Sistemas numéricos & Algebra de Boole

Doraliza Hugo Vera
Doraliza Hugo VeraDocente en Ministerio de Educación à Ministerio de Educación
UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍ
                      CAMPUS EL CARMEN

                   ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS



                                   SISTEMAS NUMÉRICOS
¿Qué son los Sistemas Numéricos?

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten
construir todos los números válidos.

Un sistema de numeración puede representarse como:




Donde:

N: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
S:   es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son
{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D,
E, F}.

R:   son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un
sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración
romana requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a
todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se
pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a
la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración
de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron
independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso
documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de
posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de
                                                                                                                1



hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.
                                                                                                                Página
Clasificación

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-
posicionales:

Sistemas de numeración no posicionales

Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la
cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba
cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre
conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y
los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

Sistemas de numeración posicionales

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base
del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que
disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una
unidad de orden superior.



SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

es un sistema de numeración donde se toma como base eles un sistema de numeración donde se
toma como base elnumero 10 y va desde el 0 al 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) estos números son
losnumero 10 y va desde el 0 al 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Características:

Su base es 10 va del 0 al 9 y con estas cifras se conformansu base es 10 va del 0 al 9 y con estas
cifras se conformarlos diferentes números que conocemos.

SISTEMA DE NUMERACIÓN             OCTAL

Sistema en el que se toma por base el 8 y va del 0 al 7sistema en el que se toma por base el 8 y va
del 0 al 7

SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

Sistema de numeración posicional quesistema de numeración posicional quetiene como base el 16
y por tanto emplea 16 símbolos este combina letras ytiene como base el 16 y por tanto emplea 16
símbolos esta combina letras y números.
                                                                                                      2
                                                                                                      Página




Características:
comprende de los siguientes símbolos(1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f,10)



SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO:

Es el sistema de numeración que se representa soloes el sistema de numeración que se representa
soloutilizando las cifras 1 y 0utilizando las cifras 1 y 0

Características:

Este sistema es el que se utiliza en los ordenadores ya que trabaja con dos este sistema es el que
se utiliza en los ordenadores ya que trabaja con desniveles de voltaje internamente (encendido 1
apagado 0).



                                         CONVERSIONES



DECIMAL A BINARIO

Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre la
nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cociente
sea inferior a la base. El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en la
nueva base.

Ejemplo:

Convertir el 100 en binario.




BINARIO A DECIMAL
                                                                                                       3
                                                                                                       Página




Para pasar de una base cualquiera a base 10, basta con realizar la suma de los productos de cada
dígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como potencias sucesivas de la
base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido se
suma, y el resultado global es el número en base 10.

Ejemplo:

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente
manera:




Entonces sumamos los valores que tengan el uno




BINARIO A OCTAL

Para convertir un número binario a su expresión octal agrupamos los dígitos de tres en tres de
derecha a izquierda y si en la última agrupación no se completan los tres dígitos los completamos
con ceros y cada grupo de tres representa un digito en octal

Ejemplo:

       10011012                (1   1 5)8



HEXADECIMAL A DECIMAL

Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal
representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16

Ejemplo:

        (1234)16

       1*(16)³ + 2*(16)² + 3*(16)¹+ 4*(16)0

Lo que da como resultado:

       4096 + 512 + 48 + 4 = (4660)10
                                                                                                    4
                                                                                                    Página
TABLA DE CONVERSION:

          DECIMAL           BINARIO           OCTAL         HEXAGESIMAL

              0              00000              0                0
              1              00001              1                1
              2              00010              2                2
              3              00011              3                3
              4              00100              4                4
              5              00101              5                5
              6              00110              6                6
              7              00111              7                7
              8              01000              10               8
              9              01001              11               9
              10             01010              12               A
              11             01011              13               B
              12             01100              14               C
              13             01101              15               D
              14             01110              16                E
              15             01111              17                F
              16             10000              20               10
              17             10001              21               11
              18             10010              22               12
              19             10011              23               13
              20             10100              24               14



                                ALGEBRA BOOLEANA


El algebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado enlos valores 0 y 1 (falso y
verdadero). Un operador binariolos valores 0 y 1 (falso y verdadero). Un operador binario El
algebra booleana es ahora implementada mas que todo para los equipos .El algebra booleana es
ahora implementada mas que todo para lossistemas de computación en los que es llamado el
hardware ysistemas de computación en los que es llamado el hardware ycircuitos electrónicos y
digitalescircuitos electrónicos y digitales.



                         Suma de números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son
                                                                                                5
                                                                                                Página




       0+0=0
       0+1=1
1+0=1
         1 + 1 = 10

     100110101
    + 11010101
1    +   1 =1         ——————
                      1000001010

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en
nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1
(este "1" se llama arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 +
0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas: 1º Si el
número de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0. 2º Si el número de unos (en
sentido vertical) es impar el resultado es 1. 3º Acarreo tantos unos como parejas
(completas) de números 1 haya. Por ejemplo: 0 + 0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 se pone 0 y
se acarrea un 1 a la posición siguiente Hay que sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111
(que en decimal es 15). 10 + 15 = 25



                       10110               100100           10.1
                      +11100              + 10010          +11.01
                      110010              110110           101.11
1    +   1 =1
0    +   1 =1
1    +   1 =10




Ejemplo:

Sumar:          20                1 0 1 0 0
                 10                  1 0 1 0
                                                                                              6




                 30                1 1 1 1 0
                                                                                              Página
0   +    1 =1          24
1   +    1 =10
                       30



Ejemplo:

Sumar:        30                    0 1 1 1 1 0
               20                       1 0 1 0 0
               50                     1 10 0 1 0



                                          50



                            Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene
repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es
más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y
diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

         0-0=0
         1-0=1
         1-1=0
         0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada
de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 =
1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.




Ejemplos:

Restamos 17 - 10 = 7           Restamos 217 - 171 = 46
                                                                                                 7




     10001                          11011001
                                                                                                 Página




    -01010                         -10101011
    ——————                    —————————
00111                        00101110


7                           46

Restamos       35 - 15           Restamos    50 -   11

    100011                            0110010
    001111                             001011
——————                            ——————
    010100                              100111

20                                     3



                  Multiplicación de números binarios

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva
cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el
elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 22 por 9 = 198

      10110
      1001
    —————————
      10110
     00000
     00000
    10110
    —————————
    11000110



198




Multiplicar:      25 * 5 = 125
                                                                                           8



11001
                                                                                           Página




                    00101
                    11001
00000
                11001
              00000
             00000
             001111011

125




División de números binarios
La división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las
restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a
dividir 100010010 (274) entre 1101 (13)= 20

 100010010 |1101
         ——————
- 0000 010101                 010101
———————
 10001
- 1101
———————
  01000                          20
 - 0000
 ———————
   10000
  - 1101
  ———————
    00111
   - 0000
   ———————
     01110
    - 1101
    ———————
  00001
                                                                                                  9
                                                                                                  Página

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Sistemas numéricos & Algebra de Boole

  • 1. UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍ CAMPUS EL CARMEN ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS SISTEMAS NUMÉRICOS ¿Qué son los Sistemas Numéricos? Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como: Donde: N: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). S: es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D, E, F}. R: son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de 1 hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. Página
  • 2. Clasificación Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no- posicionales: Sistemas de numeración no posicionales Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos. Sistemas de numeración posicionales El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL es un sistema de numeración donde se toma como base eles un sistema de numeración donde se toma como base elnumero 10 y va desde el 0 al 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) estos números son losnumero 10 y va desde el 0 al 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Características: Su base es 10 va del 0 al 9 y con estas cifras se conformansu base es 10 va del 0 al 9 y con estas cifras se conformarlos diferentes números que conocemos. SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL Sistema en el que se toma por base el 8 y va del 0 al 7sistema en el que se toma por base el 8 y va del 0 al 7 SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL Sistema de numeración posicional quesistema de numeración posicional quetiene como base el 16 y por tanto emplea 16 símbolos este combina letras ytiene como base el 16 y por tanto emplea 16 símbolos esta combina letras y números. 2 Página Características:
  • 3. comprende de los siguientes símbolos(1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f,10) SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO: Es el sistema de numeración que se representa soloes el sistema de numeración que se representa soloutilizando las cifras 1 y 0utilizando las cifras 1 y 0 Características: Este sistema es el que se utiliza en los ordenadores ya que trabaja con dos este sistema es el que se utiliza en los ordenadores ya que trabaja con desniveles de voltaje internamente (encendido 1 apagado 0). CONVERSIONES DECIMAL A BINARIO Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre la nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cociente sea inferior a la base. El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en la nueva base. Ejemplo: Convertir el 100 en binario. BINARIO A DECIMAL 3 Página Para pasar de una base cualquiera a base 10, basta con realizar la suma de los productos de cada dígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como potencias sucesivas de la
  • 4. base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido se suma, y el resultado global es el número en base 10. Ejemplo: El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera: Entonces sumamos los valores que tengan el uno BINARIO A OCTAL Para convertir un número binario a su expresión octal agrupamos los dígitos de tres en tres de derecha a izquierda y si en la última agrupación no se completan los tres dígitos los completamos con ceros y cada grupo de tres representa un digito en octal Ejemplo: 10011012 (1 1 5)8 HEXADECIMAL A DECIMAL Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16 Ejemplo: (1234)16 1*(16)³ + 2*(16)² + 3*(16)¹+ 4*(16)0 Lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48 + 4 = (4660)10 4 Página
  • 5. TABLA DE CONVERSION: DECIMAL BINARIO OCTAL HEXAGESIMAL 0 00000 0 0 1 00001 1 1 2 00010 2 2 3 00011 3 3 4 00100 4 4 5 00101 5 5 6 00110 6 6 7 00111 7 7 8 01000 10 8 9 01001 11 9 10 01010 12 A 11 01011 13 B 12 01100 14 C 13 01101 15 D 14 01110 16 E 15 01111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 14 ALGEBRA BOOLEANA El algebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado enlos valores 0 y 1 (falso y verdadero). Un operador binariolos valores 0 y 1 (falso y verdadero). Un operador binario El algebra booleana es ahora implementada mas que todo para los equipos .El algebra booleana es ahora implementada mas que todo para lossistemas de computación en los que es llamado el hardware ysistemas de computación en los que es llamado el hardware ycircuitos electrónicos y digitalescircuitos electrónicos y digitales. Suma de números Binarios Las posibles combinaciones al sumar dos bits son 5 Página 0+0=0 0+1=1
  • 6. 1+0=1 1 + 1 = 10 100110101 + 11010101 1 + 1 =1 —————— 1000001010 Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas: 1º Si el número de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0. 2º Si el número de unos (en sentido vertical) es impar el resultado es 1. 3º Acarreo tantos unos como parejas (completas) de números 1 haya. Por ejemplo: 0 + 0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 se pone 0 y se acarrea un 1 a la posición siguiente Hay que sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111 (que en decimal es 15). 10 + 15 = 25 10110 100100 10.1 +11100 + 10010 +11.01 110010 110110 101.11 1 + 1 =1 0 + 1 =1 1 + 1 =10 Ejemplo: Sumar: 20 1 0 1 0 0 10 1 0 1 0 6 30 1 1 1 1 0 Página
  • 7. 0 + 1 =1 24 1 + 1 =10 30 Ejemplo: Sumar: 30 0 1 1 1 1 0 20 1 0 1 0 0 50 1 10 0 1 0 50 Resta de números binarios El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo. La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Ejemplos: Restamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46 7 10001 11011001 Página -01010 -10101011 —————— —————————
  • 8. 00111 00101110 7 46 Restamos 35 - 15 Restamos 50 - 11 100011 0110010 001111 001011 —————— —————— 010100 100111 20 3 Multiplicación de números binarios El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 22 por 9 = 198 10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110 198 Multiplicar: 25 * 5 = 125 8 11001 Página 00101 11001
  • 9. 00000 11001 00000 00000 001111011 125 División de números binarios La división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13)= 20 100010010 |1101 —————— - 0000 010101 010101 ——————— 10001 - 1101 ——————— 01000 20 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001 9 Página