Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I

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f ( x)    x1
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 x3  x2  x  1

B. f ( x)  
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x

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  1. 1. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I La Campagne Estudiantine pour Résumer les Cours et Organiser les Polycopiés Option : Science Economique et Gestion Module : METHODES QUANTITATIVES I Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Type de document : Exercices corrigés Année universitaire 2012-2013 Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 1
  2. 2. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I Chapitre 1 – La Continuité Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition et les limites infinies de la fonction suivante : ( ) √ ( ) Df = ( √ Réponse 1 ) ( ) ( )( 1 3 x1   2 2 –∞ x ) –2  lim f ( x)   x   car lim 2 x  1   x  lim f ( x)  lim 2 x  1  x²(1  x  x  ==> lim x(2  x  Car : + lim x²  x  2   x 1 2  = lim 2 x  1  x x²  x  2 x x² x 1 1 2  1   )   x x x² lim x   x  et +∞ 1 – +  ==> 1 3 x2  1 2 et lim (2  x  1 1 2  1  )  1 x x x² Exercice 2 : Déterminer les domaines de définition et les domaines de continuité pour les fonctions définies par : A. f ( x)  x x²  1 3x  1 B. f ( x)    x 1 e Réponse 2 x A. f ( x)  x²  1 si x  1 si x  1 Df  x  IR / x²  1  0 Df  x  IR / x  1 ou x  1 Df  IR   1,1 DC  IR   1,1 Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 2
  3. 3. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I 3x   f ( x)    x1 B. e Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I si x  1 si x  1 Df  IR lim f ( x)  lim e x 1  e0  1 x 1 x 1 f (1)  3   DC  IR 1 Soit λ ≠ – 2 : f est discontinue en 1 DC  IR    Exercice 3 : Etudiez la continuité des fonctions suivantes : Soit λ = – 2 : f est continue en 1  2 x si x  1  A. f ( x)   x  1  2 x  1 si x  1     x3  x 2  x 1  x 1 B. f ( x)    3 x  si x  1 si x  1  x2  x  3  3 si x   3  x2  3 C. f ( x)    3x si x   3   x 1 1 si x  2 R  2  D. f ( x)   x  2 1 si x  2  Réponse 3 :  2x si x  1  A. f ( x)   x  1 si x  1  2 x 1    Si x = 1 ; f (1) = 1 Df = IR  Pour x  1 : lim f ( x)  lim 2  x  1  f (1)    Pour x > 1 : lim f ( x)  lim   x 1 x 1  lim  x 1 x 1 x 1 x  1 x  1  lim  x 1 2x  1    x  1 x  1 x 1  lim  2 x  1 x1 2 x  1 x  1       x 1 11   1  f (1) 2 2 f est continue au point 1 Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 3
  4. 4. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I  x3  x2  x  1  B. f ( x)   x 1  3 x   Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I si x  1 si x  1 f (1)  2 x  1x 2  1 x3  x 2  x 1 x 2 x  1  x  1  lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2  lim x  1  2  f (1)  Pour x < 1 : lim f ( x)  lim   x 1 x 1  Pour x ≥ 1 : lim f ( x)  lim   x 1 x 1 3 x  3  1  2  f (1) f est continue au point 1 x2  x  3  3 si x   3  C. f ( x)   x2  3 4 si x   3   Pour x   3 : f ( x) lim x  x 3   x    3 1     x 3 x 3   x  3 1 lim       x 3 x 3  f est continue sur IR   3, 3 .  lim        x2  x  3  3 x 3 x 3  x 3 x  3 1   2 x 3 x 3 x 3 x 3    3 1 2 3 1   f ( 3) x 3 2 3  3  3 1 1    0   3 3   3  3 1 1    0   3 3          f est discontinue de 1er espèce non éliminable au point 3 . f admet une discontinue de second espèce infinie au - 3  x 1 1  D. f ( x)   x  2 1  si x  2 R  2 si x  2 Df   ,2  2,  2   , 1 1    x 1 1 x 1 1 x 1  1 x2    x2 x  2 x  1  1 x  2 x  1  1 1 1 lim f ( x)  lim   f (2) x 2 x 2 2 x 1  1 f est continue sur 1,2  2, f est discontinue de 1er espèce éliminable au point 2. f admet un discontinuité de 1er espèce éliminable au point 2.  Pour x  2 : f ( x)        1 x 1  1   Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 4
  5. 5. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I Chapitre 2 – La Dérivabilité Exercice 1 : Calculez Y’ pour chacune des fonctions suivantes : 1 4  2 x² x  Y   x  Y  1 x  5  x  13 Y  Y  log x  1  x 4  e ax  e  ax Y  ax e  e ax x   Réponse 1 :  Y'  1 4 Y  2 x² x    x '    f f 'g  f  g '    g g²   (1)'(2 x ²)  (1)  (2 x ²)' (4)' x  4   2 (2 x ²) 2 x 4   4x 2 x  1 2   3  4 2 3 4x x x x  1 2  3 x3 x 2   x  Y  1 x  5  f   r  f ' f r r 1  x  ( x)'(1  x)  ( x)  (1  x)' Y'  5     (1  x) 2 1 x  5x 4 1  x  x   4 1  x  (1  x) 2 5x 4  1  x 6 4 Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 5
  6. 6. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I x x  1 ' x   (  x 3  2 6x  1  x  x  1 2  2 3 2 x 2 6x  1  x  x  1 3   2 x  Y  log x  1  x 4 x  12 5x  1  2x  x 3 log U '  U'  U 4x3 x  Y'  1 x4 x  1 x4   x  1  x 2  x  1 3 2 x  3x  1  x  2 x )'x  1 3 Y'  Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I x  13 Y  Semestre : 1 Exercices corrigés   1  2 1  x 4 x  1 x4 1  x 4  2x3 x 1 x4 1 x4 2  xx 1  x Y  e Y'  ax e ax  e  ax e ax  e ax    e ax  e ax  e ax  e ax  e ax  e ax  e ax e ax  e ax ²   ae  ax ae  2 ax            ae ax  e ax  e ax  e ax  e ax  ae ax  ae ax e ax  e ax ²    a  a  ae   ae  a  a  ae  e  e ² 2 ax ax 2 ax  2 ax  ax ae 2 ax  a  a  ae 2 ax  ae 2 ax  a  a  ae 2 ax e ax  e ax ² 4a  ax e  e ax ²    Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 6
  7. 7. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I Exercice 2 : Soit f (x) = ln( x  x²  1) 1) Calculez le dérivé de f 2) Déterminez la fonction propre de f et calculer la dérivé. Réponse 2 : 1) Calcul le dérivé de f : 1 2x x²  1  x   x  x²  1 2 x²  1 x²  1 f ' ( x)  ln( x  x ²  1)     x  x²  1 x  x²  1 x  x²  1 2) Détermination de la fonction réciproque :      1 1 x²  1  y = f (x)  x = f -1 (y) y  ln( x  x²  1)  e y  x  x²  1 e y  x   1 1 y y  e  e  x  x²  1  x  x²  1 x  x²  1  2 x²  1  1 x²  2 x x²  1  x²  1  1  x  x²  1 x  x²  1 2 x ²  2 x x ²  1 2 x ( x  x ²  1)   2x x  x²  1 x  x²  1 e y  e y x= = f -1 (y) 2  La fonction réciproque de f (x)  ln( x  (f -1)’(x) = e e 2 y y y y x²  1) est f -1 (x) = e  e 2  ( x)'  1 Exercice 3 : Calculez la dérivée de la fonction suivante 2 cos(2 x)  cos( x) cos ²( x)  sin ²( x)  cos( x)  cos( x)  cos( x)  f ( x)   2 2  sin( x)   1  sin ²( x)  sin ( x) sin ( x)   1 cos( x)  1  tan ²( x) sin ²( x)   21  tan ²( x) tan( x)   cos( x)   21  tan ²(x)  sin 3 ( x)  2 cos ²(x)  sin( x) f ' ( x)     sin ²( x)    tan 4 ( x) tan 3 ( x) sin 4 ( x)    1 1   1 2 cos ²( x)  f ' ( x)  2  tan 3 ( x)  tan( x)    sin( x)  sin 3 ( x)         Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 7
  8. 8. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I Chapitre 3 – Règle de l’hôpital et la formule de Taylor Exercice 1 : Calculer les limites suivantes : x 1  2 x 3 a) lim x 3 x  log x x   x log x b) lim x log a  a log x où a > 0 xa c) lim x a log x x  x  d) lim x e) lim x x  e f) lim x 2 log x x 0  e2x 1 x g) lim x 0  x 1     x  1 log x  h) lim  x 1  a i) lim 1   x  x  j) lim log x   x 1 x 1 k) lim x a l) x lim x x a a où a > 0 x a x  x 2  4x  1  x  ex m) lim  où α est réel. x  x log  x n) lim pour tout α réel et pour tout β > 0 x  x o) lim x 1 x x  Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 8
  9. 9. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I Réponse 1 : a) lim x 3  lim x 3  x 1  2 x 3 Sans l’aide de règle de l’Hospital : x 1  2  lim x 3 x3  x 1  2 x  3  x 1  2 x 1  2    lim x 3 x 1 4 x  3 x 1  2   lim x 3 1 x 1  2  1 4 Avec la règle de l’Hospital : lim x 3 Il vient que x  1  2 R.H lim  lim x 3 x 3 x 3 x  1  2 F.I 0  x3 0  x 1  2 x  3 1  lim 2 x  1 x 3 1 1  4 (Forme Indéterminée de type 0 ) 0  1 x  log x   lim x  log x  x   lim b) xlim   x log x x  x  ( x )' (log x )  ( x )(log x )'  x log x  1  1 x  1 0  lim  lim x   x   log x  1 1  log x  x  x 1 1 x 1   xlim log x   et   lim x  1   0 x  x log a  a log x  x log a  a log x 0   lim c) lim x a xa 0 x a ( x  a)' ( x)' (log a)  (a)' (log x)  (a)(log x)'  lim x a x a 1 0  lim log a  1 a x  log a  1 log x x  x   Si α  0 : lim log x  x   d) lim x  1 log x  1 Si α > 0 : lim    lim x 1  lim   0  x  x x  x  x x Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 9
  10. 10. Option : Sciences Économiques et Gestion Matière : Analyse Mathématique I e) lim x  Semestre : 1 Exercices corrigés Année Universitaire : 2012/2013 Module : METHODES QUANTITATIVE I x ex  Si α  0 : lim x   Si α > 0 : 1 0 x  ex     1 - si α  1 lim x x    lim ( x x )'  lim ax x  0 x  x  x   e (e )' e - si α > 1, on applique la règle de l’Hospital pour 2 D’après ces formules, on peut dire que xIR et α > 0. lim x 2 log x  lim f) x 0 x 0 ème (a 2  a)  x   2 0 fois : lim x  ex si (α  2) log x   1  2 x On applique la règle de l’Hospital : 1 1 log x   lim x  lim x  lim  x²  0 lim  x 0   2 x x 0   2 x 0  2 x 0   1   2 x4 x3 x  e2x 1 0 2e 2 x   lim  lim 2e 2 x  2 g) lim x 0 x 0 x 0 x0 1 x  a  h) lim 1   = 1 x   x a Si lim 1  a  = 1, alors ln 1  lim x log1    0       x  x  x x    x  a log1   a x   On peut la mettre sous forme 0 , car lim x log1    lim x   1 x  x  0  x En utilisant la règle de l’Hospital, cette limite est égale à : a x² a 1 x  lim a  a ln 1  lim a x   x  1 a a 1 1 x x  a    0  xlim      a Par conséquent : 1  e Analyse Mathématique I – Exercices corrigés Page 10

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