1. Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un
área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la
computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y
computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica
digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los
componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan
funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de
diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.
En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las
funciones booleanas, haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se
plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos,
tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Pero para
otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias.
Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar
funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a
menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos
funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor
tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de
unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación
de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.
Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de
boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación
presentado en la lógica de proposiciones.
Reseña Histórica
A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "TheMathematicalAnalysis of
Logic" (1847) y "AnInvestigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las
proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones
lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden
tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según
Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite
trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica
Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el
comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le
denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.
A mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia
que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información digital (por eso
hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la
codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la
estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.
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2. Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus
entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser
representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede
entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se
trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el
resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los
resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.
Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas
mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos)
que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o
lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada
(bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un
circuito semiconductor), etcétera.
Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o
compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos
dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la
ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos
de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control
de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de niveles, la
base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador
encontraríamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).
En esta unidad se representan las puertas lógicas elementales, algunas puertas complejas y
algunos ejemplos de circuitos digitales simples, así como algunas cuestiones de notación. Por otra
parte se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales implican una respuesta escrita en
vuestro cuaderno de trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y ameno adentraros en
el mundo de la lógica digital y despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por la matemática
que subyace en ella.
Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso
y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de
entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos
entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
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3. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden
deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a
menudo emplea los siguientes postulados:
•Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para
cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
•Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los
posibles valores de A y B.
•Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos
los valores booleanos A, B, y C.
•Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C)
para todos los valores booleanos A, B, y C.
•Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un
operador binario " º " si A º I = A.
•Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si
A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y
valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos
valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una
sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las
variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR
entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el
símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la
expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis,
operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND
como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están
adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por
la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:
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4. •P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
•P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe
elemento de identidad para el operador NOT
•P3 Los operadores · y + son conmutativos.
•P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) =
(A+B) ·(A+C).
•P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento
lógico de A.
•P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es
buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos
mencionar los siguientes:
•Teorema 1: A + A = A
•Teorema 2: A · A = A
•Teorema 3: A + 0 = A
•Teorema 4: A · 1 = A
•Teorema 5: A · 0 = 0
•Teorema 6: A + 1 = 1
•Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
•Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
•Teorema 9: A + A · B = A
•Teorema 10: A · (A + B) = A
•Teorema 11: A + A'B = A + B
•Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
•Teorema 13: AB + AB' = A
•Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
•Teorema 15: A + A' = 1
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5. •Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático
que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva
(que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)
que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:
•Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole
1.Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
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6. Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'
Función Booleana
Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0
y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si
o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de
votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las
variables o sus negaciones.
El número posible de casos es 2n.
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos
son:
Votos Resultado
ABCD
1111 1
1110 1
1101 1
1100 0
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7. 1011 1
1010 0
1001 0
1000 0
0111 1
0110 0
0101 0
0100 0
0011 0
0010 0
0001 0
0000 0
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms)
iguales a 1.
En nuestro ejemplo la función booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD
Diagramas De Karnaugh
Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes,
siempre que el número de 1 sea potencia de 2.
En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas de
Karnaugh
Álgebra Booleana y circuitos electrónicos
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8. La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da
una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas
digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como
las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir
nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas
homónimas
Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una
sola compuerta, ésta es la compuerta NAND
Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas
NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una
compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar
cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para
construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND.
Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida
de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por
supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha
dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se
ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta
lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres
pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se
niega la totalidad de la expresión:
A OR B
A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND
Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos
buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo
lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe
que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR =
NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la
correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos,
la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.
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9. Circuitos Combinacionales
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR,
NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica
individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas
diferentes, es muy importante recordar éste echo, cada salida representa una función booleana
diferente.
Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata
de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben
iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se
deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro
entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en
el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función
lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento
en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores
0000, 0010, 0110 y 1000.
En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de
entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los
decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para
desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones
hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la
aquí representada para los valores numéricos.
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10. Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo
básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas
otras aplicaciones más.
Circuitos Secuenciales
Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones de
salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada,
cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado
retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la
habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica
secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada
después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-
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11. flopSet/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de
cómputo requieren recordar un grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en
paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posible
implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos
también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible
construir un microprocesador completo.
Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación
En ésta lección hemos dado una repasada muy básica a los elementos que forman la base de los
modernos sistemas de cómputo, en la sección dedicada al diseño electrónico estudiaremos a
profundidad los conceptos aquí presentados, pero para aquellos que están más interesados en el
aspecto programático podemos decir que con los elementos vistos en ésta lección es posible
implementar máquinas de estado, sin embargo la moraleja de ésta lección es muy importante:
cualquier algoritmo que podamos implementar en software, lo podemos a su vez implementar
directamente en hardware. Ésto sugiere que la lógica booleana es la base computacional en los
modernos sistemas de cómputo actuales. Cualquier programa que Usted escriba,
independientemente del lenguaje que utilice, sea éste de alto ó bajo nivel, se puede especificar
como una secuencia de ecuaciones booleanas.
Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posible implementar cualquier
función de hardware directamente en software, en la actualidad ésta es la función principal del
lenguaje ensamblador y otros con capacidad de trabajar directamente en hardware, como el C y el
C++. Las consecuencias de éste fenómeno apenas se están explotando, se infiere la existencia de
un futuro muy prometedor para el profesional de la programación, especialmente aquellos
dedicados a los sistemas incrustados (embeddedsystems), los microcontroladores y los
profesionales dedicados a la Programación Orientada a Objetos. Para tener éxito en éstos campos
de la investigación es fundamental comprender las funciones booleanas y la manera de
implementarlas en software. Aún y cuando Usted no desee trabajar en hardware, es importante
conocer las funciones booleanas ya que muchos lenguajes de alto nivel procesan expresiones
booleanas, como es el caso de los enunciados if-thenó los bucles while
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