Cours espace

285 vues

Publié le

bac math tun

Publié dans : Formation
0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
285
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
3
Actions
Partages
0
Téléchargements
3
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Cours espace

  1. 1. 1 L’espace est muni d’une repère orthonormé direct ( )k,j,i,O . Produit scalaire dans l’espace. Définition Soit u et v deux vecteurs et les point O , M , N tels que OAu = et OBv = . On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le réel noté v.u et défini comme suit : ♦Si 0u = ou 0v = alors 0v.u = . ♦Si 0u ≠ et 0v ≠ alors ( )BOˆAcosvuv.u ×= Conséquence 1°) OH.OAOB.OA = où H est le projeté orthogonal de B sur (OA). 2°)       −−+= 222 vuvu 2 1 v.u 3°)       −−+= 222 vuvu 2 1 v.u 4) 0v.uvu =⇔⊥ Propriétés : Soit u , v et w trois vecteurs et a et b deux réels. Déterminant Soit B= ( )k,j,i est une base Pour tout vecteur u , il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tel que kzjyixu ++= M(x,yz) kzjyixOM ++= Soit           c b a u ,           'c 'b 'a v et           ''c ''b ''a w On appelle déterminant de ( )w,v,u dans la base B, et on note detB ( ) "c'cc "b'bb "a'aa w,v,u = le réel : "b'b "a'a c "c'c "a'a b "c'c "b'b a +− Produit vectoriel dans l’espace. Définition : Soit ABu = et ACv = deux vecteurs . On appelle produit vectoriel de u par v , le vecteur défini comme suite : ▪Si u etv sont colinéaires alors 0vu =∧ ▪Si u etv ne sont pas colinéaires alors : i. vuu ∧⊥ et vuv ∧⊥ . ii. ( )vu,v,u ∧ est une base direct. 22 uu = u.vv.u = )v.u(ab)vb).(ua( = v.u2vuvu 22 2 ++=+ v.u2vuvu 22 2 −+=+       +=−++ 22 2 vu2vuvu w.uv.u)wv(u +=+ Fiche de cours 4ème Maths Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’EspaceEspaceEspaceEspace Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  2. 2. 2 iii. ( )CAˆBsinvuvu ×=∧ Conséquences et propriétés 0uu =∧ 0vu =∧ , si et seulement si , u etv sont colinéaires ( )kAC,ABsinACABACAB ××=∧ où k unitaire et normale au plan (ABC) ( )uvvu ∧−=∧ ( )vuabvbua ∧=∧ ( ) ( ) ( ) ( )w,v,udetv.uwu.wvw.vu =∧=∧=∧ ( ) wuvuwvu ∧+∧=+∧ Soit           c b a u et           'c 'b 'a v alors : k 'bb 'aa j 'cc 'aa i 'cc 'bb vu +−=∧ Propriétés Soit u , v et w des vecteurs de l’espace. L’aire du parallélogramme ABCD est égale à : ADAB ∧ L’aire du triangle ABD est égale à : ADAB 2 1 ∧ Le volume d’un tétraèdre ABCD est égale à : ( )BA.BDBC 6 1 ∧ Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égale à : ( ) ( )AE,AD,ABdetAE.ADAB =∧ La distance d’un point M de l’espace à la droite ( )u,A∆ est le réel : u uMA )∆,M(d ∧ = AB MBMA ∧ = avec ∆B ∈ Translation *) ( ) u'MMMt'M u =⇔= *) u 1 u tt − − = *) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f = f est une translation si et seulement si MN'N'M = . *)Toute translation de l’espace conserve la distance. *) Toute translation de l’espace conserve le produit scalaire. *)L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle. *)L’image d’un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle. *)Toutes translation conserve la parallélisme et l’orthogonalité. *) Toutes translation conserve le milieu *)L’image d’un sphère S par une translation est une sphère 'S de même rayon et de centre l’image du centre. *) Soit           c b a u Si ( ))z,y,x(Mt)'z,'y,'x('M u = alors      += += += cz'z by'y ax'x Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que      += += += cz'z by'y ax'x est la translation de vecteur           c b a u .
  3. 3. 3 Homothétie *) ( )( ) IMk'IMMh'M k,I =⇔= , ( *)Rk ∈ *) ( )       − = k 1 ,I k,I 1 hh *) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f = f est une homothétie si et seulement si MNk'N'M = . *)L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. *)L’image d’un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle. *)Toutes homothétie conserve la parallélisme et l’orthogonalité. *) Toutes homothétie conserve le milieu *)L’image d’un sphère S du centre I et de rayon R par une homothétie est une sphère 'S de centre 'I image de I et de rayon Rk . *) Toutes homothétie conserve le contact. *) Soit )c,b,a(I et { }1*Rk −∈ Si ( )( ))z,y,x(Mh)'z,'y,'x('M k,I= alors      −+= −+= −+= c)k1(kz'z b)k1(ky'y a)k1(kx'x Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que      += += += γ β α kz'z ky'y kx'x est une homothétie de centre       −−− k1 , k1 , k1 I γβα et de rapport k. Rappel Soit )z,y,x(A 000 ,           c b a u et           'c 'b 'a v Droite: L'ensemble des points M tels que AM et u soient colinéaires est une droite, appelé droite passant par A et de vecteur directeur u . { }uAM,R/M)u,A(D αα =∈∃℘∈= Représentation paramétrique :      += += += czz byy axx :)u,A(D 0 0 0 λ λ λ ; R∈λ Plan: Dans le cas où u et v non colinéaires: L'ensemble des points M tels que AM soit combinaison linéaire de u et v , est un plan, appelé plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v . { }vuAM,R,/M)v,u,A(P βαβαξ +=∈∃∈= . Représentation paramétrique :      ++= ++= ++= 'cczz 'bbyy 'aaxx :)v,u,A(P 0 0 0 βλ βλ βλ ; R∈λ Equation cartésienne d’un plan et d’une droite *)Plan : 0dczbyax:P =+++ avec ( ) ( )0,0,0c,b,a ≠ *)Droite : l’ensemble des points M(x,y,z) tels que    =+++ =+++ 0'dz'cy'bx'a 0dczbyax est une droite, si et seulement si, les triplets ( )c,b,a et ( )'c,'b,'a ne sont pas proportionnels.
  4. 4. 4 *)L’ensemble { }0n.AM/M =∈ ξ est le plan passant par A et de vecteur normal n *)Le vecteur           c b a n est le vecteur normale à P. *)Le vecteur           γ β α x est un vecteur de P si et seulement si 0cba =++ γβα Position relatives Soit )u,A(D , )'u,'A('D , 0dczbyax:P =+++ et 0'dz'cy'bx'a:'P =+++ Leur vecteurs normaux n et 'n *) 'DD ⊥ si et seulement si 'uu ⊥ *) 'D//D si et seulement si 'u//u *) 'PP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥ *) 'P//P si et seulement si u//n *) DP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥ *) D//P si et seulement si un ⊥ Distance de A à P : ( ) ²c²b²a dczbyax P,Ad 000 ++ +++ = La sphère Etant donnés un point I de ξ et un réel R strictement positif. On appelle sphère de centre I et de rayon R, et on note ( )R,Iζ l’ensemble des points M de ξ tels que : IM = R. Autre définition : Soit la sphère ζ de diamètre [AB]. MBMAM ⊥⇔∈ ζ Equation cartésienne d’un sphère : ( )R),c,b,a(Iζ : ( ) ( ) ( ) ²Rczbyax 222 =−+−+− Réciproquement : Soit { }0dzyx²z²y²x/)z,y,x(ME =++++++∈= γβαξ On pose d 4 ²²² h − ++ = γβα Si h <0 alors oE /= Si h = 0 alors       = ) 2 , 2 , 2 (IE γβα Si h>0 alors ( )h,I E ζ= Intersection d’une sphère et d’un plan. Soit ζ une sphère de centre I et de rayon R. Soient P un plan , H le projeté orthogonal de I sur P et ( )P,Id = . Si d > R alors OP /=ζ∩ , on dit que P et ζ sont extérieurs. Si d = R alors { }HP =ζ∩ , on dit que P et ζ sont tangents. Si 0 < d < R alors ζ∩P est le cercle de P de centre H et de rayon ²d²R − , on dit que P et ζ sont sécants.

×