Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
SMAALI. MONDHER. © http://alphamaths.12r.org
Les lois de probabilités continues ( : Uniforme+Exponentielle)
Exercice 1
On ...
SMAALI. MONDHER. © http://alphamaths.12r.org
3. La durée d’attente en secondes à la caisse d’un supermarché est une variab...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

4° exos loi-continues-sm.

470 vues

Publié le

Publié dans : Formation
  • Soyez le premier à commenter

4° exos loi-continues-sm.

  1. 1. SMAALI. MONDHER. © http://alphamaths.12r.org Les lois de probabilités continues ( : Uniforme+Exponentielle) Exercice 1 On choisit un nombre réel a au hasard dans [0 ; 1]. Quelle est la probabilité que, dans l’écriture décimale de a, le premier nombre après la virgule soit un 3 ? Quelle est la probabilité que, dans l’écriture décimale de a, le premier nombre après la virgule soit pair ? Exercice 2 On choisit un nombre réel a au hasard dans [0 ; 1]. Sachant que ce nombre a est supérieur à 0,6, quelle est la probabilité pour qu’il soit inférieur à 0,95 ? Sachant que ce nombre a est supérieur à 0,963, quelle est la probabilité pour que dans l’écriture décimale de a, le deuxième chiffre après la virgule soit multiple de 3 ? Exercice 3 On veut modéliser le choix d’un nombre réel dans [0 ; 1] par une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x)= λx où λ est un réel fixé. Justifier que ceci n’est possible qu’avec un seul réel ¸ que l’on déterminera. Donner alors la valeur de P ([0;1/2]);P ([1/2;1]);P ([0,3;0,4]) . Exercice 4 On veut modéliser le choix d’un nombre réel dans [0 ; 1] par une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) =λx2 où λ est un réel fixé. Justifier que ceci n’est possible qu’avec un seul réel ¸ que l’on déterminera. Donner alors la valeur de P([0;1/2]);P([1/2;1]);P([0;0,1]);P([0,9;1]) . Exercice 5 On considère sur [0;+∞ [la loi de probabilité de densité λe−λx avec ¸ = 1,54×10−10 , constante de désintégration annuelle pour l’uranium238. Calculer p ([0;10]);p ([0;1010]);p ([109;1010]) Déterminer t tel que p ([0; t])= 0,99 .Interpréter ce résultat. Exercice 6 On considère sur [0;+∞ [la loi de probabilité de densité λe−λx Justifier que P ([t ;+∞[)=1−P ([0; t]). En déduire, en fonction de t la valeur de P([t ;+∞[). Calculer la probabilité conditionnelle P [t ;+∞[([t ; t +s]). Vérifier que cette probabilité ne dépend pas de t. Que retrouve-t-on ? Exercice 7 Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a., b., c., d. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse. 1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées. a. X suit une loi binomiale de paramètres n et 1/4 . b. P(X =0) =1/2(2n) c. P(X < 5) = 1−P(X >5) d. E(X)= 0,75×n 2. Une maladie atteint 1 % d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes : Chez les individus malades, 99 % des tests sont positifs et 1 % négatifs. Chez les individus non malades, 98 % des tests sont négatifs (les autres étant positifs). Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test. On note M l’événement : « l’individu est malade »et T l’événement : « le test pratiqué est positif ». a. PM(T) +P (T)= 1,01. b. PM(T) +P (T) =P(T). c. P(T)= 2,97.10−2 d. Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que L’individu testé ne soit pas malade.
  2. 2. SMAALI. MONDHER. © http://alphamaths.12r.org 3. La durée d’attente en secondes à la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01. Alors : a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0;+∞ [par : f (t)= e−0,01t. b. Pour tout réel t positif, P (Y E t)= 1−e−0,01t. c. La probabilité d’attendre moins de 3minutes à cette caisse est, à 0,01 près, égale à 0,16. d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute. Exercice 8 1. A 23 heures, l ?heure à laquelle se termine la représentation de Carmen, la diva reste un certain temps avant de quitter l’opéra. La variable aléatoire T égale au temps (exprimé en heures), qu’elle met pour quitter l’opéra suit une loi exponentielle de paramètre 1/3. a. calculer la probabilité qu’elle sorte avant minuit. b. calculer la probabilité qu’elle sorte avant une heure du matin, sachant qu’elle est sortie après minuit. 2. après chaque représentation, un admirateur attend la diva pour lui offrir des roses. Si elle sort avant minuit, il rentre chez lui en métro. Sinon il doit prendre un taxi. Durant toute une saison, Carmen est à l’affiche pour une série de 15 représentations. On note X la variable aléatoire égale au nombre de jours où l’admirateur rentre chez lui en métro. a. calculer la probabilité que l’admirateur rentre au moins deux fois chez lui en métro. b. calculer E(X). Exercice 9 La durée de vie d’une particule radioactive est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. si l’on considère une masse m d’un corps radioactif, la durée au bout de laquelle la moitié de la masse du corps s’est décomposée est appelée période du corps radioactif. 1. la période du plutonium 239 et de 24 100 ans. Déterminer λ.( en prenant l’année comme unité) (on notera X la durée de vie d’une particule) 2. combien reste-t-il d’un stock de 500 kg de plutonium239 après 500 ans ? 3. au bout de combien de temps les deux tiers d’un échantillon de plutonium 239 sont-ils décomposés? 4. Sachant que la moitié d’un échantillon de plutonium 239 est décomposé, combien faudra t’il de temps pour que les 3/4 de cet échantillon soit décomposé ? Exercice 10 1. On choisit au hasard un nombre dans l’intervalle [0;4] Quelle est la probabilité qu’il vérifie : x2 −8x +12 0 2. On choisit au hasard cinq nombres dans l’intervalle [0;4] Quelle est la probabilité que trois de ces nombres vérifient : x2 −8x +12 0? On note X la variable aléatoire égale au nombre de ces nombres réels vérifiant x2 −8x +12 0. Déterminer E(X) Exercice 11 Un magasin vend des téléviseurs de la même marque. Pour chacun de ces téléviseurs, le temps d’attente (exprimé en années) de la première panne est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre ¸ .On suppose que P(T < 3) = P(T > 3). 1. Déterminer le paramètre ¸ de la loi de T. 2. Calculer la probabilité p pour un téléviseur de tomber en panne dans les 2 premières années de son utilisation. Vérifier qu’une valeur approchée de p à 10−2 est 0,37. 3. Une personne achète d’occasion un téléviseur provenant du magasin en question. Sachant que ce téléviseur a déjà fonctionné 20 mois sans panne, quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore sans panne, pendant au moins deux ans ? 4. Le magasin a vendu 10 téléviseurs en un jour. On note X la variable aléatoire égale au nombre de ces téléviseurs qui tomberont en panne pendant les 2 premières années de leur utilisation. On suppose que les téléviseurs tombent en panne indépendamment les uns des autres. a. Reconnaître la loi de probabilité de X et donner P(X = k) en fonction de k et de p. Calculer l’espérance de X et sa variance. b. Calculer la probabilité qu’au moins deux des 10 téléviseurs vendus, tombent en panne pendant les 2 premières années de leur utilisation.

×