PFDS 10.2.2 heaps with efficient merging

PFDS #11 復習

10.2.2
Heaps With Efficient Merging

@yuga
2012-11-08 (初版)
2012-11-10 (2版)
2012-11-30 (3版)
Copyright © 2012 yuga 1

動機

HeapをO(1)でマージしたいよ！


Heapってなに？

こんなの。

HEAP :
module type HEAP = sig
module Elem : ORDERED
type heap

val empty : heap
val isEmpty : heap -> bool
val insert : Elem.t * heap -> heap
val merge : heap * heap -> heap
val findMin : heap -> Elem.t
val deleteMin : heap -> heap
end


解決の方針

HeapをO(1)でマージしたいなら
HeapをHeapで管理すればいいじゃない！

一方のHeap(BootStrapped type)の内部Heap(Primitive type)に
もう一方のHeap(BootStrapped type)をそのまま入れる

 BootStrapped type BootStrappedHeap

 Primitive type これまでに登場したやつ

BootStrappedHeap同士の大小比較はルートノードで判定する


図解: 解決の方針

絵にすると（ここでは例として Primitive type に BinomialHeap を使用）

BinomialHeap の状態 BinomialHeap の状態
2 3
9 6 4

7 5
4
9 6
merge
5
7

8

BootStrappedHeap

BinomialHeap

図解: 解決の方針

merge結果 2

BinomialHeap の状態
BootStrappedHeap 同士の大小比較は
3
ルートノードの値で判定 3

4
6 9

7

5

4

6 9
5

7


実行時間

これまでに登場したheapのだいたいの性能

insert / findMin : O(1)
merge / deleteMin : O(log n) … Worst-Case だったり Amortized だったり

それらを用いて作ると

BootStrappedHeap:
findMin は Primitive type に関係ない
⇒ O(1)
insert / merge は Primitive type の insert に依存
⇒ O(1)
deleteMin は Primitive type の findMin / deleteMin に依存
⇒ O(log n) … Worst-Case timeかどうかはPrimitive typeに依存


実装

そんなわけでこれまでに登場したHeapを使って
Heapを作ります。

 本に載ってるコードは、例によって実際にはコンパイルが通らない
SMLコード
 本文はその意図するところの説明に費やされている
 これをOCamlで動くものにかえるぜ


難しいOCaml

OCamlのモジュール難しい orz

https://twitter.com/camloeba/status/265702576954171392


実装: OCamlでの完成形
open Ordered;;
open Heap;;

module BootStrappedHeap
= functor (MakeH : functor (Element : ORDERED) -> HEAP with module Elem = Element)
-> functor (Element : ORDERED)
-> struct
module Elem = Element
exception Empty

module rec BootStrappedElem : sig 最後 functor が HEAP を返すように
type t = E
| H of Elem.t * PrimH.heap 型を明示したいけど書けない
include ORDERED with type t := t
もっと別の書き方もある？？
end = struct
type t = E 追記: あった => P13へ
| H of Elem.t * PrimH.heap
let eq = function
(* snip *)
end
and PrimH : HEAP with module Elem := BootStrappedElem = MakeH (BootStrappedElem)

include BootStrappedElem

type heap = t
let empty = E

let isEmpty = function
(* snip *)
end

open ScheduledBinomialHeap;;
module IntBootStrappedHeap : HEAP with module Elem = Int = BootStrappedHeap (ScheduledBinomialHeap) (Int)

Ocamlで実際に動かしてみたやつ: https://github.com/yuga/readpfds/blob/master/OCaml/bootStrappedHeap.ml

実装: メモ #1 (MakeHについて)
open Ordered;;
open Heap;;

-> struct
exception Empty

module rec BootStrappedElem : sig
type t = E
include ORDERED with type t := t MakeH には ORDERED型のパラメタを受け取りHEAP を返すfunctorである
end = struct
type t = E ScheduledBinomialHeap がアサインされる
| H of Elem.t * PrimH.heap 結果、MakeH により BootStrappedElem 型の要素を持つ HEAP が作られる
let eq = function
(* snip *)
end


type heap = t
let empty = E
ScheduledBinomialHeap の型は
(* snip *) functor (Element : ORDERED) -> HEAP with module Elem = Element
end



実装: メモ #2
open Ordered;;
open Heap;;

-> struct Element には Int がアサインされる
exception Empty HEAP は要素のシグネチャを Elem で持つ

type t = E Elem.t の型は int になる
PrimH は MakeH により作られる HEAP
end = struct BootStrappedElem と PrimH は相互依存するので rec 指定
type t = E
| H of Elem.t * PrimH.heap BootStrappedElem は HEAP に格納される要素になるので、
let eq = function
(* snip *) ORDERED のシグネチャを実装する
end

include BootStrappedElem BootStrappedHeap は、BootStrappedElem 内で定義した型 t が
type heap = t 自分の型 heap でもあるので、include で自分の中に展開し heap にアサイン
let empty = E

let isEmpty = function BootStrappedHeap が ORDERED のシグネチャを持つ
(* snip *)
end Int を要素として格納するよう指定



実装: OCamlでの完成形（その２）
open Ordered;;
open Heap;;

(MakeH : functor (Element : ORDERED) -> HEAP with module Elem = Element)
(Element : ORDERED)
: (HEAP with module Elem = Element)
= struct
exception Empty
こう書くことができた
type t = E
end = struct
type t = E
let eq = function
(* snip *)
end


type heap = t
let empty = E

(* snip *)
end


Ocamlで実際に動かしてみたやつ: https://github.com/yuga/readpfds/blob/master/OCaml/bootStrappedHeap.ml

PFDS 10.2.2 heaps with efficient merging

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