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Índice

                                ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA
                                                                                                                                     Pág.

T   E   M   A      1   Teoria de exponentes.................................................................................         2

T   E   M   A      2   Expresione algebraicas...............................................................................         10

T   E   M   A      3   Polinomios.................................................................................................   18

T   E   M   A      4   Operaciones con expresiones algebraicas....................................................                   30

T   E   M   A      5   Productos Notables....................................................................................        38

T   E   M   A      6   Division Algebraica.....................................................................................      48

T   E   M   A      7   Cocientes Notables.....................................................................................       63

T   E   M   A      8   Factorización.............................................................................................    72

T   E   M   A      9   Fracciones Algebraicas...............................................................................         85

T   E   M   A   1 0    Relaciones Binarias....................................................................................       100

T   E   M   A   1 1 Teoria de Ecuaciones..................................................................................           115

T   E   M   A   1 2    Inecuaciones.............................................................................................     139

T   E   M   A   1 3    Funciones..................................................................................................   150

T   E   M   A   1 4 Miscelaneas...............................................................................................       171
Álgebra                                                                   I.E.P. CORPUS CHRISTI

                     TEMA N º 01: TEORÍA DE EXPONENTES
Capacidades:
 Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso
    a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.
 Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.
 Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación
    exponencial.


Desarrollo del Tema:

 POTENCIACIÓN


                                                    Exponente
                                            (Base)                = POTENCIA
Ejemplos:


1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128

                7 veces
2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 =

               5 veces


3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 =

                6 veces


En general: an = a . a . a . a . … a


                         “n” veces


  LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES


1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma
    base y como exponente la suma de los exponentes.


    Así:    am . an = am+n

    Ejemplos:
    1) x5 . x7 = x12
    2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 =                  3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
Ecuación                                                                        Segundo Año



2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma
    base, y como exponente la diferencia de los exponentes.

                 am
    Así:           n
                     = a m−n
                 a

    Ejemplos:

           x8                                    2 m +3
    1)         = x5                         3)          =
                                                 2 m−3
             3
           x
           x 12                                  5 x + 2 .5 x + 3
    2)          =                           4)                    =
           x −3                                     5 2 x +1

3. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la
    unidad.
    Así:         a0 = 1   ; donde: a ≠ 0


    Ejemplos:
                                                               0      0   0
                                                           3 4 + 5 7 + 89 = =
            0
    1) 5 7 = 51 = 5                                  3)

                90
    2)
           42 =

4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente
    negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la
    misma expresión, pero con exponente positivo.

                          1
    Así:         a −n =        , donde: a ≠ 0
                          an
    Ejemplos:

            −3       1                           1
    1) x         =                          3)      =
                     x3                          x2
                                                            a2
    2) 2-1 =                                         4)        =
                                                            b4
         a −3
    5)        =
         b −5


5. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia.

    Así:         (a.b)n = an . bn



Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
3
Álgebra                                                                                                 I.E.P. CORPUS CHRISTI
   Ejemplos:
   1) (a . b)5 = a5 . b5                                          3) x4 y4 =

   2)   (    3 x =    )   2
                                                                  4)
                                                                     3 x .2 x
                                                                       6x
                                                                              =

6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el
   denominador a dicha potencia.
                    n
              a a
   Así:        = m ; b≠0
              b b

   Ejemplos:
                  4
      x  x4                                                                     x7
   1)   = 4
       y                                                                 3)        =
         y                                                                      y7
                  3
       3                                                                        8n
   2)                                                                    4)        =
      5                                                                         2n


7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el
   exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior.


                               −n          n
              a                    b  bn
   Así:                           =  = n
              b                    a  a

   Ejemplos:
                  −2                2                                                 −2           −3          −4
      5                      2   4                                        1           1          1
   1)                       =  =                                       3)            +          +         =
      2                      5   25                                       2            3         5
                  −3
            1
   2)                   =
            5


8. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se
   eleva a un exponente igual al producto de exponentes.



   Así:       (a )        m n
                                    = am
                                           n




   Ejemplos:

        ( )
   1) x 2
              4
                      = x8                                        3)   [( x ) ]
                                                                          3 4
                                                                              5
                                                                                  =
   2) (x-3)-4 =                                                            4) (x-2)5 =


                                                {        }
                                                              s
   OBSERVACIÓN:
                                                ( a m ) n r  = a m.n .r . s
                                               
                                                            
                                                             
Ecuación                                                                                               Segundo Año

9. RAÍZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raíz de una potencia, se escribe la misma
    base y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el índice del radical.
                                           m
    Así:            n
                        am = a                 n



    Ejemplos:
                                10
    1)     5
               x 10 = x              5
                                         = x2                  3)         X6
                                                                               4
                                                                                    =

    2)     3 4
                    X 48 =


    OBSERVACIÓN:                                   m n s r
                                                             a = mnrs a

10. EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es
    igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya
    cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del
    exponente fraccionario.


                        m
    Así:            a       n
                                = n am

    Ejemplos:
               1
    1) 8        3
                    =3 8=2                                                         3) a3/5

    2) 642/3                                                              4) 1251/3 =


11. RAÍZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raíz de cada factor.


    Así:            n
                        ab = n a .n b

    Ejemplos:

    1)     5
               x 10 y 25 = 5 x 10 .5 y 25 = x 2 . y 5                3)   3
                                                                              125.212 =

    2)     7   xy =                                                                4)   5
                                                                                            32.243 =


12. RAÍZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raíz del numerador y del denominador.


                        a na
    Así:            n    =
                        b nb

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
5
Álgebra                                                                                                  I.E.P. CORPUS CHRISTI
   Ejemplos:

               x 20        5
                               x 20        x4                                               16
   1)     5         =                  =                                         2)     4       =
               y 35        5
                               y 35        y7                                               625

13. INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del
   factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical.


   Así:           a p n b = n a pn b
   Ejemplos:

   1)    x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y                                    4) 23 5 =

   2) x 5 3 y 2 =                                                          5) x y =

   3) 2 2 =                                                                      6) 54 2 =


                                                                 PRÁCTICA DE CLASE


Resuelve:
1. E=2n+2 + 2n+3.                                                               6. Resuelve:
   a) 4         b) 4n+5         c) 42n+5            d) 24n e) 12.2n                         2 n −1
                                                                                      A=
                                                                                            2 n −3
2. Simplifica:                                                                     a) 2          b) 4              c) 8      d) 1/2         e) 1/4
              3 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3
   Q=
                       3 n +1                                                   7. Reduce:
   a) 39           b) 6             c) 27           d) 13        e) N.A.                  3 n −1 + 3 n − 2
                                                                                      M =
                                                                                               3 n−4
3. Calcula:                                                                        a) 36          b) 3             c) 12      d) 27              e) N.A.
              2 n −2
    E=
              2 n −3                                                            8. Simplifica:
  a) 2          b) 4                  c) 8            d) ½          e) ¼                     (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 )
                                                                                      E=
                                                                                              (ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 )
4. Reduce:
                                                                                   a) ab          b) ac              c) bc     d) abc            e) N.A.
   E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa)
                                                                                9. Reduce:
   (bxbx….xb)                                             (n-15) veces
                                                                                         5.2 n + 2 − 2 n + 4 − 6.2 n −1
   (m-18) veces                                                                       E=
   a) 60                       b) 60ab                    c) 60anbm                                   2n
   d) 60ambn                   e) N.A.                                             a) 0           b) 1              c) 2       d) ½         e) N.A.

5. Reduce:

   Q=
      (x         xx +x          x               x
                         + x x + 2 x + x x +3 x x − x )      x                  10. Simplificar:
                                                                                                                    −1                   −2 −1
                                                                                      L = ( 2 3 ) 9                + 16 − 4− 2 −1 
                                                                                                          −1 / 2
                         x x + x 2 x + x 3x                                                          −4

                                                                                          
                                                                                                                  
                                                                                                                      
                                                                                                                                    
                                                                                                                                     
   a) x           b) x-1        c) 0            d) 1        e) N.A.
Ecuación                                                                                                                                                             Segundo Año

    a) 4         b) -4                c) 2/5 d) 5/2                      e) -2/5
                                                                                                                   2 n+ 2
                                                                                                      n
                                                                                                              n+2              2
                                                                                                                    2 2n+n
11. Reduce:
                     1
                           −1
                                                        1
                                                              −1
                                                                                   1
                                                                                           −1                                                                  1
                                                                                                      a)       n
                                                                                                                    2 n −1 b)               n
                                                                                                                                                2 c)             d)           n
                                                                                                                                                                                  4        e) N.A.
                                                     − 
                                                                                                                                                       n
              1  2 
                                               1    2                    1  2 
                                                                                    
            −                                                              
    1      2                .  1           2               . 1      2                                                                              4
                                −                                
    2                            2                              2
    a) ½         b) 1              c) -1/16                    d) 1/16 e) -1/2                  19. Calcula el valor de:

                                                                                                        216 .35 3.80 3
                                                                                                      E= 4 9 2 ⇒ E=
12. Simplifica:                                                                                         15 .14 .30
                3 n .3 3 n.3+ 2
     E=n             6                                                                          20. Efectúa:
                       81
    a) 1/3             b) 3              c) 81            d) 9               e) N.A.                               15 6 .12 4 .5 9 .6 3
                                                                                                      E=
                                                                                                                    1011.313.5 4
13. Reduce:                                                                                           a) 1                     b) 3                       c) 5            d) 2                 e) 6
                                             1/ n
        n+ 1                            
         9 4 3.3 n                                                                              21. Simplifica:
     E=                                 
        3 3−n                           
       
                                        
                                                                                                             a a a a .16 a
    a) 3         b) 9              c) 27                d) 1             e) N.A.
                                                                                                      a) a                b)       16
                                                                                                                                        a 15             c) a2       d)       8
                                                                                                                                                                                  a7           e) 1

                                                                                                22. Reduce:
14. Simplifica:

             81+ n                           2n−
                                                   1                                                          x y x2
                                81− n                                                                          3 5
    Q=               729                .8         3
                                                                                                              y x y2
    a) 27            b) 17              c) 29           d) 8            e) N.A.
                                                                                                               x                                y                                 x
                                                                                                   a)                              b)                                c)   5
                                                                                                               y                                x                                 y
15. Calcula el valor de:

                2 x + 4 + 32(2 x − 2 )                                                                              y                               x2
                                                                                                   d)         5                    e)       5
    2 x+5   − 2(2 x + 3 ) − 4( 2 x +1 ) − 6(2 x −1 )                                                                x                               y2


16. A qué es igual :                                                                                                2 n+2
            1                                                                                   23.       n
                                                                                                              n+ 2
    Q=       2 7
                     a3 3 a a                                                                                           2 2n+ 4

    a) a b) a2                  c)      21
                                             a           d)        21
                                                                        a2         e) N.A.
                                                                                                  a) 4                   b) 2               c) 1           d)    n
                                                                                                                                                                     2                e)   n
                                                                                                                                                                                               2 n +1


17. Halla el valor de la expresión:                                                                           2x 3 2x 3 2x 3
                                                                                                                    (               )
                                                                                                24.                                     3
              20 n +1                                                                                                    x3 x
     E= n                                           ⇒ E=
          4 n+2 + 2 2n+2
                                                                                                  a)      8
                                                                                                                  64x 7                     b)      8
                                                                                                                                                        128x 5                    c)   4
                                                                                                                                                                                           64x 7
18. Simplifica:
                                                                                                  d)          4
                                                                                                                  128x 7                    e) N.A.



Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
7
Álgebra                                                                                                         I.E.P. CORPUS CHRISTI
25. Realiza:                                                                            2 m +3.4 m + 2 n
                                           m −1                               29.
       24 m − 12 m + 15 m                                                             9 m − 2 .16 n + 2
       4m              m 
       2 − 2 + 10 
                3m
                                                                                    a) 1              b) 2               c) 3            d) -2                 e) -1
                                                                                        1
   a) 3                 b) 2             c) 2/3        d) 1,5     e) ½              −       1
                                                                              30.       2
                                                                                            2
26. Resuelve:                                                                       a) 3               b) 4               c) 2                d) ½              e) -1/2

             6(6) a + 4(4) a                                                                 5 n −1 + 2 n −1
      a +1                                                                    31.    n −1
             3(3) a + 2(2) a                                                                 51− n + 21− n
  a) -2             b) 2             c) 1          d) ½     e) N.A.
                                                                                    a) 8              b) 10              c) 12                d) 14            e) N.A.

          a nbn + a ncn + bncn
27.   n
             a −n + b −n + c −n                                               32.    a
                                                                                            x a x 2a x 8a
  a) ab             b) ac            c) bc         d) abc       e) N.A.             a) x2 b) x3                          c) x4            d) x5                 e) N.A.


                        −4 −0.5
28.          − 27 − 9                                                         33. Calcula:
       8
                                                                                                     2 7 3    2 7
      a) 2          b) -2           c) ½          d) -1/2       e) N.A.              3      1+           + 1−
                                                                                                     3 3      3 3
                                                                                    a) 2               b) 3               c) 4                d) 1              e) -1

                                                        PRÁCTICA DOMICILIARIA


1. Resuelve:                                                                                    5                −7                  7                5
                                                                                    a) −                b)                  c)                d)        e) -7
                2 x +2 + 2 x +3                                                                 7                5                   5                7
      E=
                     2 x+2
                                                                              5. Reduce:
      a) 3          b) 4           c) 2x+3        d) 12     e) N.A.

                                                                                                 [           ]
                                                                                                                                               n

                                                                                    M = (x              )
                                                                                                       n m
                                                                                                           1 / mm               1                ( n +1)
                                                                                                                         −  x1 +                           + n x 2n
2. Simplifica:                                                                                                                  n
         5.2 n + 2 − 2 n − 4 − 6.2 n −1                                             a) x             b) x2              c) 0          d) 1               e) -1
      E=
                     2 n −1
                                                                              6. Resuelve:
      a) 1          b) 2          c) 4      d) 0       e) N.A.
                                                                                                                                                              −2 −1
                                                                                         8  −1  10  − 2  2  −3 
                                                                                    E =   +        
                                                                                                   10  +  3  
3. Simplifica:                                                                           21                 
                                                                                                                   
                3.2 −1 + 2.3 −1
      Q=                                                                            a) 4             b) ½               c) 2         d) ¼               e) N.A.
                3.2 −1 − 2 x3 −1
                                          13           13          5          7. Simplifica:
      a) 13             b) 15        c)           d)        e)
                                           6            5         13                            a −b               −1
                                                                                                       x ( a −c ) . b − a x ( b −c )
                                                                                                                                         −1


4. Reduce:                                                                          E=                                          −1
                                                                                                            c −a
                        n −1      n −2                                                                             x ( b −c )
                2.3 + 3
      E=                                                                            a) xab              b) 1              c) xac              d) xa            e) xb
                3 n − 2 − 6.3 n −3
Ecuación                                                                                                                              Segundo Año

8. Reduce:
                                                                                                                                               ( 13 )   −1− 2



               [                          ]                                                        1                               1 1
                                                                                                                           2/3

                                                                  (a )
                                                   m /( m + n )
                                                                             a−a
    Q =  n am                      an 
                                       n
                                                                                              E =                                    + 
                           −m                                           aa
                                                                                                                                 .3
        
                                        
                                                                                                   ( xy ) −1 / 2 
                                                                                                                                     x y
    a) a               b) an                  c) am               d) 1             e) 0
                                                                                                                                        
                                                                                             Sabiendo que: x+y=-1
9. Reduce:                                                                                  a) 1      b) -1         c) 8         d) 0     e) N.A.
                                              − 2
                                                                                          16. Calcula:
    A =  2 .2 − 2 2 
            2

                    
                                                                                                  2 m + 3.4 m + 2 n
                                                                                              E=
    a) 2           b) ¼                 c) 0              d) 1               e) N.A.                8 m − 2 .16 n + 2
                                                                                            a) 1     b) 2               c) 4          d) 8        e) 2.21/2
10. Resuelve:
                                                                                          17. Simplifica:
    n
        xn. xn                      −1 13
    6
         −n 3          n
                           .( x )                                                             x −1 + y −1
        x . x
                                                                                               x −1 . y −1
    a) x-n          b) xn                 c) x            d) 1                e) N.A.
                                                                                            a) x-y       b) x+y c) y-x                d) –x –y           e) N.A.

11. Simplifica:
                                                                                          18. Calcula:
                   3 n −a + 2 n −1 n −1 2 n − a + 1
    E=     n −1                   +                                                                 2 n + 4 − 2(2 n )
                   31−n + 21− n         21− n + 1                                             Q=
                                                                                                        2(2 n + 3 )
    a) 6           b) 7             c) 8             d) 2               e) N.A.
                                                                                             a) 8/7      b) 7/16 c) 7/8                 d) -7/8          e) N.A

12. Simplifica:

           [
    Q = ( 64 )
                       −1 / 3
                                + (−32) −3 / 5             ]   −1 / 3                     19. Simplifica:

                                                                                                        6 n + 10 n + 15 n
    a) 2           b) 4             c) 6             d) 0               e) N.A.               M =n
                                                                                                        2 −n + 3 −n + 5 −n
                                                                                            a) 2           b) 3            c) 5          d) 6             e) 30
13. Reduce:

                   n n                                                                  20. Calcula:
                            n
                                n
                                   
           n
               n
                                                                                                          38 n .36
    E=
               (n n )
                   n
                           −n n                                                               E=n
                                                                                                       27 2 n +1 + 9 3n +1
    a) n           b) n2             c) 2n                 d) n3              e) 1          a) 3      b) 9               c) 38          d) 1             e) 21/n
                                                                                          21. Simplifica:
                                     5
14. Halla “x” en:                     5        5
                                                                                             L = ab 3 a − 2 b −1 ab −1
                                          5 x = 5 25              5


    a) 125             b) 5             c)    5
                                                   125            d) 1         e) N.A.       a) 3     b) 6              c) ab           d) 1       e) N.A.


15. Calcula el valor de la séte. Expresión:                                               22. Calcula el valor de M, si:
                                                                                                     4 n + 3 − 4(4 n )
                                                                                              M=
                                                                                                         4(4 n −1 )
                                                                                            a) 32      b) 48             c) 60        d) 64        e) N.A.




Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
9
TEMA Nº 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICAS
Capacidades:
     Reconoce y clasifica una expresión algebraica.
     Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo.
     Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente.
     Resuelve problemas con expresiones algebraicas.
Exploración y Desequilibrio:

I.        “Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo.
      Ejemplos:
      1) 2 + 4 = 6                    3) 3 + 4 =
      2) -3 – 7 = -10                         4) -13 – 9 =
II.       “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se coloca el signo del
          mayor”.
      Ejemplos:
      1) 3 – 2 = +1                   3) 7 – 5 =
      2) -4 + 2= -2                   4) -13 + 8=
Desarrollo del Tema:

1. TÉRMINO ALGEBRAICO
      CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la
      multiplicación, dichas partes son:

      Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa
      generalmente mediante números reales.
      Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3

      Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…)
      Ejemplo: x2, xyz, x5y7
      La unión de dichas partes origina el Término Algebraico.
      Así:
                                                                            Parte variable


                                                                                    Exponentes



                                                     − 2x 5 y 4
                                                                                    Bases


                                                                            Parte constante
Expresiones Algebraicas                                                                         Primer Año

ACTIVIDAD

     Término                           Parte              Parte               Bases           Exponentes
   Algebraico                    Constante              Variable
-3xy
4xyz
-3abc
7
m2n3
-4abc3
-x5
-4
4xyzt4
-3x2z3

2. TÉRMINOS SEMEJANTES
     Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable.
     Ejemplo:
     3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable.
     * 4x3y4                 ; -x3y4                 ………………       son semejantes
        5   3        5   3
     * x y ; 7x y                             ………………      son semejantes
     * -a3b4                 ; -3b4a3                ………………       son semejantes
     OBSERVACIÓN:
     Un término algebraico NO puede tener como exponente a:
     a) Números irracionales:
        Ejemplos:
                 3
        1) 4 x       y 4z 5                ……………        no es término algebraico

        2) 2 xy3 z       2
                             2             ……………        no es término algebraico

     b) Letras:
        Ejemplos:
        1) -xxyyzz                         ……………        no es término algebraico
                 2   3 a
        2) -2x y z                         ……………        no es término algebraico


                                                   PRÁCTICA DOMICILIARIA

1. Relacionar los términos         semejantes:
   I) abc           (              ) 7x
   II) 4x3y5z6                     (      ) 2nma
   III) -3x         (              ) cba                          3. Colocar verdadero (V) o (F) según
   IV) amn                         (      ) -x3z6y5                  corresponda:
                                                                      I) En un término algebraico los      ( )
                                                                      exponentes no pueden ser
                                                                      números irracionales.                ( )
2. Son términos semejantes:                                           II) Es un término algebraico 3xxy3z.
   I) ab; -a2b3   II) 7xy; 4y2z                                       III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos ( )
   III) 7,x       IV) abc; -3cba                                      semejantes.
   a) I           b) II          c) III
   d) IV e) N.A.                                                  4. Completar:

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
11
Los coeficientes:
 Término              Parte               Parte      Término        a) 9 y 3 b) 9 y 3       c) 9 y 4
Algebraico          Constante            Variable   Semejante       d) -9 y 4         e) N.A.
 1 5
−  x y                                                          13. Si: t1= 3x4y53    y t2 =-2xayb+2zc+1
 2
                                                                    Son semejantes:
− 7 xz                                                              Calcular: A = a + b + c
Abc                                                                 a) 10 b) 9              c) 8
7                                                                   d) 7    e) 6
-x4z5
                                                                14. Si los términos semejantes presentan iguales
 5. Si: t1 =13x     7
                           t2 = 2x   a                              coeficientes
                                                                    (b + 3)xbyc+3   ; 10xby5
        Calcular:       4a − 3                                      Calcular la suma de los exponentes:
    a) 1   b) 2           c) 3                                      a) 13 b) 12             c) 11
    d) 4   e) 5                                                     d) 10 e) 9
 6. Dado los términos semejantes:
        3a2m+4 ; − 3a12                                         15. Dados los términos semejantes:
        Calcular: m + 1                                             3xa+4yb+3zc+2  ; -2xb+4yc+3z8
        a) 1    b) 2                     c) 3                                        a+b+c
                                                                    Calcular: A =
        d) 4    e) 5                                                                   3
                                                                    a) 7    b) 6              c) 5
 7. Si los siguientes términos son semejantes:                      d) 4    e) 3
    5xa+4y7 ; -3x5y3+b
    Calcular: B = a + b + 4
                                                                16. Verificar si las siguientes expresiones son
        a) 1    b) 2                     c) 3                       términos semejantes:
        d) 4    e) 5                                                  a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . (        )
 8. Dados los términos semejantes:
                                                                      b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .(         )
    3xa+5yb+7       ;     -x7ya+2b                                    c) 2ab , 6bc , 4ac       . . . . . . . .(     )
    Calcular: R = a.b                                                 d) x y ; 3x y
                                                                            2 3      4 2
                                                                                            .........(             )
    a) 10 b) 9            c) 8                                        e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( )
    d) 7     e) 6                                                     f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . (      )
                                                                      g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . (     )
 9. Dados los términos semejantes:                              17. Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son
    t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5                                semejantes. Halla el valor de “m+n”:
    Calcular: La suma de coeficientes                                   a) 4        b) 8       c) 12           d) 16
    a) 1    b) 2           c) 3
    d) 4    e) 5
                                                                18. Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4          son
 10. Indicar los coeficientes de los términos
                                                                    semejantes. Entonces (a+b) es:
     semejantes siguientes:
                                                                       a) 5       b) 6      c) 7   d) 8
     -2axa+by5 ; 12bx8yb+4
     a) -14 y 12    b) 14 y 12
     c) 4 y -12             d) -4 y -12 e) N.A.
                                                                19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos
 11. Dados los términos algebraicos semejantes:                     semejantes. Calcular: t1 + t2
     (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2                                   a) 7        b) 6       c) 8         d) 9
     Calcular: a + b
        a) 1    b) 2                     c) 3                   20. Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n;
        d) 4    e) 5                                            t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de
                                                                    “m - n”:
 12. Calcular de los términos semejantes:                               a) 5         b) 3      c) 2     d) 8
     (b+4)x7 ; (2 – b)xb+2



 RECORDANDO:
Expresiones Algebraicas                                                                       Primer Año

Como ya sabemos un término algebraico consta de:
Parte constante                      Números
Parte variable                       Letras

Nota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.
Así: 2x + 4x – 3x + 5x                         Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5c
Se reduce: 8x                                  Queda: …………………………………

MAYOR O IGUAL A 2
Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes se
denomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Por ejemplo:
Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda:
5b – a + 5c             Expresión algebraica de 3 términos
-x + y + z              Expresión…………………………………………
     3        4
-x – y                  Expresión…………………………………………
Si:
3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados)

5x       3
             + x 3 + 14 x 3 + 3       (No es porque los exponentes de las variables no pueden ser
x4 + 2 + 4y                           números irracionales o letras)


Entonces ahora completa el siguiente cuadro:
          Expresión                            Si es expresión algebraica       No es expresión algebraica
2x3y4 + 5xy
−x       3
             + x3 − 4
x + x6 + x7 + …
 5


     x +3 x +4
3 + 2x
…… + x3 – x2 + 4x
3x + 4x + 5x
x 5y         4
                  + 2x + y
5x2 + 5y3 + 5z4

                                               PRÁCTICA DE CLASE


I. Reducir:                                                    7. –{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-
1. 4x + 2x – 3x + 4x                                               (5a+b)]]]}
2. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x                                 8. –{(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)-
3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2                      (3xy2+6xy2)]}
4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz                       9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +
5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz                          x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 +

6. –{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]}                         6z2x3y4




Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
13
10. Indicar         cuántos            términos        tiene           la     13. Reducir si los términos son semejantes:
   expresión luego de reducir:                                                       (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b – 4)xa+3 – bxc+4
   -{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b                                           a) 10x7              b) 9x7          c) 8x7
   +2a – (a-b)]]]]]}                                                                 d) 7x7      e) 6x7
   a) 1       b) 2             c) 0
   d) 3       e) N.A.                                                         14. Dados         los      términos         semejantes
                                                                                    (reducir)
11. Reducir los términos semejantes                                                  axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x
    (c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2                                                      a) 7x       b) 2x          c) 3x
              3            3                    4
    a) 8x b) 3x                          c) 8x                                       d) 4x       e) 5x
              4                4
    d) 4x            e) 16x
                                                                              15. Si     los     siguientes        son      términos
12. Reducir los términos semejantes                                                 semejantes:
                   a+b                 c+d                 e+f        3
    (a+b)x               + (c+d)x            + (e+f)x            +x                  (a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5
    a) 10x3                        b) 3x3              c) 4x5                        Reducirlos:
              10
    d) 3x                e) 10x                                                      a) 13x5              b) 14x5          c) 15x5
                                                                                     d) 7x5     e) x5


                                                    PRÁCTICA DOMICILIARIA


I. Reducir:                                                                         a) 3 términos            d) 0
1. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2                                                           b) 2 términos            e) N.A.
2. 2xy + 4xy + 5xy – 10xy                                                           c) 1 término

3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3
                                                                              11. Reducir los términos semejantes:
4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 +
                                                                                    (2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4
   2a3b4c5 10c3a4b5
                                                                                    a) 7x4 b) 8x4            c) 9x4
5. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 +
                                                                                    d) 10x4           e) N.A.
   7x2y4a3 – x3y2a4
6. –{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}}
                                                                              12. Reducir los términos semejantes:
7. –{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}}
                                                                                    (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x4
8. –{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y-
                                                                                    a) 12x4           b) 16x4           c) 17x4
   xy2)]}
                                                                                    d) 20x4           e) N.A.
9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x
    2   3 4          Z 3   4       2   3 4       2 3   4         2 3      4
                                                                              13. Al reducer los términos semejantes:
   + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 +
                                                                                    mxm + nxn + pxq + qxq + x7
   z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4
                                                                                    queda:
                                                                                    a) 29x7           b) 30x7           c) 28x7
                                                                                    d) 26x7           e) N.A.
10. Luego de reducir:
   -{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a –
                                                                              14.      Luego     de      reducir    los     términos
   {a – b}+{+b}c} – a}
                                                                                    semejantes:
   La expresión tiene:
                                                                                    (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
Expresiones Algebraicas                                                           Primer Año

     a) 5x3y4      b) 3x3y4      c) 7x3y4             a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a –
          3   4
     d) 6x y       e) N.A.                            b)}}}
                                                      a) a         b) 2b – c    c) a + b
15. Reducir:                                          d) a + b + c    e) N.A.



                                        VALOR NUMÉRICO

El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variable
o variables toman un determinado “VALOR”.
Ejemplo:
I CASO:
P(x)= 2x+3           Q(x)=5x – 3          R(x)= 2x + 5
P(2)= 2(2) + 3       Q(1)=5(1) – 3        R(1)=
P(2)= 7              Q(1)=2               R(2)=
P(3)=2(3) + 3        Q(2)=5(2) – 3        R(0)=
    = 09             Q(2)=7


II CASO: Si P(x)=2x+3
 P(a)= 2a + 3     P(x+3)=2(x+3) + 3            P(x)=2x – 5
  P(b)= 2b + 3     P(x+3)=2x + 6 + 3            P(a)=
                   P(x+3)=2x + 9                P(x+3)=

III CASO: Si P(x) = 2x+3
Calcular: A=P (P (P (3)))

¿CÓMO?
Se empieza por adentro, es decir:               A = P (P (P (3) ) )

                                                       2(3) + 3
         A = P (P (9) )

             2(9) + 3
                 21
         A = 2(21) + 3
         A = 45

IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5
Calcular:    P(Q(x)) + 3            (Pero Q(x) = 3x+5)
             P(Q(x)) = 2(3x+5)+3
             P(Q(x)) = 6x + 10 + 3               AHORA CALCULA :
             P(Q(x)) = 6x + 13                   Q(P(x)) = ?




                                       PRÁCTICA DE CLASE

     1) Hallar el valor numérico de:                         P(x,y)=3x + 2y – xy
        x=1; y=2; z=3de los siguientes                       P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z
     polinomios:                                             P(x)=3(x+2)(x-3)
         P(x)=2x + 5                                        P(x,y)= 2x(x+1)(y-2)

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
15
A) 0        B) 3                   C) 5
2) Si: P(x)=2x-4
   Calcular: A=P(1) + P(2)                                               D) 2        E) 4

3) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y                                       15) Dado: F ( m 3 − 1) = m + 5
   Calcular: A=P(2,3) + P(0,1)
                                                                            Calcular z en:
                                                                            F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1)
4) Si: P(x)=3x + 5
                                                                         A) 3        B) -1                  C) 0
     Calcular: M=P(a+2) – P(a-2)
                                                                         D) 2        E) -2
5) Si:P(x)=2x – 1
                                                                 16)Calcular: “A”
   Calcular: A=P (P(P(O)))
                                                                  Si: M(x) = 4x
6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3                                               M(1) + M(2)
                                                                   A=
   Calcular: A=P(R(2))                                                         M (4)
7) Si: P(x)=3x+5                                                 17) Dada la expresión:
   Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2
                                                                                  1
   Calcular: A=P(Q(R(O)))                                            P( x ) =           ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ; calcular
                                                                              x( x − 1)
8) Si: L(x + 3) = x2 + x − 1                                         P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5)
    Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4)
                                                                         4                     3            2
                                                                     A)                   B)             C)
9) Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 +                           5                     5            5
     1                                                                   1                     7
          Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0)                            D)                   E)
                                                                         5                     5
10) Sea: M(3x − 2) = 5x − 9
    Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13)                             18) Si :         P( x ) = n; n ∈ R ;          Calcular:

                                                                 R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 )
11) Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2
    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1                                    A) n                 B) 2n                C) 10n
   Calcular el valor de:                                                    D) 15n              E) 55n
   a) Q[P(2,1)]
   b) P[Q(1); Q(2)]                                              19) De la expresión :
                                                                           x +1
                                                                                  =x         − 2 x1998 + 4
                                                                                         1999
                                                                        P
12) Sea: P( x −1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6)                           x −1 
                                                                         Calcular el valor de: P ( 3)
                                                                                                      P ( −1)
         A) 4x + 3  B) 4x + 8              C) 4x - 8
         D) 4x + 10 E) NA.                                              A) 256                B) 16              C) 128
                                                                        D)4                   E) 23
13) Indicar el valor de a; b en ese orden, si:
    P( x ) = 3x a −1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b−1 se reduce a                    x
                                                                 20) Sea: P  = x − 125 x + 3 x + 2 ;
                                                                                  20      17
     un solo término.
                                                                                 5
                           y +1      x +1                        calcular P(1)
14) Sea: P( x; y ) = x           + y
                                       y +1 ;
                                                                     A) 17                   B) 20              C) 30
                           x +1          
                                                                      D) 50                   E) 80
                    33 41 
     Calcular P       ; 
                    41 33 



                                           PRÁCTICA DOMICILIARIA
Expresiones Algebraicas                                                                          Primer Año

1. Calcular el valor numérico de polinomios       Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10
     para x=2; y=3; z=1                       12. Si: P(x) = 2x + 4
        P(x)=3x – 4                              Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )
        P(x,y)=2x+3y-2
        P(x,y,a)=x + y + z – 6               13. Si: P(x) = 2x – 1                       Q(x) = x + 3
        P(x)= (4 – x)(x -2)                      Calcular: P(Q(x))
        P(x,y)=(x+2)(y-3)
        P(x,y,z)=(x – 1)(y-2)(z-3)           14. Si: P(x) = x + 5                                Q(x) = x +
                                                  2
2. Si: P(x)=2x + 8                                Calcular: P(Q(x))
         Calcular: A=P(a) + P(a-1)            15. Dado:        p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x − 13 ;
3. Si: P(x,y)=5xy+x-y                             calcular el valor de p ( p ( 4 ) )

         Calcular: P(1,2) + P(2,0)                      A) -24                          B) -21      C) -12
                                                        D) 11                           E) 34
4. Si: P(x)=x + 2
         Calcular: A=P(P(P(3)))                             P x  = x 20 − 8 x17 + 3x + 2 ;
                                              16. Sea:          
                                                               2
5. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1
                                                        Calcular P( 1)
          Calcular: A=P(R(2))
                                                         A) 17                  B) 20            C) 30

6. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2                               D) 50                 E) 8
          Calcular: A=P(R(x))
                                              17. Si: P(x) = x + 3x + 4   2



                                                  Calcular: P(2) + P(3)
7. Del problema anterior
                                              18. P(x) = 2x + 4
     Calcular: B=R(P(x))
                                                  A = P ( P ( P ( P (2))))

8. Si: P(x)=3x+4
                                              19. Si: Q(x) = x + 5                      P(x)=x+3
     Calcular: M=P(P(x))
                                                  Calcular: P( Q (x) )
                                              20. A(x) = 2x + 4
9. Calcular: P(P(P(2)))
                                                  Calcular: A ( R ( x ) )
        Si: P(x)=2x – 1
10. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4
                                              21. Si:    P( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3x − 2 ; calcular
                M(0) + M (2)
      Si: A =
                   M(1)
                                                               P ( 1) P ( 2 )
                                                  P( 0)
                                                        A) 2                            B) -2       C) 4
11. Calcular: P(7)                                      D) 5                            E) 0


Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
17
2º álgebra
Polinomios                                                                                 Segundo Año

                                TEMA Nº 03: P O L I N O M I O S
Capacidades:
   Reconoce un polinomio.
   Diferencia entre monomio y polinomio,
   Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios.
   Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa.
   Resuelve problemas con polinomios.


Desarrollo del Tema:
Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables son
números naturales.



                                   P( x , y) ≡ 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4
                                                                                 Término
                                               Variables                         Independiente
1. MONOMIO
    Cuando se refiere a un solo término.
    Ejemplo:

                                      M ( x , y, z ) ≡ 4 x 3 y 4 z 5

                                                                          Parte Variable
                                                                 Parte constante (Coeficiente)


    a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión
       Ejemplo: Sea:
                                                M(x,y) = 135x4y3
       GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x”
       GR(x) : 4 (exponente de x)
       GR(y) : 3 (exponente de y)


    b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables.
       Ejemplo:
                                       M(x,y) = 135x4y3
                                       GA = 4 + 3
                                                           Exponente de variable x
                                                       Exponente de variable y
                                       GA = 7
ACTIVIDAD:
                                  COMPLETA EL CUADRO

                   Parte
Monomio                          Parte
                 Constante                      GA         GR(x)          GR(y)      GR(z)
M(x,y,z)                       Variable
             (Coeficiente)
  39x3y
   -4
 − 3x 4 z
 5x2yz3
  18z
 -4x5y4
   8

2. POLINOMIO
  Es la agrupación por adición de monomios no semejantes.
  Ejemplo:

                             P( x; y) ≡ 2 xy 3 + 4 y 4 − 3x + 2

                                                                          Término
                                                                          Independiente
                                              Polinomio de 4 términos
             4     3   2
  P(x) = 4x + x – x + 2x + 3                  Polinomio de ___________________
             2
  P(y) = ax + bx + c                  Polinomio de ___________________
  P(x; y) = x + y                             Polinomio de ___________________


  a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada
      monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el
      polinomio.
                                  P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 +              2xy2

                                           GR(x)=3      GR(x)=5     GR(X)=1
                                           GR(y)=4      GR(y)=3     GR(y)=2

      Entonces: GR(x) = 5         GR(y) = 4
      AHORA TÚ:
      P(x,y)≡ 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y
      GR(x) :                    GR(y) =

  b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se
      toma el mayor:
                                  P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 +              2xy2

                                               GA=7       GA=8          GA=3
                                  ⇒ GA=8
      ¡AHORA TU!
Polinomios                                                                        Segundo Año

                                          P(x,y) ≡ 3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y
                                          GA =
ACTIVIDAD:
                                                 COMPLETAR
Polinomio P(x, y, z)                 GA              GR(x)                GR(y)     GR(z)
x6 + xy + x3y4z
x+y+z
zxy + x2y3 + 4
a + abx + bx2
3x3 + 4y4
-x3y4 + x5 + y8
4z3 + 4z – 3


   c) Cálculo de Grados en Operaciones
      1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
      Ejemplo:         Si P(x) es de grado: a
                       Si Q(x) es de grado: b
      tal que: a > b
      ⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a


      2. En la multiplicación los grados se suman
      Ejemplo:         (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)
      Resolución:
      ⇒ Grado: 6 + 9 = 15


      3. En la división los grados se restan

                       xy 8 − x 3 y 3 + x 7
      Ejemplo:
                       x 4z − y 3 + x 3y 3

      Resolución:
      ⇒ Grado: 9 – 6 = 3


      4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente
      Ejemplo:         (x3y – x2y6 + z9)10
      Resolución:
      ⇒ Grado: 9 . 10 = 90


      5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.

      Ejemplo:         3   xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12

      Resolución.
                 12
      ⇒ Grado       =4
                  3

   Propiedad:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado
   aumentado en uno. Es decir:
   Número de términos = Grado + 1
   Ejemplo:
   P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
   Como es completo:
   Número de términos = 6

                                                     PRÁCTICA DE CLASE

1. Dado el monomio:                                                                 a+b+c
                                                                   Calcular: A =
    M(x,y) = -3abxa+3yb                                                               7
    De GR(x) = 7 y GA = 10                                         a) 5      b) 4        c)3
    Calcular: El coeficiente                                       d) 2      e) 1
    a) -36       b) 36                              c) 12
    d) -12       e) N.A.                                       6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio:
                                                                   P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+2
2. Si el siguiente monomio:                                        Calcular: A = a + b
                       a+1     b+2 4
    M(x,y,z) = -4x           y       z                             a) 1      b) 2        c) 3
    Es de GA=14 y GR(y) = GR(z)                                    d) 4     e) N.A.
    Calcular: “a . b”
    a) 15      b) 10                  c) 5                     7. Dado el polinomio:
    d) 3       e) 6                                                P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab
                                                                   Si: GR(x) = 7     GR(y) = 6
3. Si el monomio:                                                  Calcular el término independiente:
                         x+2         y+5
    M(a; b) = -4xya              b                                 a) 5       b) 6       c) 7
    Donde GR(a) = 5                   GR(b) = 7                    d) 12      e) N.A.
    Calcular: “El coeficiente”
    a) 24           b) -24 c) 25                               8. Si:
    d) 26        e) 12                                             P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc
                                                                   Es de GR(x) = 14      GR(y)=6
4. Si en el monomio:                                               Calcular la suma de coeficientes:
                           2     3    a+3 b+2   6
    M(w, t, ψ) = -2a b w                   t    ψ                  a) 3       b) 4       c) 5
    El GA = 17         y         GR(w) = 5                         d) 7       e) N.A.
    Calcular: “El Coeficiente”
    a) 512       b) 251                    c) -512             9. Si:
    d) 251       e) 521                                            P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc
                                                                   Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5       GR(z)=3
                                      GR (z) GR ( y)               Calcular el grado absoluto.
5. Si GA = 15 GR(x) =                       =        =2
                                        2      3
    De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3
                                                               10. Dado el polinomio:
Polinomios                                                                                             Segundo Año

     P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a                              P( x; y ) = x m + 2 n y 7 − n + x m + n y 10− n + x m+ 3n y 9− n
     Calcular el término independiente si
                                                                 , además: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el
     GA=8
                                                                 grado absoluto.

11. Determine el grado del polinomio                                  A) 25               B) 26              C) 27

       P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x10 + 10 )
                                                                      D) 28              E) 29

           A) 45       B) 36                 C) 55
                                                                 15. Sea:     P( x; y ) = x 2 n −3 y 2 n +5 ,   donde      el

           D) 21       E) 28                                         grado relativo con respecto a “x” es 7.
                                                                     Calcular el grado absoluto de la expresión:
12. En el siguiente polinomio ordenado y                              A) 22               B) 30              C) 35
   completo de grado 2 :                                              D) 25              E) 28

    P( x ) = x a + 2 x a −b + 3                                  16. Determine el grado del polinomio

           Calcular:   a2 − b2                                       P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x 8 + 8)
           A) 3                      B) -1            C) 0            A) 45               B) 36              C) 15
               D) 1                  E) 2                             D) 21               E) 28


13. Sea:                                                         17. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ?
    P ( x ) = 3ax a +5 + 5ax a + 6 + 2ax a +8 .                        P( x ) = x 2 n + x 2 n −1 + x 2 n −2 + ... + x 2 + x + 1
   Un polinomio de grado 17. señale la suma de                        A)2n                B)2n + 1           C) 3n
   sus coeficientes.                                                  D) 2n - 1                    E) n
     A) 20               B) 60                C) 70
     D) 80               E) 90
                                                                 18. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ?

                                                                      P( x ) = x 2 n −1 + x 2 n − 2 + x 2 n −3 + ... + x 2 + x + 1
14. Dado el polinomio:
                                                                      A)2n                B)2n+1             C) 3n
                                                                      D) 2n - 1                    E) n


                                             PRÁCTICA DOMICILIARIA


1. Dado en el monomio.                                                GA=12               GR(x) =         GR(y)
                         a   b
     M(x,y) = 4abx y                                                  Calcular: m . P
     Si. GR(x) = 2 GA=7                                               a) 12         b) 13          c) 14
     Calcular: “El coeficiente”                                       d) 15         e) 16
     a) 10         b) 20             c) 30
     d) 40         e) 50
                                                                 3. Si en el monomio:
                                                                      M(ψ, θ) = 2xyψx+4θy+2
2. En el siguiente monomio:                                           Donde: GR(ψ)= 7              GR(θ)=5
                        m+1      p+2 2
     M(x,y,z) = 3x            y    z                                  Calcular el coeficiente:
a) 18       b) 19                   c) 20                       P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3
    d) 21       e) 24                                               Si el GA=7                      Además: a – b=2
                                                                                                b
                                                                    Calcular: A = a
4. Si en el monomio:                                                a) 1              b) 2                  c) 3
                        2    3 4    a+5   b+4 c+3
    M(x,y,z) = 2a b c x                   y     z                   d) 4              e) 5
    Si: GA=15           GR(x)=6                 GR(z)=4
    Calcular el coeficiente:                                   11. En el polinomio :
    a) 2        b) 4                    c) 5                    P( x , y ) = ax 2 y 3 − bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y)
    d) 16       e) 14
                                                                    Indicar la suma de los coeficientes.
                                                                      A) 13              B) 11           C)
                                        GR ( x )                    12
5. Si: GA=24        GR(y) =
                                          5                              D) 9                          E) 8
                  a+b       a-b
    M(x,y)= 2x        y
                                                               12. Determine el grado del polinomio
    Calcular: a . b
    a) 96       b) 108                  c) 64                                           (              )(
                                                                    P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7  ) (             )
    d) 25       e) 15                                               A) 45                   B) 36                  C) 15
                                                                    D) 21                   E) 28
6. Si: P(x) = x a+4
                        +x        a+3
                                        +x    a-4
                                                     ;GA=7

    Calcular:     3a                                           13. Si al polinomio:
    a) 3        b) 4                    c) 5                        P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8
    d) 6        e) 7
                                                                   le restamos       10 x 3 y 4 , su grado absoluto
7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2                     disminuye ¿Cuánto vale el menor de los
    GR(x) =5            GR(y) = 3                                  grados relativos?
    Calcular el GA                                                        A) 3                         B) -1               C) 0
    a) 1        b) 2                    c) 3                                  D) 4                     E) 2
    d) 4        e) 6
                                                               14. Si:

8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4                                                   n                              m
                                                                    P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m               −1
    Es de GA=5
    Calcular la suma de coeficientes:                              se reduce a un monomio:
    a) 14       b) 15                   c) 16                      Calcular GA de:
    d) 17       e) 18                                                                                        2
                                                                   M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m
9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc                        A) 10                   B) 8                   C) 6
                                                                    D) 4                    E) 2
    GR(x) = 4           GR(y)=5                     GR(z)= 3
    Calcular el grado absoluto
                                                               15. Si el polinomio completo es de (4 + a)
    a) 1        b) 14                   c) 12
                                                                   términos.
    d) 10       e) 11
                                                                   P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a − 1) x 2 a −1 + ( 2a − 2) x 2 x − 2 + ....
                                                                   Calcular el valor de “a”
10. Dado el polinomio:
                                                                    A) 1           B)4                             C)2
Polinomios                                                                                      Segundo Año

    D)3               E) 5                                      P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a
                                                               Calcular “a”, si se cumple que la suma
                                                               de coeficientes es igual a su termino
                                                               independiente incrementado en 76.
16. En el polinomio:
                                                                A) 1            B)4          C)2
                                                                D)3                E) 5



                                         POLINOMIOS ESPECIALES
POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
P(x,y) = 4x3y4 - 3x7          +   2xy6   -   x5y2

          GA=7      GA=7          GA=7       GA=7

P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7

    3+5 =        a       +   2 = b + 7


            a =       6

                    b = 1

POLINOMIOS IDÉNTICOS
Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.
Ejemplo:
P(x)= (x + 1)2              Q(x)=x2 + 2x + 1
P(O)= Q(O)=1
P(1) Q(1) = 4              P(x) y Q(x) son idénticos.

Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.
Ejemplo:
P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico  Q(x)=Ax2 +5x – B


                                     A=4
                                                    B=3


NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo.
Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).
P(x) = Ox2 + Ox + O
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0

Así, sí tenemos:
Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.

Entonces: A = 2; B = 3; C = 2

¡¡AHORA TÚ!!
Si son idénticos:


     P(x) = Ax2       + (B + 3)x + C + 2            con   Q(x)= 2x2 + 5x + 3
Entonces:
     A=                          B=                                     C=


AHORA:
Si: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14
Es idénticamente nulo:
a=                         c=

   b=                            d=

POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el
menor.
Ejemplo:
P(x) ≡ 5x3 + 2x – 4x2 + 7
OJO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7)
 P(x) = 2x + 3                              ………………………               Es polinomio completo.
 P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3               ………………………               Es polinomio completo.
 P(x) = x – 2x + 5x – 4
             4      3
                                             ………………………               Es polinomio completo.


POLINOMIO ORDENADO
Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.


Ejemplo:
 P(x) = x2 + 2x3 – x5         (Polinomio ordenado en forma ascendente)
 P(x) = x7 – 4x + 3           (Polinomio ordenado en forma descendente)
 P(x) = x – x + x
             17    25     50
                               (Polinomio ………………. en forma ……………………………)
 P(x) = 14x – 2               (Polinomio ………………. en forma ……………………………)

Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.
 P(x,y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4                      (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a
    “x”)
 P(x,y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4                     (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a
    “y”)

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO
Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.
Ejemplo:
 P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3                      (Observemos que es completo porque presenta
                                                  todos los exponentes de “x” y además están
                                                  ordenados en forma descendente).
 P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
Polinomios                                                               Segundo Año




                       AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA)


   Polinomio              Ordenado            Completo       Completo y Ordenado
                   Ascendente Descendente                  Ascendente Descendente
P(x)=4x2+5-3x
P(x)=x7 + x + 6
P(x)=5x2-3x+2
P(x)=x1000-x10+1
P(x)=1+2x+x2-x3
P(x)=4x5-x+5
P(x)=x102-x101-2


                                 PRÁCTICA DE CLASE

1. Dado el polinomio homogéneo                8. Dados los polinomios idénticos:
   P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 – xby8                   P(x) = 4x2 + bx + 7
   Calcular: (a + b)                             Q(x) = cx2 + 3x + 7
   a) 13    b) 14 c) 15     d) 16     e) 17      R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a
                                                 Calcular: a + b + c+ d
2. Dado el polinomio homogéneo:                  a) 1 b) 2      c) 3    d) 4   e) N.A
   P(x,y,z)=5xyz – x2ya + zb + xc
   Calcular: a + b + c                        9. Dado:
   a) 5 b) 6     c) 7 d) 8     e) 9              P(x)=(4 – a)x + 5c + d
                                                 Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x
3. Si el polinomio es homogéneo.                 Son idénticos:
   P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5                Calcule: a + c + d
   Calcular: a + b + d                           a) 4 b)5      c) 6   d) 7     e) N.A
   a) 1      b) 13   c) 6   d) 5 e) 8
                                              10. Si los siguientes polinomios son
4. Dado el polinomio homogéneo:                   idénticos:
   P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10          P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c
   Calcule la suma de coeficientes:                              m+n+p
   a) 10     b) 11   c) 12 d) 13 e) NA           Calcular: A =
                                                                 a+b+c
                                                 a) 1   b) 2     c) 3   d) 4   e) 5
5. Dado el polinomio homogéneo:
   P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y
                                              11. Dado el polinomio idénticamente nulo:
   Calcular la suma de coeficientes:
                                                  P(x)=(a – 2)x2 + bx + c + 3
   a) 30 b) 31     c) 32    d) 33 e)NA
                                                  Calcular: a . b . c
                                                  a) -1    b) 0       c) 1 d) 2  e)N.A.
6. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:
   P(x)=ax5+3x2 – 4
                                              12. Dado el polinomio idénticamente nulo:
   Q(x)=(2a – 3)x5 + (c+2)x2 + b
                                                  Q(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx – c
   Calcular: a + b + c
                                                  Calcular: a + b + c
   a) 0     b) 1    c) -1   d) 2   e) N.A.
                                                  a) -10 b) -11     c) -12
                                                  d) -13    e) N.A.
7. Si: R(x)=2x2 + 5x – 3
   Es idéntica con:
                                              13. Si el polinomio es nulo:
   S(x) = (a2 – 2)x2 + (b2 + 1)x + c              R(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4
   Calcular: a+b+c
                                                  Calcular: a . c . d
   a) -1 b) 0     c) 1    d) 2   e)N.A.           a) 1      b) 2    c) 16  d) 15 e)N.A.


                                              14. Dado el polinomio nulo:
P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x                     P(x)=axc-1+bxb+cxa
    Calcular: a + b + c                                      Calcular la suma de coeficientes.
    a) 1 b) 5      c) 9  d) 10 e)N.A                         a) 1          b) 4          c) 3
                                                             d) 2          e) N.A.
15. Si el siguiente polinomio es nulo:
    P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c              24. Si:
                m +n +p
                 2   2      2
    Calcular:                                          M ( x ) = x m −10 + 5 x m − n + 5 + 2 x p − n + 6
                 a+b+c
    a) 1     b) 2    c) 3       d) 4   e) N.A.        es completo y ordenado descendentemente,
                                                      calcular: m + n + p.
16. Calcular el valor de “a” en los siguientes            A) 38           B) 28      C) 26
    polinomios completos:                                 D) 25            E) 36
     P(x)=4xa+4x2 +3-2x
     Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4                                                                                 2
     R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1                   25. Calcular el valor de:                  a 33 +              , si el
                                                                                                         a 99
17. En el polinomio completo:                         polinomio:
       P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2
                                                       P( x ) = ( a + b − c − 10) x a + ( c − b + 9) x a
                                                                                              6                       9
                                                                                                                          Es
       Calcula la suma de coeficientes:
    a) 8 b) 9            c) 10                        idénticamente nulo.
    d) 11 e) N.A.                                         A) 1            B)4                                 C)2
                                                          D)3             E) 0
18. Dado el polinomio completo:
       P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp                    26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente
       Calcular: m + n + p                            polinomio                                               completo:
    a) 1 b) 6
    d) 4 e) N.A.
                         c) 5
                                                                        (   a           b
                                                                                            ) (
                                                       P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c +  b
                                                                                                                    ) (         )
                                                             A) 15                     B) 6                   C) 18
19. Ordenar en forma ascendente y                            D)12                      E) 9
    descendente los siguientes polinomios:
     P(x)= 25x5+3x7-2x+4                        27. Si el polinomio:
     R(x)= 1- x+x3-x7+2x2
     Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc
                                                                  (                )                     (
                                                     M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y)
                                                      es idénticamente nulo, calcula S.
                                                              d 2 9b 6a
20. Ordene   en    forma      ascendente y             S=        + 2 +
   descendente los siguientes polinomios                       b  e    c
   primero relativo a “x” t luego a “y”                      A) 15                     B) 16                  C) 18
    P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab                          D)13                      E) 9
    P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1-
      abc                                        28. Si el trinomio:

21. Dado    el    polinomio   completo       y
                                                       a
                                                           x a +b + b x b + c + c x a + c                es

    ordenado:                                         homogéneo, de grado 10. de que grado es el
       P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3
       Calcula la suma de coeficientes:
                                                      monomio : a           x b .b x c .c x a
       a) 1           b) 2         c)4                       A) 7                      B) 13                  C) 27
       d) 5           e) N.A.                                D) 33                     E) 30

22. Dado    el    polinomio   completo   y       29. Calcular  la suma de                         coeficientes            del
    ordenado:                                         polinomio homogéneo:
       P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab                Q( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3
       Calcule el término independiente.
       a) 4           b) 6         c)9                       A) 10                  B) 11                     C) 12
       d) 12          e) N.A.                                D) 13                 E) 14

23. Si el polinomio es completo y ordenado       30. Si la expresión:
   en forma ascendente.                                (a + b )  2 6
                                                                       x a −b − ab 4 x a +b + ( b − a ) x ,
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  • 1. Índice ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA Pág. T E M A 1 Teoria de exponentes................................................................................. 2 T E M A 2 Expresione algebraicas............................................................................... 10 T E M A 3 Polinomios................................................................................................. 18 T E M A 4 Operaciones con expresiones algebraicas.................................................... 30 T E M A 5 Productos Notables.................................................................................... 38 T E M A 6 Division Algebraica..................................................................................... 48 T E M A 7 Cocientes Notables..................................................................................... 63 T E M A 8 Factorización............................................................................................. 72 T E M A 9 Fracciones Algebraicas............................................................................... 85 T E M A 1 0 Relaciones Binarias.................................................................................... 100 T E M A 1 1 Teoria de Ecuaciones.................................................................................. 115 T E M A 1 2 Inecuaciones............................................................................................. 139 T E M A 1 3 Funciones.................................................................................................. 150 T E M A 1 4 Miscelaneas............................................................................................... 171
  • 2. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI TEMA N º 01: TEORÍA DE EXPONENTES Capacidades:  Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.  Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.  Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial. Desarrollo del Tema: POTENCIACIÓN Exponente (Base) = POTENCIA Ejemplos: 1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 veces 2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5 veces 3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 6 veces En general: an = a . a . a . a . … a “n” veces LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES 1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma base y como exponente la suma de los exponentes. Así: am . an = am+n Ejemplos: 1) x5 . x7 = x12 2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 = 3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
  • 3. Ecuación Segundo Año 2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma base, y como exponente la diferencia de los exponentes. am Así: n = a m−n a Ejemplos: x8 2 m +3 1) = x5 3) = 2 m−3 3 x x 12 5 x + 2 .5 x + 3 2) = 4) = x −3 5 2 x +1 3. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la unidad. Así: a0 = 1 ; donde: a ≠ 0 Ejemplos: 0 0 0 3 4 + 5 7 + 89 = = 0 1) 5 7 = 51 = 5 3) 90 2) 42 = 4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la misma expresión, pero con exponente positivo. 1 Así: a −n = , donde: a ≠ 0 an Ejemplos: −3 1 1 1) x = 3) = x3 x2 a2 2) 2-1 = 4) = b4 a −3 5) = b −5 5. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Así: (a.b)n = an . bn Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 3
  • 4. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: 1) (a . b)5 = a5 . b5 3) x4 y4 = 2) ( 3 x = ) 2 4) 3 x .2 x 6x = 6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. n a a Así:  = m ; b≠0 b b Ejemplos: 4 x x4 x7 1)   = 4  y 3) =   y y7 3  3 8n 2)   4) = 5 2n 7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. −n n a b bn Así:   =  = n b a a Ejemplos: −2 2 −2 −3 −4 5 2 4 1 1 1 1)   =  = 3)   +  +  = 2 5 25 2  3 5 −3 1 2)   = 5 8. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de exponentes. Así: (a ) m n = am n Ejemplos: ( ) 1) x 2 4 = x8 3) [( x ) ] 3 4 5 = 2) (x-3)-4 = 4) (x-2)5 = { } s OBSERVACIÓN:  ( a m ) n r  = a m.n .r . s    
  • 5. Ecuación Segundo Año 9. RAÍZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raíz de una potencia, se escribe la misma base y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el índice del radical. m Así: n am = a n Ejemplos: 10 1) 5 x 10 = x 5 = x2 3) X6 4 = 2) 3 4 X 48 = OBSERVACIÓN: m n s r a = mnrs a 10. EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario. m Así: a n = n am Ejemplos: 1 1) 8 3 =3 8=2 3) a3/5 2) 642/3 4) 1251/3 = 11. RAÍZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raíz de cada factor. Así: n ab = n a .n b Ejemplos: 1) 5 x 10 y 25 = 5 x 10 .5 y 25 = x 2 . y 5 3) 3 125.212 = 2) 7 xy = 4) 5 32.243 = 12. RAÍZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raíz del numerador y del denominador. a na Así: n = b nb Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 5
  • 6. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: x 20 5 x 20 x4 16 1) 5 = = 2) 4 = y 35 5 y 35 y7 625 13. INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical. Así: a p n b = n a pn b Ejemplos: 1) x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y 4) 23 5 = 2) x 5 3 y 2 = 5) x y = 3) 2 2 = 6) 54 2 = PRÁCTICA DE CLASE Resuelve: 1. E=2n+2 + 2n+3. 6. Resuelve: a) 4 b) 4n+5 c) 42n+5 d) 24n e) 12.2n 2 n −1 A= 2 n −3 2. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) 1/2 e) 1/4 3 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3 Q= 3 n +1 7. Reduce: a) 39 b) 6 c) 27 d) 13 e) N.A. 3 n −1 + 3 n − 2 M = 3 n−4 3. Calcula: a) 36 b) 3 c) 12 d) 27 e) N.A. 2 n −2 E= 2 n −3 8. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) ½ e) ¼ (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 ) E= (ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 ) 4. Reduce: a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa) 9. Reduce: (bxbx….xb) (n-15) veces 5.2 n + 2 − 2 n + 4 − 6.2 n −1 (m-18) veces E= a) 60 b) 60ab c) 60anbm 2n d) 60ambn e) N.A. a) 0 b) 1 c) 2 d) ½ e) N.A. 5. Reduce: Q= (x xx +x x x + x x + 2 x + x x +3 x x − x ) x 10. Simplificar: −1 −2 −1 L = ( 2 3 ) 9  + 16 − 4− 2 −1  −1 / 2 x x + x 2 x + x 3x −4         a) x b) x-1 c) 0 d) 1 e) N.A.
  • 7. Ecuación Segundo Año a) 4 b) -4 c) 2/5 d) 5/2 e) -2/5 2 n+ 2 n n+2 2 2 2n+n 11. Reduce: 1 −1 1 −1 1 −1 1 a) n 2 n −1 b) n 2 c) d) n 4 e) N.A.   −      n  1  2    1 2  1  2    −      1 2 .  1 2 . 1 2 4   −    2  2 2 a) ½ b) 1 c) -1/16 d) 1/16 e) -1/2 19. Calcula el valor de: 216 .35 3.80 3 E= 4 9 2 ⇒ E= 12. Simplifica: 15 .14 .30 3 n .3 3 n.3+ 2 E=n 6 20. Efectúa: 81 a) 1/3 b) 3 c) 81 d) 9 e) N.A. 15 6 .12 4 .5 9 .6 3 E= 1011.313.5 4 13. Reduce: a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 1/ n  n+ 1  9 4 3.3 n 21. Simplifica: E=   3 3−n      a a a a .16 a a) 3 b) 9 c) 27 d) 1 e) N.A. a) a b) 16 a 15 c) a2 d) 8 a7 e) 1 22. Reduce: 14. Simplifica: 81+ n 2n− 1 x y x2 81− n 3 5 Q= 729 .8 3 y x y2 a) 27 b) 17 c) 29 d) 8 e) N.A. x y x a) b) c) 5 y x y 15. Calcula el valor de: 2 x + 4 + 32(2 x − 2 ) y x2 d) 5 e) 5 2 x+5 − 2(2 x + 3 ) − 4( 2 x +1 ) − 6(2 x −1 ) x y2 16. A qué es igual : 2 n+2 1 23. n n+ 2 Q= 2 7 a3 3 a a 2 2n+ 4 a) a b) a2 c) 21 a d) 21 a2 e) N.A. a) 4 b) 2 c) 1 d) n 2 e) n 2 n +1 17. Halla el valor de la expresión: 2x 3 2x 3 2x 3 ( ) 24. 3 20 n +1 x3 x E= n ⇒ E= 4 n+2 + 2 2n+2 a) 8 64x 7 b) 8 128x 5 c) 4 64x 7 18. Simplifica: d) 4 128x 7 e) N.A. Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 7
  • 8. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI 25. Realiza: 2 m +3.4 m + 2 n m −1 29.  24 m − 12 m + 15 m  9 m − 2 .16 n + 2  4m m   2 − 2 + 10  3m a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1 1 a) 3 b) 2 c) 2/3 d) 1,5 e) ½ − 1 30. 2 2 26. Resuelve: a) 3 b) 4 c) 2 d) ½ e) -1/2 6(6) a + 4(4) a 5 n −1 + 2 n −1 a +1 31. n −1 3(3) a + 2(2) a 51− n + 21− n a) -2 b) 2 c) 1 d) ½ e) N.A. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) N.A. a nbn + a ncn + bncn 27. n a −n + b −n + c −n 32. a x a x 2a x 8a a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. a) x2 b) x3 c) x4 d) x5 e) N.A. −4 −0.5 28. − 27 − 9 33. Calcula: 8 2 7 3 2 7 a) 2 b) -2 c) ½ d) -1/2 e) N.A. 3 1+ + 1− 3 3 3 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1 PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Resuelve: 5 −7 7 5 a) − b) c) d) e) -7 2 x +2 + 2 x +3 7 5 5 7 E= 2 x+2 5. Reduce: a) 3 b) 4 c) 2x+3 d) 12 e) N.A. [ ] n M = (x ) n m 1 / mm  1 ( n +1) −  x1 +  + n x 2n 2. Simplifica:  n 5.2 n + 2 − 2 n − 4 − 6.2 n −1 a) x b) x2 c) 0 d) 1 e) -1 E= 2 n −1 6. Resuelve: a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) N.A. −2 −1  8  −1  10  − 2  2  −3  E =   +    10  +  3   3. Simplifica:  21         3.2 −1 + 2.3 −1 Q= a) 4 b) ½ c) 2 d) ¼ e) N.A. 3.2 −1 − 2 x3 −1 13 13 5 7. Simplifica: a) 13 b) 15 c) d) e) 6 5 13 a −b −1 x ( a −c ) . b − a x ( b −c ) −1 4. Reduce: E= −1 c −a n −1 n −2 x ( b −c ) 2.3 + 3 E= a) xab b) 1 c) xac d) xa e) xb 3 n − 2 − 6.3 n −3
  • 9. Ecuación Segundo Año 8. Reduce: ( 13 ) −1− 2 [ ]  1  1 1 2/3 (a ) m /( m + n ) a−a Q =  n am an  n E =  +  −m aa .3       ( xy ) −1 / 2   x y a) a b) an c) am d) 1 e) 0   Sabiendo que: x+y=-1 9. Reduce: a) 1 b) -1 c) 8 d) 0 e) N.A. − 2 16. Calcula: A =  2 .2 − 2 2  2     2 m + 3.4 m + 2 n E= a) 2 b) ¼ c) 0 d) 1 e) N.A. 8 m − 2 .16 n + 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2.21/2 10. Resuelve: 17. Simplifica: n xn. xn −1 13 6 −n 3 n .( x ) x −1 + y −1 x . x x −1 . y −1 a) x-n b) xn c) x d) 1 e) N.A. a) x-y b) x+y c) y-x d) –x –y e) N.A. 11. Simplifica: 18. Calcula: 3 n −a + 2 n −1 n −1 2 n − a + 1 E= n −1 + 2 n + 4 − 2(2 n ) 31−n + 21− n 21− n + 1 Q= 2(2 n + 3 ) a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) N.A. a) 8/7 b) 7/16 c) 7/8 d) -7/8 e) N.A 12. Simplifica: [ Q = ( 64 ) −1 / 3 + (−32) −3 / 5 ] −1 / 3 19. Simplifica: 6 n + 10 n + 15 n a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.A. M =n 2 −n + 3 −n + 5 −n a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 30 13. Reduce: n n  20. Calcula: n n   n n   38 n .36 E= (n n ) n −n n E=n 27 2 n +1 + 9 3n +1 a) n b) n2 c) 2n d) n3 e) 1 a) 3 b) 9 c) 38 d) 1 e) 21/n 21. Simplifica: 5 14. Halla “x” en: 5 5 L = ab 3 a − 2 b −1 ab −1 5 x = 5 25 5 a) 125 b) 5 c) 5 125 d) 1 e) N.A. a) 3 b) 6 c) ab d) 1 e) N.A. 15. Calcula el valor de la séte. Expresión: 22. Calcula el valor de M, si: 4 n + 3 − 4(4 n ) M= 4(4 n −1 ) a) 32 b) 48 c) 60 d) 64 e) N.A. Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 9
  • 10. TEMA Nº 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICAS Capacidades:  Reconoce y clasifica una expresión algebraica.  Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo.  Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente.  Resuelve problemas con expresiones algebraicas. Exploración y Desequilibrio: I. “Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo. Ejemplos: 1) 2 + 4 = 6 3) 3 + 4 = 2) -3 – 7 = -10 4) -13 – 9 = II. “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”. Ejemplos: 1) 3 – 2 = +1 3) 7 – 5 = 2) -4 + 2= -2 4) -13 + 8= Desarrollo del Tema: 1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3 Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…) Ejemplo: x2, xyz, x5y7 La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: Parte variable Exponentes − 2x 5 y 4 Bases Parte constante
  • 11. Expresiones Algebraicas Primer Año ACTIVIDAD Término Parte Parte Bases Exponentes Algebraico Constante Variable -3xy 4xyz -3abc 7 m2n3 -4abc3 -x5 -4 4xyzt4 -3x2z3 2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable. Ejemplo: 3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable. * 4x3y4 ; -x3y4  ……………… son semejantes 5 3 5 3 * x y ; 7x y  ……………… son semejantes * -a3b4 ; -3b4a3  ……………… son semejantes OBSERVACIÓN: Un término algebraico NO puede tener como exponente a: a) Números irracionales: Ejemplos: 3 1) 4 x y 4z 5 …………… no es término algebraico 2) 2 xy3 z 2 2 …………… no es término algebraico b) Letras: Ejemplos: 1) -xxyyzz …………… no es término algebraico 2 3 a 2) -2x y z …………… no es término algebraico PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Relacionar los términos semejantes: I) abc ( ) 7x II) 4x3y5z6 ( ) 2nma III) -3x ( ) cba 3. Colocar verdadero (V) o (F) según IV) amn ( ) -x3z6y5 corresponda: I) En un término algebraico los ( ) exponentes no pueden ser números irracionales. ( ) 2. Son términos semejantes: II) Es un término algebraico 3xxy3z. I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos ( ) III) 7,x IV) abc; -3cba semejantes. a) I b) II c) III d) IV e) N.A. 4. Completar: Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 11
  • 12. Los coeficientes: Término Parte Parte Término a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4 Algebraico Constante Variable Semejante d) -9 y 4 e) N.A. 1 5 − x y 13. Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1 2 Son semejantes: − 7 xz Calcular: A = a + b + c Abc a) 10 b) 9 c) 8 7 d) 7 e) 6 -x4z5 14. Si los términos semejantes presentan iguales 5. Si: t1 =13x 7 t2 = 2x a coeficientes (b + 3)xbyc+3 ; 10xby5 Calcular: 4a − 3 Calcular la suma de los exponentes: a) 1 b) 2 c) 3 a) 13 b) 12 c) 11 d) 4 e) 5 d) 10 e) 9 6. Dado los términos semejantes: 3a2m+4 ; − 3a12 15. Dados los términos semejantes: Calcular: m + 1 3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8 a) 1 b) 2 c) 3 a+b+c Calcular: A = d) 4 e) 5 3 a) 7 b) 6 c) 5 7. Si los siguientes términos son semejantes: d) 4 e) 3 5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular: B = a + b + 4 16. Verificar si las siguientes expresiones son a) 1 b) 2 c) 3 términos semejantes: d) 4 e) 5 a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . ( ) 8. Dados los términos semejantes: b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( ) 3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b c) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( ) Calcular: R = a.b d) x y ; 3x y 2 3 4 2 .........( ) a) 10 b) 9 c) 8 e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( ) d) 7 e) 6 f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ( ) g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( ) 9. Dados los términos semejantes: 17. Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5 semejantes. Halla el valor de “m+n”: Calcular: La suma de coeficientes a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4 son 10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes. Entonces (a+b) es: semejantes siguientes: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 -2axa+by5 ; 12bx8yb+4 a) -14 y 12 b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A. 19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos 11. Dados los términos algebraicos semejantes: semejantes. Calcular: t1 + t2 (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 Calcular: a + b a) 1 b) 2 c) 3 20. Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n; d) 4 e) 5 t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de “m - n”: 12. Calcular de los términos semejantes: a) 5 b) 3 c) 2 d) 8 (b+4)x7 ; (2 – b)xb+2 RECORDANDO:
  • 13. Expresiones Algebraicas Primer Año Como ya sabemos un término algebraico consta de: Parte constante  Números Parte variable  Letras Nota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción. Así: 2x + 4x – 3x + 5x Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5c Se reduce: 8x Queda: ………………………………… MAYOR O IGUAL A 2 Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes se denomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Por ejemplo: Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda: 5b – a + 5c Expresión algebraica de 3 términos -x + y + z Expresión………………………………………… 3 4 -x – y Expresión………………………………………… Si: 3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados) 5x 3 + x 3 + 14 x 3 + 3 (No es porque los exponentes de las variables no pueden ser x4 + 2 + 4y números irracionales o letras) Entonces ahora completa el siguiente cuadro: Expresión Si es expresión algebraica No es expresión algebraica 2x3y4 + 5xy −x 3 + x3 − 4 x + x6 + x7 + … 5 x +3 x +4 3 + 2x …… + x3 – x2 + 4x 3x + 4x + 5x x 5y 4 + 2x + y 5x2 + 5y3 + 5z4 PRÁCTICA DE CLASE I. Reducir: 7. –{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a- 1. 4x + 2x – 3x + 4x (5a+b)]]]} 2. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x 8. –{(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)- 3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2 (3xy2+6xy2)]} 4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz 9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 + 5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 + 6. –{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]} 6z2x3y4 Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 13
  • 14. 10. Indicar cuántos términos tiene la 13. Reducir si los términos son semejantes: expresión luego de reducir: (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b – 4)xa+3 – bxc+4 -{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7 +2a – (a-b)]]]]]} d) 7x7 e) 6x7 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) N.A. 14. Dados los términos semejantes (reducir) 11. Reducir los términos semejantes axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x (c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 7x b) 2x c) 3x 3 3 4 a) 8x b) 3x c) 8x d) 4x e) 5x 4 4 d) 4x e) 16x 15. Si los siguientes son términos 12. Reducir los términos semejantes semejantes: a+b c+d e+f 3 (a+b)x + (c+d)x + (e+f)x +x (a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5 a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 Reducirlos: 10 d) 3x e) 10x a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5 d) 7x5 e) x5 PRÁCTICA DOMICILIARIA I. Reducir: a) 3 términos d) 0 1. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 b) 2 términos e) N.A. 2. 2xy + 4xy + 5xy – 10xy c) 1 término 3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3 11. Reducir los términos semejantes: 4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + (2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4 2a3b4c5 10c3a4b5 a) 7x4 b) 8x4 c) 9x4 5. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 + d) 10x4 e) N.A. 7x2y4a3 – x3y2a4 6. –{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}} 12. Reducir los términos semejantes: 7. –{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}} (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x4 8. –{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y- a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4 xy2)]} d) 20x4 e) N.A. 9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x 2 3 4 Z 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 13. Al reducer los términos semejantes: + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + mxm + nxn + pxq + qxq + x7 z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4 queda: a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7 d) 26x7 e) N.A. 10. Luego de reducir: -{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a – 14. Luego de reducir los términos {a – b}+{+b}c} – a} semejantes: La expresión tiene: (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
  • 15. Expresiones Algebraicas Primer Año a) 5x3y4 b) 3x3y4 c) 7x3y4 a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a – 3 4 d) 6x y e) N.A. b)}}} a) a b) 2b – c c) a + b 15. Reducir: d) a + b + c e) N.A. VALOR NUMÉRICO El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variable o variables toman un determinado “VALOR”. Ejemplo: I CASO: P(x)= 2x+3 Q(x)=5x – 3 R(x)= 2x + 5 P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) – 3 R(1)= P(2)= 7 Q(1)=2 R(2)= P(3)=2(3) + 3 Q(2)=5(2) – 3 R(0)= = 09 Q(2)=7 II CASO: Si P(x)=2x+3  P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3 P(x)=2x – 5 P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3 P(a)= P(x+3)=2x + 9 P(x+3)= III CASO: Si P(x) = 2x+3 Calcular: A=P (P (P (3))) ¿CÓMO? Se empieza por adentro, es decir: A = P (P (P (3) ) ) 2(3) + 3 A = P (P (9) ) 2(9) + 3 21 A = 2(21) + 3 A = 45 IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5 Calcular: P(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x+5) P(Q(x)) = 2(3x+5)+3 P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA : P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ? PRÁCTICA DE CLASE 1) Hallar el valor numérico de:  P(x,y)=3x + 2y – xy x=1; y=2; z=3de los siguientes  P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z polinomios:  P(x)=3(x+2)(x-3)  P(x)=2x + 5  P(x,y)= 2x(x+1)(y-2) Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 15
  • 16. A) 0 B) 3 C) 5 2) Si: P(x)=2x-4 Calcular: A=P(1) + P(2) D) 2 E) 4 3) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y 15) Dado: F ( m 3 − 1) = m + 5 Calcular: A=P(2,3) + P(0,1) Calcular z en: F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1) 4) Si: P(x)=3x + 5 A) 3 B) -1 C) 0 Calcular: M=P(a+2) – P(a-2) D) 2 E) -2 5) Si:P(x)=2x – 1 16)Calcular: “A” Calcular: A=P (P(P(O))) Si: M(x) = 4x 6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3 M(1) + M(2) A= Calcular: A=P(R(2)) M (4) 7) Si: P(x)=3x+5 17) Dada la expresión: Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2 1 Calcular: A=P(Q(R(O))) P( x ) = ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ; calcular x( x − 1) 8) Si: L(x + 3) = x2 + x − 1 P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5) Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4) 4 3 2 A) B) C) 9) Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 5 5 5 1 1 7 Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0) D) E) 5 5 10) Sea: M(3x − 2) = 5x − 9 Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13) 18) Si : P( x ) = n; n ∈ R ; Calcular: R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 ) 11) Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1 A) n B) 2n C) 10n Calcular el valor de: D) 15n E) 55n a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)] 19) De la expresión :  x +1 =x − 2 x1998 + 4 1999 P 12) Sea: P( x −1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6)  x −1  Calcular el valor de: P ( 3) P ( −1) A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x - 8 D) 4x + 10 E) NA. A) 256 B) 16 C) 128 D)4 E) 23 13) Indicar el valor de a; b en ese orden, si: P( x ) = 3x a −1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b−1 se reduce a  x 20) Sea: P  = x − 125 x + 3 x + 2 ; 20 17 un solo término. 5  y +1  x +1 calcular P(1) 14) Sea: P( x; y ) = x  + y  y +1 ;  A) 17 B) 20 C) 30  x +1    D) 50 E) 80  33 41  Calcular P ;   41 33  PRÁCTICA DOMICILIARIA
  • 17. Expresiones Algebraicas Primer Año 1. Calcular el valor numérico de polinomios Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10 para x=2; y=3; z=1 12. Si: P(x) = 2x + 4  P(x)=3x – 4 Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )  P(x,y)=2x+3y-2  P(x,y,a)=x + y + z – 6 13. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3  P(x)= (4 – x)(x -2) Calcular: P(Q(x))  P(x,y)=(x+2)(y-3)  P(x,y,z)=(x – 1)(y-2)(z-3) 14. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 2 2. Si: P(x)=2x + 8 Calcular: P(Q(x)) Calcular: A=P(a) + P(a-1) 15. Dado: p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x − 13 ; 3. Si: P(x,y)=5xy+x-y calcular el valor de p ( p ( 4 ) ) Calcular: P(1,2) + P(2,0) A) -24 B) -21 C) -12 D) 11 E) 34 4. Si: P(x)=x + 2 Calcular: A=P(P(P(3))) P x  = x 20 − 8 x17 + 3x + 2 ; 16. Sea:   2 5. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1 Calcular P( 1) Calcular: A=P(R(2)) A) 17 B) 20 C) 30 6. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2 D) 50 E) 8 Calcular: A=P(R(x)) 17. Si: P(x) = x + 3x + 4 2 Calcular: P(2) + P(3) 7. Del problema anterior 18. P(x) = 2x + 4 Calcular: B=R(P(x)) A = P ( P ( P ( P (2)))) 8. Si: P(x)=3x+4 19. Si: Q(x) = x + 5 P(x)=x+3 Calcular: M=P(P(x)) Calcular: P( Q (x) ) 20. A(x) = 2x + 4 9. Calcular: P(P(P(2))) Calcular: A ( R ( x ) ) Si: P(x)=2x – 1 10. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4 21. Si: P( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3x − 2 ; calcular M(0) + M (2) Si: A = M(1) P ( 1) P ( 2 ) P( 0) A) 2 B) -2 C) 4 11. Calcular: P(7) D) 5 E) 0 Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 17
  • 19. Polinomios Segundo Año TEMA Nº 03: P O L I N O M I O S Capacidades:  Reconoce un polinomio.  Diferencia entre monomio y polinomio,  Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios.  Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa.  Resuelve problemas con polinomios. Desarrollo del Tema: Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables son números naturales. P( x , y) ≡ 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4 Término Variables Independiente 1. MONOMIO Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo: M ( x , y, z ) ≡ 4 x 3 y 4 z 5 Parte Variable Parte constante (Coeficiente) a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión Ejemplo: Sea: M(x,y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) : 4 (exponente de x) GR(y) : 3 (exponente de y) b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x,y) = 135x4y3 GA = 4 + 3 Exponente de variable x Exponente de variable y GA = 7
  • 20. ACTIVIDAD: COMPLETA EL CUADRO Parte Monomio Parte Constante GA GR(x) GR(y) GR(z) M(x,y,z) Variable (Coeficiente) 39x3y -4 − 3x 4 z 5x2yz3 18z -4x5y4 8 2. POLINOMIO Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. Ejemplo: P( x; y) ≡ 2 xy 3 + 4 y 4 − 3x + 2 Término Independiente Polinomio de 4 términos 4 3 2 P(x) = 4x + x – x + 2x + 3 Polinomio de ___________________ 2 P(y) = ax + bx + c Polinomio de ___________________ P(x; y) = x + y Polinomio de ___________________ a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio. P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GR(x)=3 GR(x)=5 GR(X)=1 GR(y)=4 GR(y)=3 GR(y)=2 Entonces: GR(x) = 5 GR(y) = 4 AHORA TÚ: P(x,y)≡ 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y GR(x) : GR(y) = b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma el mayor: P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GA=7 GA=8 GA=3 ⇒ GA=8 ¡AHORA TU!
  • 21. Polinomios Segundo Año P(x,y) ≡ 3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y GA = ACTIVIDAD: COMPLETAR Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z) x6 + xy + x3y4z x+y+z zxy + x2y3 + 4 a + abx + bx2 3x3 + 4y4 -x3y4 + x5 + y8 4z3 + 4z – 3 c) Cálculo de Grados en Operaciones 1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor. Ejemplo: Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: b tal que: a > b ⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a 2. En la multiplicación los grados se suman Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2) Resolución: ⇒ Grado: 6 + 9 = 15 3. En la división los grados se restan xy 8 − x 3 y 3 + x 7 Ejemplo: x 4z − y 3 + x 3y 3 Resolución: ⇒ Grado: 9 – 6 = 3 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10 Resolución: ⇒ Grado: 9 . 10 = 90 5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo: 3 xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12 Resolución. 12 ⇒ Grado =4 3 Propiedad:
  • 22. En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 PRÁCTICA DE CLASE 1. Dado el monomio: a+b+c Calcular: A = M(x,y) = -3abxa+3yb 7 De GR(x) = 7 y GA = 10 a) 5 b) 4 c)3 Calcular: El coeficiente d) 2 e) 1 a) -36 b) 36 c) 12 d) -12 e) N.A. 6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+2 2. Si el siguiente monomio: Calcular: A = a + b a+1 b+2 4 M(x,y,z) = -4x y z a) 1 b) 2 c) 3 Es de GA=14 y GR(y) = GR(z) d) 4 e) N.A. Calcular: “a . b” a) 15 b) 10 c) 5 7. Dado el polinomio: d) 3 e) 6 P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6 3. Si el monomio: Calcular el término independiente: x+2 y+5 M(a; b) = -4xya b a) 5 b) 6 c) 7 Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 d) 12 e) N.A. Calcular: “El coeficiente” a) 24 b) -24 c) 25 8. Si: d) 26 e) 12 P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc Es de GR(x) = 14 GR(y)=6 4. Si en el monomio: Calcular la suma de coeficientes: 2 3 a+3 b+2 6 M(w, t, ψ) = -2a b w t ψ a) 3 b) 4 c) 5 El GA = 17 y GR(w) = 5 d) 7 e) N.A. Calcular: “El Coeficiente” a) 512 b) 251 c) -512 9. Si: d) 251 e) 521 P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z)=3 GR (z) GR ( y) Calcular el grado absoluto. 5. Si GA = 15 GR(x) = = =2 2 3 De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3 10. Dado el polinomio:
  • 23. Polinomios Segundo Año P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a P( x; y ) = x m + 2 n y 7 − n + x m + n y 10− n + x m+ 3n y 9− n Calcular el término independiente si , además: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el GA=8 grado absoluto. 11. Determine el grado del polinomio A) 25 B) 26 C) 27 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x10 + 10 ) D) 28 E) 29 A) 45 B) 36 C) 55 15. Sea: P( x; y ) = x 2 n −3 y 2 n +5 , donde el D) 21 E) 28 grado relativo con respecto a “x” es 7. Calcular el grado absoluto de la expresión: 12. En el siguiente polinomio ordenado y A) 22 B) 30 C) 35 completo de grado 2 : D) 25 E) 28 P( x ) = x a + 2 x a −b + 3 16. Determine el grado del polinomio Calcular: a2 − b2 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x 8 + 8) A) 3 B) -1 C) 0 A) 45 B) 36 C) 15 D) 1 E) 2 D) 21 E) 28 13. Sea: 17. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ? P ( x ) = 3ax a +5 + 5ax a + 6 + 2ax a +8 . P( x ) = x 2 n + x 2 n −1 + x 2 n −2 + ... + x 2 + x + 1 Un polinomio de grado 17. señale la suma de A)2n B)2n + 1 C) 3n sus coeficientes. D) 2n - 1 E) n A) 20 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 18. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ? P( x ) = x 2 n −1 + x 2 n − 2 + x 2 n −3 + ... + x 2 + x + 1 14. Dado el polinomio: A)2n B)2n+1 C) 3n D) 2n - 1 E) n PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Dado en el monomio. GA=12 GR(x) = GR(y) a b M(x,y) = 4abx y Calcular: m . P Si. GR(x) = 2 GA=7 a) 12 b) 13 c) 14 Calcular: “El coeficiente” d) 15 e) 16 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 3. Si en el monomio: M(ψ, θ) = 2xyψx+4θy+2 2. En el siguiente monomio: Donde: GR(ψ)= 7 GR(θ)=5 m+1 p+2 2 M(x,y,z) = 3x y z Calcular el coeficiente:
  • 24. a) 18 b) 19 c) 20 P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3 d) 21 e) 24 Si el GA=7 Además: a – b=2 b Calcular: A = a 4. Si en el monomio: a) 1 b) 2 c) 3 2 3 4 a+5 b+4 c+3 M(x,y,z) = 2a b c x y z d) 4 e) 5 Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4 Calcular el coeficiente: 11. En el polinomio : a) 2 b) 4 c) 5 P( x , y ) = ax 2 y 3 − bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y) d) 16 e) 14 Indicar la suma de los coeficientes. A) 13 B) 11 C) GR ( x ) 12 5. Si: GA=24 GR(y) = 5 D) 9 E) 8 a+b a-b M(x,y)= 2x y 12. Determine el grado del polinomio Calcular: a . b a) 96 b) 108 c) 64 ( )( P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7 ) ( ) d) 25 e) 15 A) 45 B) 36 C) 15 D) 21 E) 28 6. Si: P(x) = x a+4 +x a+3 +x a-4 ;GA=7 Calcular: 3a 13. Si al polinomio: a) 3 b) 4 c) 5 P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8 d) 6 e) 7 le restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto 7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 disminuye ¿Cuánto vale el menor de los GR(x) =5 GR(y) = 3 grados relativos? Calcular el GA A) 3 B) -1 C) 0 a) 1 b) 2 c) 3 D) 4 E) 2 d) 4 e) 6 14. Si: 8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4 n m P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m −1 Es de GA=5 Calcular la suma de coeficientes: se reduce a un monomio: a) 14 b) 15 c) 16 Calcular GA de: d) 17 e) 18 2 M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m 9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 GR(x) = 4 GR(y)=5 GR(z)= 3 Calcular el grado absoluto 15. Si el polinomio completo es de (4 + a) a) 1 b) 14 c) 12 términos. d) 10 e) 11 P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a − 1) x 2 a −1 + ( 2a − 2) x 2 x − 2 + .... Calcular el valor de “a” 10. Dado el polinomio: A) 1 B)4 C)2
  • 25. Polinomios Segundo Año D)3 E) 5 P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a Calcular “a”, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su termino independiente incrementado en 76. 16. En el polinomio: A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 5 POLINOMIOS ESPECIALES POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = 4x3y4 - 3x7 + 2xy6 - x5y2 GA=7 GA=7 GA=7 GA=7 P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7  3+5 = a + 2 = b + 7 a = 6 b = 1 POLINOMIOS IDÉNTICOS Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión. Ejemplo: P(x)= (x + 1)2 Q(x)=x2 + 2x + 1 P(O)= Q(O)=1 P(1) Q(1) = 4  P(x) y Q(x) son idénticos. Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos. Ejemplo: P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x)=Ax2 +5x – B A=4 B=3 NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo. Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros). P(x) = Ox2 + Ox + O P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0 Así, sí tenemos: Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo. Entonces: A = 2; B = 3; C = 2 ¡¡AHORA TÚ!! Si son idénticos: P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x)= 2x2 + 5x + 3
  • 26. Entonces: A= B= C= AHORA: Si: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14 Es idénticamente nulo: a= c= b= d= POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplo: P(x) ≡ 5x3 + 2x – 4x2 + 7 OJO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7)  P(x) = 2x + 3 ……………………… Es polinomio completo.  P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………… Es polinomio completo.  P(x) = x – 2x + 5x – 4 4 3 ……………………… Es polinomio completo. POLINOMIO ORDENADO Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplo:  P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente)  P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente)  P(x) = x – x + x 17 25 50 (Polinomio ………………. en forma ……………………………)  P(x) = 14x – 2 (Polinomio ………………. en forma ……………………………) Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.  P(x,y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”)  P(x,y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”) POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo:  P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo porque presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente).  P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
  • 27. Polinomios Segundo Año AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA) Polinomio Ordenado Completo Completo y Ordenado Ascendente Descendente Ascendente Descendente P(x)=4x2+5-3x P(x)=x7 + x + 6 P(x)=5x2-3x+2 P(x)=x1000-x10+1 P(x)=1+2x+x2-x3 P(x)=4x5-x+5 P(x)=x102-x101-2 PRÁCTICA DE CLASE 1. Dado el polinomio homogéneo 8. Dados los polinomios idénticos: P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 – xby8 P(x) = 4x2 + bx + 7 Calcular: (a + b) Q(x) = cx2 + 3x + 7 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a Calcular: a + b + c+ d 2. Dado el polinomio homogéneo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A P(x,y,z)=5xyz – x2ya + zb + xc Calcular: a + b + c 9. Dado: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 P(x)=(4 – a)x + 5c + d Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x 3. Si el polinomio es homogéneo. Son idénticos: P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5 Calcule: a + c + d Calcular: a + b + d a) 4 b)5 c) 6 d) 7 e) N.A a) 1 b) 13 c) 6 d) 5 e) 8 10. Si los siguientes polinomios son 4. Dado el polinomio homogéneo: idénticos: P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10 P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c Calcule la suma de coeficientes: m+n+p a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) NA Calcular: A = a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y 11. Dado el polinomio idénticamente nulo: Calcular la suma de coeficientes: P(x)=(a – 2)x2 + bx + c + 3 a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)NA Calcular: a . b . c a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A. 6. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde: P(x)=ax5+3x2 – 4 12. Dado el polinomio idénticamente nulo: Q(x)=(2a – 3)x5 + (c+2)x2 + b Q(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx – c Calcular: a + b + c Calcular: a + b + c a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A. a) -10 b) -11 c) -12 d) -13 e) N.A. 7. Si: R(x)=2x2 + 5x – 3 Es idéntica con: 13. Si el polinomio es nulo: S(x) = (a2 – 2)x2 + (b2 + 1)x + c R(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4 Calcular: a+b+c Calcular: a . c . d a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A. a) 1 b) 2 c) 16 d) 15 e)N.A. 14. Dado el polinomio nulo:
  • 28. P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular: a + b + c Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e)N.A a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A. 15. Si el siguiente polinomio es nulo: P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c 24. Si: m +n +p 2 2 2 Calcular: M ( x ) = x m −10 + 5 x m − n + 5 + 2 x p − n + 6 a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. es completo y ordenado descendentemente, calcular: m + n + p. 16. Calcular el valor de “a” en los siguientes A) 38 B) 28 C) 26 polinomios completos: D) 25 E) 36  P(x)=4xa+4x2 +3-2x  Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 2  R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 25. Calcular el valor de: a 33 + , si el a 99 17. En el polinomio completo: polinomio: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 P( x ) = ( a + b − c − 10) x a + ( c − b + 9) x a 6 9 Es Calcula la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 idénticamente nulo. d) 11 e) N.A. A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 0 18. Dado el polinomio completo: P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp 26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente Calcular: m + n + p polinomio completo: a) 1 b) 6 d) 4 e) N.A. c) 5 ( a b ) ( P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c + b ) ( ) A) 15 B) 6 C) 18 19. Ordenar en forma ascendente y D)12 E) 9 descendente los siguientes polinomios:  P(x)= 25x5+3x7-2x+4 27. Si el polinomio:  R(x)= 1- x+x3-x7+2x2  Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc ( ) ( M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y) es idénticamente nulo, calcula S. d 2 9b 6a 20. Ordene en forma ascendente y S= + 2 + descendente los siguientes polinomios b e c primero relativo a “x” t luego a “y” A) 15 B) 16 C) 18  P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab D)13 E) 9  P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1- abc 28. Si el trinomio: 21. Dado el polinomio completo y a x a +b + b x b + c + c x a + c es ordenado: homogéneo, de grado 10. de que grado es el P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes: monomio : a x b .b x c .c x a a) 1 b) 2 c)4 A) 7 B) 13 C) 27 d) 5 e) N.A. D) 33 E) 30 22. Dado el polinomio completo y 29. Calcular la suma de coeficientes del ordenado: polinomio homogéneo: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Q( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3 Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c)9 A) 10 B) 11 C) 12 d) 12 e) N.A. D) 13 E) 14 23. Si el polinomio es completo y ordenado 30. Si la expresión: en forma ascendente. (a + b ) 2 6 x a −b − ab 4 x a +b + ( b − a ) x ,