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présentation des mécanismes ( sciences et techniques d'ingénieur)

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  1. 1. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 1 B5998-1980 Présentation des mécanismes par René BOUDET Professeur à l’École Centrale des Arts et Manufactures 1. Généralités................................................................................................. B 600 - 2 2. Rappels de cinématique......................................................................... — 3 2.1 Champ des vitesses d’un solide................................................................. — 3 2.1.1 Propriété utile...................................................................................... — 3 2.1.2 Point central. Moment central ........................................................... — 3 2.1.3 Mouvements particuliers ................................................................... — 3 2.2 Composition de mouvements .................................................................... — 3 3. Liaisons....................................................................................................... — 5 3.1 Généralités ................................................................................................... — 5 3.2 Liaison pivot ou rotoïde .............................................................................. — 5 3.2.1 Définition et schéma........................................................................... — 5 3.2.2 Réalisations......................................................................................... — 5 3.3 Liaison glissière ........................................................................................... — 5 3.3.1 Schéma................................................................................................ — 5 3.3.2 Réalisation........................................................................................... — 7 3.4 Liaison glissière hélicoïdale........................................................................ — 7 3.4.1 Schéma................................................................................................ — 7 3.4.2 Réalisations......................................................................................... — 8 3.4.3 Remarque............................................................................................ — 8 3.5 Liaison pivot glissant................................................................................... — 8 3.5.1 Schéma................................................................................................ — 8 3.5.2 Réalisations......................................................................................... — 8 3.6 Liaison rotule ............................................................................................... — 8 3.6.1 Schéma................................................................................................ — 8 3.6.2 Réalisations......................................................................................... — 9 3.7 Liaison plane................................................................................................ — 9 3.7.1 Schéma................................................................................................ — 9 3.7.2 Réalisations......................................................................................... — 9 3.8 Liaison linéaire rectiligne............................................................................ — 9 3.8.1 Schéma................................................................................................ — 9 3.8.2 Réalisations......................................................................................... — 9 3.9 Liaison linéaire annulaire............................................................................ — 10 3.9.1 Schéma................................................................................................ — 10 3.9.2 Réalisations......................................................................................... — 10 3.10 Liaison ponctuelle....................................................................................... — 10 3.10.1 Schéma.............................................................................................. — 10 3.10.2 Réalisation......................................................................................... — 10 4. Test cinématiquement admissible ...................................................... — 10 4.1 Schéma de principe..................................................................................... — 10 4.2 Mécanisme à fermeture de chaîne simple ................................................ — 10 4.2.1 Définition............................................................................................. — 10 4.2.2 Principe de l’étude.............................................................................. — 11 4.2.3 Exemple............................................................................................... — 11 4.3 Mécanisme à fermeture de chaîne composée .......................................... — 12 4.3.1 Définition............................................................................................. — 12 4.3.2 Exemple............................................................................................... — 12 4.3.3 Méthode .............................................................................................. — 12 5. Mobilité de deux pièces liées par des contacts ponctuels .......... — 13 5.1 Problème ...................................................................................................... — 13 5.2 Rappels......................................................................................................... — 13 5.3 Rang d’un système de normales de contact ............................................. — 13 5.4 Mouvement autorisé ................................................................................... — 13 Références bibliographiques ......................................................................... — 14
  2. 2. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique es notions présentées dans la rubrique Organes de machines ont pour but de familiariser les lecteurs à certains problèmes techniques qu’ils ont à résoudre en leur présentant les fonctions du génie mécanique, en leur proposant des méthodes d’investigation et en leur suggérant des idées de solutions. Dans le présent article, nous allons nous préoccuper de mécanismes qui se distinguent des machines car ils ne font référence qu’à une seule forme d’énergie. Dans une machine (par exemple un moteur à explosion), un ou plusieurs mécanismes inter- viennent (système d’embiellage). L 1. Généralités L’énergie que nous étudions étant mécanique, deux éléments sont à considérer : — le mouvement ; — les efforts. Un mécanisme modifiant un de ces éléments agit nécessairement sur les valeurs de l’autre car, au rendement près, nous avons conservation de l’énergie. Cela justifie l’organigramme proposé (figure 1) que nous allons commenter. Un projet de réalisation correspond à une finalité appelée fonction globale ; il s’agit par exemple de transformer un mouvement de rotation continue en translation alternative. Notre culture technique ou notre imagination nous permet de mettre en place un schéma de principe où ne sont précisées que les liaisons (ou mouvements relatifs des différentes pièces) représentées suivant les conventions qui suivront. Il s’agit alors de tester la validité d’un tel schéma c’est-à-dire : l’idée de réalisation suivant le principe évoqué est-elle à retenir ou à proscrire ? Entraînera-t-elle une fabrication délicate avec des intervalles de tolérance très faibles, ou aisée ? Notations et Symboles Symbole Définition (S/ R) vecteur taux de rotation du solide S par rapport au repère R (O ∈ S/ R) vecteur vitesse du point O du solide S dans le mouvement par rapport au repère R torseur distributeur des vitesses du solide S par rapport au repère R µ pas du torseur S/R mouvement du solide S par rapport au repère R {Ac 1 → 2} torseur d’action de liaison de S1 sur S2 composantes sur les axes x, y, z du vecteur taux de rotation composantes sur les axes x, y, z du vecteur vitesse X21 , Y21 , Z21 composantes sur les axes x, y, z de la coordonnée somme (ou résultante) de l’action de liaison de S2 sur S1 L21 , M21 , N21 composantes sur les axes x, y, z de la coordonnée moment de l’action de S2 sur S1 r rang du système d’équations traduisant la fermeture de la chaîne cinématique p nombre d’inconnues cinématiques recensées dans la chaîne Ω V tc S/ R}{ ω21x , ω21y , ω21z V21x , V21y , V21z Figure 1 – Organigramme d’étude d’une réalisation
  3. 3. _______________________________________________________________________________________________________ PRÉSENTATION DES MÉCANISMES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 3 Si l’idée est retenue, le schéma est alors étoffé, les distances entre les différents axes sont chiffrées en exploitant des conditions d’encombrement, la puissance transmise est prise en compte, il s’agit alors de tester l’aptitude au choix des composants dans les catalogues des fabricants. Ce choix implique la connaissance des vitesses relatives (test cinématiquement admissible) et des charges ou forces appliquées aux liaisons appelées torseurs d’action de liaison. C’est le test statiquement admissible formulé comme il suit : pouvons-nous déterminer toutes les composantes des torseurs d’action de liaison ? Cela fait l’objet de l’article Études interefforts. Modification des comportements de liaison [B 600] dans ce traité. Si la réponse est favorable, la phase de dessin du dispositif peut débuter ; dans le cas contraire deux attitudes sont pensables : — nous modifions le schéma de principe de sorte que les réponses aux tests précédemment évoqués soient favorables (cf. article Études interefforts. Modification des comportements de liaison [B 600]) ; — nous retenons la fabrication du dispositif suivant le principe précédemment évoqué, en sachant que la fabrication et le montage seront délicats, ce qui influera sur le prix ; en contrepartie, avec des précautions à préciser, nous obtiendrons une qualité géométrique remarquable lors du fonctionnement (cas du montage des broches de machine-outil, par exemple). 2. Rappels de cinématique 2.1 Champ des vitesses d’un solide Il a été montré (cf. article Mécanique générale. Cinématique générale [A 1 661]) que les vitesses de deux points O et M d’un solide sont telles que : on aurait pu dire qu’au mouvement du solide S par rapport au repère R on associe un torseur distributeur des vitesses et convenir des notations : • S/R mouvement de S par rapport à R ; • torseur distributeur des vitesses associé au mouve- ment du solide S par rapport au repère R. Ce torseur est caractérisé par deux coordonnées : : vecteur rotation ou taux de rotation, qui est la coordonnée somme, , que nous noterons (O ∈ S/ R), qui est le vecteur vitesse de O qui appartient à S dans le mouvement par rapport à R et qui est la coordonnée moment du torseur. On retiendra l’association : 2.1.1 Propriété utile il suffit d’exploiter la relation : Cela entraîne que : est indépendant du point M du solide ; on l’appellera le pas du torseur. 2.1.2 Point central. Moment central Un point P est point central si la coordonnée somme et la coordonnée moment sont proportionnelles. Cette condition peut se traduire par : Il est facile de montrer alors que : l’ensemble des points centraux constitue l’axe central, aussi appelé axe de rotation ou de viration (cf. article Mécanique générale. Cinématique générale [A 1 661] dans le traité Sciences fondamentales). s Conséquence : la relation : peut aussi s’écrire : ou encore . 2.1.3 Mouvements particuliers 2.1.3.1 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe C’est le cas d’un arbre monté sur paliers (figure 2) que l’on modé- lise, conformément à la figure 3. L’axe x’ x de la liaison correspond à l’axe central du torseur distributeur des vitesses de S1 par rapport à S0 . On a avec vecteur unitaire de l’axe x. 2.1.3.2 Mouvement de translation C’est le cas du mouvement de tables de machines-outils par rapport à leurs bâtis. Ces mouvements sont bien souvent réalisés par l’emploi de glissières (§ 3.3) ; les trajectoires sont alors rectilignes et nous les représentons symboliquement sur la figure 4. Tous les points de S1 ont même vitesse par rapport à S0 . Pour tout point M : avec vecteur unitaire de l’axe x. 2.2 Composition de mouvements La composition de mouvements correspond à un souci cartésien qui consiste à fractionner une difficulté en difficultés élémentaires. On peut montrer que tout mouvement de solide par rapport à un repère peut être considéré comme résultant d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation dont la position de l’axe V R( ) MS( ) V R( ) OS( ) Ω OSMS∧+= tc S/R{ } ω S R Ω S/R( )= V R( ) OS , t( ) V tc S/R{ }    torseur V O S/R∈( )             système de coordonnées du torseur Ω S/R( ) ⇒ Ω S/R( ) V O S/R∈( )⋅ Ω S/R( ) V M S/R∈( )⋅= V M S/R∈( ) V O S/R∈( ) Ω OM∧+= µ Ω V M S/R∈( )⋅ Ω 2 ------------------------------------------------= Ω V P S/R∈( )∧ 0= V P S/R∈( ) µ Ω= V M S/R∈( ) V P S/R∈( ) Ω PM∧+= V M S/R∈( ) µ Ω Ω PM∧+= V M S/R∈( ) µ Ω MP Ω∧+= V M S1/S0∈( ) ω10 i OM∧= i V M S1/S0∈( ) V i⋅= i
  4. 4. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 4 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique serait fixée. Soit un solide S mobile par rapport à un repère R1 , lui-même mobile par rapport à R2 . Il est aisé de montrer que : (1) s Remarques Dans le mouvement d’entraînement le point M est considéré comme appartenant à R1 . q Les relations (1) peuvent être condensées en utilisant l’écriture symbolique : (2) (S/R2 se lit : le mouvement de S par rapport au repère R2) (2) entraîne la relation entre torseurs : (3) (3) impliquant le système (1). q L’intérêt de cette notation est de nous rappeler une loi de Chasles : q sont des mouvements opposés en effet cela entraîne les égalités : q La loi de Chasles peut se généraliser : Figure 2 – Palier de butée à axe horizontal avec coussinet porteur Figure 3 – Liaison pivot Figure 4 – Liaison glissière Ω S/R2( ) Ω S/R1( ) Ω R1/R2( )+= V M S/R2∈( ) V M S/R1∈( ) V M R1/R2∈( )+=           vitesse absolue               vitesse relative vitesse d′entraînement S R2 --------- S R1 --------- R1 R2 ---------+= mouvement absolu mouvement relatif mouvement d′entraînement          tc S/R2{ } tc S/R1{ } tc R1/R2{ }+= AB AC CB+=( ) R1 R2 --------- et R2 R1 -------- R1 R2 --------- R2 R1 --------+ R1 R1 ---------= (immobilité) Ω R1/R2( ) Ω R2/R1( )–= V M R1/R2∈( ) V M R2/R1∈( )–= S R0 --------- S R1 --------- R1 R2 --------- R2 R3 --------- … Rn 1– Rn ---------------- Rn R0 ---------+ + + + +=
  5. 5. _______________________________________________________________________________________________________ PRÉSENTATION DES MÉCANISMES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 5 3. Liaisons 3.1 Généralités Une liaison intervient entre deux solides ; elle détermine la nature du torseur distributeur des vitesses relatives de même que le torseur d’interefforts {Ac 1 → 2} ou torseur associé aux actions de S1 sur S2 (ou de S2 sur S1) si la liaison intervient entre S1 et S2 . On carac- térisera donc une liaison sur le plan cinématique et l’on supposera pour le torseur d’action de liaison, en première analyse, la liaison sans frottement ou parfaite ; la puissance des interefforts y est nulle, c’est-à-dire que le produit scalaire du torseur distributeur des vitesses de S1 par rapport à S2 et du torseur d’action de liaison (ou d’interefforts) de S2 sur S1 est nul (cf. article Mécanique générale. Cinématique générale [A 1 661] dans le traité Sciences fondamentales). s Conventions de notations : soit le repère d’origine O et de vecteurs unitaires . a pour coordonnées en O : les coordonnées du torseur d’action de liaison de S2 sur S1 ont pour expression au point O : la puissance des interefforts se mettant sous la forme : (4) avec la relation {Ac 1 → 2} = – {Ac 2 → 1}. s Conception des liaisons : soit deux corps en contact et mobiles l’un par rapport à l’autre ; les lois du frottement sec sont connues depuis fort longtemps et introduisent la notion de coefficient de frottement de glissement. Les fortes valeurs du coefficient de frottement sont exploitées dans nombre de réalisations : freins, embrayages, transmission par courroie, etc. Dans d’autres situations, le frottement constitue un phénomène nuisible s’accompagnant d’usure que l’on ne peut compenser d’échauffement, voire de grippage. Dès lors, pour y remédier, on peut : — remplacer le glissement au contact par du roulement sans glissement (famille de composants à éléments roulants) ; — supprimer le contact en introduisant entre les deux solides un troisième corps ou film lubrifiant qui doit pouvoir se former, être maintenu au contact, et présenter une faible résistance au cisaillement ; c’est le domaine de la lubrification hydrodynamique, hydrostatique ou aérostatique ; — diminuer le frottement en utilisant un lubrifiant pâteux dans le cas d’une lubrification limite ; — pratiquer un traitement antiusure. 3.2 Liaison pivot ou rotoïde 3.2.1 Définition et schéma Cette liaison permet une rotation de S1 par rapport à S0 autour de l’axe x (figure 3). Le torseur distributeur des vitesses associé au mouvement de S1 par rapport à S0 a pour coordonnées : — au point O — au point M le torseur d’action de liaison de S0 sur S1 a pour coordonnées au point O : L01 = 0, qui provient de la relation : conforme à la notion de liaison parfaite, signifie que les actions de liaison ne s’opposent pas à la rotation de S1 par rapport à S0 . 3.2.2 Réalisations 3.2.2.1 Utilisation de roulements Ces composants assurent le roulement sans glissement (cf. article Roulements et butées à billes et à rouleaux [B 5 370] de ce traité). On peut utiliser dans les représentations les notations symboliques précisées par la norme NF E 04-114 (tableau 1). Il faut noter que les notions de jeux radiaux et axiaux, d’angle de rotulage peuvent entraîner le fait qu’une liaison réalisée en utilisant des roulements peut très bien ne pas être modélisée par une liaison pivot. (0) 3.2.2.2 Palier fluide Les paliers en lubrification hydrodynamique ou hydrostatique laminaire ou turbulente font l’objet d’études de plus en plus fines [1] [2]. Une liaison pivot est obtenue par l’association d’un palier de butée et d’un palier radial (figure 2). La nature du fluide lubrifiant, l’addition de dopants et de polymères dépendent des vitesses de rotation et des charges supportées. Si l’arbre est en général en acier, la partie active de l’alésage est en anti-friction, en bronze, voire en matière plastique. 3.2.2.3 Autres solutions — paliers secs [3] ; — paliers lubrifiés à la graisse. 3.3 Liaison glissière 3.3.1 Schéma Cette liaison permet un mouvement de translation à trajectoire rectiligne entre S1 et S0 (figure 4). Le torseur distributeur des vitesses a pour coordonnées : tous les points de S1 ont même vitesse par rapport à S0 . i , j , k( ) tc S2 /S1{ } Ω 2/1( ) ω 21x i ω 21y j ω 21z k+ += V O 2/1∈( ) V21x i V21y j V21z k+ += S2 1→ X21 i Y21 j Z21 k+ += m2 1→ O( ) L21 i M21 j N21 k+ += ω21x L12 ω21y M12 ω21z N12 V21x X12 V21y Y12 V21z Z12+ + + + + ω10 i 0      ω10 i MO ω10 i∧      X01 i Y01 j Z01 k+ + M01 j N01 k+           ω10 i L01 i⋅ 0= 0 V10x i     
  6. 6. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 6 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique Tableau 1 – Représentation simplifiée des roulements et butées (d’après norme NF E 04-114) Type Roulements à billes 1 rangée 2 rangées 2 rangées à rotule 2 rangées à rotule manchon de serrage 1 rangée à contact oblique 2 rangées à contact oblique Représentation complète Représentation simplifiée Type Roulements à rouleaux cylindriques 1 rangée Double épaulement sur bague intérieure Double épaulement sur bague extérieure Double épaulement sur les deux bagues dont un rapporté Double épaulement sur bague intérieure, un épaulement sur bague extérieure Double épaulement sur bague extérieure, un épaulement sur bague intérieure Double épaulement sur bague extérieure, sans bague intérieure Représentation complète Représentation simplifiée Type Rouleaux coniques (1) Roulements à aiguilles Roulements à rotule Simple, double épaulement sur bague intérieure Sans bague intérieure À bague intérieure large, double épaulement sur bague extérieure 1 rangée Simple 2 rangées Avec manchon de démontage Représentation complète Représentation simplifiée (1) Par commodité de représentation, les pistes coniques de ce type de roulement sont représentées par deux traits parallèles.
  7. 7. _______________________________________________________________________________________________________ PRÉSENTATION DES MÉCANISMES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 7 Les coordonnées du torseur d’action de liaison sont : 3.3.2 Réalisation 3.3.2.1 Contact direct C’est le cas de bien des guidages à faible vitesse, peu ou fortement chargés. Un lubrifiant pâteux (graisse) est employé pour améliorer les valeurs du coefficient de frottement. Nombre de glissières de machines-outils correspondent à cette réalisation, car leurs raideurs très importantes entraînent de faibles déplacements sous charge. 3.3.2.2 Guides à billes ou à rouleaux Ces composants permettent le roulement sans glissement ; ils constituent pour les mouvements de translation l’équivalent des roulements pour la rotation (cf. articles Roulements et butées à billes et à rouleaux [B 5 370] et Roulements à aiguilles [B 5 380] dans ce traité). 3.3.2.3 Composants à films minces Ce sont les patins hydrostatiques [4] ; la stabilité des positions d’équilibre sous charge implique un asservissement entre le débit de fuite et la pression dans la zone d’alimentation. Cela est en particulier obtenu par l’adjonction d’une résistance hydraulique (tube capillaire, gicleur) dans le circuit d’alimentation des patins. 3.4 Liaison glissière hélicoïdale 3.4.1 Schéma Une telle liaison autorise un mouvement hélicoïdal d’axe et de pas µ (= pas normalisé/ 2 π) (figure 5). Le torseur distributeur des vitesses a pour coordonnées au point O : en un point M, on aurait : Type Butées à billes Rouleaux cylindriques Butées à rouleaux coniques à simple effet Butées à aiguilles Simple effet Double effet Simple effet Simple À rotule Simple effet Double effet Représentation complète Représentation simplifiée Type Roulement à 2 rangées de rouleaux cylindriques avec épaulement sur bague intérieure Roulement combiné roulement à aiguilles avec butée à billes Butée à rouleaux cylindriques fractionnés Représentation complète Représentation simplifiée Tableau 1 – Représentation simplifiée des roulements et butées (d’après norme NF E 04-114) (suite) (1) Par commodité de représentation, les pistes coniques de ce type de roulement sont représentées par deux traits parallèles. Y01 j Z01 k+ L01 i M01 j N01 k+ +           i ω10x i µ ω10x i      ω10x i µ ω10x i MO ω10x i∧+          
  8. 8. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 8 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique Pour le torseur d’action de liaison, on a : avec 3.4.2 Réalisations 3.4.2.1 Par contact direct Ces réalisations correspondent au système vis-écrou (cf. article Assemblage par éléments filetés [B 5 560] dans ce traité) bien connu comme dispositif de transformation de mouvement. Si la vis est sus- ceptible d’une rectification, il n’en est pas de même de l’écrou. Ce système fonctionnera avec un léger jeu, d’où son inadaptation à assurer le rôle d’organe de guidage entre deux pièces. 3.4.2.2 Par éléments roulants L’évolution de la machine-outil de production vers la systémati- sation de la fabrication a abouti aux machines à commandes numé- riques. L’absence, en phase d’usinage, de l’intervention de l’homme pour compenser les jeux lors du changement de sens des mouve- ments d’avance, les prises d’information des capteurs qui contrôlent les rotations des moteurs pas-à-pas, ont nécessité la fabrication de liaison glissière hélicoïdale sans jeu et avec un très faible coefficient de résistance à l’avancement, d’où la naissance des vis à billes. 3.4.2.3 Par film fluide hydrostatique Pour répondre aux mêmes impératifs que précédemment (§ 3.4.2.1), vis et écrou sont séparés par un film hydrostatique. Ces composants sont restés au stade du laboratoire. 3.4.3 Remarque Les liaisons pivot (§ 3.2), glissière (§ 3.3) et glissière hélicoïdale (§ 3.4) sont à un seul degré de liberté, c’est-à-dire que le torseur distributeur des vitesses ne dépend que d’un paramètre cinématique. 3.5 Liaison pivot glissant 3.5.1 Schéma Le mouvement de S1 par rapport à S0 comprend une rotation autour de l’axe x et une translation suivant cet axe (figure 6). La rotation et la translation étant indépendantes, la liaison est donc à deux degrés de liberté. Le torseur distributeur des vitesses de S1 par rapport à S0 a pour coordonnées : — au point O — et au point M Le torseur d’interefforts est caractérisé au point O par : 3.5.2 Réalisations 3.5.2.1 Par contact direct Cela correspond à la notion d’arbre et de bague ; un lubrifiant pâteux peut être utilisé ; la bague, en général en antifriction, peut être remplacée par des matériaux moins nobles (par exemple, matières plastiques). 3.5.2.2 Par emploi d’éléments roulants Ce sont les douilles à billes (cf. article Roulements et butées à billes et à rouleaux [B 5 370] dans ce traité) employées dans nombre de réalisations de précision. 3.5.2.3 Par utilisation d’un film fluide Cela correspond à la notion de palier radial ; la distribution de pres- sion dans le film peut être engendrée par le mouvement (film hydro- dynamique), ou par une source de pression extérieure au dispositif (film hydrostatique). Dans les gammes de hautes vitesses circonfé- rentielles (> 50 m/s), on emploie l’air comme lubrifiant, d’où un palier pouvant être employé aux températures élevées. 3.6 Liaison rotule 3.6.1 Schéma Au sens cinématique, cela correspond au mouvement de rotation autour du point fixe O (figure 7). X01 i Y01 j Z01 k+ + L01 i M01 j N01 k+ +           0 L01ω10x X01 µ ω10x + 0= L01 µ X01+ 0= ω10x i V10x i      ω10x i V10x i MO ω10x i∧+           Figure 5 – Liaison glissière hélicoïdale Figure 6 – Liaison pivot glissant Y01 j Z01 k+ M01 j N01 k+          
  9. 9. _______________________________________________________________________________________________________ PRÉSENTATION DES MÉCANISMES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 9 Les trois composantes du vecteur étant indépendantes, la liaison est à trois degrés de liberté. On a pour systèmes de coordonnées : — en O — en M le torseur d’action de liaison est caractérisé au point O par : 3.6.2 Réalisations 3.6.2.1 Par contact direct Cette solution correspond à une réalisation courante avec la possibilité d’interposer une graisse ou de choisir des couples de matériaux adaptés au frottement sec. 3.6.2.2 Par emploi de composants à éléments roulants C’est la famille des roulements dits à rotule, à billes ou à rouleaux (tableau 1). 3.6.2.3 Rotule hydrostatique Employée lorsque l’on possède une source de pression, la bille et son alvéole sont séparées par un film lubrifiant. 3.7 Liaison plane 3.7.1 Schéma Cela correspond à la notion de mouvement plan sur plan ; le torseur distributeur des vitesses a pour coordonnées : — en O — en M Son symbole de représentation est précisé sur la figure 8. Le torseur d’action de liaison est représenté en O par : 3.7.2 Réalisations 3.7.2.1 Par contact direct Avec l’interposition d’un lubrifiant pâteux. 3.7.2.2 Par emploi d’un film lubrifiant Ce sont les patins hydrostatiques. 3.8 Liaison linéaire rectiligne 3.8.1 Schéma Le torseur distributeur des vitesses a pour coordonnées (figure 9) : — en O — en M Le torseur d’action de liaison est représenté en O par : il s’agit donc d’une liaison à quatre degrés de liberté. 3.8.2 Réalisations Elles correspondent au contact d’une arête vive (ou couteau) sur un plan, au contact d’un galet sur un plan. Ω10 ω10x i ω10y j ω10z k+ + 0          ω10x i ω10y j ω10z k+ + MO ω10x i ω10y j ω10z k+ +( )∧          X01 i Y01 j Z01 k+ + 0           ω10z k V10x i V10y j+           ω10z k V10x i V10y j MO ω10z k∧+ +           Z01 k L01 i M01 j+           Figure 7 – Liaison rotule Figure 8 – Liaison plane Figure 9 – Liaison linéaire rectiligne ω10x i ω10y j+ V10x i V10z k+           ω10x i ω10y j+ V10x i V10z k MO ω10x i ω10y j+( )∧+ +           Y01 j N01 k          
  10. 10. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 10 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique 3.9 Liaison linéaire annulaire 3.9.1 Schéma Cette liaison autorise une translation et trois rotations (figure 10). Pour les vitesses, on a : — au point O — au point M Au torseur d’action de liaison, on associe au point O : 3.9.2 Réalisations Cette liaison correspond au cas où le centre d’une rotule est astreint à se déplacer sur une droite ou sur une courbe fixée (figure 11). 3.10 Liaison ponctuelle 3.10.1 Schéma La liaison autorisant trois rotations et deux translations (figure 12), est donc à cinq degrés de liberté. Le mouvement est caractérisé au point O par : le torseur d’action de liaison admet pour représentation en O : 3.10.2 Réalisation Elle correspond au contact de pièces avec des piges. 4. Test cinématiquement admissible 4.1 Schéma de principe L’emploi des conventions de représentation de liaison permet d’associer un schéma à une réalisation. Les figures 13 et 14 en sont des illustrations. Il est clair que, dans cette étape, une part importante a été attribuée à l’identification des liaisons, ce qui sous-entend une connaissance fine du comportement des composants utilisés. Il s’agit maintenant de s’assurer de la compatibilité des différents mouvements recensés, ce qui permet de tester le fonctionnement et surtout de mettre en évidence les conditions géométriques à l’origine de son existence, cela se traduit par des contraintes de fabrication et réagit sur l’aptitude à pouvoir déterminer les carac- téristiques des composants (cf. article Étude des interefforts. Modifi- cation des comportements de liaison [B 600] dans ce traité). Nous distinguons les mécanismes à fermeture de chaîne simple ou composée. 4.2 Mécanisme à fermeture de chaîne simple 4.2.1 Définition Un mécanisme est dit à fermeture de chaîne simple lorsqu’il n’existe qu’une seule succession de solides qui, issue de l’un d’entre eux, nous y ramène. Figure 10 – Liaison linéaire annulaire Figure 11 – Montage d’une liaison linéaire annulaire Figure 12 – Liaison ponctuelle ω10x i ω10y j ω10z k+ + V10x i          ω10x i ω10y j ω10z k+ + V10x i MO ω10x i ω10y j ω10z k+ +( )∧+           Y01 j Z01 k+ 0          Figure 13 – Chaîne cinématique d’un mécanisme à retour rapide, par balancier à coulisse (d’après norme E 04-015) ω10x i ω10y j ω10z k+ + V10y j V10z k+           X01 i 0     
  11. 11. _______________________________________________________________________________________________________ PRÉSENTATION DES MÉCANISMES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 11 4.2.2 Principe de l’étude Soit S0 , S1 , ..., Sn les (n + 1) solides de la chaîne ; on écrit la composition de mouvement : (5) à chaque mouvement , le type de liaison adopté nous renseigne sur les coordonnées du torseur distributeur des vitesses. Le point M, par rapport auquel les différentes coordonnées moment seront écrites, est arbitraire, on a toutefois intérêt à le choisir à l’inter- section du maximum d’axes de liaison. À la relation (5), on associe la relation torsorielle : qui, au point M, se traduit par un système de six équations homo- gènes ou identités où les inconnues sont les paramètres cinéma- tiques. Si nous désignons par r le rang du système et par p le nombre d’inconnues, différentes éventualités sont à considérer. s r = p : on a la solution banale où tous les paramètres cinématiques sont nuls. On convient de dire que l’on a réalisé un dispositif d’immo- bilisation d’une des pièces par rapport aux autres. s r < p : on fixe de façon arbitraire les valeurs des (p – r ) inconnues secondaires qui, sauf pour les paramètres d’identité, correspondent à des paramètres de rotation (de moteurs) ou de translation (vérin) attaquant le dispositif. 4.2.3 Exemple On considère le dispositif de la figure 16 : Le point M est choisi en O 3 , intersection des axes de liaison : liaison pivot de système de coordonnées en O 3 : liaison pivot glissant de système de coordonnées en O 3 : liaison pivot de système de coordonnées en O 3 : liaison pivot glissant de système de coordonnées en O3 : Figure 14 – Chaîne cinématique d’un embiellage Remarque : on appelle paramètre d’identité toute variable cinématique précédemment recensée, dont les différentes valeurs n’affectent pas la loi d’entrée-sortie du dispositif. Ces paramètres sont là pour des commodités de réalisation ou pour limiter l’énergie dissipée au contact. La figure 15 représente un mécanisme de Genève ou croix de Malte. À la rotation du galet S2 par rapport au bras S1 correspond un paramètre d’identité ; en effet, cette rotation n’affecte en rien la loi d’entrée-sortie, elle est simplement là pour limiter l’usure et l’énergie dissipée au contact de S2 et S1 . S0 S0 -------- S0 S1 -------- S1 S2 -------- … Sn 1– Sn --------------- Sn S0 --------+ + + += Si Si 1+ -------------- 0{ } tc S0 /S1{ } tc S1/S2{ } … tc Sn 1– /Sn{ } tc Sn /S0{ }+ + + += S0 S0 -------- S0 S1 -------- S1 S2 -------- S2 S3 -------- S3 S0 --------+ + += Figure 15 – Mécanisme de Genève ou croix de Malte Figure 16 – Mécanisme d’homogénéisation de solutions S1 S2 -------- et S2 S3 -------- S0 S1 -------- ω01 i R cos θ1 j– R sin θ1 k–( ) ω01 i∧           S1 S2 -------- ω12 i V12 i      S2 S3 -------- ω23 j 0      S3 S0 -------- ω30 j ᐉ( cos α i ᐉ sin α k ) ω30 j∧–          
  12. 12. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 12 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique Les relations vectorielles associées à : sont : — vecteur rotation en projection : — moment en projection : — La seule donnée de ω01 entraîne la connaissance de tous les autres paramètres. — Pour toute valeur de a (distance entre l’axe de la liaison entre S0 et S1 et celui de la liaison entre S3 et S0), le dispositif est apte à la transmission de mouvement. — Les vecteurs rotation n’ont aucune composante sur ; c’est cette propriété qui assure le fonctionnement du dispositif (en effet, le système d’équations homogènes précédent est de rang 5, six inconnues y figurent, d’où la possibilité de transmission de mouve- ment). Si les quatre axes de liaison n’étaient plus parallèles à un plan, on aurait un système de six équations homogènes à six inconnues, le dispositif serait donc bloqué dans la position du montage. 4.3 Mécanisme à fermeture de chaîne composée 4.3.1 Définition Un mécanisme est à fermeture de chaîne composée s’il existe plusieurs successions de solides qui, issues de l’un d’entre eux, nous y ramène. 4.3.2 Exemple La figure 17 représente le schéma d’un train épicycloïdal simple. On peut y distinguer les chaînes simples suivantes : s S0 – S1 – S2 – S4 – S0 on a qui se traduit par : (6) s S0 – S1 – S2 – S3 – S0 on a pour les torseurs, on a : (7) s S0 – S4 – S2 – S3 – S0 on a (8) Or, on peut remarquer que : (6) – (7) = (8) La technique d’étude consistant à comparer le rang d’un système d’équations au nombre d’inconnues, il est clair que l’on a intérêt à écrire le nombre minimal d’équations, en omettant celles qui sont dépendantes du système retenu. 4.3.3 Méthode Afin de limiter le nombre d’équations écrites, on peut utiliser la méthode des graphes. 4.3.3.1 Graphe associé à un mécanisme Un graphe est l’ensemble constitué de : avec ui ∈ S × S c’est-à-dire qu’un arc est l’ensemble de deux sommets. Une des techniques d’association d’un graphe à un mécanisme consiste à faire correspondre à chaque solide un sommet du graphe, et à une liaison qui intervient entre deux solides, un arc. On appelle cycle simple une succession d’arcs tels que : — aucun arc n’est isolé ; — sommets initial et final coïncident ; — on ne rencontre pas deux fois le même arc ; — seul le sommet initial intervient deux fois. Figure 17 – Train épicycloïdal (a) et graphe associé (b) 0{ } tc S0/S1{ } tc S1/S2{ } tc S2/S3{ } tc S3/S0{ }+ + += sur i : ω01 ω12+ 0= sur j : ω23 ω30+ 0=   sur i : V12 ω03 ᐉ sin α+ 0= sur j : Rω01 sin θ1 V30+– 0= sur k : Rω01 cos θ1 ω30 ᐉ cos α+ 0=     k Remarque : cette notion de cycle simple correspond tout simplement à la notion de chaîne simple. La théorie des graphes permet de prévoir le nombre de cycles simples indépendants, c’est-à-dire donnant le nombre d’informations telles que celles associées à tout autre cycle simple seraient déjà incluses dans les informations retenues et on a la relation : ν = p + 1 – n avec ν nombre de cycles simples indépendants, p nombre d’arcs, n nombre de sommets. S0 S0 -------- S0 S1 -------- S1 S2 -------- S2 S4 -------- S4 S0 --------+ + += 0{ } tc S0 /S1{ } tc S1 /S2{ } tc S2 /S4{ } tc S4 /S0{ }+ + += S0 S0 -------- S0 S1 -------- S1 S2 -------- S2 S3 -------- S3 S0 --------+ + += 0{ } tc S0 /S1{ } tc S1 /S2{ } tc S2 /S3{ } tc S3 /S0{ }+ + += S0 S0 -------- S0 S4 -------- S4 S2 -------- S2 S3 -------- S3 S0 --------+ + += 0{ } tc S0 /S4{ } tc S4 /S2{ } tc S2 /S3{ } tc S3 /S0{ }+ + += S S1, S2, …, Sn( ) appelés sommets= U u1, u2, …, up( ) appelés arcs=  
  13. 13. _______________________________________________________________________________________________________ PRÉSENTATION DES MÉCANISMES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique B 599 − 13 4.3.3.2 Technique analytique Au mécanisme proposé on associe un graphe qui permet de déterminer les cycles simples pour lesquels on écrira les équations de fermeture de chaîne. On est donc confronté à un système de 6 ν équations ou identités dont on compare le rang au nombre d’inconnues, ce qui nous ramène à la discussion évoquée au paragraphe 4.2.2. 5. Mobilité de deux pièces liées par des contacts ponctuels 5.1 Problème La fabrication répétitive de pièces en employant des machines- outils conventionnelles implique la conception de montages d’usinages. La pièce à fabriquer est fixée à la table de la machine- outil par l’intermédiaire de contacts ponctuels (piges), linéiques (galets) ou surfaciques (cales). L’agencement des différents contacts doit assurer une immobilisation de la pièce ; ce problème a fait l’objet de nombreuses investigations et la règle du point, trait, plan de Kelvin est répandue dans le milieu professionnel. Il est pensable d’envisager un traitement informatique de ces notions, moyennant l’association d’un système de six nombres d’une normale de contact (§ 5.3) comme nous le précisons par la suite. 5.2 Rappels Soit deux corps solides indéformables S1 et S2 en contact en P. Désignons par le vecteur normal ; l’indéformabilité se traduit par : qui traduit la propriété pour la vitesse de glissement d’être dans le plan tangent. 5.3 Rang d’un système de normales de contact À une normale de support ∆i on peut associer, le point O étant fixé, un système de six nombres correspondant respectivement aux composantes de et de avec Pi qui appartient à ∆i ; on a : p normales étant proposées, leur rang est l’ordre le plus élevé du déterminant non nul que l’on peut extraire du tableau : 5.4 Mouvement autorisé Soit le solide S1 lié à S0 par l’intermédiaire de p contacts ponctuels de normales i ∈ [1, ..., p] ; on cherche à caractériser le torseur associé au mouvement du S1 par rapport à S0 . Le point O étant fixé, à la normale correspond la matrice colonne : les composantes des coordonnées seront notées ; la perpendicularité des vitesses de glissement et des normales de contact se traduit par p relations : que l’on peut écrire sous la forme : avec T symbole de transposition. Remarque : la relation : entraîne ou encore (9) avec les notations la relation (9) s’écrit : a V P S2 /S1∈( ) a⋅ 0= V P S2/S1∈( ) V O S2/S1∈( ) Ω OP∧+= a V O S2/S1∈( )⋅ Ω OP∧( ) a⋅+ 0= a V O S2/S1∈( )⋅ OP a∧( ) Ω⋅+ 0= Ω ω21x i ω21y j ω21z k+ += V O S2/S1∈( ) V21x i V21y j V21z k+ += OP a∧ ᐉ i m j n k+ += a u i v j w k+ += V21x u V21y v V21z w ω21x ᐉ ω21y m ω21z n+ + + + + 0= Remarque : le rang r p et r 6. ai ai OPi ai∧ ai ui i vi j wi k+ += OPi ai∧ ᐉi i mi j ni k+ += u1 v1 w1 ᐉ1 m1 n1                      … up vp wp ᐉp mp np                      р р ai ai      ... ni u      tc S1/S0{ } ω10x , ω10y , ω10z , V10x , V10y , V10z ( ) ω10x ᐉi ω10y mi ω10z ni V10x ui V10y vi V10z wi+ + + + + 0= ᐉ1 m1 n1 u1 v1 w1                      … ᐉp mp np up vp wp                      T ω10x ω10y ω10z V10x V10y V10z 0=
  14. 14. PRÉSENTATION DES MÉCANISMES ________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. B 599 − 14 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique La résolution de ce système d’équations implique la détermination du rang r du système d’équations qui précisément coïncide avec la notion de rang des normales. Le nombre de composantes de qu’il faudra fixer de façon arbitraire (inconnues secondaires) est donc de (6 – r ) ; on dit aussi que le nombre de degrés de liberté de la liaison est (6 –r ). ti{ } Remarques : s Si r = 6, on a réalisé une immobilisation de S1 par rapport à S0 (ablocage). s Dans le cas de contact linéique ou surfacique d’un point de vue cinématique, on représentera une famille de normales de contact par un nombre discret d’entre elles [6]. Références bibliographiques [1] FRÊNE (J.). – Les équations de la mécanique des films minces. Les différents mécanismes de portance. Mécanique Matériaux et Électri- cité, no 347-348, p. 403-16, déc. 1978 (5). [2] NICOLAS (D.). – La lubrification hydrostatique, cas des régimes laminaires et turbulents. Mécanique Matériaux et Électricité, no 354, p. 228-35, juin-juil. 1979 (5). [3] GODET (M.). – Tribologie. Cours de génie mécanique et développement. INSA, p. 425-83 (5, v). [4] STANFIELD. – Hydrostatic bearings (Paliers hydrostatiques). The Machinery Publishing Co. Ltd. (5, v). [5] POWELL. – Aerostatic bearings (Paliers aéros- tatiques). The Machinery Publishing Co. Ltd. [6] BRICARD (R.). – Leçons de cinématique. Gauthier Villars, p. 91 à 123 (1926). 5 étude théorique v comporte des résultats d’essais de laboratoire

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