Aritmetica 4° 4 b

19 20COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria ARITMÉTICA 4 to Año Secundaria
CONJUNTO NUMÉRICO DE APLICACIÓN:
+
Z












+
COMPUESTOS
PRIMOS
UNIDAD
SIMPLES
ZDEIÓNCLASIFICAC
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO
Son aquellos números que poseen solamente dos
divisores que son : la unidad y él mismo.
Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; …..
Divisores de 2: 1; 2
Divisores de 3: 1; 3
NÚMERO COMPUESTO
Son aquellos números que poseen más de dos
divisores.
Ejemplo : 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14
Divisores de 2: 1; 2; 4
Divisores de 6: 1; 2; 3; 6
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS
ENTRE SI (PESI)
Dado un conjunto de números, diremos que son
primos entre sí, cuando tienen como único divisor
común a la unidad.
Ejemplo 1: Sean los números 8 y 15
Divisores de 8: 1 ; 2 ; 4 ; 8
Divisores de 15: 1 ; 3 ; 5 ; 15
Como la unidad es el único divisor común, 8 15
son primos entre sí (PESI).
Ejemplo 2: Sean los números 10 , 12 y 15
Divisores de 10 : 1 ; 2 ; 5 ; 10
Divisores de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Divisores de 15 : 1 ; 3 ; 5 : 15
Como la unidad es el único divisor común 10; 12
y 15 son primos entre sí (PESI)
PROPIEDADES
1. La serie de los números primos es limitada.
2. Todo número primo es mayor que 3, siempre
es de la forma 1º6 ± ; lo contrario no
siempre se cumple.
Ejemplos:
• 1º65 −= • 1º67 +=
• 1º611 −= •
1º618 +=
3. Todo número consecutivos siempre son
primos entre sí.
Ejemplo:
• 8 y 9 son PESI
• 14 ; 15 y 16 son PESI
REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NÚMERO
ES PRIMO.
- Se extrae la raíz cuadrada del número, si a
raíz cuadrada es exacta, entonces el número
no es primo, en caso contrario se sigue el
siguiente paso.
- Se divide al número entre todos los números
primos menores a la raíz cuadrada
aproximada.
- Si todas las divisiones son inexactas el
número será primo, pero si al menos una
división es exacta entonces el número no será
primo.
Ejemplo: Sea el número 131.
1º 4,11131 =
2º Primos menores que 11; 4; 2; 3; 5; 7; 11
º11;º7;º5;º3;º2131 ≠
Como todas las divisiones so inexactas 131 es
primo.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA.
Todo número compuesto se puede expresar como
un producto de factores primos diferentes
elevados a ciertos exponentes; esta expresión es
única y se llama “descomposición canónica”.
Ejemplo: Sea el número 360
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Sea:
  
Ndecanónica
ciónDescomposi
cba
C.B.AN =
1. Cantidad de divisores de ( )( )NCDN
( ) ( ) ( ) ( )1c1b1aCD N +++=
Ejemplo:
123
5.3.2320 =
( ) ( ) ( ) ( )111213360CD +++=
( ) 24360CD =
2. Suma de divisores ( )NSD
Ejemplo 1:
Para el número 18, la suma de sus divisores
es:

C.D
21
3x218 =
( ) ( )21
18 3SDx2SDSD =
( ) ( )








−
−








−
−
=








−
−








−
−
=
+++=
++
13
13
x
12
12
SD
13
13
x
12
12
331x21
1211
18
32
2
S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
NÚMEROS

canónica
ciónDescomposi
123
5.3.2360 =

En general:
Sea   
C.D
......xcxbxaN γβα
=
.....x
1c
1a
1b
1a
1a
1a
SD
111
N 







−
−








−
−








−
−
=
+γ+β−α
3. Suma de inversas de los divisores
( )NSID
Ejemplo:
Calcule la suma de las inversas de los
divisores de 30.
Analizando sus divisores
  
Divisores
30,15,10,6,5,3,2,1:30
30
1
15
1
10
1
6
1
5
1
3
1
2
1
1SID30 +++++++=
  
30
1256101530 ++++++=
( )
30
SD
SID
30
30 =
En general : para N
( )
( )
N
SD
SID
N
N =
4. Producto de divisores ( )NPD
Ejemplo I.
Sea el número 18:
  
Divisores
18;9;6;3;2;118 =
PD (18) = 1 x 2 x 3 x 6 x 9 x 18
18
18
18
( )
6
2/6
3
18
18
18
18PD
=
=
=
Donde 6 es la cantidad de divisores de 18
( )
( )18CD
18 18PD =
Ejemplo 2
  
Divisores
81;27;9;3;181 =
PD (81) = 1 x 3 x 9 x 27 x 81
81
81
81
( )
5
2
5
2
1
2
81
81
81
81PD
=
=
=
+
Donde 5 es la cantidad de divisores de 81
( )
( )81CD
81 81PD =
En general: para N
( )
( )NCD
N NPD =
5. Función de Euler ( )( )Nφ
Se define para todos los enteros positivos N y
representa la cantidad de números enteros
positivos menores que N y que son primos
relativos (PESI) con N. Algunas veces la
función es llamada “Indicador de N”
1. Si N es primo entonces:
( ) 1pp −=φ
2. Si p es número primo y α es un entero
positivo entonces:
( )1p1
p
p −−α





 α =φ
En general:
Sea N descompuesto canónicamente:
.....c.b.aN γβα
=
Entonces:
( ) ( ) ( ) (cc.1bb.1aa 111
N −−=φ −γ−β−α
Si : N > 1 entonces la suma de los enteros
positivos menores o iguales a N y PESI con N
es;
( )N.N
2
1
φ
PRÁCTICA DE CLASE
01.¿Cuántos números primos absolutos hay entre
60 y 90?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
02.¿Cuánto s números compuestos hay entre 30
y 55?
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
03.¿Cuántos divisores compuestos hay entre 30 y
55?
a) 18 b) 21 c) 24
d) 30 e) 36
04.Hallar la suma de los divisores primos de 3
500.

a) 10 b) 12 c) 14
d) 15 e) 18
05.¿Cuántos divisores compuestos tiene 12
000?
a) 35 b) 40 c) 44
d) 48 e) 30
06.Calcular "K", si el número : K
5.72
tiene 60 divisores.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
07.¿Cuántos divisores simples tiene el número
330?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
08.Calcular "n", si nn
35.16N = tiene
81 divisores.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09.Hallar el valor de "n" para que el número
divisores de n
30N = sea el doble del
número de divisores de n
18.15M = .
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10.¿Cuántos divisores tiene: 810
1414 − ?
a) 99 b) 72 c) 648
d) 1448 e) 729
11.Si se sabe que: n
35 tiene 4a divisores.
¿cuántos divisores tendrá :
an
3333E −= ?
a) 153 b) 232 c) 275
d) 141 e) 294
12.El número ba
7.3.2N = tiene 40
divisores múltiplos de 9 y 30 divisores
múltiplos de 2. Hallar a . b
a) 10 b) 32 c) 20
d) 24 e) 35
13.Si se cumple que:
nn
30.14B15.21A ==
además CD (A) + CD (B) = 96; hallar el valor
de "n"
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14.Si el número n
90N = tiene 84 divisores
pares, ¿cuántos divisores múltiplos de 5 tiene
N?
a) 51 b) 36 c) 54
d) 84 e) 64
15.Si se tiene que : N = 9000 ... 0; ¿cuántos ceros
se debe considerar en N para que tenga 239
divisores compuestos?
a) 5 b) 3 c) 8
d) 4 e) 9
16.Si N = 21; ¿cuántas veces es necesario
multiplicar a N por 22 para que el producto
tenga 395 divisores compuestos?
a) 8 b) 9 c) 7
d) 6 e) 10
17.Si n
81 tiene K divisores, ¿cuántos
divisores tendrá n
5616 ?
a) 2K + 1 b) K – 1 c) K + 1
d) 2K – 1 e) K + 2
18.Si
3K22K21K2K2
5555N +++
+++=
tiene 156 divisores, calcular 2
K .
a) 16 b) 25 c) 36
d) 49 e) 64
19.¿Cuántos divisores debe tener
4n
3.6M = para que su raíz cuadrada
tenga 8 divisores?
a) 18 b) 16 c) 20
d) 21 e) 24
20.El área de un rectángulo es de
2
m10044 ; si sus lados son números
enteros, ¿cuántos terrenos de forma
rectangular existen?
a) 15 b) 32 c) 27
d) 41 e) 50
21.Hallar un número nn
15.12N =
sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como
respuesta la suma de las cifras de N.
a) 18 b) 15 c) 9
d) 27 e) 21
22.¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 8 al
número 300 para que el producto resultante
tenga 126 divisores?
a) 9 b) 6 c) 3
d) 5 e) 15
23.Entre los números 180; 756 y 900; ¿cuál es el
que tiene tantos divisores como 360?
a) 900 b) 180 c) 756
d) Todos e) Ninguno
24.Si n432
10...10.10.10.10
tiene 1 369 divisores, ¿cuántos términos tiene
la serie?
a) 8 b) 12 c) 14
d) 13 e) 15
25.Sabiendo que 3
10.321N = ,
¿cuántos números no múltiplos de 6 están
contenidos exactamente en N?
a) 30 b) 40 c) 10
d) 12 e) 5
26.Hallar el valor de "n" sabiendo que
75.15 n
tiene (17n + 34) divisores.
a) 11 b) 12 c) 13
d)14 e) 15
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.Si 0abaaba es producto de n primos
consecutivos. Hallar n.
a) 2b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
02.Hallar la suma de las cifras del menor número
abc , sabiendo que es múltiplo del número
( ) ( ) ( )3c1b2a −−−
a) 8 b) 10 c) 12
d) 15 e) 14
03.Si nx48x3x2N yx
= , tiene
64 divisores y es °7 , ¿Cuántos de sus
divisores no son °12 ?
a) 28 b) 36 c) 32
d) 40 e) 64
04.Si a
60 tiene 1374 divisores enteros no
primos. Hallar la suma de os divisores no
compuestos de n
mn
a) 10 b) 12 c) 15
d) 14 e)17
05.Si ab es un número primo absoluto, mayor
que 40. ¿Cuántos divisores tiene el número
00ababab ?
a) 288 b) 250 c) 260
d) 240 e) 100

TAREA DOMICILIARIA
01.Si 15.9 n
tiene 32 divisores, hallar el
valor de "n".
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
02.¿Cuántos divisores de 1 440 son divisibles
por 15?
a) 10 b) 12 c) 18
d) 21 e) 36
03.¿En que cifra termina el producto de los 87
primeros números primos?
a) 1 b) 2 c)3
d) 0 e) 7
04.¿Cuántos divisores compuestos tiene el
número 1 575?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
05.¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene
el número 1 440 000?
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 30
06.Si 1mm
10.15N +
= tiene 156
divisores compuestos, hallar el valor de "m"
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 2
07.Si el número K
3.42N = tiene 3
divisores menos que 900; ¿cuál es la suma de
cifras de N?
a) 8 b) 10 c) 12
d) 9 e) 6
08.Si K2K
44 −+
tiene 92 divisores, hallar
el valor de "K – 1".
a) 3 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
09.Hallar el número total de divisores que tiene
el producto de los 3 primeros números
capicúas de 2 cifras.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
10.Si ba
51.21M = tiene 105 divisores,
hallar "a + b"
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
11.Si
( )
  
cifras1n2
n
5.00...00004
+
, tiene 90
divisores , hallar "n"
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) 3
12.¿Cuántos rectángulos existen cuya superficie
es 2
m6,3 y sus lados están expresados
en cantidades enteras de decímetros?
a) 5 b) 7 c) 4
d) 3 e) 1
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Conjunto numérico de aplicación : +
Ζ
Máximo Común Divisor (MCD)
El máximo común divisor de un conjunto de dos
o más números es aquel número que cumple dos
condiciones :
- Es divisor común de los números.
- Es el mayor posible.
Ejemplo: Sean los números 18 y 24
Divisiones comunes: 1 ; 2 ; 3 y 6
↓
Mayor
∴ MCD (18 ; 24) = 6
Asimismo:
MCD (60 ; 40) = 20 ; MCD (32 ; 40) = 8
PROPIEDADES
1. Todos los divisores comunes de varios
números, son también divisores de su MCD.
2. Si A y B son PESI, se cumple:
MCD (A ; B) = 1
Ejemplo : MCD (8 ; 15) = 1
3. Si ºBA = ; se cumple:
MCD (A ; B) = B
Ejemplo: MCD (60 ; 15) = 15
MÉTODOS PARA DETERMINAR EL MCD.
1. Por descomposición simultánea:
Ejemplo : Sean los números 540 ; 630 y 810
540 – 630 – 810 2
270 315 405 3
90 105 135 3
30 35 45 5
6 7 9
MCD (540 ; 630 ; 810) =
905.3.2 2
=
2. Por descomposición canónica:
Cuando los números están descompuestos
canónicamente, el MCD está determinado por
el producto de los factores primos comunes
elevados a sus menores exponentes.
Ejemplo : Sean los números:
2283
3464
7.5.3.2B
11.5.3.2A
=
=
Se cumple: MCD (A ; B) = 263
5.3.2
3. Por divisores sucesivas o Algoritmo de
Euclides:
Sean los números A y B (A > B)
q
1
q
2
q
3
q
4
r1
r
2
r
3
o
r1
r
2
r
3A B MCD
∴ MCD (A ; B) = 3r
Ejemplo : Hallar el MCD de 391 y 323
MÁXIMO COMÚN
DIVISOR

1 4 1 3
68 51 17 o
68 51 17391 323
∴ MCD (391 ; 323) = 17
PROPIEDADES
1. Sean los números A y B
Donde : MCD (A ; B) = d
Se cumple:
A = dp B = dp
• p y q son PESI
2. Si MCD (A ; B) = d









=





=
n
d
n
B
;
n
A
MCD
dn)Bn;An(MCD
Entonces
Ejemplo : Si MCD (14A ; 21B) = 350
÷ 7 MCD (2A ; 3B) = 50
x 4 MCD (8 A ; 12B) = 200
3. Se cumple:
MCD (AK ; BK) = MCD (A ; B) . K
Ejemplo: MCD (8 K ; 12 K) = 4 K
MCD (15 K ; 35 K) = 5 K
MCD (8 K ; 15 K) = K
4. Sean los números A ; B ; C y D
Donde : MCD (A ; B) = 1d
MCD (C ; D) = 2d
Entonces : MCD (A; B; C; D) = MCD
( )21 d;d
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El MCM de un conjunto de números es le menor
de los múltiplos comunes de varios números.
Sean los números:
• 12: 12, 24, 36 , 48, 60, 72 , 84, 96, 108 , 120 …
• 18: 18, 36 , 54, 72 , 90 , 108 , 126, 144 …
Múltiplos
∴ El MCM (12 ; 18) = 36
Obs.: Múltiplos comunes : 36 , 72 , 108 …
Múltiplos de …
Propiedad:
Los múltiplos comunes de varios
números son múltiplos de su MCM.
Problema:
Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos
comunes positivos menores que 180 tienen A
y B?
Solución:
Cálculo del MCM:
1. Por descomposición simultánea
Sean los números 360; 300 y 200
360 - 300 - 200 2
180 150 100 2
90 75 50 2
45 75 25 3
15 25 25 3
5 25 25 5
1 5 5 5
1 1 1
2. Por descomposición canónica
Pasos:
- Se descomponen los números
canónicamente, en factores primos.
- El MCM estará dado por los factores
primos comunes y no comunes elevados
sus mayores exponentes.
Ejemplo: Sean los números 360; 300 y 200
• 532360 23
=
• 22
5.3.2300 =
• 23
5.2200 =
El MCM : 8001532 223
=
Problema :
¿Cuántos divisores tiene el MCM de
45
30y20 ?
Solución:
Propiedades:
1. Para 2 números A y B que sean P.E.S.I.
El MCD será siempre la unidad y el MCM
será el producto de los menores.
Para 2 números A y B, P.E.S.I.
EL MCD (A , B) = 1
El MCM (A , B) = A . B
2. Para 2 números A y B se cumple siempre que
el producto del MCD será igual al producto
de los números.
Para 2 números A y B
MCD (A , B) . MCM (A , B) = A . B
3. Si al conjunto de números se le multiplica o
divide por cierto factor su MCM también
queda multiplicado o dividido por el mismo
factor.
Si MCM (A , B) = P
MCM (kA , kB) = kP
k
P
k
B
;
k
A
MCM =





4. Si el MCM de 2 números es “n” y el MCM de
otros 2 números es “m” entonces el MCM de
los números será el MCM de n y m.
Si MCM (A , B) = n ; y
MCM (C , D) = m
⇒ MCM (A , B , C , D) = MCM (n,m)
5. Para 2 números A y B
Si MCD (A , B) = n
MCM (A , B) = m
Se cumple :
A = np
B = nq m = npq
⇒ A . B = nm
PRÁCTICA DE CLASE
01.¿Cuántos divisores tiene el MCM de 1 008 y
2 100?
∴MCM :

8001
223
532

a) 45 b) 90 c) 135
d) 80 e) 60
02.Hallar el MCD de 1 147 y 713
a) 31 b) 21 c) 23
d) 37 e) 41
03.Sean A y B dos números primos entre sí.
¿cuál será su MCD y cual su MCM?
a) No se puede saber b) A – B; A + B
c) 1; A . B d) AB ; 1
e) A + B; A – B
04.¿Cuál es el número de divisores del MCD e1
32
120 y 40
84 ?
a) 1 216 b) 1 881 c) 948
d) 2 560 e) 2 673
05.Dar la suma de los residuos al calcular el
MCD por el algoritmo de Euclides de 1 245 y
540.
a) 315 b) 255 c) 145
d) 165 e) 265
06.En la determinación del MCD de 2 números
mediante el algoritmo de Euclides, se
obtuvieron los siguientes cocientes sucesivos:
1; 3; 2 y 4; si el MCD es 7, dar el mayor.
a) 280 b) 308 c) 140
d) 217 e) 252
07.La suma de 2 números es 12 000. Determinar
el mayor de ellos sabiendo que los cocientes
obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo
de Euclides son: 3; 1; 4 y 5
a) 9 180 b) 9 846 c) 9 882
d) 9 486 e) 9 504
08.Se desea dividir 3 barras de acero de
longitudes 165; 225 y 345 cm; en trozos de
igual longitud. ¿cuál es el menor número de
trozos que se puede obtener?
a) 147 b) 44 c) N.a.
d) 40 e) 55
09.En un patio de forma cuadrada se desean
acomodar losetas de 15 x 24 cm, de tal
manera que no sobre ni falte espacio. El
menor número de losetas que se requieren es:
a) 41 b) 120 c) 90
d) 60 e) N.a.
10.Tres móviles parten juntos del mismo punto
de partida de un círculo cerrado de 3 600 m
de longitud. Si las velocidades de ellos son
60; 36 y 20 m/s respectivamente, ¿Cuánto
tiempo debe transcurrir para que vuelvan a
pasar juntos por el punto de partida ?
a) 18 min. b) 10 min. c) 15 min.
d) 12 min. e) N.a.
11.Hallar el mayor valor de "p" que cumple con
la condición:
13p421y53p753 −°=−°=
. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 9
12.Si tenemos que llenar 4 cilindros de
capacidades: 72; 24; 56 120 galones
respectivamente, ¿cuál es la capacidad del
balde que puede usarse para llenarlos
exactamente si está comprendido entre 2 y 8
galones?
a) 7 b) 3 c) 6
d) 4 e) 5
13.Un terreno de forma rectangular cuyos lados
miden 144 m y 252 m está sembrado con
árboles equidistantes y separados lo más
posible. Si se observa que hay un árbol en
cada vértice y uno en el centro del terreno,
¿cuántos árboles hay en total?
a) 135 b) 120 c) 56
d) 112 e) 40
14."N" es el mayor número natural tal que al
dividir 1 572 y 670 entre "N" deja como
residuo 36 y 30 respectivamente . Calcular la
suma de las cifras de "N"
a) 14 b) 10 c) 16
d) 11 e) 12
15.A un terreno de forma rectangular de 1
848 m de largo y 1 056 m de ancho se quiere
cercar con alambres sujetos a postes
equidistantes, de manera que disten de 20 y
30 m y que corresponda un poste a cada
vértice y otro en cada uno de los puntos
medios de los lados del rectángulo. Calcular
el distanciamiento entre dos postes
consecutivos y el número de postes que
necesitan.
a) 33 y 88 b) 22 y 132 c) 33 y 178
d) 22 y 264 e) N.a.
16.Se trata de llenar una caja de divisiones:
2, 16 x 1; 26 x 0, 72 m con cubitos que
tengan el mayor volumen posible. Hallar
cuántos cubitos son necesarios.
a) 45 b) 320 c) 84
d) 336 e) 672
17.Hallar el valor de "N" si el MCM de los
números: 45.12A n
= y
n
45.12B = tiene 450 divisores.
a) 2 b) 6 c) 3
d) 4 e) 5
18.¿Cuántas parejas de números cumplen que su
MCD sea 9 y su suma ea 126?
a) 4 b) 5 c) 3
d) 1 e) 2
19.Si : cbamn5abc =− , dar "b" si el
MCD ( ) 18cba;abc =
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
20.Hallar el producto de 2 números, cuya suma
es 325, tal que la suma de su MCM y su
MCD sea 5 225.
a) 20 600 b) 26 100 c) 18 000
d) 28 900 e) 19 600
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02
01.El MCM de dos números es 15120 y los
cocientes sucesivos obtenidos por el
algoritmo de Euclides en el cálculo del MCD
son 1 , 1, 6 y 2. El mayor de los números es:
a) 540 b) 460 c) 860
d) 1008 e) 1260
02.Si MCM
( ) ( )( ) 321b1a,ab =++ ,
calcular a + b
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

03.Una señora va al mercado y compra
chirimoyas, al contar de 3 en 3, le sobran 2, al
contar de 5 en 5 le sobran 4; y al contar de 6
en 6 le sobran 5 ¿cuál es el mínimo número
de chirimoyas?
a) 59 b) 89 c) 119
d) 14 e) 29
04.Se tiene ladrillos de dimensiones 2,0 ; 3,0 y
0,6 unidades. ¿Cuántos ladrillos son
necesarios para formar un cubo del menor
volumen posible?
a) 20 b) 40 c) 60
d) 80 e) 100
05.Tres obreros tienen que colocar losetas en un
área de 2
m535 y demoran 30; 36 y 42
minutos por metro cuadrado respectivamente.
¿Cuántas horas como mínimo tardarán en
culminar el trabajo, cubriendo cada uno un
número exacto de metros cuadrados?
a) 42 b) 84 c) 96
d) 105 e) 140
TAREA DOMICILIARIA
01.Se trata de llenar 3 cilindros de capacidades
120; 210 y 105 litros respectivamente. ¿Cuál
es la capacidad del balde que puede usarse
para llenarlos exactamente si está
comprendido entre 4 y 12?
a) 8 b) 6 c) 7
d) 5 e) 9
02.¿Cuál es le menor número de losetas de 39 x
18 cm necesarios para construir un cuadrado?
a) 78 b) 148 c) 153
d) 184 e) 189
03.Para formar un cubo compacto, ¿cuántos
ladrillos como el mostrado se necesitan como
mínimo?
c
b
a
a = 4
b = 6
c = 18
a) 648 b) 864 c) 486
d) 468 e) 108
04.Hallar "n", si el MCD (A ; B) = 6 000,
siendo :
nn
30.20B30.20A ==
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
05.Hallar "n", si MCM (A ; B) = 30 375 siendo:
nn
15.45By45.15A ==
a) 3 b) 2 c) 5
d) 1 e) 4
06.Hallar el MCD de 1 517 y 481.
a) 81 b) 37 c) 23
d) 31 e) 29
07.Hallar dos números, sabiendo que su
producto es igual a 8 veces su MCM y qe su
suma es igual a 6 veces su MCD.
a) 6 y 30 b) 8 y 30 c) 8 y 40
d) 6 y 48 e) 8 y 20
08.¿Cuántos números de 3 cifras al dividirlos
entre 6; 7 ó 15 no dejan residuo?
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 1
09.¿Cuántos divisores comunes poseen:
7.6.2A 43
= y
14.2.3B 54
= ?
a) 24 b) 70 c) 36
d) 52 e) 48
10.El número de páginas de un libro está
comprendido entre 2 000 y 5 000; si se
cuentan sus páginas de 5 en 5 sobran 3, si de
7 en 7 sobran 5, si de 8 en 8 sobran 6, pero si
se cuentan de 9 en 9 no sobra ninguna. Hallar
el número de páginas del libro.
a) 3 078 b) 4 398 c) 3 062
d) 3 004 e) 3 6 18
NÚMEROS FRACCIONARIOS
FRACCIÓN
Se denomina fracción a todo par de números
enteros dados en un cierto orden, de manera que
el primero se llama (numerador) el segundo
(denominador) y éste sea distinto de cero.
Sea la fracción a/b que también se puede "b" el
denominador.
En otras palabras, una fracción nos indica una
parte que se toma de un todo dividido en partes
iguales. Así por ejemplo la fracción 5/12 nos
indica que se han considerado 5 partes de un total
de 12 partes iguales en las que se ha dividido el
total.
Ejemplo:
Si dividimos un total en 25 partes iguales, ¿qué
fracción representan las partes sombreadas?
CLASIFICACIÓN
I. De acuerdo a la relación entre sus
términos
a) Propia
Toda fracción cuyo valor es menor que la
unidad y mayor que cero. Esto sucede cuando
el numerador es menor que el denominador.
Ejemplos:
4/7 ; 6/13 ; 89/ 237 ; 127 / 32544
NÚMEROS
FRACCIONARIOS

b) Impropia
Toda fracción cuyo valor es mayor que uno
(1). Esto sucede cuando el numerador es
mayor que el denominador.
Ejemplos:
15/8 ; 13/5 ; 65 / 27 ; 3 227 /119
II. De acuerdo al denominador de la
fracción
a) Fracción ordinaria o común
Toda fracción cuyo denominador es diferente
a una potencia de 10.
Ejemplos:
17/23; 34/97; 11/56; 457/ 129
b) Fracción decimal
Toda fracción cuyo denominador es una
potencia de 10.
Ejemplos:
77/ 100; 43/1 000; 21/ 10 000; 1/100
000
III. De acuerdo a los denominadores de un
grupo de fracciones
a) Fracciones homogéneas
Es aquel grupo de fracciones que poseen el
mismo denominador.
Ejemplos:
6 / 17 ; 25 / 17 ; 11 / 17 ; 3 456 / 11
b) Fracciones heterogéneas
Es aquel grupo de fracciones cuyos
denominadores son diferentes.
Ejemplos:
9 / 15 ; 65 / 128 ; 31 / 11 ; 3 / 4
OTRAS FRACCIONES
a) Fracción equivalente: Una fracción
equivalente es aquella fracción que tiene el
mismo valor que otra más sus términos son
diferentes.
b) Fracción reductible: Toda fracción cuyos
términos comparten divisores y permiten por
lo tanto un proceso de simplificación.
15
8
45
24
90
48
180
96
===
c) Fracción irreductible: Toda fracción cuyos
términos son primos entre sí, es decir el único
factor común entre los términos, es la unidad.
71
35
donde 35 y 71 son PESI
NÚMEROS DECIMALES
Número decimal
Es la expresión que se obtiene al dividir el
numerador de la fracción entre el
correspondiente denominador.
Ejemplo:
25,3
4
13
=
4,1
25
35
=
...2222,3
9
29
=
Número decimal exacto
Se origina cuando el denominador de la fracción
generatriz está compuesta por factores 2, por
factores 5 ó por ambos.
Ejemplo:
875,1
8
15
=
16
19
= 1,1875
Número decimal inexacto periódico puro
generatriz no contiene factores 2 ni 5.
Ejemplo:
11
7
=
∩
63,0
9
23
= 5,2

Número decimal inexacto periódico mixto
generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y al
menos un factor primo distinto a estos.
Ejemplo:
∩
= 16,3
6
19
∩
= 62,0
45
28
∩
= 43,1
30
43
PRÁCTICA DE CLASE
01.La cantidad de fracciones propias e
irreductibles de denominador 25 es:
a) 18 b) 9 c) 20
d) 21 e) 22
02.¿cuántas fracciones de denominador 80 están
comprendidas entre 1/3 y 7/4?
a) 111 b) 112 c) 113
d) 114 e) 115
03.Renato ingresó al hipódromo y al apostar por
primera vez pierde 1/3 de su dinero; al
apostar por segunda vez, gana 3/4 de lo que le
quedaba y finalmente decide apostar el dinero
que le quedaba y pierde 1/2. Si se retiró a su
casa con $ 42, el dinero con el que
inicialmente jugó es:
a) 70 b) 71 c) 72
d) 73 e) 74
04.Si
..
125
3
343
3
25
2
49
2
5
3
7
2
E ++++++=
, tiene 11 sumandos, el resultado es:
a) 1 b) 1, 09 c) 1, 083
d) 1, 1 e) 1, 087

05.Si:
0
16x15
1
....
4x3
1
3x2
1
2x1
1
=++++
, abcd. Hallar a + b + c + d:
a) 24 b) 18 c) 29
d) 14 e) 21
06.Si la fracción a / b es irreductible, entonces
algún divisor común del numerador y
denominador de la fracción (2 a + b) / a (a +
b) es:
a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 11 y 1
d) sólo 2 e) sólo 1
07.Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. ∀ a ≠ b exista un X ∈ Z, que pertenece al
intervalo [a, b]
II. La suma de dos números es otro número
irracional.
III. a = 3, 25251252253 ........ es racional.
a) FFF b) FVF c) FVV
d) FFV e) VVV
08.La suma de las cifras del denominador de la
fracción equivalente a 29/ 41, cuyo cuadrado
de la suma de sus términos es 240100, es:
a) 19 b) 15 c) 17
d) 21 e) 20
09.¿Cuántas fracciones irreductible de
denominador 36 están entre 2/ 21 y 5/ 21?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Si: 0
cd
ab
= , efghi y
58cdab =+ , entonces (a + b + c + d
+ e) es :
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
11.Si: 96 678,0edcba,0 = , entonces
(a + b + c + d + e) es:
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
12.¿Cuántas cifras no periódicas y periódicas
tiene la expresión decimal de la fracción
11x5x13x2
14
f
65
= ?
a) 6, 6 b) 4, 6 c) 4, 5
d) 6, 10 e) 6, 12
13.¿Cuantas cifras tiene la parte periódica del
número decimal originado por la fracción
irreductible
x271x11x3
k
f
3
=
?
a) 5 b) 10 c) 12
d) 18 e) 30
14.Hallar la suma las de cifras del periodo
generado por la fracción:
  
cifrask3
148148......148148
36
E =
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 9
15.Hallar el valor exacto de la suma:
22222222
2003
1
2002
1
1......
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1 ++++++++++++
a)
2002
2001
b)
2003
2002
c)
2003
2001
2002
d)
2003
2002
2002 e)
2003
2002
2001
16.El sistema de numeración en el que se cumple
que : 7
5
41,0 =
, es:
a) quinario b) hexadecimal
c) octal d) nomario e) senario
17.Determinar la suma de:
.......
12x3
1
6x3
1
4x3
1
2x3
1
4
1
2
1
E ++++++=
a) 9 / 8 b) 8 / 9 c) 3 / 8
d) 5 / 7 e) 13 / 5
18.Se tiene una fracción irreductible f tal que






∈
14
11
,
7
5
f . Si dividimos el
intervalo
14
11
,
7
5
en siete partes
iguales, f está en el punto medio del cuartos
intervalo. La suma de los términos de f es:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 12 e) 25
19.¿Cuántas fracciones propias de términos
impares consecutivos menores que 0, 95
existen?
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 17
20.El numerador de dos fracciones irreductibles
es 4 y el MCD de sus denominadores es 3, se
sabe también que la suma de dichas
fracciones es 32/ 45. Hallar el producto de
dichas fracciones.
a) 18 / 89 b) 16 / 115 c) 16 / 135
d) 18 / 145 e) 18 / 125
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03
01.Convertir
( )165,221
∩
a la base 6. La
suma de las cifras de la conversión, es:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
02.Si : 321........zyx,0
abc
23
= .
El resultado de ( Hallar a + b + c), es:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
03.Halla la suma de cifras de la parte periódica
del número decimal que genera de fracción :
  
cifras56
.............37037037
71
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
04.Si a, b y c son los enteros que satisfacen la
igualdad c
b
a
b
c.a
+= . La suma de

los primeros 20 enteros positivos de la forma
(a – b) , es:
a) 420 b) 210 c) 105
d) 315 e) 525
05.Si
{ }+
∈<=+== Zkdonde,1000k33ba;925,0b/a/b/aA
El cardinal de A es:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
TAREA DOMICILIARIA
01.Si
cba
abc
es equivalente a
17
5
. El valor de
(a + b + c) es:
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
02.Si:
11
m
a5,0 =
∩
calcule : m – a
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03.Calcule : a + b,
si : 96,0
3
b
11
a
=+
a) 8 b) 9 c) 11
d) 7 e) 15
04.¿cuál es la última cifra de período de
( ) 83
3 − ?
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 1
05.Si abcdef,0
x
2
= y
defabc,0
x
5
= y
429abcdef =− . Calcule x.
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 4
06.Si la fracción generatriz
ab
1
genera el
número decimal 0, 0 (a – 1) b, ¿cuál es el
valor de a + b?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
07.Calcule un número que divido entre 37
origina el decimal :
( )a1a
2
1a
,0 +




 +
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
08.Se tiene la fracción
∩= a,0
b
a
de tal
manera que se cumpla:
ef,0
2b
2a
=
+
+
, conociendo que a +
2 = e + f.
Calcule la fracción
b
a
a)
9
4
b)
5
3
c)
9
7
d)
2
7
e)
9
2
09.Si:
∩
=
++
1,4
abc,0
ca,0bc,0ab,0
calcule el máximo valor de:
M = 0, abc + 0, cab + 0, bca
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. ¿Cuántas cifras tiene en la parte no periódica
la fracción:
!10
210
?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. D D D
02. C B C
03. A C E
04. D D B
05. A E B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

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