1. Capítulo 5
Método matricial
5.1. Contenido
El concepto de rigidez. Matriz de rigidez de una viga. Método directo de la
rigidez. Vector de cargas. Sistemas de coordenadas. Transformación de sistemas de
coordenadas, matrices de rotación. Matriz de rigidez elemental. Matriz de rigidez
global de la estructura, montaje. Ensamblaje del vector de cargas. Ensamblaje del
vector de desplazamientos. Imposición de las condiciones de contorno. Sistema de
ecuaciones a resolver. Cálculo de esfuerzos y reacciones. Cargas de origen térmico.
Errores de montaje. Apoyos inclinados.
5.2. Objetivos
Presentar el método matricial como sistematización de los conceptos presenta-
dos anteriormente. Aplicar el método directo de la rigidez en estructuras sencillas.
Calcular desplazamientos. Calcular esfuerzos en cualquier tipo de estructura.
5.3. Qué se debe saber al terminar este tema
1. Qué es la matriz de rígidez en coordenadas locales y en coordenadas globales.
Cómo pasar de una a otra (matriz de rotación). Matriz de rotación para vigas
y barras.
2. Ensamblar la matriz de rigidez global de una estructura
3. Ensamblar el vector de cargas
4. Imponer condiciones de contorno en el sistema. Porqué son necesarias. Elegir
grados de libertad en el caso del método directo.
5. Cálcular esfuerzos a partir de los desplazamientos. Dibujar diagramas de
cortantes, axiles y momentos flectores
33
2. CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 34
6. Identificar las grados de libertad existentes en una estructura. Saber qué
matriz de rigidez debemos emplear
7. Resolver estructuras con articulaciones internas
8. Introducir asientos en los apoyos, errores de montaje y efectos térmicos
5.4. Ejercicios resueltos
1. Sobre la estructura de la figura obtener los diagramas de esfuerzos of 1 todas
Page 1 de
las barras
En las páginas siguientes se encuentran las matrices de rigidez locales y glo-
bales de todas las barras, así como los vectores de fuerzas de empotramiento
coordenadas en locales y globales y los vectores de esfuerzos, además de los
diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.
file://D:WebEstructuras_4EjerciciosMatricialmatricial_4B_archivoschart001.htm 04/11/2010
3. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
AB A I E L alfa
5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0
2 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03
3 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03
4 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.0
5 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+03
6 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 1 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00
2 2 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03
3 3 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03
4 4 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00
5 5 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+03
6 6 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+01
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 1
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 2
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 3
0.0 0.000E+00 0.000 0.000 4
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 5
0.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 6
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
1.14E-02 0.01136509 9.502E+02 1
0.00E+00 0 1.289E+02 2
-2.82E-02 -0.028208195 2.154E+01 3
6.32E-03 0.006319047 -9.502E+02 4
-8.09E-02 -0.080853151 1.711E+02 5
-5.96E-03 -0.005962288 -1.483E+02 6
4. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
FG A I E L alfa
2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 83650.0 0.0 0.0 -83650.0 0.0 0.0
2 0.0 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+02
3 0.0 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+02
4 -83650.0 0.0 0.0 83650.0 0.0 0.0
5 0.0 -1.540E+02 -4.620E+02 0.0 1.540E+02 -4.620E+02
6 0.0 4.620E+02 9.240E+02 0.0 -4.620E+02 1.848E+03
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
10 11 12 13 14 15
1 10 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00
2 11 0.000E+00 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+02
3 12 0.000E+00 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+02
4 13 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00
5 14 0.000E+00 -1.540E+02 -4.620E+02 0.000E+00 1.540E+02 -4.620E+02
6 15 0.000E+00 4.620E+02 9.240E+02 0.000E+00 -4.620E+02 1.848E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
-1.19E-02 -0.011906099 -9.959E+02 10
-7.82E-02 -0.078184172 1.120E+00 11
-5.58E-03 -0.005581865 7.827E-01 12
0.00E+00 0 9.959E+02 13
-1.02E-01 -0.102205696 -1.120E+00 14
0.00E+00 0 5.940E+00 15
5. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
CG A I E L alfa
1.20E-03 6.60E-06 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 83650.0 0.0 0.0 -83650.0 0.0 0.0
2 0.0 6.160E+02 9.240E+02 0.000E+00 -6.160E+02 9.240E+02
3 0.0 9.240E+02 1.848E+03 0.000E+00 -9.240E+02 9.240E+02
4 -83650.0 0.0 0.0 83650.0 0.0 0.0
5 0.0 -6.160E+02 -9.240E+02 0.0 6.160E+02 -9.240E+02
6 0.0 9.240E+02 9.240E+02 0.0 -9.240E+02 1.848E+03
Matriz de rotación
0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
7 8 9 13 14 15
1 7 6.160E+02 -5.086E-12 9.240E+02 -6.160E+02 5.086E-12 9.240E+02
2 8 -5.086E-12 8.365E+04 5.660E-14 5.086E-12 -8.365E+04 5.660E-14
3 9 9.240E+02 5.660E-14 1.848E+03 -9.240E+02 -5.660E-14 9.240E+02
4 13 -6.160E+02 5.086E-12 -9.240E+02 6.160E+02 -5.086E-12 -9.240E+02
5 14 5.086E-12 -8.365E+04 -5.660E-14 -5.086E-12 8.365E+04 -5.660E-14
6 15 9.240E+02 5.660E-14 9.240E+02 -9.240E+02 -5.660E-14 1.848E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
0.00E+00 0.103660774 1.217E+02 7
-1.04E-01 0 0.000E+00 8
0.00E+00 0 0.000E+00 9
0.00E+00 0.102205696 -1.217E+02 13
-1.02E-01 0 0.000E+00 14
0.00E+00 0 0.000E+00 15
6. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
CF A I E L alfa
2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 2.07E+02
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.0
2 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
3 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
4 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.0
5 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00
6 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00
Matriz de rotación
-0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0
0.4 -0.9 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 -0.9 -0.4 0.0
0.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
7 8 10 11
1 7 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00
2 8 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00
3 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
4 10 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00
5 11 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00
6 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
0.00E+00 0.046415054 5.245E+01 7
-1.04E-01 0.092688721 0.000E+00 8
0.00E+00 0 0.000E+00
-1.19E-02 0.045653562 -5.245E+01 10
-7.82E-02 0.064577644 0.000E+00 11
0.00E+00 0 0.000E+00
7. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
BG A I E L alfa
2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 3.33E+02
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.0
2 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
3 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
4 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.0
5 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00
6 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00
Matriz de rotación
0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0
0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.0
0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
4 5 13 14
1 4 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00
2 5 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00
3 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
4 13 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00
5 14 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00
6 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
6.32E-03 0.041852936 9.177E+03 4
-8.09E-02 -0.069465777 0.000E+00 5
0.00E+00 0 0.000E+00
-1.02E-01 -0.091387656 -9.177E+03 13
0.00E+00 -0.045763529 0.000E+00 14
0.00E+00 0 0.000E+00
8. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
BF A I E L alfa
2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 167300.0 0.0 0.0 -167300.0 0.0 0.0
2 0.0 1.232E+03 1.848E+03 0.000E+00 -1.232E+03 1.848E+03
3 0.0 1.848E+03 3.696E+03 0.000E+00 -1.848E+03 1.848E+03
4 -167300.0 0.0 0.0 167300.0 0.0 0.0
5 0.0 -1.232E+03 -1.848E+03 0.0 1.232E+03 -1.848E+03
6 0.0 1.848E+03 1.848E+03 0.0 -1.848E+03 3.696E+03
Matriz de rotación
0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
4 5 6 10 11 12
1 4 1.232E+03 -1.017E-11 1.848E+03 -1.232E+03 1.017E-11 1.848E+03
2 5 -1.017E-11 1.673E+05 1.132E-13 1.017E-11 -1.673E+05 1.132E-13
3 6 1.848E+03 1.132E-13 3.696E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 1.848E+03
4 10 -1.232E+03 1.017E-11 -1.848E+03 1.232E+03 -1.017E-11 -1.848E+03
5 11 1.017E-11 -1.673E+05 -1.132E-13 -1.017E-11 1.673E+05 -1.132E-13
6 12 1.848E+03 1.132E-13 1.848E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 3.696E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
6.32E-03 0.080853151 4.465E+02 4
-8.09E-02 0.006319047 1.120E+00 5
-5.96E-03 -0.005962288 1.328E+00 6
-1.19E-02 0.078184172 -4.465E+02 10
-7.82E-02 -0.011906099 -1.120E+00 11
-5.58E-03 -0.005581865 2.031E+00 12
9. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
AF A I E L alfa
2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.70E+00 -2.66E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 74910.4 0.0 0.0 -74910.4 0.0 0.0
2 0.0 1.106E+02 3.705E+02 0.000E+00 -1.106E+02 3.705E+02
3 0.0 3.705E+02 1.655E+03 0.000E+00 -3.705E+02 8.275E+02
4 -74910.4 0.0 0.0 74910.4 0.0 0.0
5 0.0 -1.106E+02 -3.705E+02 0.0 1.106E+02 -3.705E+02
6 0.0 3.705E+02 8.275E+02 0.0 -3.705E+02 1.655E+03
Matriz de rotación
0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0
0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.0
0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
1 2 3 10 11 12
1 1 5.995E+04 -2.992E+04 1.657E+02 -5.995E+04 2.992E+04 1.657E+02
2 2 -2.992E+04 1.508E+04 3.314E+02 2.992E+04 -1.508E+04 3.314E+02
3 3 1.657E+02 3.314E+02 1.655E+03 -1.657E+02 -3.314E+02 8.275E+02
4 10 -5.995E+04 2.992E+04 -1.657E+02 5.995E+04 -2.992E+04 -1.657E+02
5 11 2.992E+04 -1.508E+04 -3.314E+02 -2.992E+04 1.508E+04 -3.314E+02
6 12 1.657E+02 3.314E+02 8.275E+02 -1.657E+02 -3.314E+02 1.655E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
1.14E-02 0.010164807 -1.061E+03 1
0.00E+00 0.005083501 -3.634E+00 2
-2.82E-02 -0.028208195 -2.154E+01 3
-1.19E-02 0.024322386 1.061E+03 10
-7.82E-02 -0.075252518 3.634E+00 11
-5.58E-03 -0.005581865 -2.814E+00 12
10. CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
BC A I E L alfa
5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 6
1 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0
2 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03
3 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03
4 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.0
5 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+03
6 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales
1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9
1 4 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00
2 5 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03
3 6 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03
4 7 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00
5 8 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+03
6 9 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+01
0.5 Locales Globales Locales Globales
L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 4
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 5
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 6
0.0 0.000E+00 0.000 0.000 7
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 8
0.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 9
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo
Globales Locales
6.32E-03 0.006319047 1.190E+03 4
-8.09E-02 -0.080853151 1.548E+02 5
-5.96E-03 -0.005962288 1.470E+02 6
0.00E+00 0 -1.190E+03 7
-1.04E-01 -0.103660774 1.452E+02 8
0.00E+00 0 -1.182E+02 9
20. CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 52
5.5. Ejercicios propuestos
1. En la celosía de la figura determinar los esfuerzos en las barras DF y DC
, y los desplazamientos de los nudos debidos a: Las cargas exteriores, un
incremento de temperatura de 30 grados en la barras DF y ED y un asiento
horizontal en el apoyo C de 0.5 cm α = 1,2∆10−5 C −1
6m
A B
6m
F
10kN
E C
E=2.1·106 kg/cm2 D
A=17.4 cm2 10kN
A B
-16442
-38802
F
E C
33212 -49412
33212 Dx=5.2 mm
Dy=-0.78 mm
Fx=0.459 mm
Esfuerzos en N
Fy=0.567 mm
D
2. En la estructura de la figura , todas las barras están constituidas por perfiles
HEB 500 de acero. Se pide:
Dibujar y numerar los grados de libertad de la estructura, de forma
21. CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 53
E q = 20kN/ m (distancia medida
en proyección horizontal)
q
50 kN
3m
q
A
D
B C
50 kNm
2m
50 kN
F
G
2m
2m 2m 2m 4m
2m 2m
que se obtenga directamente los desplazamientos del nudo G. (solu-
ción:GDL= 25)
Matriz de rigidez de la barra BE en coordenadas locales y globales, con
dibujo de los ejes considerados.´
Ecuación de equilibrio de la estructura con introducción de las condi-
ciones de contorno.
Supuesta resuelta la estructura y obtenidoslos siguientes desplazamien-
tos (en globales ) para los nudos E y B, diagrama de solicitaciones en
la barra EB Nudo E giro = -0.000284 rad ; nudo B dx = -0.0129 cm dy
= -0.0336 cm giro= 0.000064 radianes
Soluciónes: Esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos cargas ex-
teriores,empezando por nudo E: -24kN, 32kN, 26.67kN.m, -24kN, 32kN, -
26.67kN.m; esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos a desplazamien-
tos,empezando por nudo E: -98.77kN, -4.4kN, -26.67kN.m, 98.77kN, 4,4kN,
-4.67m.kN; esfuerzos totales sobre extremos barra en locales,empezando por
nudo E: -122.77 kN, 27,6kN, 0, 74.77kN, 36,4kN, - 22,00m.kN).
3. Sobre la estructura de la figura