PFDS 11.2 catenable double ended queue

PFDS #12

11.2
Catenable Double-Ended Queue

@yuga
2012-12-01

Copyright © 2012 yuga 1

動機

Queueを効率よく連結したい

できればO(1)で


Catenable Deque

連結可能なDequeのシグネチャ
CATENABLEDEQUE :
module type CATENABLEDEQUE = sig
type ‘a cat

val empty : ‘a cat
val isEmpty : ‘a cat -> bool
val snoc : ‘a cat * ‘a -> ‘a cat
val head : ‘a cat -> ‘a
val tail : ‘a cat -> ‘a cat
val cons : ‘a * ‘a cat -> ‘a cat
val last : ‘a cat -> ‘a
val init : ‘a cat -> ‘a cat

val (++) : ‘a cat -> ‘a cat -> ‘a cat
end


Catenable Deque

連結可能なDequeのシグネチャ
CATENABLEDEQUE :
module type CATENABLEDEQUE = sig
type ‘a cat
include module DEQUE with type ‘a queue := ‘a cat

val (++) : ‘a cat -> ‘a cat -> ‘a cat
end


解決の方針

DequeをDequeにいれる
(Structural Abstraction)

 BootStrapped type SimpleCatenableDeque (初級編)
ImplicitCatenableDeque (上級編)

 Primitive type これまでに登場したDeque
（ただしImplicitCatenableDequeの実装には
Dequeの要素数を返すsize関数の実装が必要）

※すべての関数がO(1)時間で実行可能であること。
（実時間/償却時間いずれでもよい）


SimpleCatenableDequeの実装

データ構造

SHALLOW … 単体のDeque

DEEP … 連結したDeque
front – middle – rearの3パーツ構成
frontとrearは必ず2個以上の要素を持つ

module SimpleCatenableDeque (D : DEQUE) : CATENABLEDEQUE = struct

type ‘a cat = SHALLOW of ‘a D.queue
| DEEP of ‘a D.queue (* front *)
* ‘a D.queue cat susp (* middle *)
* ‘a D.queue (* rear *)

…


図解: 実装 (cons)

consやsnocは直接PrimitiveのDequeに要素を入れる。

0 1 2
SHALLOW

‘a

D.queue
0 1 2 3 4

DEEP

front middle rear


実装 (++)

5パターンある。DEEPのmiddleについては再帰的に行う。

1. どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結
2. どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結
3. DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結
4. DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結
5. DEEP同士の連結
a. middle：どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結
b. middle：どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結
c. middle：DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結
d. middle：DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結
e. middle：DEEP同士の連結
i. middle：…
…
T(m+n) = T((m – (4 + c))/2) + T((n – (4 + d))/2) + O(1)
= O(min (log(m), log(n)))

図解: 実装 (++)

1. どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結

1 2
++ 3
SHALLOW

‘a

D.queue
1 2 3


図解: 実装 (++)

2. どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結

1 2
++ 3 4

1 2 3 4

DEEP

front middle rear


図解: 実装 (++) ++
3. DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結

1 2 3 4 ++ 5

1 2 3 4 5


図解: 実装 (++)

5a. DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結

1 2 3 4 ++ 5 6

1 2 3 4 5 6


図解: 実装 (++)

5a. DEEP同士の連結（ middle：どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結）

1 2 3 4 ++ 5 6 7 8

3 4 ++ 5 6

3 4
1 2 7 8
5 6


図解: 実装 (++)

5b. DEEP同士の連結（middle：どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結）

++
3 4 11 12
1 2 7 8 9 10 15 16
5 6 13 14

3 4 9 10

5 6 ++ 11 12

7 8 13 14

3 4 9 10

1 2 5 6 11 12 15 16

7 8 13 14

14
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図解: 実装 (++)

5e. DEEP同士の連結（middle：DEEP同士の連結）

3 4 9 10 19 20 25 26

1 2 5

7
6

8
11

13
12

14
15 16
++ 17 18 21

23
22

24
27

29
28

30
31 32

3 4 9 10 17 18 25 26

++
5 6 11 12 19 20 27 28

7 8 13 14 21 22 29 30

15 16 23 24

9 10 17 18

11 12 19 20

13 14
++ 21 22

15 16 23 24

15
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実装 (tail)

SHALLOWはそのまま。DEEPは先頭を除去後、frontの要素数が2
以上になるならそのまま、そうでないならSHALLOWにする。

1. SHALLOWをtail
2. DEEP（frontが3個以上）をtail
3. DEEP（frontが２個、middleが0個）をtail
4. DEEP（frontが２個、middleが1個以上）をtail


図解: 実装 (tail)

1. SHALLOWをtail

1 2 3

1 2 3




2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 5 6 7 8



3. DEEP（frontが２個、middleが0個）をtail

1 2 3 4

1 2 3 4

1 1 2 3




3 4
1 2 7 8
5 6

3 4
1 2 7 8
5 6

2
1 7 8
3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8


Exercise 11.3: tailが償却実行時間O(1)か？

DEEPに、middleのsuspensionを作成するとき、そのmiddleに1 debitを割り当てる。
次にmiddleを操作するときまでに返却しなければならない。

Debit Invariant:
0 if frontが2個
DEEPのdebit数の上限 =
1 if frontが3個以上

tail時に繰り下がり処理のため
middleを操作することになるから



振り返り（9.2.3 Lazy Representation)

3個以上
2個

繰り下がりを再帰的に行うこ
とでdebitは発生するが、返却
が必要なdebitはO(1)


1. SHALLOWをtail
 SHALLOWには既存debitが存在しない。
 SHALLOWのtail操作では新規debitは発生しない。

 tail前はfrontが3個以上なので、middleにdebitが1割り当てられている。
 middleを操作しないので新規debitは発生しない。
 tail操作後、frontが2個になる場合:
– debitの許容数は-1。
– したがって合計1debitを返却する。

3. DEEP（frontが2個、middleが0個）をtail
 tail前はfrontが2個なので、middleに割り当てられたdebitは0。
 middleを破棄するので新規debitは発生しない。
 tail後、SHALLOWになりdebit許容数が-1。

 tail前はfrontが2なので、middleに割り当てられたdebitは0。
 middleの操作でsuspensionを作成しているので、middleに新規debitが1発生する。
 tail後はfrontは3個以上なので、debit許容数は+1

したがってO(1)


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