Exercice N° 1: (2points)
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
Indiquer sur votre copie le ...
Exercice N° 3: (5points)
Soit OAB un triangle rectangle isocèle en O tels que ( ) [ ], 2
2
OA OB
π
π≡
uuur uuur
et OA = OB...
d'équations x=1 et x= 2
( 5points):Exercice N°5
( )
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Correction du devoir de synthèse N° 2
Exercice N° 1:
1) b 2) b 3) b 4) a
Exercice N° 2:
1) a-
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1
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Signifie que 1
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Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]

  1. 1. Exercice N° 1: (2points) Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie. 1) Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et a et b deux réel de I on à: ) ( ) 0 ) ( ) 0 ) ( ) 0 b b b a a a a f t dt b f t dt c f t dt≥ ≥ ≥∫ ∫ ∫ 2) La limite de ln(1 )t t − en zéro est égale à : a) 1 b) -1 c) 2 3) La parabole d'équation x2 = 4 y à pour foyer le point de coordonnées : a) F (0,-1) b) F(0,1) c) F(1,0) 4) L'intégrale 1 ln x t dt∫ pour tout ] [0,x ∈ + ∞ est égal à : a) x lnx – x + 1 b) x ln x c) x ln x - x Exercice N° 2: ( 3points) Dans le plan muni d'un repère orthonormé on désigne par (H) l'ensemble des points M(x, y) tels que: 2 2 12 4 48.x y− = 1) a- Montrer que (H) est une hyperbole de foyer F(4,0). b- Déterminer les asymptotes de (H) puis tracer (H). 2) Soit M(x0,y0) un point de (H) non situé sur l'axe focal .La tangente (T) à (H) en M coupe la droite D d'équation x = 1 en un point Q. a- Calculer le produit scalaireFM FQ uuuur uuur . b- En déduire une construction géométrique de la tangente à (H) en un point M de (H). Prof: Otay Classe: 4eme Maths Durée :4 heures Devoir de synthèse N° 2 MathématiquesLycée El aghaliba Mars 2009
  2. 2. Exercice N° 3: (5points) Soit OAB un triangle rectangle isocèle en O tels que ( ) [ ], 2 2 OA OB π π≡ uuur uuur et OA = OB = 2 cm On pose I = O * A , J = O * B et K = A* B. On désigne par S la similitude directe tel que S(A) = K et S(K) = J. A / 1) Déterminer le rapport et l'angle de S . 2) Montrer que O est le centre de S. B / On considère le repère orthonormé ( , , )R O OI OJ= uur uuur . 1) Déterminer l'application complexe associée a S. 2) Soit P l'ensemble des points M(x,y) vérifiant: x2 + y2 + 2xy – 4x + 4y = 0 selon R. a- Soit M'(x',y') tel que M' = S (M) . Montrer que ( ' ') ( ' ') x x y y y x = +  = − . b- Donner une équation de P' l'image de P par S. c- Montrer que P' est une parabole dont on précisera le foyer F' et la directrice D'. d- En déduire que P est une parabole dont on pressera le foyer et la directrice. ( 5points):Exercice N°4 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ln(x2 – 2x +2). .On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) a- Dresser le tableau de variation de la fonction f b- Montrer que la droite D d'équation x = 1 est un axe de symétrie pour (C). c- Préciser la branche infinie de (C) au voisinage de + oo. d- Tracer la courbe (C). 2) Soit F la fonction définie sur 0, 2 π     Par 1 tan 2 1 ( ) 2 2 x dt F x t t + = − +∫ et que F'(x) = 1.0, 2 π     a- Montrer que F est dérivable sur b- En déduire que F(x) = x et que 2 2 1 2 2 4 dt t t π = − +∫ 3) a-Montrer que 2 2 2 2 1 1 ( ) 2ln 2 2 2 2 x x f x dx dx x x − = − − +∫ ∫ 2 2 2 2 1 1 , 1 2 2 2 2 2 2 x x x x IR x x x x x x − − ∈ = + − − + − + − + b- Vérifier que pour tout c-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites
  3. 3. d'équations x=1 et x= 2 ( 5points):Exercice N°5 ( ) 1 2 0 1 n n x I dx x = + ∫On définie pour tout entier naturel non nul n l'intégrale 1) Montrer que la suite (In) est décroissante .Déduire qu'elle est convergente lim n n I →∞ . 1 1 ; 4( 1) 1 nn IN I n n ∗ ∀ ∈ ≤ ≤ + + En déduire2) Montrer que 3) a) Montrer que 1 1 3 0 1 2 ; 4( 1) 1 ( 1) n n x n IN I dx n n x + ∗ ∀ ∈ = + + + +∫ 1 1 1 2 ( 1) 4 4( 2) 4 2 nn IN n I n n ∗ ∀ ∈ + ≤ + ≤ + + + Déduire queb) lim ( 1) n n n I →∞ + En déduire lim n n nI →∞ c) Calculer 4) Pour tout entier naturel non nul on pose 1 3 1 0 ( 1) ( 1) n k n K K x S I et I dx x= − = − = + ∑ ∫ : a- Montrer que 1 8 I = − b- Vérifier que [ ] 1 1 ( 1) 0,1 : ( 1) 1 1 n nn K K K x x n IN et x x x x + ∗ = − − ∀ ∈ ∀ ∈ − = + + + ∑ c- En déduire que 1 1 3 0 ( 1) . (1 ) n n n x S I dx x + − = − +∫ En déduire que (Sn) est convergente et déterminer sa limite.,d- Montrer que 1n nS I I +− ≤ ………………………………. ……………………. ………………………………..
  4. 4. Correction du devoir de synthèse N° 2 Exercice N° 1: 1) b 2) b 3) b 4) a Exercice N° 2: 1) a- 2 2 12 4 1 48 48 x y − = 2 2 1 4 12 x y − = donc a = 2 ; b= 2 3 et c= 4 (H) est une hyperbole de foyer F(4,0) et de directrice D: x = 1 b- D1 : y = 3 x et D2 : y = - 3 x 2) a- Q (1,yQ) Q 0 0 0 : 1 4 12 M xx yy T∈ − = on conclu que 0 0 0 3 12 Q x y y y = − 0 0 4x FM y −      uuuur et 0 0 0 1 4 3 12FQ x y y −     −    uuur Donc 0 0 0 0 0 3 12 ( 4)( 3) ( ) .... 0 x FM FQ x y y y = − − + = = uuuuruuuur b- 0FM FQ = uuuuruuur donne FM FQ⊥ uuuur uuur on trace la perpendiculaire à (FM) passant par M. Exercice N° 3: A- 1) 2 2 k = et [ ]2 4 π θ π≡ B) 1) S(M) = M' Z' = a Z + b or S(O) = O donc b= 0 d' ou Z' = a Z = 4 2 2 i e Z π 1 ' ( ) 2 2 i Z Z= + 2) a-Z = x + iy et Z' = x' + iy' 1 ' ' ( )( ) .......... 2 2 i x iy x iy+ = + + = b- on obtient x= x' +y' et y= y' – x' c- P' : y'2 = 2x' donc P' est une parabole de foyer ( 1 '( ,0) 2 F et de directrice D': x'= 1 2 − d- P' = S(P) donc P = S -1 (P) , S -1 est une similitude directe de centre O , de rapport 2 et d'angle 4 π − Soit M un point du plan et K son projeté orthogonal sur D' on note N = S-1 (M) , H = S-1 (K) et F = S-1 (F')
  5. 5. M ∈P' signifie que ' 1 MF MK = Signifie que 2 1 2 NF NH = Signifie que 1 NF NH = Comme (MK) ⊥ D' en K alors (NH) ⊥ S-1 (D') en H On pose D = S-1 (D') 1 NF NH = donc P est une parabole de foyer F et de directrice D avec F = S-1 (F') xF= x'F' + yF' = 1 2 et yF = 0 - 1 2 = - 1 2 d’où F( 1 2 ,- 1 2 ) et D : x – y = -1 Exercice N° 4: 1) f est définie ssi 2 2 2 0x x− + f or 2 2 2 0x x− + = 4 0∆ =− p sig 2 2 2 0x x− + f Df =IR 2 2( 1) '( ) 2 2 x f x x x − = − + b- c- ( ) lim 0 x f x x→+∞ = donc cf admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses 2) b- F'(x) =1 sig que F(x) = x + c or F(0) = 0 donc F(x) = x 2 2 1 ( ) 2 2 4 4 dt F t t π π = = − +∫ 2) a- 2 1 ( )f x dx∫ u(x) = ln( x2 – 2x +2) u'(x) = 2 2 2 2 2 x x x − − + v'(x) = 1 v(x) = x 2 1 ( )f x dx∫ = …………….=….. b-Réduire au même dénominateur c- 2 2 1 ln( 2 2A x x dx= − +∫
  6. 6. = 2 2 1 ln( 2 2)x x dx− +∫ = 2ln2 - 2 2 2 2 1 2 2 x x dx x x − − +∫ = 2ln2 - 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x dx x x x x − + − − + − +∫ = ……………… = (ln2 + 4 π ) ua Exercice N° 5: 1)In+1 – In =……..≤0 or In est minoré par 0 d’où le résultat 2) 0 1 1 1 2x sig x≤ ≤ ≤ + ≤ sig 1 ≤(x+1)2 ≤ 4 sig ……………… 3) a- 1 2 0 (1 ) n n x I dx x = +∫ une intégration par partie avec u(x) = 2 1 (1 )x+ u'(x) = 3 2 (1 )x − + v'(x) = xn v(x) = 1 1 n x n + + nous donne le résultat b- de même que la question n°2 c- 1 lim ( 1) .......... 4 n n n I →+∞ + = = 1 lim 4 n n n nI I →+∞ + = or lim 0n n I →+∞ = donc 1 lim 4 n n nI →+∞ = 4)a- 1 3 0 ( 1) x I dx X − = +∫ une intégration par partie avec u(x) = x u'(x) = 1 v'(x) = 3 1 ( 1)x − + v(x) = 2 1 2( 1)x + nous donne I = 1 8 − b- 1 1 ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) nn k k k x x x x= − − − = − − − ∑ ,somme des termes consécutif d'une suite géométrique de raison (-x) et de premier terme (-x). 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 n nn k k k x x x x x + = − − − = + + + ∑ c- Sn- I =……..= 1 3 1 (1 ) 0 ( 1) nn x x dx + + − ∫
  7. 7. d- nS I− = 1 3 1 (1 ) 0 n x x dx + +∫ or (1+x)2 ≤ (1+x)3 donc 3 1 (1 )x+ ≤ 2 1 (1 )x+ sig 1 3 (1 ) n x x + + ≤ 1 2 (1 ) n x x + + sig 1 1 3 0 (1 ) n x dx x + ≤ +∫ 1 1 2 0 (1 ) n x dx x + +∫ d’où le résultat 1 lim 8 n n S I →+∞ − = =

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