1. Equazioni di 2° grado
PROBLEMA
(Es. es. 457 pag. 841 vol. 2 Zanichelli biennio)
…… siamo giunti all’equazione di 2° grado
010561002
 xx con 750  x
Come risolvere le equazioni di 2° grado
Metodo 1
Scomposizione in fattori e legge di annullamento del prodotto
  881210561002
 xxxx
Metodo 2
Completamento del quadrato
010561002
 xx
si può scrivere come
  144450
2
x
da cui …….
X1=12 e X2=88
In generale
Applicando il metodo del completamento del quadrato all’equazione
di 2° grado completa
    08812  xx
X1=12 X2=88

2. 02
 cbxax con a, b, c 0
si ottiene la formula risolutiva generale
a
acbb
x
2
42
2,1

 , con acb 42

In sintesi
a
b
x
2
2,1


SE 0
2 soluzioni(o radici) di-
stinte
SE 0
2 soluzioni coincidenti
SE 0
nessuna soluzione reale

3. CASI PARTICOLARI:
é
ò

B=0 e C=0 EQUAZIONE MONOMIA
B0 e C=0 EQUAZIONE SPURIA
B=0 e C 0 EQUAZIONE PURA
Equazione monomia
L'equazione ha la forma ax2
=0
Pertanto x2
=
a
0
cioè 02,1 x , un'equazione monomia ha una radice doppia nulla
Equazione spuria
L'equazione ha la forma ax2
+bx=0
Posto x in evidenza si ottiene x(ax+b)=0 essendo un prodotto uguale a zero allora, per la legge
di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è 0, cioè si ha x=0 o ax+b=0 .
x=0 o ax+b=0
Si è ricondotta l'equazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo grado, di cui
una ha soluzione nulla, cioè x=0;
l'altra soluzione è x =
a
b
 .
In questo abbiamo una equazione con due soluzioni reali distinte di cui una nulla.
Equazione pura
L'equazione ha la forma ax2
+c=0
L'equazione si può scrivere nella forma ax2
=-c  x2
=
a
c
Il primo membro è positivo poiché è un quadrato allora deve esserlo anche il secondo membro.
 Se a e c sono concordi il secondo membro è negativo in quanto la frazione è preceduta dal
segno meno, di conseguenza non si hanno radici reali, essendo il primo membro positivo.
 Se invece a e c sono discordi si hanno due radici reali opposte che si ottengono:
.
a
c
x 2,1

4. Dall’equazione di 2° grado alla funzione di 2° grado
Per risolvere il problema (es. 457 pag. 841 vol. 2 Zanichelli biennio)
siamo giunti all’equazione di 2° grado
010561002
 xx con 750  x
Delle due soluzioni ( o radici) trovate x1=12 e x2=88
Per le C.E. x2=88 non è accettabile, pertanto il problema ammette una soluzio-
ne x=12.
Definisco ora la funzione di 2° grado associata …
yxf :
10561002
 xxy , con x
oppure
1056100)( 2
 xxxf
e la rappresento graficamente ….

5. con Geogegra ottengo il seguente
grafico di 10561002
 xxy che è una parabola.

6. In particolare
A(88,0) B(12,0) sono i punti in cui la parabola incontra l’asse x, cioè y=0!!!!
…………………
VEDERE file con GEOGEBRA funz2grado
Per variare parametri a,b,c

7. RELAZIONI TRA COEFFICIENTI E RADICI DELL'EQUAZIONE
Se le radici sono reali dalla formula risolutiva otteniamo:
x1+x2= a
b
e x1●x2= a
c
Queste relazioni permettono in particolari casi di ricavare le soluzioni di un'equazione di
secondo grado senza applicare la formula risolutiva.
Infatti basta cercare quei numeri le cui somme ed i prodotti corrispondano ai numeri otte-
nuti mediante le relazioni.
Occorre notare che tali numeri sono facilmente ricavabili quando le soluzioni sono nume-
ri interi.
Un’altra applicazione è la
SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO
Al polinomio ax2
+bx+c associamo l’equazione ax2
+bx+c=0
 Se 0
l'equazione di secondo grado ax2
+bx+c=0 ammette due soluzioni x1 ed x2, allo-
ra sostituendo in b e c le precedenti relazioni l'equazione diventa:
ax2
-a(x1+x2)x+ax1●x2=  ossia:  ax2
-ax1x-ax2x+ax1● x2=0
Ponendo a in evidenza diventa:
a(x2
-x1x-x2x+x1●x2)=0
applicando la scomposizione a fattore parziale diventa:
a[x(x-x1)-x2(x-x1)]=0  ossia:  a(x-x1)(x-x2)=0
pertanto il polinomio iniziale si scompone
ax2
+bx+c= a(x-x1)(x-x2)
 Se <0
Se il discriminante dell’equazione è negativo allora il trinomio
ax2
+bx+c non si può scomporre