O documento apresenta a resolução de uma equação envolvendo logaritmos. A solução encontra que x = (212.12!)225!, simplificando os termos dos logaritmos da expressão dada para chegar a este valor de x. O documento também apresenta a resolução de outros dois problemas envolvendo logaritmos, encontrando as soluções x = 319, y = 313 para o primeiro problema adicional, e a expressão 12log122 = 2 para o segundo problema adicional.

1. Logaritmo<br />Professor Helanderson Sousa<br />Determine o valor de x na expressão abaixo:<br />1log2n - 1log3n + 1log4n - ... - 1log25n = 1logx12n12 com n > 1<br />Solução:<br />Sabendo que 1logba = logab temos<br />1log2n - 1log3n + 1log4n - ... - 1log25n = 1logx12n12 =<br />logn2 - logn3 + logn4 - ... - logn25 = lognx ( pois os expoentes do logaritimando e da base se cancelam)<br />(logn2 + logn4 + ...+ logn24) - (logn3 + logn5 + ... + logn25 ) =<br />logn(2.4. ….24) - logn(3.5. …. 25) = lognx<br />No primeiro log do Lado esquerdo da igualdade temos no logaritimando<br />2.4. ... .24 = (2.1).(2.2).(2.3). ... .(2.12) = 212. (1.2. ... .12) = 212. 12!<br />Já no segundo log(negativo) temos:<br />3.5. ... .25 = 1.2.3.4…..252.4.6…..24 = 25!212. 12!<br />Assim<br />logn(2.4. ….24) - logn(3.5. …. 25) = logn(212. 12!) - logn25!212. 12! = logn(212. 12!)225! = lognx -> x = (212. 12!)225!<br />(CHINA) Ache os reais positivos com<br /> log(x3 + y33 + 19) = logx + logy<br /> Solução.<br />Notamos que x3 + y33 + 19 = xy<br />Da desigualdade entre médias sabemos que<br />a+b+c3 ≥ 3a.b.c<br />E a igualdade só acontece para a = b = c<br />Fazendo a = x3 , b = y33 e c = 19<br />Temos que:<br />(x3 + y33 + 19 )/3 ≥ 3x3 y33 19= xy/3<br />Logo<br />x3 + y33 + 19 ≥ xy<br />Nesse caso concluímos que:<br />x3 = y33 = 19 -> x = 319 e y = 313<br />(EUA) Sejam a e b números reais tais que 60a = 3, 60b = 5. Então o valor numérico da expressão 121-a-b21-b<br />Solução: 60a = 3 -> log603 = a; 60b = 5 -> log605 = b<br />Assim 1-a-b21-b = 1-log603+ log60521-log605 = log6060- log60152log6060 – log605 = log6042log6012 = log602log6012 = log122<br />Assim a expressão se resume a:<br />12log122 = 2<br />(AIME – 2005) Determine o valor numérico de:<br />Solução:<br />2log420006 + 3log420006 = 16 (2log20004 + 3log20005)<br />= 16 (log20002000) = 16 <br />(CHINA) Determine o intervalo em que a função f(x) = log1/2(x2- 2x-3) é crescente.<br />Solução:<br />Primeiramente vemos qual o domínio de f(x)<br />x2- 2x-3 > 0 -> x < -1 e x > 3<br />Assim o domínio de f(x) é (-∞ ,-1) ∪ (3,+ ∞)<br />Em (-∞ ,-1) a função é decrescente e em (3,+ ∞)<br />A função f(x) e Crescente.<br />(IME- 2000) Sejam a e b reais positivos e diferentes de 1. Resolva o sistema<br />ax . b1y = ab<br />2logax = log1by . logab<br />Solução:<br />ax . b1y = ab (i)<br />2logax = log1by . logab (ii)<br />De (ii)<br />2logax = -logby.2logab = logax = -logby.logab<br />logax logab = -logby = logbx = -logby -> x = 1/y<br />De (i) temos<br />ax . b1y = ab -> ax . bx = ab -><br />(ab)x = (ab)1/2<br />logo x=1/2 e y = 2<br />Determine o valor numérico de<br />S = log10%2 + log10% log(10%)8+ log10010% + log10%(10)2<br />Solução:<br />10%2 = 1021002 = 1100 = 10-2<br />10% = 10-12<br />(10%)8 = 10%2 = 1021002 = 1100 = 10-2<br />10%(10)2 = 105<br />Logo<br />S = log10-2 + log10-12 + log10-2 + log105<br />=-2 –(1/2) -2 + 5 = 12<br />8ª Resolva a equação logarítmica.<br />S = 1logn2(logn4)+ 1logn4(logn8)+ 1logn8(logn16)+ …+ 1logn512(logn1024) = 0,1<br />Solução:<br />Notemos que 1log2(log4) = 1log2 - 1log4log2<br />Logo<br />S = 1logn2 - 1logn4logn2 + 1logn4 - 1logn8logn2 + 1logn8 - 1logn16logn2 + ... + 1logn512 - 1logn1024logn2<br />S = 1logn2 - 1logn4 + 1logn4 - 1logn8 +…+ 1logn512 - 1logn1024logn2<br />S = 1logn2 - 1logn1024logn2 Como logn1024 = 10logn2, podemos escrever a<br />expressão em função de logn2, assim teremos:<br />910(logn2)2 = 0,1 -> (logn2)2 = 9<br />-> logn2 = 3 -> n = 32<br />Prove que π3 > log500999999!<br />Solução:<br />Inicialmente, levemos em conta que: M.A > M.G<br />Para termos estritamente diferentes.<br />Assim podemos escrever<br />1+2+…+999999 > 9991.2.3.….999 -> 1000.992999 > 9991.2.3.….999<br />-> 500 > 9991.2.3.….999<br />Ou seja<br />500999 > 999!. Tirando o logaritmo na base 500 em ambos os lados da desigualdade teremos:<br />log500500999 > log500999!<br />-> 999log500500 > log500999!<br />-> 999.1 > log500999!<br />-> 1> 1999log500999!<br />Como π/3 > 1 -> π/3 > log500999999!<br />Prove que: log tg 1° + log tg 2° + ... + log tg 89° = 0<br />Solução:<br />Inicialmente notemos que tg(90° - x) = 1tgx<br />E<br />log (tg 1°) + log (tg 2°) + ... + log (tg 89°) = log (tg1°.tg2°. … .tg89°)<br />Notemos que a expressão do lado esquerdo da igualdade se resume a<br />log(1.1.1. ... .tg45°.1 ... 1) = log(tg45°) = log 1 = 0<br />SUGESTÕES E COLABORAÇÕES SERÃO MUITO BEM VINDAS<br />helandersomslavyero@hotmail.com<br />