Exercice continuité et limites

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Exercice continuité et limites

  1. 1. 1 EXERCICE N°1 Calculer les limites suivantes : ²xx1 x3²x1 lim x −+ +− +∞→ ; ²x2x1 ²xx2 lim 1x −+ +− → ; 1x x32²x lim 1x − −+ → ; ( )x2x3²xlim x −+ +∞→ ; ( )xx3²xlim x −+ +∞→ ; ( )xx3²xlim x −+ −∞→ ; ( )1x3x3²xlim x +−+ +∞→ ; 36x 3x lim 3x −+ − → ; 22x 37x lim 2x −+ −+ → ; ax xaax lim nn ax − − → ( )* NR)n,a( ×∈ ; ( )      ++++− −−∞→ n nx x...²xx1 x1 1 x 1 lim , * Nn∈ ; ( )x²xx²xlim x −−+ +∞→ ;       − − +∞→ 2x3 1x2 coslim x π ; x 1xcos lim 0x − → ; 9²x 3x3x lim 3x − −+− → ,         −+ → 2 x 1 4xlim 0x , x 2xsin4 lim 0x −+ → . EXERCICE N°2 Calculer les limites suivantes quand elles existent : )x2cos( )xtan(1 lim 4 x − → π ; 3)x²(sin4 1)xcos(2 lim 3 x − − → π ;       − → xtan 1 x2sin 2 lim x π ; x3cos1 x3sin lim 0x −→ ( )       −− → 2 x tan11xtanlim 2 x π ; 1x²cosxsin x²cosxsin1 lim 2 x −+ +− → π ; xtan 2 x sin 2 x coslim 2 x       − → π ; ( )       − −→ x²sin 1 xcos12 1 lim 0x , ( ) a2 x tan.xa ax lim 22 π − → EXERCICE N°3 On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) = 3 x + sin x x − 1 . Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤ 4 x − 1 . En déduire la limite de f en + ∞ EXERCICE N°4 La fonction f est définie sur IR par : f (x) = 1 2 – cos x . 1°)) Montrer que, pour tout réel x, 1 3 ≤ f (x) ≤ 1 . b) En déduire les limites suivantes : lim x → +∞ 1 x (2 – cos x) ; lim x → –∞ x2 + 1 2 – cos x et lim x → 0 1 x2 (2 – cos x) EXERCICE N°5 Soit la fonction xsin2x3x:f +֏ 1°)a-Montrer que pour tout x de R : 2x3)x(f2x3 +≤≤− b-En déduire )x(flim x −∞→ et )x(flim x +∞→ 2°)Soit la fonction g défini sur R par :       = ≠ = 0xsi 5 1 0xsi )x(f x )x(g a- Montrer que g est continue en 0. b- Montrer que pour tout       +∞∈ , 3 2 x : 2x3 x )x(g 2x3 x − ≤≤ + c- En déduire )x(glim x +∞→ . Interprète géométriquement le résultat. EXERCICE N°6 Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) = x + cos x x2 +1 Séries d’exercices 4ème Maths Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  2. 2. 2 1°)Montrer que, pour x > 1, x − 1 x2 + 1 ≤ ϕ(x) ≤ x + 1 x2 + 1 2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ . EXERCICE N°7 Soit la fonction f définie sur       +∞− , 2 1 par : 1x2 xcosx )x(f + +− = 1°)Démontrer que pour tout 2 1 x −> on a : 1x2 1x )x(f 1x2 1x + +− ≤≤ + −− 2°) En déduire la limite de f en + ∞ . EXERCICE N°8 Soit f la fonction définie sur R par : 1²x 2 1x)x(f + +−= . On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé Calculer )x(flim x +∞→ , x )x(f lim x +∞→ . Interpréter graphiquement EXERCICE N°9 On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Soit ²x1 x 1x:f n + +֏ avec * Nn∈ . Etudier suivant n )x(flim n x +∞→ , x )x(f lim n x +∞→ . Interpréter graphiquement EXERCICE N°10 Soit la fonction f définie par      =++ ≠ − −+ = 1xsi1pxx2 1xsi 1²x xm23²xm )x(f 3 Déterminer m et p pour que f soit continue sur R. EXERCICE N°11 On considère la fonction f définie par : ] ] { } [ [ ] [ ] [     ∪−∈ −− +∞∪∪−∞−∈−− = 1,00,1xsi x 1²x1 ,101,xsiaxx²x )x(f 1°)Etudier la continuité de f en 0. 2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1. 3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R. EXERCICE N°12 Soit la fonction f définie par 5x²x7x 23²x )x(f 3 ++− −+ = si { }1Rx −∈ et f(1)=a. 1°) Déterminer le domaine de définition Df de f. 2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1. EXERCICE N°13 Soit la fonction f définie par : ( )2 1x 1xxx )x(f − −−− = 1°)Déterminer le domaine de définition Df de f. 2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier. 3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f . 4°)Calculer )x(flim 1x + → et )x(flim x +∞→ . EXERCICE N°14 Calculer les limites suivantes quand elles existent :       → x 1 sinxlim 0x ;       → x 1 Exlim 0x ; x x 1 E x x 1 E lim 0x +      −      → ; x 2008 x E lim x       +∞→ ; )xsin(²x 3)x(xE lim x + + +∞→ ; xsin2 xsinx lim x − + +∞→ ;
  3. 3. 3 ( ) 1²x xsin1x lim x − + +∞→ ;       − → xsin 1 x 1 sinxlim 0x ; xx 3 x 1 sin x 1 ²cos2 lim 0x + +− → . EXERCICE N°15 Répondre par Vrai ou Faux. 1°)Si +∞= → )x(flim ax , +∞= → )x(glim ax et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors [ ] +∞=− → )x(g)x(flim ax 2°)Si +∞= → )x(flim ax et si g(x)< 0 pour tout x, alors −∞= → )x(g)x(flim ax . 3°)Si 0)x(flim ax = → , alors soit +∞= → )x(f 1 lim ax , soit −∞= → )x(f 1 lim ax . EXERCICE N°16 On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour 3 x x)xsin( )x(f − = 1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite. 2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : 30x x x)xtan( lim − → et 40x x 2 ²x )xcos(1 lim −− → EXERCICE N°17 Calculer ( )24x 4x16 24x.23xx16 lim − −−− → EXERCICE N°18 1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ] [2;1∈ 2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à 1 10− près . EXERCICE N°19 Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R . EXERCICE N°20 Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement, montrer que toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ? EXERCICE N°21 1°)Soit [ ] [ ]1,01,0:f → une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution sur[ ]1,0 . 2°)Plus générale : Soit [ ] [ ]b,aJb,a:f ⊂→ une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution sur[ ]b,a 3°)Soit une fonction [ ] Rb,a:f → continue, et βα, des réels strictement positifs. Montrer qu’il existe [ ]b,ac ∈ tel que : ( ) ( ) ( ) ( )cfbfaf βαβα +=+ EXERCICE N°22 Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : yxk)y(f)x(f −<− avec 0 < k < 1 Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b] EXERCICE N°22 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) )x(fx2f = . EXERCICE N°23 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) .xcos)x(fx2f =

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