25. 1.2 直接测量结果与不确定度分析
1.2.1 随机误差的统计规律
f (X )
1
e ( X ) 2 / 2 2 单峰性
2
对称性
特征值
n
有界性
(X ) i
2
i 1 抵偿性
n
X 1 n
lim X i 0
O
正态分布图 n i 1
27. 1.2.2 测量结果的最佳表示
n次等精度重复测量结果 X 1,X 2,X 3, ,X n
每次测量的随机误差为 X i X i A
1 n 1 n
lim X i lim ( X i A)
n i 1 n i 1
1 n
lim X i A 0
n i 1
X A
算术平均值比任一测量值更有可能接近真值A
29. 1.2.3 多次测量的随机误差估计
实际测量中,真值 A 无法确知,就用 X 取代 A
由于测量误差的存在,每一个独立测量值
不一定相同,它与平均值之间存在着残差
Vi X i X
测量列的标准误差(偏差)修正为
n n
i 1
Vi 2
i 1
( X i X )2
n 1 n 1
30. 1.2.3 多次测量的随机误差估计
各测量值的算术平均值的 X 随机误差为
n n
V (X X)
2 2
i i
i 1
i 1
X
n n(n 1) n(n 1)
表示 在区间 ( A 的概率为P =
X ,A X)
X X
68.3%。
从 表达式可知,n越大, 越小。
X
X
一般取值 6 n 10 。
39. 方法二: 1.3.1 间接测量结果与误差的传递
先取自然对数 ln N ln f ( x, y, z,)
两边再求全微分 dN ln f ln f ln f
dx dy dz
N x y z
间接测量的相对误差为 d Δ
N ln f ln f ln f
E x y z
N x y z
——相对误差传递公式
间接测量的误差为
N E N 对数微分法
40. 1.3.2 间接测量值的不确定度合成
不确定度的绝对值合成法
间接测量的不确定度为 f f f
dN dx dy dz
不确定度传递公式 x y z
f f f d Δ ,各项
N x y z
x y z 取绝对值
间接测量的相对不确定度为
dN ln f ln f ln f
相对不确定度传递公式 dx dy dz
N x y z
N ln f ln f ln f
E x y z
N x y z
42. 1.3.2 间接测量值的不确定度合成
例1.1 N x y 例1.2 N x y
解: 两边求全微分 N mx ny
dN dx dy dN mdx ndy dN dx dy
方和根合成
N x
2
y 2 N x 2 y 2
N m x 2 n y 2
x 2 y 2 N x 2 y 2
N E
E N x y
N x y
N m x 2 n y 2
E
N m x ny
43. 1.3.2 间接测量值的不确定度合成
例1.3 N xy 例1.4 N x/ y
解: 两边求全微分 N mxy
1
dN ydx xdy dN
2
( ydx xdy)
方和根合成 dN mydx mxdy y
N y x 2 x y 2 N
1
y x 2 x y 2
y2
N m y x 2 x y 2
2 2
x y
2
x y
2
N N
E x y
E x y
N N
2
N x
2 y
E
x
N y
44. 1.3.2 间接测量值的不确定度合成
例1.5 2 对数微分法 两边取自然对数
N mxy z
解: 两边求全微分 ln N ln m ln x 2 ln y ln z
dN my2 zdx 2mxyzdy mxy2dz 再求全微分
方和根合成 dN dx dy dz
2
2xyz y 2 xy2 x
2 2
N x y z
2
N m y z x 方和根合成
2 2
N x
2 y z 2 N x y z
2 2
E
x 2 x 2 y z
N y z N
45. 1.3.2 间接测量值的不确定度合成
例1.6 N x y 对数微分法 两边取自然对数
x y ln N lnx y lnx y
解: 两边求全微分 再求全微分
2y 2x dN dx dy dx dy
dN dx dy
x y 2
x y 2
N x y x y
方和根合成 合并微分同类项
N
2
y x 2 x y 2 dN
2 y
dx
2x
x
dy
22 2 2 2 2
2
y N x y x y
方和根合成
E
N
2
y x 2 x y 2 N
2
y x 2 x y 2
N x2 y 2 N x2 y 2
N
2
y x 2 x y 2
x 2
y
22
52. 2.1.3 有效数字的运算
三角函数运算:由不确定度决定有效数字位数
sin 29 55' ?
y sin x x 1'
x 29 55'
角度化为弧度
dy cos x dx
1 3.142
y cos x x 0.8667
60 180
0.0003
7
sin 29 55' 0.4988 3 10
sin 89 55' ? 0.999999
2
55. 2.2 测量结果的完整表述
2.2.1 测量结果的文字表述
X
Y X X ,E 100%
X 含义:待测量
Y 待测量
测量结果 真值A落在区间
X
X 测量不确定度 X X,X X
E 测量相对不确定度 内的几率为
68.3%。
56. 2.2.1 测量结果的文字表述
单次直接测量
仪
Y X 仪,E 100%
X
多次直接测量
n
( X i X )2
2
Y X X X i 1 仪
n(n 1) 3
X
E 100%
X
间接测量
N
Y N N,E 100%
N
64. 对每一个 xi ,测量值 yi 和
在最佳直线上的对应值 y
之间存在一偏差:
yi yi y
yi (a bx)
S (yi ) 2 最小二乘
( yi a bx) 2 min
S 判据:
xy x y xy x y
a 0 b 2
S
0
x ( x) 2
a y bx
x 2 ( x) 2 y 2 ( y ) 2
b 0 1
102. 4.取v0 0时,g值的测量:如图2-3-3所示调节
A、B两光电门的位置,记录小球通过两
光电门之间距离为s时所需的时间t,重复3
次。在此过程中为检查测量中的误差,将
2-3-5式改写为: gt ,设 y s , ,
s
1 2
a
2
则上式变为 y a bx ,其中 x t , g 。依
2
b
1
2
据组合测量的分组计算法求出线性参数a
、b,从而得到g值。