8y 3
18

23. CAP´
ITULO 5
Ecuaciones de primer y segundo grado
con una inc´gnita
o
5.1. Marco Te´rico
o
Se llama ecuaci´n o igualdad condicional, a la que s´lo se satisface o verifica para valores
o o
particulares atribuidos a sus letras o inc´gnitas.
o
La soluci´n de una ecuaci´n es el conjunto de valores que satisfacen o verifican la ecuaci´n.
o o o
Al sustituir estos valores en la ecuaci´n esta se transforma en una identidad num´rica.
o e
Resolver una ecuaci´n es efectuar en ella todas las operaciones necesarias para obtener
o
sus ra´ o soluciones.
ıces
5.2. Ecuaci´n de primer grado con una inc´gnita.
o o
Es una igualdad (condicional) que tiene la forma:
ax + b = c.
Donde: x es la inc´gnita, a, b y c son constantes reales. La soluci´n o ra´ de esta ecuaci´n es:
o o ız o
c−b
x= .
a
19

24. CAP´ ´
ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
Ejemplo 1. Resolver la siguiente ecuaci´n: x + 3 = 8
o
Soluci´n. Para despejar x, el n´ mero 3 debe pasar otro lado de la igualdad con diferente signo,
o u
se tiene: x = 8 − 3x = 5.
Ejemplo 2. Resolver la siguiente ecuaci´n: 12y = 3
o
Soluci´n. Para despejar y, el numero 12 que esta multiplicando debe pasar al otro lado de la
o
igualdad a dividir. y = 3/12 = 1/4.
Ejemplo 3. Resolver la siguiente ecuaci´n: 3x − 5 = x + 3
o
Soluci´n. Se deben transponer t´rminos semejantes reuniendo en un solo miembro los t´rminos
o e e
que contengan a la inc´gnita y en el otro miembro las cantidades conocidas 3x − x = 5 + 3 Se
o
suman o restan los t´rminos semejantes en cada miembro. 2x = 8 Para despejar la inc´gnita el
e o
n´ mero 2 pasa al segundo miembro dividiendo: x = 8/2x = 4.
u
5.3. Resoluci´n de ecuaciones de segundo grado
o
.
Para resolver la ecuaci´n de segundo grado se utiliza los siguientes m´todos:
o e
a) M´todo de completar cuadrados.
e
b) M´todo de factorizaci´n.
e o
c) Uso de f´rmula
o
M´todo de completar cuadrados. El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado
e
perfecto.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2.
Procedimiento:
I. Escribir la ecuaci´n en la forma: x2 + px = q.
o
II. Sumar a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
III. Sustituir el trinomio por el cuadrado del binomio correspondiente.
IV. Extraer la ra´ cuadrada de ambos miembros. Resolver las dos ecuaciones que resul-
ız
tan
V. Resolver las dos ecuaciones que resultan
VI. Comprobar las dos ecuaciones en la ecuaci´n general.
o
20

25. CAP´ ´
ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
Ejemplo 4. Resolver la ecuaci´n x2 + 6x -7 =0 completando el cuadrado.
o
Soluci´n. x2 + 6x − 7 = 0, x2 + 6x = 7. Cuadrado de 6/2 es
o
(6/2)2 = 9
. Sumando 9 a ambos miembros
x2 + 6x + 9 = 7 + 9
(x + 3)2 = 16√
x + 3 = ± 16.
x+3 =4 x + 3 = −4
x=1 x = −7.
M´todo de factorizaci´n.
e o
Procedimiento:
I. Escribir la ecuaci´n en la forma: ax2 + bx + c = 0
o
II. Descomponer en factores ax2 + bx + c.
III. Igualar a cero cada factor.
IV. Resolver cada ecuaci´n que resulta.
o
V. Comprobar cada ra´ o soluci´n en la ecuaci´n original.
ız o o
Ejemplo 5. Resolver x2 − x = 6 por factorizaci´n.
o
Soluci´n.
o
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x−3= 0 x+2 =0
x=3 x = −2.
M´todo empleando f´rmula.
e o
F´rmula general: Si ax2 + bx + c = 0, su soluci´n es:
o o
√
−b ± b2 − 4ac
x= .
2a
Procedimiento:
I. Escribir la ecuaci´n en la forma normalizada ax2 + bx + c = 0.
o
21

26. CAP´ ´
ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
II. Identificar los coeficientes a, b y c.
III. Sustituir los valores de a, b y c en la f´rmula.
o
IV. Calcular el valor de x.
Ejemplo 6. Resolver empleando la f´rmula. 2x2 + x − 3 = 0.
o
Soluci´n. a = 2, b = 1 y c = −3.
o
√
−1 ± 12 − 4(2)(−3) −1 ± 25
x= =
2(2) 4
x = 1, x = −3/2.
5.4. Problemas de Aplicaci´n
o
Ejemplo 1. Hallar un n´ mero tal que restando 5 de tres veces dicho n´ mero se obtiene 19.
u u
Soluci´n: Sea n = n´ mero. Expresando la proposici´n en una ecuaci´n se tiene: 3n − 5 = 19.
o u o o
Despejando n se tiene: n = 8.
Ejemplo 2. Hallar la edad de dos personas sabiendo que una de ellas es el doble de la otra y
que la mayor es igual a la menor m´s 10. Soluci´n: Sea s la menor edad Sea 2s la edad mayor
a o
puesto que es el doble de la menor. El planteamiento ser´ 2s = s + 10. Resolviendo se tiene:
ıa:
2s − s = 10, s = 10.
Ejemplo 3. Se hace una inversi´n al 8 % de inter´s compuesto anualmente. La inversi´n
o e o
aumenta a 783 bs. al cabo de un a˜ o. ¿Cu´nto se invirti´ originalmente?
n a o
Soluci´n: Formulamos la situaci´n de la siguiente forma: La cantidad invertida m´s el inter´s
o o a e
suma 783, es decir: x + 8 %x = 783, x + 0,08x = 783, 1,08x = 783, x = 725.
5.5. Ejercicios
1. Resolver las siguientes ecuaciones de todas las formas conocidas.
3x − (77 − 12x) = 7x + 22.
32y − [87y − 2(1 − y)] = −(3 − (4 − y)).
−{1 − [2 − (3 − x)]} = −{4 − [5 − (6 − x)]}.
x2 + 10x + 25 = 0.
x2 − x − 6 = 0.
22

27. CAP´ ´
ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
x2 + 4x − 21 = 0.
2. Un jugador perdi´ la mitad de su dinero, volvi´ a jugar y perdi´ 1/2 de lo que le quedaba,
o o o
repiti´ lo mismo por 3ra vez y 4ta vez, despu´s de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cu´nto dinero
o e a
ten´ al comenzar el juego?.
ıa
a)84, b)94, c)86, d)96, e)N.A.
3. La edad de Marcelo hace 6 a˜ os era la ra´ cuadrada de la edad que tendr´ dentro de 6
n ız a
a˜ os. Hallar su edad actual.
n
a)4 a˜ os,
n b)6 a˜ os,
n c)8 a˜ os,
n d)10 a˜ os,
n e)N.A.
4. El cociente de dividir 84 entre cierto n´ mero, excede en 5 a ´ste n´ mero. Hallar el n´ mero.
u e u u
a)3, b)5, c)7, d)9, e)N.A.
23

28. CAP´
ITULO 6
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones como dice su nombre, esta formado por 2 o m´s ecuaciones de 2 o
a
m´s variables, llamadas inc´gnitas. Cuyos valores se deben calcular utilizando propiedades de
a o
los n´ meros reales y los conocimientos del ´lgebra y de la aritm´tica.
u a e
En este cap´
ıtulo resolveremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc´gnitas que tienen
o
la forma:
ax + by = u
cx + dy = v
Para resolver este tipo de sistemas existen varios m´todos como:
e
a) Igualaci´n
o
b) Sustituci´n.
o
c) Sumas y restas.
6.1. M´todo de igualaci´n
e o
Ejemplo 1. Resolver el sistema empleando el m´todo de igualaci´n.
e o
2x + y = 5 (1)
3x − y = 5 (2)
24

29. CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Soluci´n. De la ecuaci´n (1) despejamos y, y = 5 − 2x. De la ecuaci´n (2) tambi´n despejamos
o o o e
y, y = 3x + 5.
5 − 2x = 3x − 5
−2x − 3x = −5 − 5
−5x = −10
x = 2.
Por lo tanto: y = 5 − 2(2) = 1.
6.2. M´todo de sustituci´n
e o
Ejemplo 2. Resolver por el m´todo de sustituci´n.
e o
3x + y = 5 (1)
2x + 3y = 8 (2)
Soluci´n. De la ecuaci´n (1) despejamos y, y = 5 − 3x. Reemplazando en la ecuaci´n (2)
o o o
tenemos
2x + 3(5 − 3x) = 8
2x + 15 − 9x = 8
−7x = −7
x = 1.
Por lo tanto: y = 5 − 3(1) = 2.
6.3. M´todo de sumas y restas
e
Ejemplo 3. Resolver por el m´todo de sumas y restas
e
2x + 3y = 5 (1)
−x + 4y = 3 (2)
Soluci´n. Multiplicando la ecuaci´n (2) por 2 tenemos
o o
2x + 3x = 5
−2 + 8x = 6
+ 11y = 11
Por lo tanto: y = 1, Reemplazando en (1) 2x + 3(1) = 5, de donde x = 1.
25

30. CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
6.4. Ejercicios
1. Resolver por los tres m´todos los siguientes sistemas
e
3x + 2y = 8 −x − 10y = 4 2x + 22y = 2
8x − y = 2 3x + 5y = −2 22x − 2y = −2
2. Pedro tiene doble dinero que Carlos, si Pedro pierde 10 Bs y Carlos pierde 5 Bs, Pedro
tendr´ 20 Bs m´s que B. ¿Cu´nto tiene cada uno?.
a a a
a)50 y 25Bs., b)52 y 26Bs., c)54 y 27Bs., d)56 y 28Bs., e)N.A.
3. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuaci´n a otra velocidad
o
durante 3h, se han recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h m´s a cada una de
a
las velocidades se habr´ recorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades.
ıan
a)10 y 15Km/h, b)35 y 25Km/h, c)40 y 45Km/h,
d)30 y 35Km/h, e)N.A.
4. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora
menos, la velocidad deber´ haber sido 10 Km/h m´s. Hallar la velocidad del tren en
ıa a
Km/h.
a)20Km/h, b)30Km/h, c)40Km/h, d)50Km/h, e)N.A.
5. Dos turistas se dirigen simult´neamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de
a
ellos. El 1ro. De ellos hace por hora 1 km m´s debido a lo cu´l llega a la ciudad una hora
a a
antes. Hallar las velocidades de los turistas en Km/h.
a)5 y 4Km/h, b)4 y 3Km/h, c)6 y 5Km/h,
d)7 y 6Km/h, e)N.A.
6. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra
a 6 m de la pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales.
¿Qu´ distancia hacia abajo se mueve la parte superior?.
e
26

31. CAP´
ITULO 7
Signo simple de sumar
El signo de sumar, n , viene a significar lo siguiente: “Sume los n t´rminos obtenidos susti-
i=1 e
tuyendo el sub´
ındice i por 1, 2, 3, ..., n en la expresi´n afectada por dicho signo”. Esto es,
o
n
xi = x1 + x2 + · · · + xn .
i=1
Ejemplo 1. Si xi = i, tenemos que
5
xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
i=1
Ejemplo 2. Si xi = (i + 1)2 , tenemos que
3
xi = x1 + x2 + x3 = (1 + 1)2 + (2 + 1)2 + (3 + 1)2 .
i=1
de donde
3
(i + 1)2 = 22 + 32 + 42 .
i=1
Propiedades.
n
x k = kn.
i=1
27

32. CAP´
ITULO 7. SIGNO SIMPLE DE SUMAR
n n
y cxi = c xi .
i=1 i=1
n n
z (xi + k) = xi + kn.
i=1 i=1
n n
{ (cxi + k) = c xi + kn.
i=1 i=1
n n n
| (xi + yi ) = xi + yi .
i=1 i=1 i=1
Ejemplo 3. Si x1 = −3, x2 = 1, x3 = 6, x4 = −8, x5 = 20, x5 = −1, y1 = 4, y2 = 1, y3 = −6,
y4 = 8, y5 = 2, y5 = 10. Hallar
6
1. 2 = 2(6) = 12.
i=1
6 n
2. 2xi = 2 xi = 2(−3 + 1 + 6 − 8 + 20 − 1) = 30.
i=1 i=1
6 n
3. (xi + 4) = xi + 4(6) = 15 + 24 = 39.
i=1 i=1
6 n
4. (−1xi − 3) = −1 xi − 3(6) = −15 − 18 = −33.
i=1 i=1
6
5. (xi + yi ) = 15 + 19 = 39.
i=1
7.1. Ejercicios
1. Si x1 = 45, x2 = 11, x3 = 16, x4 = −18, x5 = 2, x5 = −21, y1 = 41, y2 = −1, y3 = −16,
y4 = 82, y5 = 23, y5 = 100. Hallar
6
a) 4xi =
i=1
6
b) (xi − 66) =
i=1
28

33. CAP´
ITULO 7. SIGNO SIMPLE DE SUMAR
6
c) (−11xi + 56) =
i=1
6
d) (xi + yi ) =
i=1
1
2. Si xi = , hallar
(i + 1)2
3
xi =
i=1
3. Si xi = i3 , hallar
10
xi =
i=1
29

34. CAP´
ITULO 8
Signo doble de sumar
Supongamos que un grupo de n personas queda descompuesta en k subgrupos, con n1 , n2 , n3 ,
...,nk personas respectivamente, esto es
n1 + n2 + n3 + · · · + nk = n
Supongamos que xij representa la puntuaci´n de la persona i que pertenece al grupo j, entonces
o
podemos formar la siguiente tabla con estas puntuaciones.
Grupo 1 Grupo 2 . . . Grupo k
x11 x12 ... x1k
x21 x22 ... x2k
.
. .
. .
. .
.
. . . .
xn1 1 xn2 2 ... xnk k
La suma de las puntuaciones del grupo 1 vendr´ dada por
a
n1
xi1 .
i=1
La suma de las puntuaciones del grupo 2 vendr´ dada por
a
n2
xi2 .
i=1
30

35. CAP´
ITULO 8. SIGNO DOBLE DE SUMAR
La suma de las puntuaciones del grupo k vendr´ dada por
a
nk
xik .
i=1
La asuma de las n puntuaciones del grupo total viene dada por
k nj
xij .
j=1 i=1
Propiedad.
k n k n n k
xij = xij = xij .
j=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1
Ejemplo 1. Supongamos que a tres personas les han sido aplicadas dos pruebas. Llamemos
xij a la puntuaci´n obtenida por la persona i en la prueba j. Es decir x11 es la puntuaci´n
o o
obtenida por la primera persona en la prueba primera, x12 es la puntuaci´n obtenida por la
o
primera persona en la prueba segunda, etc. Supongamos adem´s que las puntuaciones obtenidas
a
por estas tres personas en las dos pruebas son las siguientes:
Pruebas (j)
x11 = 1 x12 = 1
Personas (i) x21 = −1 x22 = 2
x31 = 3 x32 = −2
Con este supuesto, tenemos
3 2
a) xij = 4.
j=1 i=1
3 2
b) x2 = 20.
ij
j=1 i=1
3 2 2
c) xij = 16.
j=1 i=1
31

36. CAP´
ITULO 8. SIGNO DOBLE DE SUMAR
8.1. Ejercicios
Supongamos que
Pruebas (j)
x11 = −1 x12 = 2
Personas (i) x21 = +1 x22 = 3
x31 = −3 x32 = −4
Con este supuesto, desarrollar las siguientes expresiones y calcular su valor num´rico:
e
3 2
a) xij =.
j=1 i=1
3 2
2
b) xij =.
j=1 i=1
3 2 2
c) xij =.
j=1 i=1
32

37. CAP´
ITULO 9
Introducci´n al c´lculo de
o a
probabilidades
´
DEFINICION 9.1 (Experimento Aleatorio). Es toda operaci´n cuyo resultado no puede ser
o
pronosticado con certeza.
Ejemplo 1. Ser´n experimentos aleatorios: lanzar una moneda al aire, aplicar un test a una
a
persona, disparar una flecha a una diana, contar las piezas defectuosas entre las fabricadas un
d´ cualquiera en cierta empresa industrial.
ıa
El experimento aleatorio es, pues, una operaci´n o proceso que puede ser llevado a cabo repeti-
o
das veces bajo las mismas condiciones iniciales, pero cuyo resultado final no es siempre el
mismo.
Conviene advertir que el experimento aleatorio puede ser entendido o como un proceso realizado
f´
ısicamente, o como un proceso concebido idealmente. Lo importante es que sean posibles dos
o m´s resultados, sin que podamos afirmar con certeza cu´l de ellos se verificar´ en cada una
a a a
de las pruebas, bien realizadas f´
ısicamente, bien concebidas idealmente.
´
DEFINICION 9.2 (Espacio de muestras, S). Es el conjunto de todos los resultados posibles
de un experimento aleatorio.
Ejemplo 2. Lancemos al aire un dado. Si aceptamos como resultado posible “el n´ mero de
u
la cara hacia arriba”, tendremos el espacio de muestras compuesto de 6 resultados posibles.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
33

38. CAP´ ´ ´
ITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES
Ejemplo 3. Lancemos al aire dos monedas. Si aceptamos como resultados posibles que los
lados de una moneda sean Cara (C) o Cruz (X), tendremos el espacio de muestras compuesto
de 4 resultados posibles.
S = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)}
´
DEFINICION 9.3 (Suceso). Es cualquier subconjunto de un espacio muestral, S
Ejemplo 4. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f } ser´n suceso los siguientes
a
subconjuntos A = {b, c}, B = {a, c, d}, C = {e}.
Diremos que un suceso A, B, o C tiene lugar, cuando se verifica uno cualquiera de los elementos
que lo constituyen.
Vamos a distinguir cuatro tipos de sucesos, de acuerdo con el n´ mero de elementos del espacio
u
muestral finito S, de los que constan dichos sucesos.
Suceso simple o elemental, es el que consta de un solo elemento de S, as´ en el ejemplo de
ı
la definici´n 3, el suceso C = {e} , es simple o elemental.
o
Suceso compuesto, es el que consta de dos o m´s, son compuestos los sucesos A = {b, c},
a
B = {a, c, d}.
Suceso seguro o cierto, el que consta de todos los elementos de S, es decir el mismo
S = {a, b, c, d, e, f } . Lo llamaremos seguro o cierto porque al realizar el experimento, se
verificara segura o ciertamente uno de los resultados posibles o elementos de S, y, por
consiguiente, seg´ n lo acabado de indicar, tendr´ lugar S.
u a
Suceso imposible, el que no consta de elemento alguno de E. As´ en el ejemplo de la
ı
definici´n 3, es imposible el suceso D = {g, h} . Lo llamaremos imposible porque al realizar
o
el experimento, es imposible que se verifique un suceso cuyos elementos no pertenecen a
S. A dicho suceso lo representaremos con { }
´
DEFINICION 9.4 (Uni´n). Dados dos sucesos, A y B, subconjuntos del espacio de muestras
o
S, llamaremos uni´n de A y B, al suceso constituido por los elementos de S que pertenecen o a
o
A, o a B, o a los dos a la vez.
Designaremos la uni´n de A y B por A ∪ B. Evidentemente se cumple que:
o
A∪S =S y A ∪ { } = A.
´
DEFINICION 9.5 (Intersecci´n). Llamaremos intersecci´n de A y B, al suceso constituido
o o
por los elementos de S que pertenecen simult´neamente a A y B.
a
Designaremos la intersecci´n de A y B por A ∩ B. Evidentemente se cumple que:
o
A ∩ S = A y A ∩ { } = { }.
34

39. CAP´ ´ ´
ITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES
´
DEFINICION 9.6 (Complemento). Llamaremos complemento de A al suceso constituido por
los elementos de E que no pertenecen al suceso A
Designaremos el complemento de A por Ac . Evidentemente se cumple que:
A ∪ Ac = S y A ∩ Ac = { }.
´
DEFINICION 9.7 (Diferencia). Llamaremos diferencia, A-B, al suceso constituido por los
elementos de A que no pertenecen a B. An´logamente, llamaremos diferencia de B-A, al suceso
a
constituido por los elementos de B que no pertenecen a A.
Ejemplos Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} y los sucesos A = {c, d, f, g}
y B = {a, c, f, i, j}, tendremos:
Uni´n de A y B
o A ∪ B = {c, d, f, g, a, i, j},
Intersecci´n de A y B
o A ∩ B = {c, f },
Complemento de A Ac = {a, b, e, h, i, j},
Complemento de B B c = {b, d, e, g, h},
Diferencia de A-B A − B = {d, g},
Diferencia de B-A B − A = {a, i, j},
N´tese que
o
A ∪ B = B ∪ A, A∩B =B∩A
pero
A − B = B − A.
´
DEFINICION 9.8 (Mutua exclusividad o mutuamente excluyentes). Diremos que A y B son
mutuamente exclusivos si A ∩ B = { } ; es decir, si no tienen elemento alguno en com´n.
u
Ejemplo 5. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h} y los sucesos A = {c, f, h}
y B = {c, d, e, g}, son mutuamente exclusivos.
Los llamamos mutuamente exclusivos porque la verificaci´n de uno de ellos excluye la verifi-
o
caci´n del otro, al no tener elemento alguno en com´ n.
o u
Las definiciones de uni´n, intersecci´n y mutua exclusividad pueden ser extendidas al caso de
o o
n sucesos (donde n es un n´ mero finito mayor que 2), del modo siguiente
u
´
DEFINICION 9.9 (Uni´n de n sucesos). Dados n sucesos A1 , A2 , A3 , ..., An , subconjuntos de
o
un espacio muestral S, llamaremos uni´n de A1 , A2 , A3 , ..., An (designada por A1 ∪A2 ∪· · ·∪An )
o
al suceso constituido por todos aquellos elementos de S que pertenecen al menos a uno, al menos,
de dichos sucesos.
35

40. CAP´ ´ ´
ITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES
´
DEFINICION 9.10 (Intersecci´n de n sucesos). Dados n sucesos A1 , A2 , A3 , ..., An , sub-
o
conjuntos de un espacio muestral S, llamaremos intersecci´n de A1 , A2 , A3 , ..., An , (designada
o
por A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) al suceso constituido por todos aquellos elementos de S que pertenecen
simult´neamente a los n sucesos.
a
Ejemplo 6. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g} y los sucesos A = {c, d, g},
B = {a, b, c, d} y C = {a, c, g}, tendremos:
Uni´n de A, B y C
o A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, g},
Intersecci´n de A, B y C
o A ∩ B ∩ C = {e}.
´
DEFINICION 9.11 (Mutua exclusividad de n sucesos). Diremos que A1 , A2 , A3 , ..., An , son
mutuamente exclusivos si Ai ∩ Aj = { } , es decir, si ninguno de ellos tiene elemento alguno
en com´n con ninguno de los dem´s.
u a
Ejemplo 7. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} y los sucesos A = {a, d},
B = {b, h, i} y C = {c, f }, son mutuamente exclusivos.
Uni´n de A, B y C
o A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, g},
Intersecci´n de A, B y C
o A ∩ B ∩ C = {e}.
9.1. Ejercicios
Responde a las siguientes preguntas
1. Qu´ podemos afirmar de los sucesos A y B si:
e
a) A ∪ B = { }
b) A ∩ B = { }
c) A ∪ B = S
d) A ∩ B = S
e) A ∩ S = { }
f) A ∪ { } = S
2. Siendo S un espacio muestral finito de tama˜ o n, demostrar que son 2n todos los sucesos
n
o subconjuntos posibles (incluidos S y ) que podemos formar a partir de los n elementos
de S.
36

41. CAP´
ITULO 10
Reglas de contar
Cuando es reducido el n´ mero de resultados posibles de un experimento aleatorio (es decir,
u
su espacio muestral S), suele ser tarea sencilla contar tanto ese n´ mero, como el n´ mero de
u u
resultados de cada uno de los sucesos o subconjuntos de S. Sin embargo cuando el n´ mero es
u
grande, no suele ser f´cil el recuento de dichos resultados y, por ello, necesitamos ciertas reglas
a
que nos ayuden esta tarea enumerativa.
Comenzaremos proponiendo la notaci´n factorial, como condici´n instrumental previa.
o o
10.1. Notaci´n factorial
o
Llamaremos “n factorial”(o factorial de n), design´ndolo por n!, al producto de los n primeros
a
n´ meros naturales. Es decir,
u
n! = (1)(2)(3) · · · (n − 1)(n)
Por ejemplo, 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120. De la misma definici´n se deduce las siguientes
o
relaciones:
n!(n + 1) = (n + 1)!
En efecto.
n!(n + 1) = [1 · 2 · 3 · · · · · n](n + 1) = (n + 1)!
37

42. CAP´
ITULO 10. REGLAS DE CONTAR
As´ por ejemplo.
ı
4!5 = [1 · 2 · 3 · 4]5 = 5!
10.2. Variaciones
Dados n elementos, llamaremos variaciones de orden r a todos los conjuntos distintos que
podamos formar con esos n elementos, tomados de r en r, y entendiendo que dos conjuntos
son distintos si difieren en uno, al menos de sus elementos o si, teniendo id´nticos elementos,
e
difieren en el orden de los mismo.
n!
Vn,r =
(n − r)!
Por ejemplo, el n´ mero de variaciones de cuatro elementos (a, b, c, d) tomados de tres en tres
u
valdr´ V4,3 = (4)(3)(2) = 24 que son las siguientes:
a
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bca bda cda cdb
bac bad cad cbd
cab dab dac dbc
cba dba dca dcb
Las cuatro ternas de la primera fila difieren entre si en uno, al menos, de sus elementos. Lo
mismo sucede a las cuatro de cada una de las cinco filas restantes. Por el contrario, las seis
ternas de la primera columna tienen id´nticos elementos difiriendo entre si en el orden de los
e
mismos. Lo mismo le sucede a las seis de cada una de las tres columnas restantes.
10.3. Permutaciones
Dados r elementos llamaremos permutaciones de orden r a todos los conjuntos distintos que
podamos formar con esos r elementos, tomados de r en r. Dado que todos los conjuntos constan
de los mismos r elementos, s´lo podr´n diferir en el orden de los mismos. Pues bien, se demuestra
o a
que el n´ mero de permutaciones de orden r, designado por Pr vale
u
Pr = r!
Por ejemplo, el n´ mero de permutaciones de los tres elementos (a, ,b, c) valdr´ Pr = 3!, que
u a
son las siguientes:
38

43. CAP´
ITULO 10. REGLAS DE CONTAR
abc acb bac bca cab cba
10.4. Combinaciones
Dados n elementos, llamaremos combinaciones de orden r a todos los conjuntos distintos que
podamos formar con esos n elementos, tomados de r en r, y entendiendo que dos conjuntos son
distintos si difieren en uno, al menos, de sus elementos. Pues bien se demuestra que el n´ mero
u
de combinaciones de orden r (supuestos n elementos) designado por Cn,r vale
n!
Cn,r =
r!(n − r)!
Por ejemplo, el n´ mero de combinaciones de cuatro elementos (a, b, c, d) tomados de tres en
u
tres, valdr´
a
4! 24!
C4,3 = = = 4.
3!(4 − 3)! 6(1)
Son inmediatas las siguientes relaciones:
a) Cn,n = 1
b) 0! = 1
c) Cn,0 = 1
d) Cn,1 = n
e) Cn,n−r = Cn,r
10.5. Ejercicios
Responde a las siguientes preguntas
1. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, cu´ntos n´ meros de tres cifras distintas podemos formar
a u
2. Con las letras a, b, c, d, e, f, cuantos grupos de tres letras distintas podemos formar.
3. De cuantas maneras distintas pueden ser colocados cuatro libros en un estante.
4. Cuantos tribunales de cuatro profesores podemos formar con seis profesores de manera
que cada tribunal difiera de los restantes en un profesor, por lo menos
39

44. CAP´
ITULO 10. REGLAS DE CONTAR
5. De cuantos modos distintos podemos distribuir cinco juguetes entre dos ni˜ os de manera
n
que a cada ni˜ o le corresponda por lo menos, un juguete.
n
6. De cuantas maneras distintas pueden ser repartidos tres premios (A de 50000 bolivianos,
B de 30000 bolivianos y C de 10000) entre cinco personas.
7. Diez personas se presentan a una competici´n deportiva en la que se ofrecen tres premios
o
distintos. Sabiendo que cada persona s´lo puede ganar uno de ellos, de cuantas maneras
o
distintas pueden ser distribuidos estos tres premios.
8. Lanzamos una moneda al aire doce veces consecutivas. De cuantas maneras distintas
podemos obtener el resultado: siete caras y cinco cruces.
40

45. Bibliograf´
ıa
[Mi] Vivien Michel Llanos: “Texto de ense˜ anza para el curso de Admisi´n”. Facultad de
n o
Ciencias Sociales, UMSA (2008)
[Ma] “Matem´ticas”. Facultad de Ciencias Sociales, UMSA (2008)
a