1. Índice
ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA
Pág.
T E M A 1 Teoria de exponentes................................................................................. 2
T E M A 2 Expresione algebraicas............................................................................... 10
T E M A 3 Polinomios................................................................................................. 18
T E M A 4 Operaciones con expresiones algebraicas.................................................... 30
T E M A 5 Productos Notables.................................................................................... 38
T E M A 6 Division Algebraica..................................................................................... 48
T E M A 7 Cocientes Notables..................................................................................... 63
T E M A 8 Factorización............................................................................................. 72
T E M A 9 Fracciones Algebraicas............................................................................... 85
T E M A 1 0 Relaciones Binarias.................................................................................... 100
T E M A 1 1 Teoria de Ecuaciones.................................................................................. 115
T E M A 1 2 Inecuaciones............................................................................................. 139
T E M A 1 3 Funciones.................................................................................................. 150
T E M A 1 4 Miscelaneas............................................................................................... 171
2. Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
TEMA N º 01: TEORÍA DE EXPONENTES
Capacidades:
Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso
a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.
Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.
Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación
exponencial.
Desarrollo del Tema:
POTENCIACIÓN
Exponente
(Base) = POTENCIA
Ejemplos:
1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128
7 veces
2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 =
5 veces
3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 =
6 veces
En general: an = a . a . a . a . … a
“n” veces
LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES
1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma
base y como exponente la suma de los exponentes.
Así: am . an = am+n
Ejemplos:
1) x5 . x7 = x12
2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 = 3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
3. Ecuación Segundo Año
2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma
base, y como exponente la diferencia de los exponentes.
am
Así: n
= a m−n
a
Ejemplos:
x8 2 m +3
1) = x5 3) =
2 m−3
3
x
x 12 5 x + 2 .5 x + 3
2) = 4) =
x −3 5 2 x +1
3. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la
unidad.
Así: a0 = 1 ; donde: a ≠ 0
Ejemplos:
0 0 0
3 4 + 5 7 + 89 = =
0
1) 5 7 = 51 = 5 3)
90
2)
42 =
4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente
negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la
misma expresión, pero con exponente positivo.
1
Así: a −n = , donde: a ≠ 0
an
Ejemplos:
−3 1 1
1) x = 3) =
x3 x2
a2
2) 2-1 = 4) =
b4
a −3
5) =
b −5
5. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia.
Así: (a.b)n = an . bn
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3
4. Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
Ejemplos:
1) (a . b)5 = a5 . b5 3) x4 y4 =
2) ( 3 x = ) 2
4)
3 x .2 x
6x
=
6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el
denominador a dicha potencia.
n
a a
Así: = m ; b≠0
b b
Ejemplos:
4
x x4 x7
1) = 4
y 3) =
y y7
3
3 8n
2) 4) =
5 2n
7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el
exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior.
−n n
a b bn
Así: = = n
b a a
Ejemplos:
−2 2 −2 −3 −4
5 2 4 1 1 1
1) = = 3) + + =
2 5 25 2 3 5
−3
1
2) =
5
8. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se
eleva a un exponente igual al producto de exponentes.
Así: (a ) m n
= am
n
Ejemplos:
( )
1) x 2
4
= x8 3) [( x ) ]
3 4
5
=
2) (x-3)-4 = 4) (x-2)5 =
{ }
s
OBSERVACIÓN:
( a m ) n r = a m.n .r . s
5. Ecuación Segundo Año
9. RAÍZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raíz de una potencia, se escribe la misma
base y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el índice del radical.
m
Así: n
am = a n
Ejemplos:
10
1) 5
x 10 = x 5
= x2 3) X6
4
=
2) 3 4
X 48 =
OBSERVACIÓN: m n s r
a = mnrs a
10. EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es
igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya
cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del
exponente fraccionario.
m
Así: a n
= n am
Ejemplos:
1
1) 8 3
=3 8=2 3) a3/5
2) 642/3 4) 1251/3 =
11. RAÍZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raíz de cada factor.
Así: n
ab = n a .n b
Ejemplos:
1) 5
x 10 y 25 = 5 x 10 .5 y 25 = x 2 . y 5 3) 3
125.212 =
2) 7 xy = 4) 5
32.243 =
12. RAÍZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raíz del numerador y del denominador.
a na
Así: n =
b nb
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5
6. Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
Ejemplos:
x 20 5
x 20 x4 16
1) 5 = = 2) 4 =
y 35 5
y 35 y7 625
13. INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del
factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical.
Así: a p n b = n a pn b
Ejemplos:
1) x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y 4) 23 5 =
2) x 5 3 y 2 = 5) x y =
3) 2 2 = 6) 54 2 =
PRÁCTICA DE CLASE
Resuelve:
1. E=2n+2 + 2n+3. 6. Resuelve:
a) 4 b) 4n+5 c) 42n+5 d) 24n e) 12.2n 2 n −1
A=
2 n −3
2. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) 1/2 e) 1/4
3 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3
Q=
3 n +1 7. Reduce:
a) 39 b) 6 c) 27 d) 13 e) N.A. 3 n −1 + 3 n − 2
M =
3 n−4
3. Calcula: a) 36 b) 3 c) 12 d) 27 e) N.A.
2 n −2
E=
2 n −3 8. Simplifica:
a) 2 b) 4 c) 8 d) ½ e) ¼ (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 )
E=
(ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 )
4. Reduce:
a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A.
E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa)
9. Reduce:
(bxbx….xb) (n-15) veces
5.2 n + 2 − 2 n + 4 − 6.2 n −1
(m-18) veces E=
a) 60 b) 60ab c) 60anbm 2n
d) 60ambn e) N.A. a) 0 b) 1 c) 2 d) ½ e) N.A.
5. Reduce:
Q=
(x xx +x x x
+ x x + 2 x + x x +3 x x − x ) x 10. Simplificar:
−1 −2 −1
L = ( 2 3 ) 9 + 16 − 4− 2 −1
−1 / 2
x x + x 2 x + x 3x −4
a) x b) x-1 c) 0 d) 1 e) N.A.
7. Ecuación Segundo Año
a) 4 b) -4 c) 2/5 d) 5/2 e) -2/5
2 n+ 2
n
n+2 2
2 2n+n
11. Reduce:
1
−1
1
−1
1
−1 1
a) n
2 n −1 b) n
2 c) d) n
4 e) N.A.
−
n
1 2
1 2 1 2
−
1 2 . 1 2 . 1 2 4
−
2 2 2
a) ½ b) 1 c) -1/16 d) 1/16 e) -1/2 19. Calcula el valor de:
216 .35 3.80 3
E= 4 9 2 ⇒ E=
12. Simplifica: 15 .14 .30
3 n .3 3 n.3+ 2
E=n 6 20. Efectúa:
81
a) 1/3 b) 3 c) 81 d) 9 e) N.A. 15 6 .12 4 .5 9 .6 3
E=
1011.313.5 4
13. Reduce: a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
1/ n
n+ 1
9 4 3.3 n 21. Simplifica:
E=
3 3−n
a a a a .16 a
a) 3 b) 9 c) 27 d) 1 e) N.A.
a) a b) 16
a 15 c) a2 d) 8
a7 e) 1
22. Reduce:
14. Simplifica:
81+ n 2n−
1 x y x2
81− n 3 5
Q= 729 .8 3
y x y2
a) 27 b) 17 c) 29 d) 8 e) N.A.
x y x
a) b) c) 5
y x y
15. Calcula el valor de:
2 x + 4 + 32(2 x − 2 ) y x2
d) 5 e) 5
2 x+5 − 2(2 x + 3 ) − 4( 2 x +1 ) − 6(2 x −1 ) x y2
16. A qué es igual : 2 n+2
1 23. n
n+ 2
Q= 2 7
a3 3 a a 2 2n+ 4
a) a b) a2 c) 21
a d) 21
a2 e) N.A.
a) 4 b) 2 c) 1 d) n
2 e) n
2 n +1
17. Halla el valor de la expresión: 2x 3 2x 3 2x 3
( )
24. 3
20 n +1 x3 x
E= n ⇒ E=
4 n+2 + 2 2n+2
a) 8
64x 7 b) 8
128x 5 c) 4
64x 7
18. Simplifica:
d) 4
128x 7 e) N.A.
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8. Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
25. Realiza: 2 m +3.4 m + 2 n
m −1 29.
24 m − 12 m + 15 m 9 m − 2 .16 n + 2
4m m
2 − 2 + 10
3m
a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1
1
a) 3 b) 2 c) 2/3 d) 1,5 e) ½ − 1
30. 2
2
26. Resuelve: a) 3 b) 4 c) 2 d) ½ e) -1/2
6(6) a + 4(4) a 5 n −1 + 2 n −1
a +1 31. n −1
3(3) a + 2(2) a 51− n + 21− n
a) -2 b) 2 c) 1 d) ½ e) N.A.
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) N.A.
a nbn + a ncn + bncn
27. n
a −n + b −n + c −n 32. a
x a x 2a x 8a
a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. a) x2 b) x3 c) x4 d) x5 e) N.A.
−4 −0.5
28. − 27 − 9 33. Calcula:
8
2 7 3 2 7
a) 2 b) -2 c) ½ d) -1/2 e) N.A. 3 1+ + 1−
3 3 3 3
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Resuelve: 5 −7 7 5
a) − b) c) d) e) -7
2 x +2 + 2 x +3 7 5 5 7
E=
2 x+2
5. Reduce:
a) 3 b) 4 c) 2x+3 d) 12 e) N.A.
[ ]
n
M = (x )
n m
1 / mm 1 ( n +1)
− x1 + + n x 2n
2. Simplifica: n
5.2 n + 2 − 2 n − 4 − 6.2 n −1 a) x b) x2 c) 0 d) 1 e) -1
E=
2 n −1
6. Resuelve:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) N.A.
−2 −1
8 −1 10 − 2 2 −3
E = +
10 + 3
3. Simplifica: 21
3.2 −1 + 2.3 −1
Q= a) 4 b) ½ c) 2 d) ¼ e) N.A.
3.2 −1 − 2 x3 −1
13 13 5 7. Simplifica:
a) 13 b) 15 c) d) e)
6 5 13 a −b −1
x ( a −c ) . b − a x ( b −c )
−1
4. Reduce: E= −1
c −a
n −1 n −2 x ( b −c )
2.3 + 3
E= a) xab b) 1 c) xac d) xa e) xb
3 n − 2 − 6.3 n −3
9. Ecuación Segundo Año
8. Reduce:
( 13 ) −1− 2
[ ] 1 1 1
2/3
(a )
m /( m + n )
a−a
Q = n am an
n
E = +
−m aa
.3
( xy ) −1 / 2
x y
a) a b) an c) am d) 1 e) 0
Sabiendo que: x+y=-1
9. Reduce: a) 1 b) -1 c) 8 d) 0 e) N.A.
− 2
16. Calcula:
A = 2 .2 − 2 2
2
2 m + 3.4 m + 2 n
E=
a) 2 b) ¼ c) 0 d) 1 e) N.A. 8 m − 2 .16 n + 2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2.21/2
10. Resuelve:
17. Simplifica:
n
xn. xn −1 13
6
−n 3 n
.( x ) x −1 + y −1
x . x
x −1 . y −1
a) x-n b) xn c) x d) 1 e) N.A.
a) x-y b) x+y c) y-x d) –x –y e) N.A.
11. Simplifica:
18. Calcula:
3 n −a + 2 n −1 n −1 2 n − a + 1
E= n −1 + 2 n + 4 − 2(2 n )
31−n + 21− n 21− n + 1 Q=
2(2 n + 3 )
a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) N.A.
a) 8/7 b) 7/16 c) 7/8 d) -7/8 e) N.A
12. Simplifica:
[
Q = ( 64 )
−1 / 3
+ (−32) −3 / 5 ] −1 / 3 19. Simplifica:
6 n + 10 n + 15 n
a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.A. M =n
2 −n + 3 −n + 5 −n
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 30
13. Reduce:
n n 20. Calcula:
n
n
n
n
38 n .36
E=
(n n )
n
−n n E=n
27 2 n +1 + 9 3n +1
a) n b) n2 c) 2n d) n3 e) 1 a) 3 b) 9 c) 38 d) 1 e) 21/n
21. Simplifica:
5
14. Halla “x” en: 5 5
L = ab 3 a − 2 b −1 ab −1
5 x = 5 25 5
a) 125 b) 5 c) 5
125 d) 1 e) N.A. a) 3 b) 6 c) ab d) 1 e) N.A.
15. Calcula el valor de la séte. Expresión: 22. Calcula el valor de M, si:
4 n + 3 − 4(4 n )
M=
4(4 n −1 )
a) 32 b) 48 c) 60 d) 64 e) N.A.
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9
10. TEMA Nº 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICAS
Capacidades:
Reconoce y clasifica una expresión algebraica.
Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo.
Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente.
Resuelve problemas con expresiones algebraicas.
Exploración y Desequilibrio:
I. “Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo.
Ejemplos:
1) 2 + 4 = 6 3) 3 + 4 =
2) -3 – 7 = -10 4) -13 – 9 =
II. “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se coloca el signo del
mayor”.
Ejemplos:
1) 3 – 2 = +1 3) 7 – 5 =
2) -4 + 2= -2 4) -13 + 8=
Desarrollo del Tema:
1. TÉRMINO ALGEBRAICO
CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la
multiplicación, dichas partes son:
Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa
generalmente mediante números reales.
Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3
Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…)
Ejemplo: x2, xyz, x5y7
La unión de dichas partes origina el Término Algebraico.
Así:
Parte variable
Exponentes
− 2x 5 y 4
Bases
Parte constante
11. Expresiones Algebraicas Primer Año
ACTIVIDAD
Término Parte Parte Bases Exponentes
Algebraico Constante Variable
-3xy
4xyz
-3abc
7
m2n3
-4abc3
-x5
-4
4xyzt4
-3x2z3
2. TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable.
Ejemplo:
3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable.
* 4x3y4 ; -x3y4 ……………… son semejantes
5 3 5 3
* x y ; 7x y ……………… son semejantes
* -a3b4 ; -3b4a3 ……………… son semejantes
OBSERVACIÓN:
Un término algebraico NO puede tener como exponente a:
a) Números irracionales:
Ejemplos:
3
1) 4 x y 4z 5 …………… no es término algebraico
2) 2 xy3 z 2
2 …………… no es término algebraico
b) Letras:
Ejemplos:
1) -xxyyzz …………… no es término algebraico
2 3 a
2) -2x y z …………… no es término algebraico
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Relacionar los términos semejantes:
I) abc ( ) 7x
II) 4x3y5z6 ( ) 2nma
III) -3x ( ) cba 3. Colocar verdadero (V) o (F) según
IV) amn ( ) -x3z6y5 corresponda:
I) En un término algebraico los ( )
exponentes no pueden ser
números irracionales. ( )
2. Son términos semejantes: II) Es un término algebraico 3xxy3z.
I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos ( )
III) 7,x IV) abc; -3cba semejantes.
a) I b) II c) III
d) IV e) N.A. 4. Completar:
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11
12. Los coeficientes:
Término Parte Parte Término a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4
Algebraico Constante Variable Semejante d) -9 y 4 e) N.A.
1 5
− x y 13. Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1
2
Son semejantes:
− 7 xz Calcular: A = a + b + c
Abc a) 10 b) 9 c) 8
7 d) 7 e) 6
-x4z5
14. Si los términos semejantes presentan iguales
5. Si: t1 =13x 7
t2 = 2x a coeficientes
(b + 3)xbyc+3 ; 10xby5
Calcular: 4a − 3 Calcular la suma de los exponentes:
a) 1 b) 2 c) 3 a) 13 b) 12 c) 11
d) 4 e) 5 d) 10 e) 9
6. Dado los términos semejantes:
3a2m+4 ; − 3a12 15. Dados los términos semejantes:
Calcular: m + 1 3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8
a) 1 b) 2 c) 3 a+b+c
Calcular: A =
d) 4 e) 5 3
a) 7 b) 6 c) 5
7. Si los siguientes términos son semejantes: d) 4 e) 3
5xa+4y7 ; -3x5y3+b
Calcular: B = a + b + 4
16. Verificar si las siguientes expresiones son
a) 1 b) 2 c) 3 términos semejantes:
d) 4 e) 5 a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . ( )
8. Dados los términos semejantes:
b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( )
3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b c) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( )
Calcular: R = a.b d) x y ; 3x y
2 3 4 2
.........( )
a) 10 b) 9 c) 8 e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( )
d) 7 e) 6 f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ( )
g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( )
9. Dados los términos semejantes: 17. Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son
t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5 semejantes. Halla el valor de “m+n”:
Calcular: La suma de coeficientes a) 4 b) 8 c) 12 d) 16
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18. Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4 son
10. Indicar los coeficientes de los términos
semejantes. Entonces (a+b) es:
semejantes siguientes:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
-2axa+by5 ; 12bx8yb+4
a) -14 y 12 b) 14 y 12
c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A.
19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos
11. Dados los términos algebraicos semejantes: semejantes. Calcular: t1 + t2
(a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9
Calcular: a + b
a) 1 b) 2 c) 3 20. Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n;
d) 4 e) 5 t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de
“m - n”:
12. Calcular de los términos semejantes: a) 5 b) 3 c) 2 d) 8
(b+4)x7 ; (2 – b)xb+2
RECORDANDO:
13. Expresiones Algebraicas Primer Año
Como ya sabemos un término algebraico consta de:
Parte constante Números
Parte variable Letras
Nota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.
Así: 2x + 4x – 3x + 5x Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5c
Se reduce: 8x Queda: …………………………………
MAYOR O IGUAL A 2
Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes se
denomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Por ejemplo:
Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda:
5b – a + 5c Expresión algebraica de 3 términos
-x + y + z Expresión…………………………………………
3 4
-x – y Expresión…………………………………………
Si:
3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados)
5x 3
+ x 3 + 14 x 3 + 3 (No es porque los exponentes de las variables no pueden ser
x4 + 2 + 4y números irracionales o letras)
Entonces ahora completa el siguiente cuadro:
Expresión Si es expresión algebraica No es expresión algebraica
2x3y4 + 5xy
−x 3
+ x3 − 4
x + x6 + x7 + …
5
x +3 x +4
3 + 2x
…… + x3 – x2 + 4x
3x + 4x + 5x
x 5y 4
+ 2x + y
5x2 + 5y3 + 5z4
PRÁCTICA DE CLASE
I. Reducir: 7. –{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-
1. 4x + 2x – 3x + 4x (5a+b)]]]}
2. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x 8. –{(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)-
3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2 (3xy2+6xy2)]}
4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz 9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +
5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 +
6. –{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]} 6z2x3y4
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
13
14. 10. Indicar cuántos términos tiene la 13. Reducir si los términos son semejantes:
expresión luego de reducir: (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b – 4)xa+3 – bxc+4
-{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7
+2a – (a-b)]]]]]} d) 7x7 e) 6x7
a) 1 b) 2 c) 0
d) 3 e) N.A. 14. Dados los términos semejantes
(reducir)
11. Reducir los términos semejantes axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x
(c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 7x b) 2x c) 3x
3 3 4
a) 8x b) 3x c) 8x d) 4x e) 5x
4 4
d) 4x e) 16x
15. Si los siguientes son términos
12. Reducir los términos semejantes semejantes:
a+b c+d e+f 3
(a+b)x + (c+d)x + (e+f)x +x (a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5
a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 Reducirlos:
10
d) 3x e) 10x a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5
d) 7x5 e) x5
PRÁCTICA DOMICILIARIA
I. Reducir: a) 3 términos d) 0
1. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 b) 2 términos e) N.A.
2. 2xy + 4xy + 5xy – 10xy c) 1 término
3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3
11. Reducir los términos semejantes:
4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 +
(2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4
2a3b4c5 10c3a4b5
a) 7x4 b) 8x4 c) 9x4
5. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 +
d) 10x4 e) N.A.
7x2y4a3 – x3y2a4
6. –{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}}
12. Reducir los términos semejantes:
7. –{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}}
(a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x4
8. –{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y-
a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4
xy2)]}
d) 20x4 e) N.A.
9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x
2 3 4 Z 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4
13. Al reducer los términos semejantes:
+ z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 +
mxm + nxn + pxq + qxq + x7
z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4
queda:
a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7
d) 26x7 e) N.A.
10. Luego de reducir:
-{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a –
14. Luego de reducir los términos
{a – b}+{+b}c} – a}
semejantes:
La expresión tiene:
(a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
15. Expresiones Algebraicas Primer Año
a) 5x3y4 b) 3x3y4 c) 7x3y4 a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a –
3 4
d) 6x y e) N.A. b)}}}
a) a b) 2b – c c) a + b
15. Reducir: d) a + b + c e) N.A.
VALOR NUMÉRICO
El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variable
o variables toman un determinado “VALOR”.
Ejemplo:
I CASO:
P(x)= 2x+3 Q(x)=5x – 3 R(x)= 2x + 5
P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) – 3 R(1)=
P(2)= 7 Q(1)=2 R(2)=
P(3)=2(3) + 3 Q(2)=5(2) – 3 R(0)=
= 09 Q(2)=7
II CASO: Si P(x)=2x+3
P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3 P(x)=2x – 5
P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3 P(a)=
P(x+3)=2x + 9 P(x+3)=
III CASO: Si P(x) = 2x+3
Calcular: A=P (P (P (3)))
¿CÓMO?
Se empieza por adentro, es decir: A = P (P (P (3) ) )
2(3) + 3
A = P (P (9) )
2(9) + 3
21
A = 2(21) + 3
A = 45
IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5
Calcular: P(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x+5)
P(Q(x)) = 2(3x+5)+3
P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA :
P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ?
PRÁCTICA DE CLASE
1) Hallar el valor numérico de: P(x,y)=3x + 2y – xy
x=1; y=2; z=3de los siguientes P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z
polinomios: P(x)=3(x+2)(x-3)
P(x)=2x + 5 P(x,y)= 2x(x+1)(y-2)
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15
16. A) 0 B) 3 C) 5
2) Si: P(x)=2x-4
Calcular: A=P(1) + P(2) D) 2 E) 4
3) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y 15) Dado: F ( m 3 − 1) = m + 5
Calcular: A=P(2,3) + P(0,1)
Calcular z en:
F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1)
4) Si: P(x)=3x + 5
A) 3 B) -1 C) 0
Calcular: M=P(a+2) – P(a-2)
D) 2 E) -2
5) Si:P(x)=2x – 1
16)Calcular: “A”
Calcular: A=P (P(P(O)))
Si: M(x) = 4x
6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3 M(1) + M(2)
A=
Calcular: A=P(R(2)) M (4)
7) Si: P(x)=3x+5 17) Dada la expresión:
Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2
1
Calcular: A=P(Q(R(O))) P( x ) = ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ; calcular
x( x − 1)
8) Si: L(x + 3) = x2 + x − 1 P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5)
Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4)
4 3 2
A) B) C)
9) Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 5 5 5
1 1 7
Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0) D) E)
5 5
10) Sea: M(3x − 2) = 5x − 9
Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13) 18) Si : P( x ) = n; n ∈ R ; Calcular:
R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 )
11) Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1 A) n B) 2n C) 10n
Calcular el valor de: D) 15n E) 55n
a) Q[P(2,1)]
b) P[Q(1); Q(2)] 19) De la expresión :
x +1
=x − 2 x1998 + 4
1999
P
12) Sea: P( x −1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6) x −1
Calcular el valor de: P ( 3)
P ( −1)
A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x - 8
D) 4x + 10 E) NA. A) 256 B) 16 C) 128
D)4 E) 23
13) Indicar el valor de a; b en ese orden, si:
P( x ) = 3x a −1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b−1 se reduce a x
20) Sea: P = x − 125 x + 3 x + 2 ;
20 17
un solo término.
5
y +1 x +1 calcular P(1)
14) Sea: P( x; y ) = x + y
y +1 ;
A) 17 B) 20 C) 30
x +1
D) 50 E) 80
33 41
Calcular P ;
41 33
PRÁCTICA DOMICILIARIA
17. Expresiones Algebraicas Primer Año
1. Calcular el valor numérico de polinomios Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10
para x=2; y=3; z=1 12. Si: P(x) = 2x + 4
P(x)=3x – 4 Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )
P(x,y)=2x+3y-2
P(x,y,a)=x + y + z – 6 13. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3
P(x)= (4 – x)(x -2) Calcular: P(Q(x))
P(x,y)=(x+2)(y-3)
P(x,y,z)=(x – 1)(y-2)(z-3) 14. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x +
2
2. Si: P(x)=2x + 8 Calcular: P(Q(x))
Calcular: A=P(a) + P(a-1) 15. Dado: p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x − 13 ;
3. Si: P(x,y)=5xy+x-y calcular el valor de p ( p ( 4 ) )
Calcular: P(1,2) + P(2,0) A) -24 B) -21 C) -12
D) 11 E) 34
4. Si: P(x)=x + 2
Calcular: A=P(P(P(3))) P x = x 20 − 8 x17 + 3x + 2 ;
16. Sea:
2
5. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1
Calcular P( 1)
Calcular: A=P(R(2))
A) 17 B) 20 C) 30
6. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2 D) 50 E) 8
Calcular: A=P(R(x))
17. Si: P(x) = x + 3x + 4 2
Calcular: P(2) + P(3)
7. Del problema anterior
18. P(x) = 2x + 4
Calcular: B=R(P(x))
A = P ( P ( P ( P (2))))
8. Si: P(x)=3x+4
19. Si: Q(x) = x + 5 P(x)=x+3
Calcular: M=P(P(x))
Calcular: P( Q (x) )
20. A(x) = 2x + 4
9. Calcular: P(P(P(2)))
Calcular: A ( R ( x ) )
Si: P(x)=2x – 1
10. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4
21. Si: P( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3x − 2 ; calcular
M(0) + M (2)
Si: A =
M(1)
P ( 1) P ( 2 )
P( 0)
A) 2 B) -2 C) 4
11. Calcular: P(7) D) 5 E) 0
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
17
19. Polinomios Segundo Año
TEMA Nº 03: P O L I N O M I O S
Capacidades:
Reconoce un polinomio.
Diferencia entre monomio y polinomio,
Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios.
Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa.
Resuelve problemas con polinomios.
Desarrollo del Tema:
Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables son
números naturales.
P( x , y) ≡ 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4
Término
Variables Independiente
1. MONOMIO
Cuando se refiere a un solo término.
Ejemplo:
M ( x , y, z ) ≡ 4 x 3 y 4 z 5
Parte Variable
Parte constante (Coeficiente)
a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión
Ejemplo: Sea:
M(x,y) = 135x4y3
GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x”
GR(x) : 4 (exponente de x)
GR(y) : 3 (exponente de y)
b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables.
Ejemplo:
M(x,y) = 135x4y3
GA = 4 + 3
Exponente de variable x
Exponente de variable y
GA = 7
20. ACTIVIDAD:
COMPLETA EL CUADRO
Parte
Monomio Parte
Constante GA GR(x) GR(y) GR(z)
M(x,y,z) Variable
(Coeficiente)
39x3y
-4
− 3x 4 z
5x2yz3
18z
-4x5y4
8
2. POLINOMIO
Es la agrupación por adición de monomios no semejantes.
Ejemplo:
P( x; y) ≡ 2 xy 3 + 4 y 4 − 3x + 2
Término
Independiente
Polinomio de 4 términos
4 3 2
P(x) = 4x + x – x + 2x + 3 Polinomio de ___________________
2
P(y) = ax + bx + c Polinomio de ___________________
P(x; y) = x + y Polinomio de ___________________
a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada
monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el
polinomio.
P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2
GR(x)=3 GR(x)=5 GR(X)=1
GR(y)=4 GR(y)=3 GR(y)=2
Entonces: GR(x) = 5 GR(y) = 4
AHORA TÚ:
P(x,y)≡ 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y
GR(x) : GR(y) =
b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se
toma el mayor:
P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2
GA=7 GA=8 GA=3
⇒ GA=8
¡AHORA TU!
21. Polinomios Segundo Año
P(x,y) ≡ 3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y
GA =
ACTIVIDAD:
COMPLETAR
Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)
x6 + xy + x3y4z
x+y+z
zxy + x2y3 + 4
a + abx + bx2
3x3 + 4y4
-x3y4 + x5 + y8
4z3 + 4z – 3
c) Cálculo de Grados en Operaciones
1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
Ejemplo: Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
tal que: a > b
⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a
2. En la multiplicación los grados se suman
Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)
Resolución:
⇒ Grado: 6 + 9 = 15
3. En la división los grados se restan
xy 8 − x 3 y 3 + x 7
Ejemplo:
x 4z − y 3 + x 3y 3
Resolución:
⇒ Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente
Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10
Resolución:
⇒ Grado: 9 . 10 = 90
5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.
Ejemplo: 3 xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12
Resolución.
12
⇒ Grado =4
3
Propiedad:
22. En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno. Es decir:
Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
Como es completo:
Número de términos = 6
PRÁCTICA DE CLASE
1. Dado el monomio: a+b+c
Calcular: A =
M(x,y) = -3abxa+3yb 7
De GR(x) = 7 y GA = 10 a) 5 b) 4 c)3
Calcular: El coeficiente d) 2 e) 1
a) -36 b) 36 c) 12
d) -12 e) N.A. 6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio:
P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+2
2. Si el siguiente monomio: Calcular: A = a + b
a+1 b+2 4
M(x,y,z) = -4x y z a) 1 b) 2 c) 3
Es de GA=14 y GR(y) = GR(z) d) 4 e) N.A.
Calcular: “a . b”
a) 15 b) 10 c) 5 7. Dado el polinomio:
d) 3 e) 6 P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab
Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6
3. Si el monomio: Calcular el término independiente:
x+2 y+5
M(a; b) = -4xya b a) 5 b) 6 c) 7
Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 d) 12 e) N.A.
Calcular: “El coeficiente”
a) 24 b) -24 c) 25 8. Si:
d) 26 e) 12 P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc
Es de GR(x) = 14 GR(y)=6
4. Si en el monomio: Calcular la suma de coeficientes:
2 3 a+3 b+2 6
M(w, t, ψ) = -2a b w t ψ a) 3 b) 4 c) 5
El GA = 17 y GR(w) = 5 d) 7 e) N.A.
Calcular: “El Coeficiente”
a) 512 b) 251 c) -512 9. Si:
d) 251 e) 521 P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc
Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z)=3
GR (z) GR ( y) Calcular el grado absoluto.
5. Si GA = 15 GR(x) = = =2
2 3
De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3
10. Dado el polinomio:
23. Polinomios Segundo Año
P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a P( x; y ) = x m + 2 n y 7 − n + x m + n y 10− n + x m+ 3n y 9− n
Calcular el término independiente si
, además: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el
GA=8
grado absoluto.
11. Determine el grado del polinomio A) 25 B) 26 C) 27
P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x10 + 10 )
D) 28 E) 29
A) 45 B) 36 C) 55
15. Sea: P( x; y ) = x 2 n −3 y 2 n +5 , donde el
D) 21 E) 28 grado relativo con respecto a “x” es 7.
Calcular el grado absoluto de la expresión:
12. En el siguiente polinomio ordenado y A) 22 B) 30 C) 35
completo de grado 2 : D) 25 E) 28
P( x ) = x a + 2 x a −b + 3 16. Determine el grado del polinomio
Calcular: a2 − b2 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x 8 + 8)
A) 3 B) -1 C) 0 A) 45 B) 36 C) 15
D) 1 E) 2 D) 21 E) 28
13. Sea: 17. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ?
P ( x ) = 3ax a +5 + 5ax a + 6 + 2ax a +8 . P( x ) = x 2 n + x 2 n −1 + x 2 n −2 + ... + x 2 + x + 1
Un polinomio de grado 17. señale la suma de A)2n B)2n + 1 C) 3n
sus coeficientes. D) 2n - 1 E) n
A) 20 B) 60 C) 70
D) 80 E) 90
18. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ?
P( x ) = x 2 n −1 + x 2 n − 2 + x 2 n −3 + ... + x 2 + x + 1
14. Dado el polinomio:
A)2n B)2n+1 C) 3n
D) 2n - 1 E) n
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Dado en el monomio. GA=12 GR(x) = GR(y)
a b
M(x,y) = 4abx y Calcular: m . P
Si. GR(x) = 2 GA=7 a) 12 b) 13 c) 14
Calcular: “El coeficiente” d) 15 e) 16
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
3. Si en el monomio:
M(ψ, θ) = 2xyψx+4θy+2
2. En el siguiente monomio: Donde: GR(ψ)= 7 GR(θ)=5
m+1 p+2 2
M(x,y,z) = 3x y z Calcular el coeficiente:
24. a) 18 b) 19 c) 20 P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3
d) 21 e) 24 Si el GA=7 Además: a – b=2
b
Calcular: A = a
4. Si en el monomio: a) 1 b) 2 c) 3
2 3 4 a+5 b+4 c+3
M(x,y,z) = 2a b c x y z d) 4 e) 5
Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4
Calcular el coeficiente: 11. En el polinomio :
a) 2 b) 4 c) 5 P( x , y ) = ax 2 y 3 − bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y)
d) 16 e) 14
Indicar la suma de los coeficientes.
A) 13 B) 11 C)
GR ( x ) 12
5. Si: GA=24 GR(y) =
5 D) 9 E) 8
a+b a-b
M(x,y)= 2x y
12. Determine el grado del polinomio
Calcular: a . b
a) 96 b) 108 c) 64 ( )(
P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7 ) ( )
d) 25 e) 15 A) 45 B) 36 C) 15
D) 21 E) 28
6. Si: P(x) = x a+4
+x a+3
+x a-4
;GA=7
Calcular: 3a 13. Si al polinomio:
a) 3 b) 4 c) 5 P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8
d) 6 e) 7
le restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto
7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 disminuye ¿Cuánto vale el menor de los
GR(x) =5 GR(y) = 3 grados relativos?
Calcular el GA A) 3 B) -1 C) 0
a) 1 b) 2 c) 3 D) 4 E) 2
d) 4 e) 6
14. Si:
8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4 n m
P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m −1
Es de GA=5
Calcular la suma de coeficientes: se reduce a un monomio:
a) 14 b) 15 c) 16 Calcular GA de:
d) 17 e) 18 2
M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m
9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc A) 10 B) 8 C) 6
D) 4 E) 2
GR(x) = 4 GR(y)=5 GR(z)= 3
Calcular el grado absoluto
15. Si el polinomio completo es de (4 + a)
a) 1 b) 14 c) 12
términos.
d) 10 e) 11
P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a − 1) x 2 a −1 + ( 2a − 2) x 2 x − 2 + ....
Calcular el valor de “a”
10. Dado el polinomio:
A) 1 B)4 C)2
25. Polinomios Segundo Año
D)3 E) 5 P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a
Calcular “a”, si se cumple que la suma
de coeficientes es igual a su termino
independiente incrementado en 76.
16. En el polinomio:
A) 1 B)4 C)2
D)3 E) 5
POLINOMIOS ESPECIALES
POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
P(x,y) = 4x3y4 - 3x7 + 2xy6 - x5y2
GA=7 GA=7 GA=7 GA=7
P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7
3+5 = a + 2 = b + 7
a = 6
b = 1
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.
Ejemplo:
P(x)= (x + 1)2 Q(x)=x2 + 2x + 1
P(O)= Q(O)=1
P(1) Q(1) = 4 P(x) y Q(x) son idénticos.
Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.
Ejemplo:
P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x)=Ax2 +5x – B
A=4
B=3
NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo.
Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).
P(x) = Ox2 + Ox + O
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0
Así, sí tenemos:
Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.
Entonces: A = 2; B = 3; C = 2
¡¡AHORA TÚ!!
Si son idénticos:
P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x)= 2x2 + 5x + 3
26. Entonces:
A= B= C=
AHORA:
Si: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14
Es idénticamente nulo:
a= c=
b= d=
POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el
menor.
Ejemplo:
P(x) ≡ 5x3 + 2x – 4x2 + 7
OJO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7)
P(x) = 2x + 3 ……………………… Es polinomio completo.
P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………… Es polinomio completo.
P(x) = x – 2x + 5x – 4
4 3
……………………… Es polinomio completo.
POLINOMIO ORDENADO
Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.
Ejemplo:
P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente)
P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente)
P(x) = x – x + x
17 25 50
(Polinomio ………………. en forma ……………………………)
P(x) = 14x – 2 (Polinomio ………………. en forma ……………………………)
Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.
P(x,y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a
“x”)
P(x,y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a
“y”)
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO
Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.
Ejemplo:
P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo porque presenta
todos los exponentes de “x” y además están
ordenados en forma descendente).
P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
27. Polinomios Segundo Año
AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA)
Polinomio Ordenado Completo Completo y Ordenado
Ascendente Descendente Ascendente Descendente
P(x)=4x2+5-3x
P(x)=x7 + x + 6
P(x)=5x2-3x+2
P(x)=x1000-x10+1
P(x)=1+2x+x2-x3
P(x)=4x5-x+5
P(x)=x102-x101-2
PRÁCTICA DE CLASE
1. Dado el polinomio homogéneo 8. Dados los polinomios idénticos:
P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 – xby8 P(x) = 4x2 + bx + 7
Calcular: (a + b) Q(x) = cx2 + 3x + 7
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a
Calcular: a + b + c+ d
2. Dado el polinomio homogéneo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A
P(x,y,z)=5xyz – x2ya + zb + xc
Calcular: a + b + c 9. Dado:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 P(x)=(4 – a)x + 5c + d
Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x
3. Si el polinomio es homogéneo. Son idénticos:
P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5 Calcule: a + c + d
Calcular: a + b + d a) 4 b)5 c) 6 d) 7 e) N.A
a) 1 b) 13 c) 6 d) 5 e) 8
10. Si los siguientes polinomios son
4. Dado el polinomio homogéneo: idénticos:
P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10 P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c
Calcule la suma de coeficientes: m+n+p
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) NA Calcular: A =
a+b+c
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Dado el polinomio homogéneo:
P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y
11. Dado el polinomio idénticamente nulo:
Calcular la suma de coeficientes:
P(x)=(a – 2)x2 + bx + c + 3
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)NA
Calcular: a . b . c
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A.
6. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:
P(x)=ax5+3x2 – 4
12. Dado el polinomio idénticamente nulo:
Q(x)=(2a – 3)x5 + (c+2)x2 + b
Q(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx – c
Calcular: a + b + c
Calcular: a + b + c
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A.
a) -10 b) -11 c) -12
d) -13 e) N.A.
7. Si: R(x)=2x2 + 5x – 3
Es idéntica con:
13. Si el polinomio es nulo:
S(x) = (a2 – 2)x2 + (b2 + 1)x + c R(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4
Calcular: a+b+c
Calcular: a . c . d
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A. a) 1 b) 2 c) 16 d) 15 e)N.A.
14. Dado el polinomio nulo:
28. P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x P(x)=axc-1+bxb+cxa
Calcular: a + b + c Calcular la suma de coeficientes.
a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e)N.A a) 1 b) 4 c) 3
d) 2 e) N.A.
15. Si el siguiente polinomio es nulo:
P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c 24. Si:
m +n +p
2 2 2
Calcular: M ( x ) = x m −10 + 5 x m − n + 5 + 2 x p − n + 6
a+b+c
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. es completo y ordenado descendentemente,
calcular: m + n + p.
16. Calcular el valor de “a” en los siguientes A) 38 B) 28 C) 26
polinomios completos: D) 25 E) 36
P(x)=4xa+4x2 +3-2x
Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 2
R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 25. Calcular el valor de: a 33 + , si el
a 99
17. En el polinomio completo: polinomio:
P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2
P( x ) = ( a + b − c − 10) x a + ( c − b + 9) x a
6 9
Es
Calcula la suma de coeficientes:
a) 8 b) 9 c) 10 idénticamente nulo.
d) 11 e) N.A. A) 1 B)4 C)2
D)3 E) 0
18. Dado el polinomio completo:
P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp 26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente
Calcular: m + n + p polinomio completo:
a) 1 b) 6
d) 4 e) N.A.
c) 5
( a b
) (
P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c + b
) ( )
A) 15 B) 6 C) 18
19. Ordenar en forma ascendente y D)12 E) 9
descendente los siguientes polinomios:
P(x)= 25x5+3x7-2x+4 27. Si el polinomio:
R(x)= 1- x+x3-x7+2x2
Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc
( ) (
M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y)
es idénticamente nulo, calcula S.
d 2 9b 6a
20. Ordene en forma ascendente y S= + 2 +
descendente los siguientes polinomios b e c
primero relativo a “x” t luego a “y” A) 15 B) 16 C) 18
P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab D)13 E) 9
P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1-
abc 28. Si el trinomio:
21. Dado el polinomio completo y
a
x a +b + b x b + c + c x a + c es
ordenado: homogéneo, de grado 10. de que grado es el
P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3
Calcula la suma de coeficientes:
monomio : a x b .b x c .c x a
a) 1 b) 2 c)4 A) 7 B) 13 C) 27
d) 5 e) N.A. D) 33 E) 30
22. Dado el polinomio completo y 29. Calcular la suma de coeficientes del
ordenado: polinomio homogéneo:
P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Q( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3
Calcule el término independiente.
a) 4 b) 6 c)9 A) 10 B) 11 C) 12
d) 12 e) N.A. D) 13 E) 14
23. Si el polinomio es completo y ordenado 30. Si la expresión:
en forma ascendente. (a + b ) 2 6
x a −b − ab 4 x a +b + ( b − a ) x ,