1) O documento apresenta definições e notações sobre matrizes, incluindo tipos de matrizes, operações com matrizes e matrizes elementares. 2) São definidos conceitos como matrizes do tipo m x n, elementos de uma matriz, soma e multiplicação de matrizes, matrizes nulas e identidade. 3) São introduzidos os conceitos de matrizes elementares, que são obtidas a partir da matriz identidade por meio de operações elementares nas linhas.

1. Cap´
ıtulo 1
Matrizes e Determinantes
1.1
Generalidades
Iremos usar K para designar
IR conjunto dos n´meros reais
u
C conjunto dos n´meros complexos.
u
Deste modo, chamaremos
n´meros ou escalares
u
aos elementos de K.
Sejam m e n inteiros positivos.
(1.1 a) Defini¸˜o.
ca
Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro
que se obt´m dispondo mn n´meros segundo m linhas e
e
u
n colunas.



A=


a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
am1 am2 · · · amn
1







2. (1.1 b) Nota¸˜es. Usamos igualmente como abreviatura
co
A=
aij
i=1,...,n ; j=1,...,n
ou
aij
m×n
ou ainda, simplesmente
aij
caso se subentenda o tipo da matriz.
O n´mero
u
aij
diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em aij o
i indica a linha onde se situa o elemento
j indica a coluna onde se situa o elemento
e, como tal,
i diz-se o ´
ındice de linha
j diz-se o ´
ındice de coluna
do elemento aij .
O elemento aij diz-se ainda o elemento (i, j) da matriz A.
Para A matriz do tipo m × n de elementos sobre K
i. a matriz A diz-se quadrada sempre que
m=n ;
ii.
rectangular
m = n;
iii.
matriz-linha
ou vector-linha
iv.
m = 1;
matriz-coluna
ou vector-coluna
2
n = 1;

3. Representamos por
Mm×n (K)
o conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre K. Com abuso de
linguagem, usamos a nota¸˜o
ca
Km
para representar Mm×1 (K), ou seja, para representar o conjunto das matrizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,

 a1



 a2
Mm×1 (K) =  .
 .
 .


 a
m









 : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m ∼
=







∼ K m = {(a1 , a2 , · · · , am ) : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m} .
=
(1.1 c) Defini¸˜o.
ca
As matrizes
A=
aij
∈ Mm×n (K), B =
bk
∈ Mp×q (K)
dizem-se iguais sse
m=p
n=q
e
aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
(1.1 d) Nota¸˜es.
co
(I) Aos elementos da matriz (quadrada) A ∈ Mn×n (K) com igual ´
ındice de
linha e coluna chamamos elementos diagonais de A,
a11 , a22 , a33 , ..., ann .
(II) A sequˆncia ordenada ( ou n-upla) constitu´ pelos elementos diagoe
ıda
nais diz-se a diagonal principal de A.
(III) A n-upla constitu´ pelos elementos da outra diagonal recebe o nome
ıda
de diagonal secund´ria de A,
a
an1 , an−1,2 , ..., a1n .
3

4. (IV) Uma matriz quadrada A ∈ Mn×n (K) diz-se
i.
triangular superior sempre que aij=0 para i > j;






ii.

triangular inferior sempre que aij = 0 para i < j;


0 ··· 0
.. . 
. . 
. 

0 





iii.





0
. ..
.
.
.
0 ··· 0
diagonal sempre que aij = 0 para i = j.







0
0
. ..
.
.
.
0 ···

··· 0
.. . 
. . 
. 


0 
0
e
(V) A matriz identidade de ordem n, In , ´ a matriz diagonal de ordem n
com elementos diagonais iguais a 1,







1 0 ··· 0
0 1 ··· 0 

. . .. .  =
. .
. . 
. .
. 
0 0 ··· 1
δij
n×n
.
´
E usual representarmos o elemento (i, j) da matriz In por δij , s´
ımbolo
ou delta de Kron¨cker).
e
Matrizes Elementares
Fixemos alguns tipos de opera¸˜es sobre as linhas de uma matriz que se
co
designam por opera¸˜es elementares de linha.
co
4

5. 1. Substitui¸˜o de uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um
ca
m´ltiplo de outra linha;
u
2. Troca entre si de duas linhas de uma matriz;
3. Multiplica¸˜o de todos os elementos de uma linha por um n´mero difeca
u
rente de zero.
(1.1 e) Defini¸˜o.
ca
Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz
que se obt´m de In por aplica¸˜o de uma opera¸˜o elee
ca
ca
mentar `s respectivas linhas.
a
Obtemos, deste modo, trˆs tipos diferentes de matrizes elementares de
e
ordem n.
1. Para i = j (por exemplo, i < j) e α ∈ K









Eij (α) = 







1 0 ··· 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ··· 0 ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 1 ··· α ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1 ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.







 ...i




 ...j




0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i
j
A matriz Eij (α) obt´m-se de In adicionando ` linha i a linha j previe
a
amente multiplicada por α.
5

6. 2. Para i = j (por exemplo, i < j)









Pij = 







1 0 ··· 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ··· 0 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 1 ··· 0 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.







 ...i




 ...j




0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i
j
A matriz Pij obt´m-se de In trocando entre si a linha i com a linha j.
e
3. Para α ∈ K, α = 0, 1 ≤ i ≤ n






Di (α) = 




1 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ···
. . ..
. ..
. .
. .
.
. .
.
0 0 ··· α ···
. . ..
. ..
. .
. .
.
. .
.
0 0 ··· 0 ···
0
0
.
.
.
0
.
.
.







 ...i



1
i
A matriz Di (α) obt´m-se de In multiplicando a linha i por α.
e
Notas.
i. Permutando apenas duas linhas entre si da matriz In obtemos uma
das matrizes Pij .
a
co a
ii. Ao efectuarmos v´rias permuta¸˜es `s linhas de In obtemos matrizes
que em cada linha e em cada coluna tˆm apenas um elemento n˜o-nulo
e
a
e esse elemento ´ 1. S˜o as chamadas matrizes de permuta¸˜o.
e
a
ca
6

7. 1.2
Opera¸oes com Matrizes
c˜
(1.2 a) Defini¸˜o.
ca
Para A =
aij
,B =
bij
∈ Mm×n (K) e α ∈ K
1. A + B ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´
e
e
aij + bij
A + B = sij
para sij = aij + bij , ou simplesmente,
A+B =
2.
aij + bij
m×n
;
αA ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´
e
e
αaij ,
.
αA = αaij
m×n
7

8. (1.2 b) Nota¸˜es.
co
(I) A matriz do tipo m × n com todos os elementos iguais a zero, 0, diz-se
a matriz nula e escreve-se, simplesmente
0m×n .
(II) Para A =
aij
define-se
−A = (−1)A =
−aij
.
(1.2 c) Teorema. Para A, B, C ∈ Mm×n (K) e α, β ∈ K tem-se
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(A + B) + C = A + (B + C)
(Associatividade da Adi¸˜o)
ca
A+B =B+A
(Comutatividade da Adi¸˜o)
ca
A+0=0+A=A
(0m×n ´ o elemento neutro da adi¸ao )
e
c˜
A + (−A) = (−A) + A = 0
(−A ´ a sim´trica de A)
e
e
α(A + B) = αA + αB
(α + β)A = αA + βB
(αβ)A = α(βA)
1A = A
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
Multiplica¸˜o de Matrizes
ca
Motiva¸˜o
ca
Dado o sistema de equa¸˜es lineares
co

 −2x1 + x2 + x3 = 1

4x + 2x − 3x = 0
1
2
3

 −2x − 3x + 5x = 5
1
2
3
ele pode ser representado matricialmente na forma
8

9. 
−2
1



 4


2
−2
coluna dos
coeficientes de
x1 em cada
equa¸˜o
ca

1

x1

1


 


 


 

−3   x2  =  0 

 


 

−3
5
x3
¡
A3×3 ee
e
coluna dos
coeficientes de
x2 em cada
equa¸˜o
ca
vector-coluna
dos termos independentes
5
x3×1 = b3×1
¡
¡
coluna dos
coeficientes de
x3 em cada
equa¸˜o
ca
Se designarmos por A a matriz dos coeficientes das inc´gnitas nas equa¸˜es
o
co
e por x a matriz-coluna das inc´gnitas, temos
o




−2x1 + x2 + x3
1




= 0 
.
Ax =  4x1 + 2x2 − 3x3 
5 3×1
−2x1 − 3x2 + 5x3 3×1
1) O exemplo anterior pode generalizar-se (de modo evidente) para A matriz arbitr´ria do tipo m × n e x vector-coluna arbitr´rio do tipo n × 1.
a
a
´
E imediato que a matriz resultante, a matriz produto, ser´ do tipo
a
m×1
Am×n
d
d
.
xn×1
m×1
=
bm×1
2) A defini¸˜o anterior pode generalizar-se para qualquer matriz A do tipo
ca
m × n e qualquer matriz B do tipo n × p do seguinte modo
Am×n .Bn×p =
=
A × (coluna 1 de B) A × ( coluna 2 de B) . . . A × (coluna p de B)






Am×n

−− −− · · · −−
−− −− · · · −−  

.
.
. 
..
.
.
. 
.
.
.
. 
−− −− . . . −−
Bn×p
|
|
.
.
.
=

 
 
=
 
 
|
(A.B)m×p
|
|
.
.
.
|
j
9

j



.



10. (1.2 d) Defini¸˜o.
ca
Para A = aij ∈ Mm×n (K) e B = bjk ∈ Mn×p (K)
a matriz produto AB ´ a matriz do tipo m×p cujo elemento
e
(i, k) ´
e
ai1 b1k + ai2 b2k + ... + ain bnk
( i = 1, ..., m ; k = 1, ..., p )
AB =
n
j=1
aij bjk
m×p
.
Nota. Como se pode inferir da defini¸˜o, o produto AB da matriz A
ca
pela matriz B apenas est´ definido se o n´mero de colunas da A for igual
a
u
ao n´mero de linhas de B.
u
Sempre que tal acontece
o n´mero de linhas de AB ´ igual ao n´mero de linhas de A;
u
e
u
o n´mero de colunas de AB ´ igual ao n´mero de colunas de B.
u
e
u
(1.2 e) Teorema. Para A, A ∈ Mm×n (K)
B, B ∈ Mn×p (K)
C ∈ Mp×q (K), α ∈ K
temos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(AB)C = A(BC)
AIn = Im A = A
A(B + B ) = AB + AB
(A + A )B = AB + A B
α(AB) = (αA)B = A(αB)
(Se AB = 0 ent˜o (A = 0 ou B = 0)) ´ falso.
a
e
(Se AB = AB e A = 0 ent˜o (B = B )) ´ falso.
a
e
(Se AB = A B e B = 0 ent˜o (A = A )) ´ falso.
a
e
8. A multiplica¸˜o de matrizes n˜o ´ comutativa.
ca
a e
Demonstra¸˜o. Deixamos ao cuidado do leitor a demonstra¸˜o das
ca
ca
primeiras cinco al´
ıneas. Demonstremos as trˆs ultimas. Uma vez que nos
e ´
10

11. pedem para demonstrar que as implica¸˜es s˜o falsas basta apresentar um
co
a
contra-exemplo, isto ´, um exemplo onde o antecedente seja verdadeiro e o
e
consequente seja falso.



1 0 0
0 0



6. Fa¸a A =  0 0 0  e B =  0 1
c
0 0 0
0 0
´ imediato que AB = 03×3 mas A = 0 e
E


0

0 .
0
B = 0.



1 0 0
0 0 0




7. Considere ainda A =  0 0 0  e B =  0 1 0 
0 0 0
0 0 0


0 0 0


e B =  0 0 1 .
0 0 0
Ent˜o A = 0, AB = AB mas B = B .
a
8.



2


Basta considerar A =  3 
eB =
4 3×1
1 0 0
1×3
. Ent˜o A3×1 .B1×3 =
a

2 0 0


enquanto que (B.A)1×1 =
 3 0 0 
4 0 0 3×3
2
.
Retomemos a forma matricial de um sistema de m equa¸˜es lineares em
co
n inc´gnitas
o
Am×n xn×1 = bm×1
onde
Am×n ´ a matriz dos coeficientes das inc´gnitas
e
o
xn×1 ´ a matriz das inc´gnitas
e
o
bm×1 ´ a matriz dos termos independentes
e



Ax=


a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
am1 am2 · · · amn
11






x1
x2
.
.
.
xn







12. 


=



a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
.
.
.





am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn



= x1 


a11
a21
.
.
.


a12
a22
.
.
.




 + x2 




am1
am2






 + xn 




a1n
a2n
.
.
.



.


amn
Nota 1. Dados r vectores-coluna v1 , v2 , ..., vr e r escalares (n´meros)
u
α1 , α2 , ..., αr a
α1 v1 + α2 v2 + ... + αr vr
chamamos combina¸˜o linear dos r vectores-coluna com coeficientes α1 , α2 , ..., αr .
ca
Imediatamente, sempre que o sistema
Ax = b
seja poss´ ent˜o o vector-coluna b ´ uma combina¸˜o linear dos vectoresıvel
a
e
ca
coluna de A onde os coeficientes dessa combina¸˜o linear constituem uma
ca
solu¸˜o do sistema.
ca
Por exemplo, admitindo o sistema

 −2x1 + x2 + x3 = 1

4x + 2x − 3x = 0
1
2
3

 −2x − 3x + 5x = 5
1
2
3


1


a solu¸˜o unica  1 
ca ´
2
temos








1
1
−2
1








 0  = 1  4  + 1  2  + 2  −3  .
5
−3
−2
5
12

13. Nota 2. Agora, na matriz produto
Am×n






Bn×p

(A.B)m×p


|
|
.
.
.
−− −− · · · −−
−− −− · · · −−  

.
.
. 
..
.
.
. 
.
.
.
. 
−− −− · · · −−
=
 
 
=
 
 
|
|
.
.
.



.


|
|
j
j
a coluna j de AB (que ´ dada pelo produto A × (coluna j de B)) ´ uma
e
e
combina¸˜o linear dos vectores-coluna de A sendo os coeficientes dessa comca
bina¸˜o linear as componentes do vector-coluna j de B.
ca
Nota 3. Analogamente ao anteriormente exposto, a linha i da matriz
produto AB




i  −−
−− · · ·




−−  

|
|
.
.
.
| ··· |
| ··· |
. .. .
.
. .
.
.
| | ··· |


 
 
=
  −− −−


linha i de (A.B) =

ai1 ai2 · · · ain





b11
b21
.
.
.
bn1
=
···



−−  i

b12 · · · b1p
b22 · · · b2p 

. ..
. 
.
. . 
.
. 
bn2 · · · bnp
ai1 b11 + ai2 b21 + ... + ain bn1 · · · ai1 b1p + ai2 b2p + ... + ain bnp
= ai1
b11 · · · b1p
+ · · · + ain
bn1 · · · bnp
combina¸˜o linear dos vectores-linha de B e os coeficientes dessa combina¸˜o
ca
ca
linear s˜o as componentes do vector-linha i de A.
a
13

14. 1.3
Inversa de uma Matriz Quadrada
Dada um n´mero (real ou complexo) n˜o-nulo temos sempre garantida a
u
a
existˆncia (em IR ou C) do respectivo inverso multiplicativo. Recordemos a
e
defini¸˜o de inverso multiplicativo de um elemento, por exemplo, em IR.
ca
Dado a ∈ IR, a = 0, o elemento b ∈ IR que satisfaz
ab = ba = 1
diz-se o inverso multiplicativo de a e escreve-se b = a−1 .
Agora com matrizes...
Dada uma matriz A procuramos uma matriz B que satisfa¸a
c
An×? . B?×n = In = B?×n . An×? .
For¸osamente
c
? = n.
Logo s´ faz sentido falar em matriz inversa para uma dada matriz quadrada.
o
(1.3 a) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se invert´
ıvel se
existir uma matriz B quadrada de ordem n tal que
AB = BA = In .
Consequˆncias imediatas da defini¸˜o.
e
ca
(I) A matriz 0n n˜o ´ invert´
a e
ıvel.
(Para A = 0n e B ∈ Mn×n (K) arbitr´ria
a
AB = 0n B = 0n
donde 0n n˜o ´ invert´
a e
ıvel.)
14

15. (II) A matriz A =
1 2
2 4
´ n˜o-invert´
e a
ıvel. Pelo facto de existir
2
6
−1 −3
tal que
1 2
2 4
2
6
−1 −3
=
0 0
0 0
se A fosse invert´
ıvel, existiria A−1 e
A−1
1 2
2 4
2
6
−1 −3
= A−1
2
6
−1 −3
= 02×2
= 02×2
2
6
−1 −3
I2
0 0
0 0
= 02×2
o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes.
ca
(III) A matriz In ´ invert´ j´ que
e
ıvel a
In In = In .
Pergunta 1. Em que condi¸˜es uma dada matriz admitir´ inversa?
co
a
Pergunta 2. Como calcular, quando existe, a inversa de uma dada
matriz?
Mas, mesmo antes de responder a estas quest˜es, podemos demonstrar
o
algumas propriedades da inversa de uma matriz.
(1.3 b) Teorema. Para A ∈ Mn×n (K) existe no m´ximo uma matriz
a
B ∈ Mn×n (K) tal que
AB = BA = In .
Demonstra¸˜o. Comecemos por admitir a existˆncia de duas matrizes
ca
e
inversas de A e mostremos que s˜o iguais.
a
15

16. Para B, B ∈ Mn×n (K) satisfazendo
AB = BA = In
AB = B A = In
temos
B = B In = B (AB) = (B A)B = In B = B.
Logo existe, no m´ximo, uma matriz B nas condi¸˜es requeridas.
a
co
(1.3 c) Teorema. Para A e C matrizes quadradas de ordem n
invert´
ıveis o produto AC ´ tamb´m invert´ e
e
e
ıvel
(AC)−1 = C −1 A−1 .
Demonstra¸˜o. Verifiquemos que C −1 A−1 satisfaz as condi¸˜es exigidas
ca
co
para que seja a inversa de AC. De facto, temos
(AC)(C −1 A−1 ) = A(CC −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In .
De modo an´logo
a
(C −1 A−1 )(AC) = C −1 (A−1 A)C = C −1 In C = C −1 C = In .
Logo podemos concluir que AC ´ invert´
e
ıvel j´ que C −1 A−1 satisfaz as
a
condi¸˜es para ser a inversa de AC.
co
1.4
Transposi¸˜o de Matrizes
ca
(1.4 a) Defini¸˜o.
ca
Dada uma matriz A =
AT =
bk
aij
∈ Mm×n (K) a matriz
∈ Mn×m (K) com
bk = a
k
, k = 1, ..., n; = 1, ..., m
diz-se a transposta de A.
A matriz A diz-se sim´trica se A = AT .
e
16

17. Notas.
i.
ii.
A coluna i da AT ´ precisamente a linha i de A, para i = 1, ..., m.
e
Uma matriz ´ sim´trica sse for quadrada e forem iguais os elementos
e
e
situados em posi¸˜es sim´tricas relativamente ` diagonal principal.
co
e
a
(1.4 b) Proposi¸˜o. A transposi¸˜o de matrizes goza das seguintes
ca
ca
propriedades:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(AT )T = A
(A + B)T = AT + B T
(αA)T = αAT , para α elemento de K
(AB)T = B T AT
(Ak )T = (AT )k , para k natural
Se A for invert´
ıvel, AT tamb´m o ´, tendo-se
e
e
(AT )−1 = (A−1 )T .
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
(1.4 c) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ e
ıvel
as respectivas inversa e transposta coincidirem
A−1 = AT (A ortogonal).
(1.4 d) Defini¸˜o.
ca
Para A = aij
´ a matriz
e
m×n
matriz complexa, a conjugada de A
¯
A=
aij
¯
m×n
.
Escrevemos
A∗
¯
para representar AT .
Uma matriz diz-se herm´
ıtica sempre que
A = A∗ .
17

18. (1.4 e) Proposi¸˜o. As matrizes complexas gozam das seguintes proca
priedades:
(1) (A∗ )∗ = A
(2) (A + B)∗ = A∗ + B ∗
(3) (αA)∗ = αA∗ , para α elemento de C
¯
(4) (AB)∗ = B ∗ A∗
(5) (Ak )∗ = (A∗ )k , para k natural
(6) Se A for invert´
ıvel, A∗ tamb´m o ´, tendo-se
e
e
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
1.5
Determinantes
Pergunta 3. Ser´ poss´ associar a cada matriz um n´mero que dependa
a
ıvel
u
apenas de elementos da matriz e que nos permita decidir a existˆncia da
e
matriz inversa de uma dada matriz?
A resposta a esta quest˜o ´ afirmativa . Tal n´mero ´ chamado o detera e
u
e
minante da matriz.
O Determinante de uma matriz em M1×1 (K).
Um n´mero ´ invert´ sse for n˜o-nulo. Portanto uma matriz 1 × 1 ´
u
e
ıvel
a
e
invert´ sse for n˜o-nula. (Mas, para matrizes de ordem superior tal j´ n˜o
ıvel
a
a a
se verifica.)
Para A =
a
det A = det
∈ M1×1 (K) p˜e-se
o
a
= |a| = a
e chama-se determinante de A.
Conclus˜o. Uma matriz A =
a
pectivo determinante for n˜o-nulo.
a
a
18
∈ M1×1 (K) ´ invert´ sse o rese
ıvel

19. O determinante de uma matriz em M2×2 (K).
3 −13
−2
9
Reparemos que dada A =
A
se tem
B
3 −13
−2
9
9 13
2 3
9 13
2 3
=
1 0
0 1
3 −13
−2
9
=
1 0
0 1
B
A
9 13
foi obtida a partir da matriz A trocando
2 3
entre si os elementos da diagonal principal e mudando o sinal dos restantes
elementos.
onde a matriz B =
5 −8
2 −3
se verifica
−3 8
−2 5
5 −8
2 −3
=
1 0
0 1
5 −8
2 −3
Ainda para A =
−3 8
−2 5
=
1 0
0 1
.
Pod´
ıamos, ent˜o, ser levados a pensar que a inversa de uma matriz
a
A=
a b
c d
se poderia obter trocando entre si a e d e mudando o sinal a c e a b. Mas o
facto de se ter
a b
c d
d −b
−c a
=
ad − bc
0
0
ad − bc
leva-nos a ter um momento de reflex˜o. Tal procedimento levar-nos-ia, imea
diatamente, ` inversa de A somente no caso de ad−bc = 1. E se ad−bc = 1?
a
Ser´ que poderemos ainda determinar a inversa de A?
a
19

20. Caso 1. Seja D = ad − bc = 0.
Basta agora colocar
d
D
c
−D
b
−D
a
D
para obter
d
D
c
−D
b
−D
a b
c d
a
D
d
D
c
−D
a b
c d
b
−D
a
D
= I2
= I2 .
Caso 2. Seja D = ad − bc = 0.
Ent˜o a matriz A n˜o admite inversa. Suponhamos que existia A−1 ,
a
a
matriz inversa de A. Ter´
ıamos
d −b
−c a
d −b
−c a
= I2
= (A−1 A)
= A−1 (A
d −b
−c a
d −b
)
−c a
= A−1 02 = 02
o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes.
ca
a c
∈ M2×2 (K) admite inversa sse
b d
D = ad − bc = 0. O n´mero D diz-se o determinante de A.
u
Conclus˜o. A matriz A =
a
(1.5 a) Nota¸˜es. Usa-se
co
det A = det
aij
=
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
para representar este n´mero de K.
u
20

21. (1.5 b) Exemplo. Temos
det
2 1
1 4
= 8 − 1 = 7,
det
−2 −3
4
5
= −10 + 12 = 2.
(1.5 c) Observa¸˜o.
ca
O determinante de A est´, como vimos, relacionado com a existˆncia e
a
e
o c´lculo da inversa de uma matriz A. Mas a importˆncia do determinante
a
a
n˜o se esgota aqui. Por exemplo, dado o paralelograma P
a




∆
a12
2
 R



(a21 , a22 )

¢



P
¢
 ∆

1¢

(a11 , a12 )



I
¢
a22
¢


 ¢

 ¢

∆2

 ¢


¢
a21
∆1
R
a11
temos
(a11 + a21 )(a12 + a22 ) = ´rea P + 2 ´reaR + 2 ´rea∆1 + 2 ´rea∆2
a
a
a
a
´rea P = (a11 + a21 )(a12 + a22 ) − 2a12 a21 − 2 (1/2)a21 a22 − 2 (1/2)a11 a12
a
= a11 a22 − a12 a21
= det
a11 a12
a21 a22
.
21

22. Algumas Propriedades dos Determinantes em M2×2 (K)
(d1 ) Para a, b, c, d, b , d , α ∈ K temos
a b+b
c d+d
det
det
= det
αa b
αc d
a b
c d
+ det
a b
c d
.
a b
c d
=α
(d2 ) Se as duas colunas de uma matriz forem iguais o determinante da matriz
´ igual a zero.
e
(d3 ) Para a matriz identidade de ordem 2 temos
det
1 0
0 1
= 1.
Demonstra¸˜o.
ca
(d1 ) Temos
det
a b+b
c d+d
= a(d + d ) − c(b + b )
= ad − bc + ad − b c
a b
= det
+ det
c d
det
αa b
αc d
a b
c d
;
a b
c d
= (α a)d − (α c)b = α (ad − bc) = α det
´
( Nota. E imediato que, para a, a , b, b , c, c , d, d , α ∈ K, temos ainda
i.
det
a+a
c+c
b
d
= det
a b
c d
+ det
a
c
b
d
;
ii.
det
a αb
c αd
= α det
22
a b
c d
= det
αa b
αc d
;

23. iii.
det(α
a b
) = α2 det
c d
a b
c d
. )
(d2 ) Temos
det
a a
c c
= ac − ac = 0.
O determinante de uma matriz em M2×2 (K) satisfaz ainda outras propriedades adicionais. Vejamos algumas.
(1.5 d) Proposi¸˜o.
ca
Em M2×2 (K)
(1) se adicionarmos um m´ltiplo de uma coluna ` outra o valor do
u
a
determinante n˜o se altera;
a
(2) se trocarmos entre si as colunas o determinante muda de sinal.
(3) Os determinantes de uma matriz A e da respectiva transposta
coincidem, isto ´, detA = detAT .
e
Demonstra¸˜o.
ca
(1.) Temos
a b + αa
c d + αc
= det
a b
c d
+ det
= det
a b
c d
+ α det
= det
det
a b
c d
.
a αa
c αc
a a
c c
(2.) Temos
det
b a
d c
= bc − ad = −(ad − bc) = −det
a b
c d
a c
b d
.
(3.) Temos
det
= (ad − bc) = det
23
a b
c d
.

24. O determinante de uma matriz em M3×3 (K).


a11 a12 a13


Seja A =  a21 a22 a23  . Vamos definir det A de acordo com a
a31 a32 a33
f´rmula
o
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
−a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
(1)
que pode ser facilmente obtida atendendo aos seguintes diagramas:
Diagrama 1.
+
+
+
-
-
d
d a11
d
d
a11
a12
a13
a12
d
d
d
d
d
d
a21
a
a23
d
d a21 a22
d22
d
d
d
d
a31 a32 d a33 31 dd
a
a32
©d
d
©‚
©
‚
‚
d
d
-
Diagrama 2.
termos com sinal +
termos com sinal r
e re
r
e r
r e
r
e e
err
e
d ¡d ¡
¨¨
¨
¡ ¨
¨d ¡d
d
d¡¨¨
¡
¨ ¡d
¡d d
´
E imediato que
5 −1 3
1 2 0
0 1 1
= (5)(2)(1) + (−1)(0)(0) + (1)(1)(3)−
−(0)(2)(3) − (1)(−1)(1) − (5)(1)(0)
= 10 + 3 + 1 = 14.
24

25. (1.5 e) Observa¸˜es.
co
´
(1) E tamb´m imediato que
e

det AT

a11 a21 a31


= det  a12 a22 a32 
a13 a23 a33
= a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
= det A
logo a propriedade (3) da proposi¸˜o (1.5d) continua a ser satisca
feita para matrizes de M3×3 (K).
(2) Mas os diagramas usados para os casos n = 2 e n = 3 n˜o se revea
lam t˜o uteis e simples para ordens superiores. No entanto, existe
a ´
outra estrat´gia para a defini¸˜o que vai ser de f´cil generaliza¸˜o.
e
ca
a
ca
(3) Podemos, por exemplo, reagrupar os termos de (1) do seguinte
modo (evidenciando os elementos da coluna 1.)


a1 b1 c1


det A = det  a2 b2 c2 
a3 b3 c3
= a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1 c3 − b3 c1 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
b c
b c
b c
= a1 2 2 − a2 1 1 + a3 1 1 .
(2)
b3 c3
b3 c3
b2 c2
(4) De modo idˆntico e reagrupando de acordo com as restantes coe
lunas ou linhas , poder´
ıamos obter outros cinco diferentes desenvolvimentos. Por exemplo, de acordo com os elementos da linha
3, ter´
ıamos
det A = a3
b1 c1
a c
a b
− b3 1 1 + c3 1 1 .
b2 c2
a2 c2
a2 b2
(3)
A f´rmula (2) diz-se um desenvolvimento em coluna do det A (em
o
rela¸˜o ` coluna 1) sendo (3) um desenvolvimento em linha do
ca a
det A (relativamente ` linha 3).
a
(5) Em cada caso os 2 × 2-determinantes (determinantes de matrizes
2 × 2) que aparecem nas f´rmulas dizem-se menores do det A
o
da entrada pela qual est˜o a ser multiplicados. Deste modo, por
a
25

26. exemplo, o menor de a1 ´ o determinante da matriz que se obt´m
e
e
de A eliminando a linha e a coluna onde a1 se encontra, isto
´, a linha 1 e a coluna 1. Semelhantemente, o menor de c2 em
e
a1 b1 c1
a b
a2 b2 c2 ´ 1 1 .
e
a3 b3
a3 b3 c3
(6) A cada menor est´ associado um sinal determinado pela posi¸˜o
a
ca
do elemento e de acordo com a seguinte tabela
+ − +
− + − .
+ − +
Olhando para a tabela podemos dela tirar uma regra:
O sinal que vai afectar o menor do (i, j) -elemento ´ o
e
sinal de (−1)i+j . Deste modo, se i+j for par o sinal +
ir´ afectar o menor da (i, j) -entrada da matriz. Sempre
a
que i + j seja ´
ımpar o sinal que ir´ afectar o menor ser´
a
a
−.
e
(7) Tal leva-nos ao conceito de co-factor ou complemento alg´brico
de uma entrada da matriz A.
O co-factor ou complemento alg´brico da (i, j)-entrada
e
´ igual a
e
(−1)i+j × (menor da (i, j) − entrada).


a1 b1 c1


Por exemplo, para A =  a2 b2 c2 
a3 b3 c3
complemento alg´brico de a1 = (−1)1+1
e
b2 c2
b c
= 2 2
b3 c3
b3 c3
complemento alg´brico de c2 = (−1)2+3
e
a1 b1
a b
=− 1 1 .
a3 b3
a3 b3
(8) Usando as no¸˜es agora estabelecidas podemos descrever o deco
senvolvimento de det A para A ∈ M3×3 (K)3 em colunas ou em
linhas de acordo com a seguinte f´rmula (Teorema de Laplace):
o
O det A ´ igual ` soma dos produtos das entradas de
e
a
uma coluna (ou linha) pelos respectivos complementos
alg´bricos.
e
26

27. Por exemplo, usando o desenvolvimento em coluna (na primeira)
obtemos
5 −1 3
2 0
−1 3
−1 3
1 2 0 =5
−1
+0
= 10 + 4 = 14
1 1
1 1
2 0
0 1 1
obtendo-se o mesmo valor ao efectuarmos o desenvolvimento em
linha (por exemplo, na segunda)
5 −1 3
−1 3
5 3
5 −1
1 2 0 = −1
+2
−0
= 4 + 10 = 14.
1 1
0 1
0 1
0 1 1
´
(1.5 f) Nota. E agora imediato estabelecer em M3×3 (K) a validade
de uma proposi¸˜o correspondente a 1.5 d.
ca
O determinante de uma matriz em Mn×n (K), para n ≥ 4 .
Suponhamos que a no¸˜o de determinante de uma matriz est´ j´ definida
ca
a a
para matrizes de ordem at´ n − 1.
e
representemos por
Dada uma matriz A = aij
n×n
Aij
a (n − 1) × (n − 1)-matriz obtida
de A por supress˜o
a
da linha i e da coluna j
Deste modo podemos definir
i.
o menor de aij como sendo det Aij ;
ii.
o complemento alg´brico (co-factor ) de aij como sendo (−1)i+j detAij .
e
´
E poss´ demonstrar que as somas
ıvel
n
(−1)i+j aij det Aij ,
i=1
27
(j ´ constante)
e

28. n
(−1)i+j aij det Aij ,
(i ´ constante)
e
j=1
tˆm o mesmo valor seja qual for o j escolhido na primeira e o i escolhido na
e
segunda.
A primeira d´-nos o desenvolvimento na coluna j e a segunda d´-nos o
a
a
desenvolvimento na linha i do det A. Deste modo podemos tomar cada uma
destas somas para estabelecer a defini¸˜o de
ca
det A
para o caso geral de uma matriz A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio.
a
(1.5 g) Defini¸˜o.
ca
Para A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio,
a
n
det A =
(−1)i+1 ai1 det Ai1
i=1
diz-se o desenvolvimento de det A na coluna 1 de A.
(1.5 h) Exemplo. Para n = 4 temos
a22 a23 a24
a12 a13 a14
det A = a11 a32 a33 a34 − a21 a32 a33 a34
a42 a43 a44
a42 a43 a44
+a31
a12 a13 a14
a12 a13 a14
a22 a23 a24 − a41 a22 a23 a24 .
a42 a43 a44
a32 a33 a34
assim




det 
1
2
−1
1

2 −1 1
5 0 2
2 0 2
5 0 2 

 = 1 0 6 0 − 2 −1 6 0
0 6 0 
2 0 3
1 0 3
2 0 3
2 5 2
2 5 0
+(−1) −1 0 0 − 1 −1 0 6
1 2 3
1 2 0
= (90 − 24) − 2(36 − 12) − (11) − 6 = 1.
28

29. Mas o c´lculo ´ muito mais r´pido se efectuarmos um desenvolvimento em
a
e
a
coluna, por exemplo, na coluna 3. De facto,




det 
1
2
−1
1

2 −1 1
2 5 2
1 2 1
5 0 2 

 = −1 −1 0 0 + 6 2 5 2
0 6 0 
1 2 3
1 0 3
2 0 3
= (−1)(−4 + 15) + 6(15 + 4 + 4 − 5 − 4 − 12)
= −11 + 12 = 1.
Algumas Propriedades
(I)
O determinante de uma matriz diagonal ´ igual ao produto
e
das entradas da diagonal principal.
(Tamb´m para n = 4 temos
e



det 

a
0
0
0
0
b
0
0
0
0
c
0
0
0
0
d


b 0



 = a det  0 c


0

0  = a.bcd = abcd
0 0 d
conforme requerido. O caso geral demonstra-se por indu¸˜o.)
ca
Em particular, para as matrizes elementares do tipo
Di (α), i = 1, ..., n, α ∈ K






det Di (α) = det 




(II)

1 0 ··· 0 ··· 0
0 1 ··· 0 ··· 0 

. . ..
. .. . 
. .
.
. 
. .
. . 
. .
 = α.
0 0 ··· α ··· 0 

. . ..
. .. . 
. .
. .
. . 
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1
Tamb´m para as matrizes elementares do tipo Eij (α) temos
e
det Eij (α) = 1, i, j = 1, ..., n, α ∈ K.
29

30. (Por exemplo, para n = 4, i = 3, j = 2 temos
1
0
det E32 (α) =
0
0
0
1
α
0
0
0
1
0
0
1 0 0
0
1 0
= 1 α 1 0 = 1.1
=1
0
0 1
0 0 1
1
tendo, no terceiro passo, sido efectuado um desenvolvimento na 1a
linha.
O resultado geral demonstra-se por indu¸˜o.
ca
(III) Finalmente
det Pij = −1.
(De facto, para n = 4, i = 2, j = 4 temos
det P24
1
0
=
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0 0 1
1
= 1 0 1 0 = 1(−1) = −1.)
0
1 0 0
0
Mais uma vez o resultado geral demonstra-se por indu¸˜o.
ca
´
E ainda usando o Princ´
ıpio da Indu¸˜o que se demonstra a validade do
ca
seguinte teorema.
(1.5 i) Teorema. O determinante satisfaz as seguintes propriedades:
(d1 ) Se para j = 1, ..., n representarmos por A(j) a coluna j da matriz A
e se para um certo i ∈ {1, ..., n}, a coluna A(i) for a soma de dois
vectores-coluna, A(i) = C + C , ent˜o
a
A(1) · · · C + C
· · · A(n)
= det
A(1) · · · C · · · A(n)
+ det
det
A(1) · · · C
· · · A(n)
Para α ∈ K e A(i) = αC
det
A(1) · · · αC · · · A(n)
30
= α det
A(1) · · · C · · · A(n)
.
.

31. (d2 ) Se para j = i as colunas A(i) e A(j) da matriz A forem iguais ent˜o
a
det A = 0.
(d3 ) Para n arbitr´rio, det In = 1.
a
Este teorema pode (e ´ usualmente) utilizado para definir a fun¸˜o dee
ca
terminante
det : Mn×n (K) → K
A → det A, A ∈ Mn×n (K),
impondo que ela satisfa¸a (d1 ), (d2 ), (d3 ).
c
Para n ∈ I arbitr´rio, a propriedade correspondente ` Prop.1.5 d pode
N
a
a
agora ser estabelecida.
(1.5 j) Proposi¸˜o. Em Mn×n (K) tem-se
ca
(1) O determinante de uma matriz e da respectiva transposta coincide.
(2) Para i, j naturais, ao trocarmos entre si as colunas A(i) e A(j) da
matriz A, o determinante da matriz assim obtida ´ o sim´trico
e
e
do detA.
ca a
(3) Seja B a matriz obtida de A por adi¸˜o ` coluna i de A do
m´ltiplo-λ da coluna j de A. Ent˜o detA = detB.
u
a
Demonstra¸˜o.
ca
(1) Trata-se de uma consequˆncia imediata da defini¸˜o de determie
ca
nante. O desenvolvimento do determinante da matriz AT segundo
a linha i coincide com o desenvolvimento do determinante da matriz A segundo a coluna i.
(2) Atendendo a (d2 ) ao substituirmos as colunas A(i) e A(j) por
A(i) + A(j) obtemos uma matriz com duas colunas iguais e logo
de determinante igual a zero. Deste modo,
31

32. 0 = det
A(1) · · · A(i) + A(j) · · · A(i) + A(j) · · · A(n)
= det
A(1) · · · A(i) · · · A(i) · · · A(n)
+det
A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n)
+det
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
+det A(1) · · · A(j) · · · A(i) · · · A(n)
donde o requerido.
(3) Para A =
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
Atendendo a (d2 ) tem-se
B=
detB = det
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
+det
A(1) · · · λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
= det
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
+
+
+λ det A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n)
= detA + 0 = detA
j´ que a segunda matriz tem duas colunas iguais.
a
Ainda Algumas Propriedades de Determinantes
Exerc´
ıcio.
Para A ∈ Mn×n (K), i, j = 1, ..., n, α ∈ K
descreva em fun¸˜o da matriz A as matrizes
ca
Eij (α)A
A Eij (α)
ii.
.
A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
= det
i.
tem-se
Di (α)A
Pij A
A Di (α)
A Pij ;
prove que
det (Eij (α)A) = det Eij (α) det A
det (Di (α) A) = det Di (α) detA
det (Pij A) = det Pij detA.
32
=

33. Cap´
ıtulo 2
Sistemas de Equa¸oes
c˜
Lineares
2.1
Generalidades
(2.1 a) Defini¸˜o.
ca
Uma equa¸˜o linear em (ou nas inc´gnitas) x1 , x2 , ..., xn
ca
o
´ uma igualdade do tipo
e
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
onde a1 , a2 , ..., an e b s˜o elementos (n´meros) de K.
a
u
A
x1 , x2 , ..., xn chamamos inc´gnitas, sendo
o
a1 , a2 , ...an os coeficientes das inc´gnitas e
o
b o segundo membro ou termo independente.
(2.1 b) Defini¸˜o.
ca
Um sistema de equa¸˜es lineares ´ uma colec¸˜o finita de
co
e
ca
equa¸˜es lineares.
co
33

34. Um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas
co
o

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
 ···



am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
n
aij xj = bi , i = 1, ..., m
j=1
pode representar-se abreviadamente na forma matricial
Ax = b
onde



A=


a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
am1 am2 · · · amn









x=


,









,b = 


xn
m×n
matriz do sistema
x1
x2
.
.
.
n×1
matriz-coluna
b1
b2
.
.
.
bm






m×1
segundo membro
das inc´gnitas
o
(2.1 c) Defini¸˜o.
ca
Uma solu¸˜o do sistema de equa¸˜es lineares nas inc´gnitas
ca
co
o
x1 , ..., xn ´ uma sequˆncia ordenada de n´meros
e
e
u
α1 , ..., αn
tais que as substitui¸˜es
co
xi = αi , i = 1, ..., n
transformam todas as equa¸˜es em identidades.
co
Resolver um sistema de equa¸˜es lineares ´ determinar todas as solu¸˜es
co
e
co
ou provar que n˜o existe solu¸˜o.
a
ca
34

35. Tipos de sistemas relativamente ao n´ mero de solu¸˜es.
u
co
Um sistema que admite pelo menos uma solu¸˜o diz-se poss´
ca
ıvel
(Diz-se determinado se s´ tiver uma, indeterminado se tiver mais
o
do que uma). Um sistema de equa¸˜es que n˜o tenha qualquer
co
a
solu¸˜o diz-se imposs´
ca
ıvel.
Interpreta¸˜o geom´trica no caso K = IR e m = n = 2
ca
e
Seja dado o sistema
ax + by = c
a x+b y =c
y
com a = 0 ou b = 0
com a = 0 ou b = 0
y
d
d
d
d ¨
¨¨
¨ d
d
¨¨
¨¨
¨¨
x
d
d
d
d
d
x
y
d
d
d
d
d
d
d
sistema poss´
ıvel
determinado
(rectas concorrentes)
d
x
d
d
d
d
d
sistema poss´
ıvel
indeterminado
(rectas coincidentes)
sistema imposs´
ıvel
(rectas paralelas)
(2.1 d) Defini¸˜o.
ca
Sistemas com o mesmo n´mero de equa¸˜es e inc´gnitas
u
co
o
dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas
solu¸˜es.
co
Directos
M´todos de Resolu¸˜o
e
ca
de sistemas
de equa¸˜es lineares d
co
d
d
d
Iterativos (An´lise Num´rica)
a
e
35

36. 2.2
O Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss (m´todo
ca
e
directo)
Ideia B´sica do M´todo: os sistemas (cujas matrizes sejam) triangulares
a
e
(ou em escada) resolvem-se facilmente por substitui¸˜o ascendente.
ca

 2x + 3y − 4z = 1

2y + 5z = −3

 z = 3/2
2z = 3

 x = ...

2y + 5 × 3/2 = −3
y = −21/4 .)

 z = 3/2
z = 3/2
(Por exemplo










Objectivo. Desenvolver um algoritmo para transformar o sistema dado
noutro equivalente cuja matriz seja (triangular) em escada.

 −2x + y + z = 1

(L1 )
4x + 2y − 3z = 0
(L2 )

 −2x − 3y + 5z = 5
(L3 )
vamos efectuar uma sequˆncia de passos-elementares que o transforme num
e
sistema equivalente de matriz (triangular) em escada.
Dado o sistema
Um passo elementar no m´todo de elimina¸ao de Gauss consiste na
e
c˜
adi¸˜o membro a membro a uma equa¸˜o de um m´ltiplo de outra de forma
ca
ca
u
a que, na equa¸˜o obtida, seja nulo o coeficiente de certa inc´gnita. Diz-se
ca
o
ent˜o que se eliminou essa inc´gnita da equa¸˜o.
a
o
ca
Parte Descendente do M´todo
e

 −2x + y + z = 1

(L1 )
4x + 2y − 3z = 0
(L2 )

 −2x − 3y + 5z = 5
(L3 )

 −2=0 x + y + z = 1



4=0 y − z = 2
−4 y + 4z = 4
(L1 = L1 )
(L2 = L2 − (−2L1 ))
(L3 = L3 − L1 )
36

37. 
 −2=0 x + y + z = 1

4=0


(L1 = L1 )
(L2 = L2 )
a
(L3 = L3 − ( a32 )L2 )
y−z =2
3z = 6
22
(Por exemplo, sendo a11 = 0 a adi¸˜o ` segunda equa¸˜o da
ca a
ca
21
primeira multiplicada por − a11 elimina a inc´gnita x1 da seo
a
gunda equa¸˜o.)
ca
Em seguida, passamos a eliminar a inc´gnita x2 de todas as equa¸˜es
o
co
a partir da 3a - para o qual ´ necess´rio que a22 (o novo coeficiente de x2
e
a
na 2a equa¸˜o) seja n˜o-nulo. Este processo repete-se at´ n˜o ser poss´
ca
a
e a
ıvel
continu´-lo mais. Os n´meros n˜o-nulos
a
u
a
a11 , a22 , ...
chamam-se pivots da elimina¸˜o.
ca
No presente caso em estudo h´ 3 pivots havendo 3 equa¸˜es e 3 inc´gnitas.
a
co
o
Parte Ascendente do M´todo
e
No caso em estudo

 −2=0 x + y + z = 1




4=0 y − z = 2

3z = 6  z = 2







 −2x + 1 + 2 = 1  x = 1


4y − 2 = 2

 z=2
y=1
y=1

 z=2

 z=2
e logo o sistema ´ poss´ e determinado admitindo a solu¸˜o unica {(1, 1, 2)}.
e
ıvel
ca ´
Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss
ca
Seja dado um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas
co
o

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2

···



am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
37
(L1 )
(L2 )
···
(Lm )

38. i.
Se a11 = 0, considere
L1 = L1
L2 = L2 −
.
.
.
a21
a11
Lm = Lm −
L1
passos elementares
do m´todo
e
am1
a11
L1
Deste modo, a inc´gnita x1 ´ eliminada de todas as equa¸˜es a partir
o
e
co
da segunda.
ii.
iii.
Seja agora a22 o coeficiente de x2 na segunda equa¸˜o do sistema
ca
(equivalente ao dado pelo Teorema (??) e obtido em (i.)). Se a22 = 0,
usando um processo ao descrito em (i.), elimine a inc´gnita x2 em
o
todas as equa¸˜es do novo sistema a partir da 3a equa¸˜o.
co
ca
E o processo ´ repetido enquanto poss´
e
ıvel.
Nota. Caso apare¸a um zero na posi¸˜o em que devia estar um pivot,
c
ca
procura-se resolver o problema trocando a respectiva equa¸˜o por uma outra
ca
situada abaixo dela. Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot passa a
ser procurado entre os coeficientes da inc´gnita seguinte.
o
(2.2 a) Teorema. Cada passo elementar do m´todo de elimina¸˜o de
e
ca
Gauss transforma um sistema noutro equivalente.
Demonstra¸˜o. Cada passo elementar pode ser descrito matricialmente
ca
pela multiplica¸˜o ` esquerda por uma matriz elementar do tipo Eij (α).
ca a
Basta ent˜o reparar que Eij (α)−1 = Eij (−α).
a
(Por exemplo, a elimina¸˜o de x1 na segunda linha ´ efectuada pela
ca
e
multiplica¸˜o ` esquerda por
ca a
E21 (−
a21
).
a11
A partir do sistema
Ax = b
(1)
obtemos o sistema
E21 (−
a21
a21
)Ax = E21 (−
) b.
a11
a11
(2)
38

39. Se x0 for solu¸˜o de (1) ´ imediatamente solu¸˜o de (2). Agora se x1 for
ca
e
ca
a21
solu¸˜o de (2) ent˜o por multiplica¸˜o de (2) por E21 ( a11 ) obtemos
ca
a
ca
Ax1 = b
e logo x1 ´ tamb´m solu¸˜o de (1).)
e
e
ca
Do processo de elimina¸˜o de Gauss resulta um sistema equivalente
ca
Ux = c
cuja matriz U (que ´ ainda do tipo m × n) tem uma forma especial e que se
e
diz matriz-em-escada.
(2.2 b) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz diz-se uma matriz-em-escada (de linhas) sempre que satisfa¸a:
c
(1) Se o primeiro elemento n˜o-nulo numa linha esa
tiver na coluna j ent˜o a linha seguinte come¸a
a
c
com, pelo menos, j elementos nulos.
ıdas por ze(2) Se houver linhas totalmente constitu´
ros, elas aparecem depois das outras.
(Pela pr´pria defini¸˜o, as matrizes triangulares superiores de elementos
o
ca
diagonais n˜o-nulos s˜o matrizes-em-escada.)
a
a




• ∗ ∗

 
∗  


0 0 •

 0 •
•
0
0
0
0
∗
0
0
0
0
∗
•
0
0
0
∗
∗
•
0
0
∗
∗
∗
0
0
∗
∗
∗
0
0
∗
∗
∗
•
0
Aqui
∗ designa um elemento arbitr´rio de K
a
• representa um elemento n˜o-nulo em K.
a
39














•
0
0
0
0
∗
•
0
0
0
∗
∗
0
0
0








40. Com a obten¸˜o da matriz-em-escada U termina a parte descendente do
ca
m´todo de elimina¸˜o de Gauss.
e
ca
Neste momento verifica-se se o sistema obtido
Ux = c
´ poss´
e
ıvel, isto ´, verifica-se a n˜o-existˆncia de equa¸˜es com o primeiro
e
a
e
co
membro nulo e o segundo n˜o-nulo. Se o sistema for poss´ resolve-se de
a
ıvel
baixo para cima (parte ascendente do algoritmo) obtendo algumas inc´gnitas
o
(aquelas que est˜o a ser multiplicadas por pivots) em fun¸˜o das restantes.
a
ca
`
As primeiras chamamos inc´gnitas principais ou b´sicas e `s outras (que
o
a
a
podem tomar qualquer valor em K) chamamos inc´gnitas n˜o-principais
o
a
ou livres.
Casos Poss´
ıveis no final da Elimina¸˜o (para m = n)
ca
(1) H´ n pivots.
a
O sistema Ux = c ´ do tipo
e

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = ˜1
˜
˜
b
 ˜


˜2

a22 x2 + ... + a2n xn = b
˜
˜
.
.


.



ann xn = ˜n
˜
b
e por substitui¸˜o ascendente obtemos a solu¸˜o unica. O sistema
ca
ca ´
´ poss´
e
ıvel e determinado.
(2) H´ k pivots com k n.
a
As ultimas equa¸˜es do sistema obtido s˜o do tipo 0 = 0 ou 0 = a
´
co
a
com a = 0.
a. H´ pelo menos uma equa¸˜o do tipo 0 = a com a = 0. Neste
a
ca
caso o sistema ´ imposs´
e
ıvel.
b. Considere as primeiras k equa¸˜es e passe as parcelas refeco
rentes `s n − k inc´gnitas livres para os segundos membros.
a
o
Resolva o sistema em rela¸˜o `s k inc´gnitas b´sicas. Obteca a
o
a
mos os valores das k inc´gnitas b´sicas em fun¸˜o das n − k
o
a
ca
inc´gnitas livres. Neste caso, o sistema ´ poss´
o
e
ıvel e indeterminado. Diz-se que o grau de indetermina¸˜o do sistema
ca
´
e
n − k.
n´mero de inc´gnitas
u
o
40
n´mero de pivots
u

41. (2.2 c) Exemplos.
(I) O sistema

 x − y + z = −2

−3x + 3y − z = 5

 2x − 2y + z = −1

 x − y + z = −2

0y + 2z = −1

 0y − z = 3

 x − y + z = −2

2z = −1

 0z = 5/2
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L1 = L1 )
(L2 = L2 + 3L1 )
(L3 = L3 − 2L1 )
(L1 = L1 = L1 )
(L2 = L2 )
(L3 = L3 + (1/2)L2 )
´ imposs´ (pela existˆncia da 3a equa¸˜o, ou seja, o n´mero de pivots ´
e
ıvel
e
ca
u
e
inferior ` caracter´
a
ıstica da matriz ampliada do sistema).
(II) No sistema

 x − y + z = −2

(L1 )
(L2 )
(L3 )
−3x + 3y − z = 5

 2x − 2y + z = −7/2

 x − y + z = −2

2z = −1

 −z = 1/2

 x − y + z = −2

2z = −1

 0z = 0
(L1 = L1 )
(L2 = L2 + 3L1 )
(L3 = L3 − 2L1 )
(L1 = L1 = L1 )
(L2 = L2 )
(L3 = L3 + (1/2)L2 )
para efeitos de determina¸˜o da solu¸˜o do sistema, esta ultima equa¸˜o
ca
ca
´
ca
0z = 0 ´ irrelevante j´ que qualquer valor de z satisfaz esta equa¸˜o.
e
a
ca
Comecemos por reparar que o n´mero de pivots, 2, ´ inferior ao n´mero
u
e
u
de inc´gnitas, 3, sendo x e z as inc´gnitas b´sicas (cujos coeficientes s˜o
o
o
a
a
pivots) e sendo y uma vari´vel livre.
a
x + z = −2 + y
z = −1/2
x = y − 3/2
z = −1/2
41

42. O conjunto das solu¸˜es (solu¸˜o geral) ´, portanto,
co
ca
e
{(y − 3/2, y, −1/2) : y ∈ IR}
sendo o grau de indetermina¸˜o do sistema ( igual ao n´mero de inc´gnitas
ca
u
o
livres), 1 = 3 − 2.
(2.2 d) Defini¸˜o.
ca
A caracter´
ıstica de A, car A, ´ o n´mero de pivots que
e
u
aparecem na matriz resultado da aplica¸˜o a A do m´todo
ca
e
de elimina¸˜o de Gauss.
ca
Equivalentemente, car A ´ o n´mero de linhas n˜o-nulas
e
u
a
da matriz-em-escada U produzida pelo algoritmo de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A.
ca
Uma matriz quadrada, An×n diz-se n˜o-singular se tiver
a
caracter´
ıstica igual a n, isto ´, se a caracter´
e
ıstica e a ordem
coincidirem.
Se car An×n n a matriz A diz-se singular.
No caso de A ∈ Mn×n (K) ser n˜o-singular, a matriz U ´ triangular
a
e
superior com os elementos diagonais n˜o-nulos (s˜o os n pivots).
a
a
Verific´mos que na aplica¸˜o do algoritmo de Gauss os coeficientes aij
a
ca
e os termos independentes s˜o alterados. Para simplificar a aplica¸˜o do
a
ca
m´todo ´ conveniente trabalhar com a seguinte matriz que se diz a matrize
e
ampliada do sistema.

A | b


= 


a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
|
|
b1
b2
.
.
.
|
am1 am2 · · · amn | bm
42







43. Casos Poss´
ıveis no
Final da Parte Descendente do
Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss
ca
(An´lise da matriz-ampliada obtida)
a
A ∈ Mm×n (K)
car A car A | b
Sistema Imposs´
ıvel





















• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
0 0 ···
. . ..
. .
.
. .

∗
∗
∗
.
.
.
| ∗
| ∗ 

| ∗ 

. 
. 
| . 

∗ | ∗ 

0 | ∗ 


.
. | . 
. 
.
.

0 0 0 0 0 0 ··· 0 | • 

. . . .. . . .. .
. 
. . .
. . .
. . | . 
. . .
. .
.
.
0 0 0 0 0 0 ··· 0 | ∗
onde
e
• designa um elemento n˜o-nulo de K
a
∗ representa um elemento arbitr´rio em K.
a
A ∈ Mm×n (K)
car A = car A | b
Sistema Poss´
ıvel e Determinado
(n´mero de pivots = n´mero de inc´gnitas)
u
u
o
(s´ h´ vari´veis b´sicas)
o a
a
a









• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···




| ∗



| ∗ 



| ∗  ou 


. 


| . 
.


• | ∗

∗
∗
∗
.
.
.

• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0
43
0
∗
∗
∗
.
.
.

| ∗
| ∗ 


| ∗ 

. 
| . 
.

• | ∗ 

0 | 0 

.
. 
. | . 
.
. 
0 | 0

44. A ∈ Mm×n (K)
car A = car A | b
Sistema Poss´
ıvel e Indeterminado
(n´mero de pivots n´mero de inc´gnitas)
u
u
o
( h´ vari´veis livres)
a
a









• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
∗
∗
∗
.
.
.
∗



| ∗



| ∗ 



| ∗  ou 


. 


| . 
.


| ∗



• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0
0
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
0 0 ···
. . ..
. .
.
. .
∗
∗
∗
.
.
.
Decomposi¸˜o LU de uma matriz (Resolu¸˜o
ca
ca
de sistemas)
Dada uma matriz A ∈ Mn×n (K) ser´ poss´
a
ıvel (sempre?) escrevˆ-la como
e
um produto de duas matrizes
A = LU
onde
L ´ triangular inferior e
e
U ´ triangular superior?
e
E o mesmo acontecer´ com A ∈ Mm×n (K) ?
a
Caso I A matriz A ´ n˜o-singular.
e a
Analisemos a aplica¸˜o do m´todo de elimina¸˜o de Gauss ` resolu¸˜o
ca
e
ca
a
ca
do seguinte sistema
44

∗ | ∗ 

0 | 0 

.
. 
. | . 
.
. 
0 0 ··· 0 | 0
Todas as equa¸˜es com o 1o membro igual a zero tˆm tamb´m o 2o
co
e
e
membro igual a zero.
2.3

| ∗
| ∗ 


| ∗ 

. 
.
| . 

45. 
 



−2 1
1
x
1

 



2 −3   y  =  0 
 4
−2 −3 5
z
5

L2 + 2L1

−2


L3 − L1
1
1 | 1
→
−2 1
1 | 1
→



2 −3 | 0  E21 (2)  0
4 −1 | 2  E31 (−1)
−2 −3 5 | 5
−2 −3 5 | 5

 4
A
U1
L3 + L2




→
−2 1
1 | 1
→
−2 1 1 | 1




E31 (−1)  0
4 −1 | 2  E32 (1)  0 4 −1 | 2 
0 −4 4 | 4
0 0 3 | 6
U2
U
com
E21 (2) A = U1
E31 (−1)(E21 (2) A) = U2
E32 (1)(E31 (−1) E21 (2) A) = U
donde
E32 (−1) (E32 (1)E31 (−1)E21 (2) A) = E32 (−1) U
E21 (2) A = E31 (1) E32 (−1)U
A = E21 (−2) E31 (1) E32 (−1) U
L
U
onde L ´ dada por um produto de matrizes invert´
e
ıveis.

 

 

1 0 0
1 0 0

 

L =  −2 1 0   0 1 0  E32 (−1)
0 0 1
1 0 1



1
0 0
1 0 0
1 0 0

 
 

=  −2 1 0   0 1 0  =  −2 1 0 
1 −1 1
0 −1 1
1 0 1
Nota. A matriz L armazena toda a informa¸˜o do processo de elimica
na¸˜o de Gauss.
ca
45

46. i.
Caso n˜o haja (no processo de elimina¸˜o de Gauss) troca de
a
ca
linhas, a matriz L ´ uma matriz triangular inferior com elementos
e
diagonais iguais a 1 e os elementos sob a diagonal de L s˜o os
a
sim´tricos dos multiplicadores usados na elimina¸˜o, cada um na
e
ca
posi¸˜o em que figura na respectiva matriz elementar. (Assim, a
ca
matriz L ´ muito f´cil de escrever.)
e
a
ii. Por´m, se houver necessidade de troca de linhas, a unica diferen¸a
e
´
c
´ que o algoritmo deve ser visto como aplicado n˜o a A mas a P A
e
a
onde P ´ uma matriz de permuta¸˜o (P ´ o produto das matrizes
e
ca
e
de permuta¸˜o correspondentes `s v´rias trocas de linha feitas
ca
a a
durante o algoritmo) e ao segundo membro P b.


1 1
1


Dada a matriz  3 3 −1  tem-se
1 −1 −1
L2 = L2 − 3L1
L3 = L3 − L1


L3 = L2
L2 = L3




1 1
1
1 1
1
1 1
1






A =  3 3 −1  →  0 0 −4  →  0 −2 −2  = U
1 −1 −1
0 −2 −2
0 0 −4
P23 E31 (−1) E21 (−3) A = U
E31 (−1) E21 (−3) A = P23 U
E21 (−3) A = E31 (1) P23 U
A = E21 (3) E31 (1) P23 U


1 0 0


A =  3 1 0  P23 U
1 0 1
L
1 0 0

A= 3 0 1
1 1 0

1 0

P23 A =  1 1
3 0



U
logo
P23 A = L U.
46

0

0 U
1

47. Notemos que foi poss´ escrever P A = LU embora a matriz L
ıvel
calculada n˜o coincida com a matriz L encontrada no meio do
a
processo.
Caso II A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n
e
(2.3 a) Teorema. Sendo A uma matriz arbitr´ria do tipo m × n
a
existe uma matriz de permuta¸˜o P tal que P A se pode factorizar na
ca
forma LU onde L ´ triangular inferior com elementos diagonais iguais
e
a 1 e U ´ uma matriz-em-escada. Os elementos sob a diagonal de L s˜o
e
a
os sim´tricos dos ”multiplicadores”usados no m´todo de elimina¸˜o
e
e
ca
aplicado a A e U ´ a matriz produzida pelo algoritmo (e portanto o
e
primeiro elemento n˜o-nulo em cada linha n˜o-nula ´ um pivot).
a
a
e
Resolu¸˜o do sistema Ax = b usando a factoriza¸˜o LU
ca
ca
Caso 1.
A matriz A ´ quadrada n˜o-singular.
e
a
Pretendemos resolver o sistema Ax = b. Suponhamos que P A = LU.
Ent˜o
a
Ax = b
sse
P Ax = P b
sse
LUx = P b
Ly = P b
sse
Ux = y
O sistema ´ transformado em dois sistemas triangulares tais que os
e
elementos das diagonais em ambas as matrizes s˜o n˜o-nulos. Ambos
a a
os sistemas s˜o poss´
a
ıveis e determinados e o sistema Ax = b ´ ainda
e
poss´ e determinado.
ıvel
Caso 2. A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n, (m = n).
e
Ent˜o de P A = LU vem
a
Ax = b
sse
Ly = P b
Ux = y
(1)
(2)
O sistema (1) ´ ainda poss´
e
ıvel e determinado. Mas na resolu¸˜o de
ca
(2) vamos poder obter um sistema indeterminado ou um sistema imposs´
ıvel. E, desta forma, tamb´m o sistema Ax = b poder´ ser poss´
e
a
ıvel
indeterminado ou imposs´
ıvel.
47

48. A Decomposi¸˜o LDU para A matriz n˜o-singular.
ca
a
Suponhamos que efectu´mos a decomposi¸˜o LU da matriz A (isto ´,
a
ca
e
n˜o foi necess´rio trocar linhas). Ent˜o teremos
a
a
a

1

21



31
A=
.

.

.

 n−1,1
n1





×




0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
n−1,2
n−1,3
n2
n3
32
u11 u12 u13
0 u22 u23
0
0 u33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
0
···
···
···
..
.
···
···
···
..
.
0
0
0
.
.
.
···
···
1
n,n−1
u1,n1
u2,n1
u3,n1
.
.
.
u1n
u2n
u3n
.
.
.
0
0
0
.
.
.









0 
1





.



un−1,n 
· · · un−1,n−1
···
0
unn
Os elementos ”uii ”, i = 1, 2, ..., n s˜o os pivots do processo de elimina¸˜o
a
ca
(recordemos que car A = n). Ent˜o podemos escrever
a

21
.
.
.
0
1
.
.
.
n1


A=


1

n2
··· 0
u11 0 · · · 0

· · · 0   0 u22 · · · 0
.
.
.. .   .
..
.
.
. .  .
.
.  .
.
.
··· 1
0
0 · · · unn


1
0
.
.
.






 0

0
u12
u11
1
.
.
.
···
···
..
.
0
0
u1,n−1
u11
un−1,2
u22
···
···
.
.
.
1
0
u1n
u11
un,2
u22
un−1,n
un−1,n−1
Esta factoriza¸˜o designa-se por factoriza¸˜o LDU da matriz A.
ca
ca
Resolu¸˜o de Sistemas Homog´neos
ca
e
´
E evidente que um sistema homog´neo (com todos os segundos membros
e
iguais a zero) ´ sempre poss´
e
ıvel (admite, pelo menos a solu¸˜o nula).
ca
Para um sistema homog´neo
e
Ax = 0m×1 ,
A ∈ Mm×n (K)
(1)
designemos por N (A) o conjunto de todas as solu¸˜es do sistema (1).
co
48
.
.
.
1










49. Resolu¸˜o do Sistema Homog´neo
ca
e
Am×n xn×1 = 0m×1 ,
A ∈ Mm×n (K)
1o Passo Determina¸˜o da matriz-em-escada U. Seja car U = r.
ca
2o Passo No sistema Ux = 0 (que ´ equivalente ao sistema Ax = 0)
e
separam-se as inc´gnitas em b´sicas (correspondentes `s inc´gnitas
o
a
a
o
com pivots e que s˜o em n´mero de r) e em livres. Se n˜o houver
a
u
a
inc´gnitas livres o sistema ´ poss´
o
e
ıvel e determinado (admitindo somente a solu¸˜o nula).
ca
3o Passo Para cada inc´gnita livre, d´-se o valor 1 (de facto, poderia ser
o
a
um valor arbitr´rio mas este simplifica os c´lculos) a essa inc´gnita
a
a
o
e zero `s restantes inc´gnitas livres e resolve-se o sistema resultante
a
o
(com r equa¸˜es). As n − r colunas assim obtidas geram o conjunto
co
N (A) das solu¸˜es, isto ´, qualquer solu¸˜o ´ combina¸˜o linear dessas
co
e
ca e
ca
n − r colunas determinadas (uma para cada inc´gnita livre).
o
(2.3 b) Exemplo.
Utilizemos o algoritmo anterior no c´lculo de um “conjunto de gera
adores”para o conjunto, N (A), de solu¸˜es do seguinte sistema homog´neo.
co
e
Uma vez que temos



1 1 1
2



 0 0 −4 −4  

0 0 0
0
x1
x2
x3
x4



0

 

= 0 

0
as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo x2 e x4 as livres, logo o sistema ´
o
a
a
e
equivalente a
x1 + x3 = −x2 − 2x4
−4x3 = 4x4 .
Referente ` inc´gnita livre x2 , fazendo
a
o
x1 + x3 = −1
−4x3 = 0
49
x2 = 1
resolvendo o sistema
x4 = 0
x1 = −1
x3 = 0

50. 



obtemos o gerador 
−1
1
0
0



a
o
 . Agora referente ` inc´gnita livre x4 , fazendo

x2 = 0
x1 + x3 = −1
x1 = −1
e resolvendo o sistema
obtemos
x4 = 1
−4x3 = 4
x3 = −1


−1
 0 


o gerador 
.
 −1 
1

 

 −1
−1 




 


 1   0 
Assim 
e
,
 ´ um sistema de geradores do conjunto N (A),
 0   −1 





0
1 
isto ´, qualquer solu¸˜o do sistema homog´neo pode ser escrito como uma
e
ca
e
combina¸˜o linear destas duas matrizes-coluna,
ca
 






−1
−1


 



 0 

 1 


N (A) = α 
+β
: α, β ∈ K .


  0 

 −1 






0
1
(2.3 c) Teorema. Um sistema homog´neo com um n´mero de inc´gnitas
e
u
o
superior ao n´mero de equa¸oes ´ poss´ indeterminado.
u
c˜ e
ıvel
Demonstra¸˜o. A representa¸˜o matricial de um tal sistema ´ dado por
ca
ca
e
Ax = 0m×1 ,
A ∈ Mm×n (K)
com m n.
´
E imediato que car A = r ≤ m n e portanto h´ necessariamente n − r
a
inc´gnitas livres.
o
(2.3 d) Teorema. Se x for uma solu¸˜o do sistema Ax = b ent˜o o
ca
a
conjunto das solu¸˜es do sistema ´
co
e
{x + u : u ∈ N (A)}.
50

51. Demonstra¸˜o. E evidente que qualquer elemento da forma x + u com
ca ´
u ∈ N (A) ´ solu¸˜o do sistema Ax = b j´ que
e
ca
a
A(x + u) = Ax + Au = b + 0 = b.
Reciprocamente, para x solu¸˜o arbitr´ria do sistema Ax = b, fa¸a-se
ca
a
c
u=x −x.
Ent˜o
a
Au = A(x − x ) = Ax − Ax = b − b = 0
´
o que significa que u ∈ N (A). E claro que
x = x + (x − x ) = x + u
e logo da forma pretendida.
2.4
Invers˜o de Matrizes
a
Dada uma matriz quadrada de ordem n, An×n , pretendemos determinar
uma matriz Xn×n tal que
AX = In = XA
ou seja
A × (coluna 1 de X) A × (coluna 2 de X) · · · A × (coluna n de X)



=



1 0 ··· 0
0 1 ··· 0 

. . .. .  .
. .
. . 
. .
. 
0 0 ··· 1
A determina¸˜o de X que satisfa¸a AX = In ´ equivalente ` resolu¸˜o
ca
c
e
a
ca
de n sistemas de equa¸˜es lineares com a mesma matriz
co



Ax = 


1
0
.
.
.
0






 , Ax = 




0
1
.
.
.
0






 , ... , Ax = 




0
0
.
.
.






1
Estes sistemas podem ser resolvidos simultaneamente.
51

52. (2.4 a) Exemplo. Pretendemos determinar a inversa da matriz
1 2
.
3 4
Resolu¸˜o. Por defini¸˜o a matriz inversa da matriz dada,
ca
ca
x1 x3
x2 x4
,
dever´ satisfazer a condi¸˜o
a
ca
x1 x3
x2 x4
1 2
3 4
=
1 0
0 1
.
Efectuando os passos do processo de elimina¸˜o de Gauss
ca
1 2
3 4
x1 x3
x2 x4
=
1 0
−3 1
1 2
0 −2
x1 x3
x2 x4
=
1 0
0 1
1 0
−3 1
1 0
−3 1
somos levados ` resolu¸˜o de dois sistemas de equa¸˜es lineares
a
ca
co








1 2
0 −2
x1
x2
=
1
−3







1 2
x3
0
=
0 −2
x4
1
Mas existe outro processo poss´ para a resolu¸˜o simultˆnea dos sisıvel
ca
a
temas (processo de elimina¸˜o ascendente). Assim,
ca
1 2
0 −2
x1 x3
x2 x4
1 0
−3 1
=
multipliquemos (para anular o (1,2)-elemento da matriz) ambos os membros
por E12 (1). Obtemos
1 1
0 1
1 2
0 −2
1 =0
0
0
−2 =0
x1 x3
x2 x4
x1 x3
x2 x4
D
52
1 1
0 1
=
=
−2 1
−3 1
1 0
−3 1
.

53. Mas esta matriz D ´ invert´
e
ıvel. Logo
1
0
0 −1/2
1 =0
0
0
−2 =0
x1 x3
x2 x4
1
0
0 −1/2
=
−2 1
−3 1
ou ainda,
x1 x3
x2 x4
−2
1
3/2 −1/2
=
.
Aten¸˜o. Analisemos os passos efectuados. Temos
ca
E12 (1) E21 (−3)A = D
donde
A = E21 (3) E12 (−1) D
e logo
A−1 = D−1 E12 (1) E21 (−3)
A

1 2 |

| I2

3 4 |




↓
1

| 1 0


|


0 −2 | −3 1
Elimina¸˜o Descendente
ca
2

↑

 I2

| −2
1

|

| 3/2 −1/2
Elimina¸˜o Ascendente
ca
A−1
O Algoritmo de Gauss-Jordan para a Determina¸˜o da Inversa
ca
de uma Matriz
(2.4 b) Teorema. Uma matriz quadrada A ´ invert´ se e s´ se
e
ıvel
o
for n˜o-singular.
a
Demonstra¸˜o. Mostremos que a condi¸˜o ´ necess´ria, isto ´, admitindo
ca
ca e
a
e
que a matriz A ´ invert´ mostremos que ´ n˜o-singular.
e
ıvel
e a
53

54. Uma vez que A ´ invert´ ent˜o qualquer sistema Ax = b (cuja matriz
e
ıvel
a
seja A) ´ poss´ e determinado j´ que
e
ıvel
a
A−1 (Ax) = A−1 b
determina a solu¸˜o (´nica)
ca u
x = A−1 b.
Mas ent˜o, necessariamente, A tem n pivots, ou seja, ´ n˜o-singular.
a
e a
Resta agora mostrar que a condi¸˜o ´ suficiente, isto ´, admitindo que a
ca e
e
matriz A ´ n˜o-singular mostremos que ´ invert´
e a
e
ıvel.
Representemos por E o produto de todas as matrizes elementares correspondentes aos passos elementares do processo de elimina¸˜o que permite
ca
determinar uma matriz diagonal D de elementos diagonais n˜o-nulos. Ent˜o
a
a
D satisfaz
EA = D.
Mas a matriz A ´ invert´ porque ´ um produto de matrizes elementares
e
ıvel
e
que s˜o invert´
a
ıveis. Ent˜o
a
A = E −1 D
e logo A ´ invert´ j´ que E −1 D o ´. (De facto, A−1 = D−1 E.)
e
ıvel a
e
ALGORITMO. C´lculo da matriz inversa de uma dada matriz An×n
a
Para calcular a matriz inversa de A (se existir) efectua-se na mae
triz do tipo n × 2n, A | In a parte descendente do m´todo
de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A. Se houver um n´mero
ca
u
de pivots inferior a n a matriz A n˜o ´ invert´
a e
ıvel. Se houver
n pivots usando-os pela ordem contr´ria ` anteriormente usada,
a a
anulam-se com opera¸˜es elementares todos os elementos acima
co
da diagonal da matriz situada ` esquerda. Finalmente, divide-se
a
cada linha pelo respectivo pivot. No fim deste processo a matriz
obtida ´
e
In | A−1 .
(2.4 c) Teorema. (Unicidade da factoriza¸˜o LU no caso n˜o-singular)
ca
a
Se A for n˜o-singular a factoriza¸˜o LU de A
a
ca
(ou de P A) ´ unica.
e´
54

55. Demonstra¸˜o. Suponhamos que
ca
P A = LU
P A = L1 U1
com L e L1 matrizes triangulares inferiores com elementos diagonais iguais
a 1 e U e U1 matrizes triangulares superiors com elementos diagonais n˜oa
nulos. Ent˜o
a
LU = L1 U1
donde
L−1 L
1
=
matriz
triangular inferior
U1 U −1
matriz
triangular superior
Como estas matrizes s˜o iguais tˆm de ser diagonais e os elementos diagonais
a
e
tˆm de ser iguais a 1 (porque s˜o os do primeiro membro). Logo
e
a
L−1 L = In
1
U1 U −1 = In
ou seja
L1 = L, U1 = U.
(2.4 d) Observa¸˜es.
co
(I) No caso da matriz A ser singular ou rectangular

1 2

de A ( ou de P A) pode n˜o ser unica. Para A =  2 4
a
´
0 0




a factoriza¸˜o LU
ca

0

0  temos
0

1 2 0
1 0 0
1 2 0





A =  2 4 0  =  2 1 0  0 0 0 
0 0 0
0 0 1
0 0 0
L
U


1 2 0
1 0 0



=  2 1 0  0 0 0 
0 0 0
0 5 1

L
55
U

56. com A singular (car A = 1).


0 0


Tamb´m, por exemplo, para A =  0 0  temos
e
0 0





0 0
1 0 0
0 0





A =  0 0  =  0 1 0  0 0 
0 0
0 0 1
0 0
L
U

1 0 0
0 0



=  2 1 0  0 0 
3 4 1
0 0

L
U.
(II) Determinemos a solu¸˜o do sistema
ca
Ax = b


1 1 1 2


para A =  3 3 −1 2 
1 1 −1 0



−2


(i) b =  6  ;
4

−2


(ii) b =  6  .
−1
Resolu¸˜o.
ca
1) Comecemos por calcular a decomposi¸˜o LU da matriz A.
ca






1 1 1 2
1 1 1
2
1 1 1
2






 3 3 −1 2  →  0 0 −4 −4  →  0 0 −4 −4 
1 1 −1 0
0 0 −2 −2
0 0 0
0
Logo



1 0 0
1 1 1
2



A =  3 1 0   0 0 −4 −4 
1 1/2 1
0 0 0
0
L
U
car A = 2
= n´mero de linhas n˜o-nulas de U
u
a
= n´mero de pivots de A
u
56

57. 2) Resolvamos agora o sistema
Ly = b

 




1 0 0
y1
−2

 
 

1 0   y2  =  6 
 3
1 1/2 1
y3
4

−2


 6 
−1

 y1 = −2

3y + y = 6
1
2

 y + 1/2 y + y = 4
1
2
3

 y1 = −2

(= −1)
y = 12
 2
 y =0
3
(y3 = −5)
3) Resolu¸˜o do sistema Ux = y.
ca



1 1 1
2


 
 0 0 −4 −4  

0 0 0
0
x1
x2
x3
x4




−2

 

 =  12 



−2
 

=  12 
−5
0
Imediatamente no caso ii. o sistema ´ imposs´
e
ıvel. Continuando com a
resolu¸˜o da al´
ca
ınea i., as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo as livres x2 e
o
a
a
x4 . Resolvamos ent˜o o sistema equivalente
a
x1 + x3 = −2 − x2 − 2x4
−4x3 = 12 + 4x4
x1 = −2 − x2 − 2x4 + 3 + x4
x3 = −3 − x4
x1 = 1 − x2 − x4
x3 = −3 − x4
Logo a solu¸˜o geral ´
ca
e





x1
x2
x3
x4


 
 
=
 
1 − x2 − x4
x2
−3 − x4
x4


 
 
=
 
1
0
−3
0




 + x2





solu¸˜o particular de
ca
de Ax = b correspondente
a x2 = x4 = 0
57
−1
1
0
0




 + x4





−1
0
−1
1





solu¸˜o geral de
ca
de Ax = 0
para x2 , x4 arbitr´rios
a

58. 2.5
Determinantes (algumas propriedades)
Pretendemos apresentar ainda outro crit´rio de invertibilidade de matrizes.
e
Ele vai aparecer como um corol´rio do seguinte facto.
a
(2.5 a) Teorema. Para A matriz quadrada e U a matriz que se obt´m
e
de A por aplica¸˜o do algoritmo de elimina¸˜o
ca
ca
de Gauss temos
det A = ± det U.
Demonstra¸˜o. Verific´mos anteriormente que o valor do determinante
ca
a
de uma matriz n˜o se altera quando a uma linha adicionamos um m´ltiplo
a
u
de outra linha (cf. (3) da Prop.(1.5j)). Mas tal significa que o valor do determinante de uma matriz n˜o se altera com a parte descendente do algoritmo
a
de elimina¸˜o de Gauss sempre que n˜o haja troca de linhas. Neste caso,
ca
a
se o algoritmo transformar A na matriz U temos det A = det U. Sempre
que haja troca de linhas no algoritmo de elimina¸˜o aplicado a A temos
ca
det A = det U se o n´mero de trocas for par e det A = −det U se o n´mero
u
u
de trocas for ´
ımpar.
Nota. Este teorema fornece ainda um processo de c´lculo de determia
nantes.
(2.5 b) Corol´rio. Uma matriz quadrada A ´ invert´
a
e
ıvel
se e s´ se det A = 0.
o
Demonstra¸˜o. Pelo teorema anterior temos det A = ± det U. Uma vez
ca
que U ´ triangular (superior) o det U ´ dado pelo produto dos elementos da
e
e
diagonal principal. No caso de A ser n˜o-singular (que ´ equivalente a ser
a
e
invert´
ıvel) os elementos diagonais de U s˜o os n pivots que se determinam
a
quando se aplica o m´todo de elimina¸˜o de Gauss a A e, portanto det A =
e
ca
det U = 0.
Demonstremos a implica¸˜o rec´
ca
ıproca, isto ´, sempre que det A = 0 ent˜o
e
a
A ´ invert´
e
ıvel, mostrando a validade do respectivo contra-rec´
ıproco. Assim
iremos admitir que A n˜o ´ invert´ e iremos mostrar que det A = 0. Sendo
a e
ıvel
A n˜o-invert´
a
ıvel, isto ´, sendo A singular, a caracter´
e
ıstica de A ´ inferior `
e
a
respectiva ordem. Ent˜o U tem pelo menos um elemento diagonal nulo e
a
58

59. logo det U = 0. Uma vez que det A = ± det U temos det A = 0, conforme
pretendido.
(2.5 c) Teorema. Para A e B matrizes quadradas de ordem n
det(AB) = det A det B.
Demonstra¸˜o. Vamos efectuar uma demonstra¸˜o por divis˜o do arguca
ca
a
mento em casos (referente a propriedades de B).
Caso 1. det B = 0
Ent˜o B ´ singular e portanto o sistema Bx = 0 tem solu¸˜es n˜oa
e
co
a
nulas. Seja v uma dessas solu¸˜es. Ent˜o Bv = 0. Multiplicando ambos os
co
a
membros por A obtemos
ABv = 0.
Mas tal significa que tamb´m o sistema ABx = 0 tem solu¸˜es n˜o-nulas o
e
co
a
que significa que a matriz AB ´ tamb´m singular e portanto, det (AB) = 0.
e
e
Logo
det (AB) = 0, det A det B = (det A) × 0 = 0
verificando-se a propriedade requerida.
Caso 2. det B = 0
Ent˜o a matriz B ´ n˜o-singular e logo pode escrever-se como produto de
a
e a
matrizes elementares (Recordemos que existe E matriz produto de matrizes
elementares tal que EB = D ou ainda, B = E −1 D ambas produto de elementares). Imediatamente, para B = Ek Ek−1 ... E1 matrizes elementares
temos, atendendo ` al´
a ınea (ii) do ultimo exerc´ do primeiro cap´
´
ıcio
ıtulo,
det (AB) = det (A Ek Ek−1 ... E1 )
= det (A Ek Ek−1 ... E2 ) det E1
...
= det A det Ek det Ek−1 ... det E1
...
= det A det(Ek ...E1 )
= det A det B.
(2.5 d) Corol´rio. Para A matriz quadrada invert´ tem-se
a
ıvel
1
det (A−1 ) =
.
det A
59

60. Demonstra¸˜o. De A A−1 = I vem, usando o teorema anterior,
ca
det A det A−1 = 1
donde o requerido.
(2.5 e) Proposi¸˜o. Para P matriz de permuta¸˜o tem-se
ca
ca
det(P T ) = det P.
Demonstra¸˜o. Uma vez que ambas as matrizes P e P T s˜o matrizes de
ca
a
permuta¸˜o, o determinante de cada uma delas ´ igual a 1 ou igual a −1.
ca
e
Mas como a inversa de uma matriz de permuta¸˜o ´ a respectiva transposta
ca e
temos P P T = I. Imediatamente det P det P T = 1. Logo det P e det P T
s˜o ambos iguais a 1 ou ambos iguais a −1.
a
(2.5 f) Teorema. Para A matriz quadrada tem-se
det AT = det A.
Demonstra¸˜o. Apliquemos ` matriz A o algoritmo de elimina¸˜o de
ca
a
ca
Gauss.
Suponhamos que n˜o h´ necessidade de efectuarmos trocas de linhas.
a a
Ent˜o temos
a
A = LU
det A = det U.
Quanto ` transposta temos
a
AT = U T LT
donde
det AT = det U T det LT = det U T
pois det LT = 1 porque LT ´ triangular com todos os elementos diagonais
e
iguais a 1. Mas U e U T tˆm os mesmos elementos diagonais. Logo det U T =
e
det U.
60

61. Mostremos agora que o mesmo acontece caso haja necessidade de efectuarmos trocas de linhas.
Neste caso temos
P A = LU.
Ent˜o, pelo teorema (2.5c),
a
det P det A = det L det U
det A = det P −1 det U.
Agora para as transpostas, de
P A = LU
vem
AT P T = U T LT
det AT det P T = det U T det LT
det AT det P = det U T .
Pela proposi¸˜o anterior det P T = det P e det U T = det U j´ que tˆm os
ca
a
e
mesmos elementos diagonais. Assim,
det AT = det P −1 det U
donde
det A = det AT .
Observa¸˜o. Atendendo ao teorema (2.5f ) todas as propriedades de
ca
determinantes que s˜o v´lidas para linhas s˜o tamb´m v´lidas para colunas.
a a
a
e
a
A regra de Cramer
Recordemos que, para A = aij
e i, j = 1, ..., n chamamos comn×n
plemento alg´brico de um elemento aij de A a
e
(−1)i+j det Aij
onde Aij designa a (n − 1) × (n − 1)-submatriz de A obtida por supress˜o
a
da linha i e da coluna j.
61

62. (2.5 g) Defini¸˜o.
ca
˜
Para A = aij
designamos por A a matriz dos comn×n
plementos alg´bricos dos elementos de A,
e
˜
A=
(−1)i+j det Aij
n×n
.
`
˜
A matriz AT chamamos matriz adjunta de A.
(2.5 h) Exemplo. A matriz adjunta de A =
a11 a12
a21 a22
´
e
a22 −a12
−a21 a11
˜
AT =


a11 a12 a13


(2.5 i) Exemplo. A matriz adjunta da matriz A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
´
e


a22 a33 − a32 a23 ...
...
˜T =  −a21 a33 + a31 a23 ... −a11 a23 + a13 a21 
A


a21 a32 − a31 a22 ...
...
(Os elementos n˜o apresentados s˜o facilmente calculados.)
a
a
(2.5 j) Teorema. Para A matriz quadrada de ordem n



˜
A AT = 


det A
0
0
det A
.
.
.
.
.
.
0
0
···
···
..
.
0
0
.
.
.



 = (det A)In .


· · · det A
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
(2.5 k) Corol´rio. Para A matriz invert´
a
ıvel
A−1 =
1
˜
AT .
det A
62

63. Demonstra¸˜o. Pelo corol´rio anterior temos
ca
a
˜
A AT = (det A) In .
Sendo A invert´
ıvel, det A = 0, e podemos escrever
A
1
˜
AT = In
det A
1
˜
AT = A−1 .
det A
e logo
Nota. Este corol´rio fornece um m´todo de constru¸˜o da inversa de
a
e
ca
uma matriz.
(2.5 l) Teorema. (Regra de Cramer)
Para An×n martiz invert´
ıvel a solu¸˜o unica do sistema Ax = b ´ a
ca ´
e
coluna cujos elementos s˜o os quocientes
a
det A(i)
, i = 1, ..., n
det A
onde A(i) ´ a matriz que se obt´m de A substituindo a coluna i por b.
e
e
a11 a12
invert´ e b =
ıvel
a21 a22
a solu¸˜o do sistema Ax = b ´ o elemento (x1 , x2 ) dado por
ca
e
(2.5 m) Exemplo. Sendo A =
det
b1 a12
b2 a22
det
x1 =
e x2 =
det











det
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
b1 a12
b2 a22
det
a11 b1
a21 b2
det
,
detA
detA
63
,
a11 a12
a21 a22






 .




b1
b2