1) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica las propiedades de las razones trigonométricas de ángulos en los cuadrantes y cómo se relacionan las razones de ángulos coterminales. 2) Incluye 10 problemas de aplicación de conceptos como razones trigonométricas, puntos de ángulos y propiedades de ángulos en posición normal y coterminales. 3) El problema de repaso contiene 6 problemas adicionales sobre aplicación de conceptos como razones

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define:
CEPUNS
P(x ;y )
o o
yo yo xo
Sen Cot
r yo
r xo
Ciclo 2012-III Cos r
Sec
r xo
' yo r
TRIGONOMETRÍA xo x Tan
xo
Csc
yo
“F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
Definiciones posición normal, tomaremos un punto perteneciente
Previas: a su lado final.
y Se defin
P(x ;y )
o o
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL yo Sen
Llamado también en posición canónica o estándar.
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide r
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial Cos
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo,
está en posición normal, el lado final puede estar en '
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste xo x Tan
pertenece a tal cuadrante.
Del gráfico: y Se define:
y P(xo ;yo ) yo xo
y Sen Cot
o
r yo
r xo
Cos r
Sec
Lado Fina l r xo
' (+ ) yo
xo x Tan r
Csc
xo yo
Vértice x
Lado Inicial
r x2 y2
* o o
* : es un ángulo en posición normal
* α´: se denomina ángulo de referencia
* IIC ; 0
y Signos de las R.T.
en los
Lado Inicial cuiadrantes
Vértice Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un
x
ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
(-) positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro
adjunto
Lado Final
* β : Es un ángulo en posición normal
* IIIC ; 0
Definición de las
Razones
Trigonométricas:
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
Propiedad: 0º 90º 180º 270º 360º
Si es un ángulo en posición normal positivo y SEN 0 1 0 -1 0
menor que una vuelta entonces se cumple:
Si I 0 < < 90º COS 1 0 -1 0 1
Si II 90º< <180º TAN 0 ND 0 ND 0
Si III 180º < < 270º COT ND 0 ND 0 ND
Si IV 270º < < 360º SEC 1 ND -1 ND 1
Ángulos CSC ND 1 ND -1 ND
Cuadrantales Nota: N.D. no definido
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del Ángulos
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Coterminales:
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
ángulos frontera.
Ejemplo:
i) ii)
Lado
inicial
Lado
final
Vértice
Forma General P(x ;x
o
y
< Cuadrantal = 90º.k ; k
i) Z ii)
También
Lado
inicial
<Cuadrantal = k ;k Z
Lado 2
final
Observación: para determinar si un ángulo es x
cuadrantal, se divide entre 90º ó rad . según
2
Vértice
corresponda; si el resultado de la división es un
P(x ;x )
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal. o o
Se tiene que:
* α y : son coterminales
Razones * Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Trigonométricas
Propiedades:
de Ángulos
Cuadrantales Si α y son coterminales se cumple que:
I. II.
- = 360º n ; n Z
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
II. 3) Del gráfico, calcular: E 3Tan 1
y
R.T. ( ) = R.T.( )
53º
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2 rad. y si el resultado es un numero entero , x
entonces los angulos son coterminales. a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2

R.T. de Ángulos 4) Si: Cos 0, 3 y IIC
Negativos: Calcular: E Tan 2
Sec
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Sen (- ) = - sen ; Cos (- ) = cos
Tg (- ) = - tg ; Ctg (- ) = - Ctg 5) Simplificar:
Sec (- ) = Sec ; Csc (- )= - Csc (a b)2 Sen 3 (a b)2 Cos 5
L 2
aSen 3 bCos 2
2 2
a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b
¡Muy importante!
Y 6) Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa
Q (–b;a ) por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n),
2
P (a ;b) Calcular: K Cot Tan 2
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
X
7) Dos ángulos coterminales son entre sí como 2
R(–a ; –b) es a 11. Calcular la medida del mayor de dichos
ángulos, si el menor se encuentra comprendido
M(b;–a ) entre 90° y 180°.
a) 858° b) 825° c) 880° d) 902° e) 935°
PROBLEMA DE CLASE
8) Determinar el signo en cada cuadrante de:
1) Si (-3;-4) es un punto de lado terminal de y 1 cos
E sen
(5;-12) es un punto de lado terminal de , sen . cos
Calcular: Sec Sec a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++
Csc Csc
a) 1,56 b) 25,6 c) 3,56 d) 4,56 e) N.A. 9) El producto de cinco razones trigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
2) Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
que una vuelta perteneciente al IIIC señale el coseno.
Q Sen Cos 2 Tan 3 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 5
2 3 5 a) 3 1 e)
signo de:
5 5 2 2 5
a) (+) b) (-) c) (+) o (-)
d) (+) y (-) e) No se puede precisar.
10) “C” es el radio vector de un punto P(a;b), tal
que:
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
asen b cos C d) 54 7 e) 27 7
Si “ ” es la medida de un ángulo en posición
normal. Hallar en función de a, b y c. 16) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) .
T Tan Cot Calcular ctg
a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
11) Si: 3
Tg x
17 4
Calcular el valor de: 19
Ctg x
34
a) 3 b) 3 c) 4 d) 4 e) 1
4 4 3 3 2
12) El lado final de un ángulo en posición normal, a) - 4/3 b) - ¾ c) - 1/7 d) -7 e) 5 2
cuya medida es pasa por el punto (3,-7).
Calcular: E 58 cos sen 17) De la figura mostrada calcular: 9tg
E
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 tg
13) Si es la medida de un ángulo en posición
normal, además:
2
sen sen 0 ; tg tg 0 ; cos 0
3
Calcular: F 5 .ctg Sec
a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 1
14) De la figura mostrada, obtener el valor de:
E Tan Tan
a) – 49 b) -9 c) 1 d) 9 e) 49
18) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2 - tg
a) 12 b) 25 c) 7 d) 7 e) 25
25 12 12 12 12
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15
15) Si:
1 19) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el
1 4
valor de: E = tg .tg
sen ; 3
1
Cos 2 2 2 cos 2
2
Calcular: F 16 ctg cos
a) 73 7 b) 67 7 c) 61 7
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3) De la figura mostrada; calcular: F = Sec .Csc
2 2 2
a)-1 b) b c) a d) 1 e) b
a b a
a) – 5/2 b) – 3/2 c) -1 d) ½ e) 3/2
20) Si es la medida de un ángulo en posición
normal, además; Cos = 0,25; 270º < < 360º, 4) Para dos ángulos coterminales se cumple que
Calcular Sec Csc dos veces el menor es a la suma de ellos como
F
1 Ctg 13 es a 23. Hallar la medida del menor si se
a) 2 15 b) -4 c) 2 d) 4 e) 5 15 sabe que está comprendida entre 400° y 500°.
A) 405° B)420° C)468° D)434° E) 476°
PROBLEMA DE REPASO
5) La suma de dos ángulos coterminales es igual a
1) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg .ctg 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el
mayor está comprendido entre 500° y 800°.
a) -80° b)-100° c) -90° d) 270° e)720
6) Sabiendo que (sen sen 2 ; indicar un valor
2
de Ctg si y solo si
a) 3 b) 2 c) 3 d) 15 e) 15
15
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -6
7) Del siguiente gráfico, calcular:
2) De la figura mostrada, simplifique: E 10 Sen 12 Cot
M sen . cos( ).Ctg ( ) y
2
x
(1;-3)
a) 2.sen b) 2.Cos c) 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
.sen
2
d) 2 e) 2Tg
.
.Cos
2
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
16) Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg ".
8) Por el punto P( 2; 5 ) pasa el lado final de un
ángulo en posición normal cuya medida es "α".
Calcular: Cos α.
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2
Sen 2
9) Si: 3 y α e IIIC.
Calcular: E 5 (Tan Sec )
a) -1 b) -2 c) -3 d) 2 e) 3
a) -7/3 b) -7/2 c)-3/7 d)-2/7 e) -4/7
10) Indicar el signo de cada expresión:
17) Si tg 2 4 8
I. Sen200ºTan240º 1 ...... ;
II. Cos120ºTan100º 3 9 27
III. Sen150ºCos340º
Además IIIC, calcular:
10 cos tg
a) +, +, + b) -, -, - c) -, +, +
a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e)N.A.
d) +, -, - e) +, -, +
18) Si ABCD es un cuadrado, hallar tg
11) ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: Tan 0 y
Cos 0 .
a) IC b) II c) IIIC d) IV e) IC y IIC
2
12) una raíz de la ecuación: x 2x 3 0 es un
valor de "Tanα", si: IIIC . Calcular:
E 10 (Sen Cos )
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5
a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e)N.A.
13) Si: α y β son medidas de ángulos coterminales
y se cumple que: Tan α <0 y |Cos β |=-Cos β. ¿A tg
qué cuadrante pertenece " β "? 19) Del la figura hallar: sen cos
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC y IIC
sen cos tg
14) Si: IV , determine el signo de:
Tan (1 Cos )
E
Sen Cos
a) + b) - c) + ó - d) - y + e) Todas correctas
15) Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
3 Cos ( ) Sen ( )
E 6
3 Sen ( ) a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e) 3
2
20) Indicar los signos de las siguientes
expresiones en el orden F. G. H.
3
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 Sec 285 º Tan2 138 º Sen 210 º
F
Csc 3 215 º Ctg 338 º
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Sen 3 260 º Ctg 2 115 º Cos116 º
G
2
Csc195 º Tan 336º
3 25) Calcular:
Sen195 º Ctg 340 º Csc128 º
H (a b)2 Sec 360 º (a b)2 Cos180
3 E
Tg135 º Sec 298 º 2abCsc 270
a) - , +, - b) - , - , + c) - , - , - a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2
d) +, - , - e) +, +, +
| Cscx | 4 Sen 0
21) Del gráfico, calcule: " Tan " . 26) Si: x IVC y 6
y
Calcular: E = Senx + 3 Cosx
a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2
x
(2;-3) 27) Calcular: E 25Sen Tan , a partir de la
a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/3 e) 3/2 figura mostrada:
y
(24;7)
f( )
22) Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x. Calcular: 2 x
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2
(-4;-8)
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
4 Sen 1 1 1 1
23) Siendo: 5 4 28 70 130
Cos Cos
Calcular: K 2Sen 3Cos
a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) - 3
24) Por el punto P( 2 ; 7 ) pasa por el final de un
ángulo en posición normal cuya medida es " ".
Calcular: 7 Csc .
a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo