グレブナー基底輪読会 ＃１ ―準備体操の巻―
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１変数多項式の割り算アルゴリズム グレブナー基底を導入される過程で解かれる４つの問 群、環、体、体上の多項式環に対する除法の定理を復習
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- 2. 多項式が現れた！ 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1 2𝑥 + 1 たしざん ひきざん かけざん わりざん 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1 ― １ひき 2𝑥 + 1 ― １ひき わりざん
- 3. 割り算しましょう 2𝑥 + 1√+4𝑥3 +8𝑥2 +1𝑥 +1 +4𝑥3 +2𝑥2 +6𝑥2 +1𝑥 +6𝑥2 +3𝑥 −2𝑥 +1 −2𝑥 −1 −2𝑥 +1 −2𝑥 −1 +2 −2+1𝑥+2𝑥2 +3𝑥
- 4. 多項式の割り算アルゴリズム 𝑓, 𝑔を多項式、LT 𝑓 , LT 𝑔 を多項式の先頭項(leading term) とする。 Input: 𝑔, 𝑓 Output: 𝑞, 𝑟 𝑞 = 0, 𝑟 = 𝑓 While 𝑟 ≠ 0 and LT 𝑔 |LT 𝑟 𝑞 ≔ 𝑞 + LT 𝑟 /LT 𝑔 𝑟 ≔ 𝑟 − LT 𝑟 /LT 𝑔 ∗ 𝑔 LT 𝑓 , LT 𝑔 を使えば割り算できる！
- 5. 与えられた関数の集合𝐹 ⊂ 𝐾 x を割 り切る関数ってどんな関数だろう？ 定義 グレブナー基底 多項式環𝐾 x = 𝐾 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 の単項式順序≤を固定し、𝐼を𝐾 x の0でないイデアルとす る。 この時、𝐼の≤に関するグレブナー基底とは、 𝐼に属する0でない多項式の集合 𝑔1, … , 𝑔𝑠 で𝐾 x を生成する極小の集合をいう 多項式（代数）＋単項式順序 → グレブナー基底 注 （体𝐾上の多項式環）𝐾 x のイデアル𝐼とは ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑓 ∈ 𝐾 x ⇒ 𝑖 ∗ 𝑓 = 𝑓 ∗ 𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑖1, 𝑖2 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑖1 + 𝑖2 ∈ 𝐼
- 6. これからの輪読会で回収さ れるはずのフラグ ヒルベルト基底定理 任意の𝐼 ∈ 𝐾 x は有限生成 1. 連立方程式の 𝑥 ∈ 𝐾 𝑓𝑖 𝑥 = 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛 解をすべて求めよ 2. 変数𝑡の有理式で与えられた解が満たす連立方程式を求めよ 3. 𝐼を生成する有限個の多項式はどうすれば見つかるか 4. 𝑓 ∈ 𝐼 を判定せよ
- 8. 除法の定理って？ ∀𝑓, 𝑔, ∃1𝑞, 𝑟 𝑓 = 𝑔 ∗ 𝑞 + 𝑟 高校で習った。
- 10. 群 𝐺,∘ (G1) 結合律 ∀𝑔1, 𝑔2, 𝑔3 ∈ 𝐺, s. t. 𝑔1 ∘ 𝑔2 ∘ 𝑔3 = 𝑔1 ∘ 𝑔2 ∘ 𝑔3 (G2) 単位元の存在 ∃𝑒 ∈ 𝐺, ∀𝑔 ∈ 𝐺, s. t. 𝑔 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝑔 (G3) 逆元の存在 ∀𝑔1 ∈ 𝐺, ∃𝑔2 ∈ 𝐺, s. t. 𝑔1 ∘ 𝑔2 = 𝑔2 ∘ 𝑔1 = 𝑒 (G4) 可換 ∀𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺, s. t. 𝑔1 ∘ 𝑔2 = 𝑔2 ∘ 𝑔1 アーベル（可換）群 群 モノイド （単位的半群） 半群
- 11. 群の基本的性質① 𝐺の単位元𝑒は唯一つ 𝑎 ≠ 𝑏と仮定すると、定義より 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎 = 𝑐, 𝑐 = 𝑎, 𝑏 より矛盾 𝑔 ∈ 𝐺は唯一つ𝑔−1 ∈ 𝐺をもつ 𝑔1 −1 ≠ 𝑔2 −1 と仮定すると、 定義より 𝑔 ∘ 𝑔1 −1 = 𝑔1 −1 ∘ 𝑔 = 𝑒, 𝑥 = 𝑔1 −1 , 𝑔2 −1 𝑔2 −1 ≠ 𝑔1 −1 より𝑔2 −1 ∘ 𝑔 ∘ 𝑔1 −1 = 𝑔2 −1 ∘ 𝑔1 −1 ∘ 𝑔 = 𝑔2 −1 ∘ 𝑒 ここで左辺より 𝑔2 −1 ∘ 𝑔 ∘ 𝑔1 −1 = 𝑔2 −1 ∘ 𝑔 ∘ 𝑔1 −1 = 𝑒 ∘ 𝑔1 −1 = 𝑔1 −1 よって矛盾
- 12. 群の基本的性質② 𝐺,∘ は群⇔ 𝐺,∘ が結合律G1と消去律を充たす （証明は大変なので略） 消去律 ∀𝑔1, 𝑔2, 𝑔3 ∈ 𝐺 𝑔1 ∘ 𝑔3 = 𝑔2 ∘ 𝑔3 ⇒ 𝑔1 = 𝑔2 𝑔3 ∘ 𝑔1 = 𝑔3 ∘ 𝑔2 ⇒ 𝑔1 = 𝑔2
- 13. 環 𝑅, +,∗ 環 𝑅, +,∗ とはRとその上の２つの二項演算： 加法 +、乗法∗が以下の性質を満足する時に言う 𝑅, + が加法群（アーベル群） (G1)-(G4) 𝑅,∗ がモノイド（単位的半群） (G1), (G2) （半群の場合もある） 加法 +は乗法∗の上に分配的
- 14. 積についての消去律 定義１．３： 整域 𝑅は整域≝ 𝑅上の零因子は0 𝑅唯一つ（ある単位的可換環） (⇔ ∀𝑟1, 𝑟2 ∈ 𝑅, 𝑟1 𝑟2 = 0 𝑅 ⇒ 𝑟1 = 0 𝑅 ∨ 𝑟2 = 0 𝑅) まだ積については消去律が示せてないので示します 定理１．３： 消去律 𝑅が整域⇒ ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, ∀𝑐 ∈ 𝑅 ∖ 0 𝑅 , 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑏 ∵ 𝑎 − 𝑏 𝑐 = 0 𝑅 ∨ 𝑐 ≠ 0 𝑅 ⇒ 𝑎 − 𝑏 = 0 𝑅
- 15. イデアル 環 𝑅, +,∗ の空でない部分集合𝐼がイデアルとは ∀𝑖1, 𝑖2 ∈ 𝐼, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 1. 𝑖1 − 𝑖2 ∈ 𝐼 2. 𝑟 ∗ 𝑖1 ∈ 𝐼 3. 𝑖1 ∗ 𝑟 ∈ 𝐼 のうち1と、2または3及び両方を満たす場合をいう。
- 16. 生成されたイデアル 可換環𝑅の部分集合𝐴に対して 𝐴𝑅 = 𝑎1 𝑟1 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑟𝑛 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑟𝑖 ∈ 𝑅 𝑖 = 1, … , 𝑛 は𝑅のイデアルである。 1. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴𝑅 ⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐴𝑅 ∀𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ −𝑟 ∈ 𝑅 より明らか。 2. ∀𝑟 ∈ 𝑅, ∀𝑎 ∈ 𝐴𝑅 ⇒ 𝑟 ∗ 𝑎 ∈ 𝐴𝑅 ∀𝑟, 𝑟𝑖 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟 ∗ 𝑟𝑖 ∈ 𝑅 より明らか
- 17. 生成されたイデアルと 単項イデアル 可換環𝑅の部分集合𝐴に対して 𝐴𝑅を集合𝐴によって生成されたイデアルといい、𝐴をその生成系という。 特に𝐴が有限集合A = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 のとき𝐴𝑅は𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛によって 生成されたイデアルといい、 𝐼 = 𝐴𝑅 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 または𝐼 = 𝐴𝑅 = 𝑎1 𝑅 + 𝑎2 𝑅 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑅と 表し、𝐼は有限生成であるという。 さらに 𝑎 = 𝑎𝑅 は𝑎で生成された単項イデアルという。 ≠ 単項式イデアル
- 18. 多項式全体の集合 R, +,∗ を可換環、𝑋を𝑅上の不定元（変数）とする。 𝑅上の𝑋の多項式とは、 ∀𝑟0, 𝑟1, … , 𝑟𝑛 ∈ 𝑅, ∃𝑓 𝑋 ∈ 𝑅, 𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑋 = 𝑟𝑛 𝑋 𝑛 + ⋯ + 𝑟1 𝑋 + 𝑟0 このとき、𝑓を𝑛次の多項式と呼び、𝑛 = deg 𝑓 𝑋 と表す。 以後𝑅上の𝑋の多項式全体の集合を𝑅 𝑋 で表す
- 19. 多項式環 𝑅 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑚 ≔ 𝑅 𝑋1 𝑋2 … 𝑋 𝑚 として 𝑅 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑚 , +,∗ を変数𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑚の多項式環と呼び、その元を 𝑅の元を係数とする𝑚変数𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑚の多項式と呼ぶ。 また𝑅 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑚 の元のうち ∀𝑟 ∈ 𝑅, ∀𝑑1, … , 𝑑 𝑚 ∈ ℕ ∪ 0 に対して 𝑋1 𝑑1 ⋯ 𝑋 𝑚 𝑑 𝑚 と表される元を項、 𝑟𝑋1 𝑑1 ⋯ 𝑋 𝑚 𝑑 𝑚 と表される元を単項式 と呼ぶ。
- 20. 体 𝑅, +,∗ 環 𝑅, +,∗ の元∀𝑟1 ∈ 𝑅が 零元0 𝑅を除き可逆元 ∃𝑟2 ∈ 𝑅 s. t. 𝑟1 ∗ 𝑟2 = 𝑟2 ∗ 𝑟1 = 1R →斜体の定義 斜体の任意の元が乗法に対して可換 ∀𝑟2 ∈ 𝑅 s. t. 𝑟1 ∗ 𝑟2 = 𝑟2 ∗ 𝑟1
- 21. 体𝐾上の多項式環に対する 除法の定理 体𝐾上の多項式環𝐾 𝑋 ∀𝑓 𝑋 ∈ 𝐾 𝑋 , ∀𝑔 𝑋 ∈ 𝐾 𝑋 ∖ 0 𝐾 , ∃1𝑞 𝑋 , 𝑟 𝑋 ∈ 𝐾 𝑋 , s. t. 𝑟 𝑋 = 0 𝐾 ∨ deg 𝑟 𝑋 < deg 𝑔 𝑋 に対して 𝑓 𝑋 = 𝑞 𝑋 𝑔 𝑋 + 𝑟 𝑋 除法の定理＋α が成り立つ環をユークリッド環とよぶ
- 22. 除法の定理の証明（存在） deg 𝑓 𝑋 = 𝑛, deg 𝑔 𝑋 = 𝑚 とする。 𝑚 = 0 のとき 𝑞 = 𝑓 𝑋 𝑔 0 , 𝑟 𝑋 = 0 𝐾 とすれば良い 𝑚 > 𝑛 のとき 𝑞 = 0 𝐾, 𝑟 𝑋 = 𝑓 𝑋 とすればよい 𝑚 ≤ 𝑛 の場合を帰納法により示す。 𝑛 − 1以下で定理が成立したとする。このとき ∃1𝑞′ 𝑋 , 𝑟′ 𝑋 ∈ 𝐾 𝑋 s. t. 𝑓 𝑋 = 𝑞′ 𝑋 𝑔 𝑋 + 𝑟′ 𝑋 かつ 𝑟′ 𝑋 = 0 𝐾 ∨ deg 𝑟′ 𝑋 < deg 𝑔 𝑋 仮定より𝑟′ 𝑋 = 𝑞0 𝑋 𝑔 𝑋 + 𝑟0 𝑋 ∨ 0 𝑅 よって 𝑞 𝑋 = 𝑞′ 𝑋 , 𝑟 𝑋 = 0 𝐾 ∨ 𝑞 𝑋 = 𝑞′ 𝑋 + 𝑞0 𝑋 , 𝑟 𝑋 = 𝑟0 𝑋 とすれば𝑛でも成立。
- 23. 除法の定理の証明（一意性） 𝑓 𝑋 = 𝑞1 𝑋 𝑔 𝑋 + 𝑟1 𝑋 = 𝑞2 𝑋 𝑔 𝑋 + 𝑟2 𝑋 s. t. 𝑞1 𝑋 ≠ 𝑞2 𝑋 と仮定する このとき deg 𝑔 𝑋 ≤ deg 𝑞1 𝑋 − 𝑞2 𝑋 𝑔 𝑋 = deg − 𝑟1 𝑋 − 𝑟2 𝑋 < deg 𝑔 𝑋 よって背理法により定理をみたす𝑞 𝑋 ∈ 𝐾 𝑋 は一意に存在 また、和についての逆演算可能性（次のページ）より𝑟 𝑋 ∈ 𝐾 𝑋 も一 意に存在
- 24. 定理 逆演算可能 ∀𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺, ∃1𝑥 ∈ 𝐺, 𝑠. 𝑡. 𝑔1 ∘ 𝑥 = 𝑔2 ∃1𝑦 ∈ 𝐺, 𝑠. 𝑡. 𝑦 ∘ 𝑔1 = 𝑔2 証明 𝑥の存在を仮定する。 (G3) ⇔ 𝑔1 −1 ∘ 𝑔1 ∘ 𝑥 = 𝑔1 −1 ∘ 𝑔2 (G1) ⇔ 𝑔1 −1 ∘ 𝑔1 ∘ 𝑥 = 𝑔1 −1 ∘ 𝑔2 (G3) ⇔ 𝑒 ∘ 𝑥 = 𝑔1 −1 ∘ 𝑔2 (G2) ⇔ 𝑥 = 𝑔1 −1 ∘ 𝑔2 よって一意。 また最後の式より導出より存在も明らか。