2. Énoncé du problème
• On vous demande d’évaluer la section des poutrelles du
treillis permettant de supporter la charge P de 1000 Ntreillis permettant de supporter la charge P de 1000 N
exercée au nœud D.
• Données : longueur des poutrelles
– Poutrelle AD : 3 mètres
– Poutrelle DB : 6 mètres
– Poutrelle CD : 4 mètres
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3. Réflexion
• Sans aucune connaissance des propriétés des
matériaux, on ne peut répondre à la question.matériaux, on ne peut répondre à la question.
• Cependant, votre connaissance de la mécanique
classique, en particulier des lois de l’équilibre statique,
devrait vous permettre d’évaluer la grandeur des forces
(de tension ou de compression) auxquelles sont
soumises chacune des poutrelles.
• Mais qu’est-ce qu’un treillis ?
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• Mais qu’est-ce qu’un treillis ?
4. Treillis
• Aussi appelés fermes ou poutres
triangulées
• Un des plus importants types de• Un des plus importants types de
construction métallique utilisée en
génie :
– Solution pratique et économique pour
conception de :
• Ponts
• Édifices
• Autres structures …
• Définition :
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• Définition :
– Constitué de poutrelles droites
assemblées à leurs extrémités (joints
ou nœuds), toutes situées dans un
même plan.
5. Treillis
• Caractéristiques :
– Charges appliquées sur les nœuds et non sur les membres– Charges appliquées sur les nœuds et non sur les membres
(minces, ils supportent mal les forces latérales).
– Poids des membres s’exerce à l’emplacement des noeuds; la
moitié du poids d’une poutrelle est appliquée à chaque
extrémité.
– Nœuds : joints articulés
• Éléments à 2 forces axiales (tension ou compression).
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7. Treillis simples
• Treillis simple :
– résultat de l’ajout de 2 membres à la fois au triangle original– résultat de l’ajout de 2 membres à la fois au triangle original
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• Critère : B = 2N – 3
– B : nombre de barres
– N : nombre de noeuds
8. Analyse du treillis
• Objectif :
– Évaluer les forces exercées sur chaque membre du treillis– Évaluer les forces exercées sur chaque membre du treillis
(tension ou compression).
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9. Analyse du treillis
• Situation :
• Étape 1 :
– diagramme de TOUTES les forces extérieures exercées sur le
treillis
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10. Analyse du treillis
• Étape 2 :
– Calcul des forces extérieures : aux points A et B– Calcul des forces extérieures : aux points A et B
• Condition d’équilibre de translation
• Condition d’équilibre de rotation autour du point O
0 0 0ext x yF F et F= ⇒ = =∑ ∑ ∑
0M =∑
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0OM =∑
11. Moment de force : rappel
• Le moment de rotation d’une force mesure son effet de
rotation sur un corps rigide, relativement à un point fixerotation sur un corps rigide, relativement à un point fixe
O.
• L’expression du moment M : M = d ×××× F⊥
FF┴
d
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O
A F⁄⁄
d
12. Évaluation des réactions
aux points A et B
• Équilibre de translation :
RA + RB – 1000 N = 0RA + RB – 1000 N = 0
• Équilibre de rotation : autour du point A
RA ×××× 0 m – 1000 N ×××× 3 m + RB ×××× 9 m = 0
• On calcule :
– RB = +333.3 N
– RA = +666.6 N
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• Remarque : le signe + signifie que les forces ont bien le sens
supposé au départ
13. Méthode des nœuds
évaluation des forces dans les poutrelles
• Étape 3 :
– Choisir un nœud soumis à un maximum de 2 forces inconnues– Choisir un nœud soumis à un maximum de 2 forces inconnues
• Nœud A :
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Hypothèse : forces inconnues supposées en tension
14. Méthode des noeuds
• Étape 4 :
– Évaluer les 2 forces inconnues en utilisant les équations– Évaluer les 2 forces inconnues en utilisant les équations
d’équilibre de translation (selon l’axe X et l’axe Y).
– Hypothèses : les membrures sont en tension
• Si résultat positif : l’hypothèse initiale est vérifiée.
• Si résultat négatif : l’hypothèse initiale est fausse.
0 0 0ext x yF F et F= ⇒ = =∑ ∑ ∑
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• Si résultat négatif : l’hypothèse initiale est fausse.
15. Méthode des noeuds
• Évaluation de l’inclinaison de la poutrelle AC (α) :
tg(α) = 4/3, d’où : α = 53.13°
• Équilibre selon l’axe X : FAC cos(α) + FAD = 0
• Équilibre selon l’axe Y : FAC sin(α) + 666.6 N = 0
3
4
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• On calcule :
– FAC = - 833.3 N : négative, donc compression;
– FAD = + 500 N : positive, donc tension.
16. Méthode des noeuds
• Étape 5 :
– Répéter les étapes 3 et 4 pour tous les nœuds du treillis.– Répéter les étapes 3 et 4 pour tous les nœuds du treillis.
• Nœud D :
• On calcule :
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• On calcule :
– FCD = + 1000 N : positive, donc tension;
– FDB = + 500 N : positive, donc tension.
17. Méthode des noeuds
• Étape 5 :
– Répéter les étapes 3 et 4 pour tous les nœuds du treillis.– Répéter les étapes 3 et 4 pour tous les nœuds du treillis.
• Nœud B :
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• On calcule : FCB = + 600.9 N, en ayant posé une force de
compression.
19. Dimensions des poutrelles
• La détermination de la dimension optimale des
poutrelles nécessite une connaissance des propriétéspoutrelles nécessite une connaissance des propriétés
des matériaux : Résistance des matériaux
• Notion de contrainte, de déformation et de constante
d’élasticité (Loi de Hooke)
Eσ ε= ⋅
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