Devoir en algorithmique

1. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Algèbre 3 (Devoirs) Professeur ABDELALIM SEDDIK Année Universitaire 2016-2017 1

2. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 1 Exercice 1 Soit E un IR espace vectoriel de dimension 4, f ∈ L(E) et A =      −1/2 0 0 0 2 1/3 0 0 0 0 2 −10 0 0 −1 5      la matrice associé à f dans la base B = (e1, e2, e3, e4) 1) Déterminer les valeurs propres de f 2) On pose v1 = 5e3 + e4, v2 = e2, v3 = e1 + 12e2, v4 = −2e3 + e4. a) Montrer que B = (v1, v2, v3, v4) est une base de E b) Donner la matrice de passage de B à B c) Montrer que la matrice de D de f dans B est diagonal d) Donner la relation reliant A et D 3) Calculer S = I4 + D + D2 + · · · + Dn en fonction de n 4) En déduire que S = I4 + A + A2 + · · · + An en fonction de n Exercice 2 On considère l’espace vectoriel IR3 muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3) et u = (−2, 1, 1), g1, g2, g3, ρ ∈ L(IR3 ) tels que g1(x, y, z) = (−2x, x, x), g2(x, y, z) = (−2y, y, y), g3(x, y, z) = (−2z, z, z), ρ(x, y, z) = (2x + 3y + z, 3x + 5y + z, x + y + z),. On considère l’ensemble G = {g ∈ L(IR )/ ρ(g) = 0} 1) Montrer que G est un sous espace vectoriel de L(IR ) 2) Déterminer Ker(ρ) et Im(ρ) 3) Pour α, γ, β dans IR Calculer (αg1 + γg2 + βg3)(ei) = ∀1 ≤ i ≤ 3 4) En déduire que g1, g2, g3 est une famille libre de G 5) Montrer que si g ∈ G alors Img est inclus dans ker(ρ) 6) En déduire que si g ∈ G alors ils existent α1, α2, α3 ∈ IR tels que g(e1) = α1u, g(e2) = α2u, g(e3) = α3u, 7) Montrer que g = α1g1 + α2g2 + α3g3 8) En déduire que g1, g2, g3 est une base de G 2

3. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 2 Exercice 1 Soit A, B ∈ Mn(K) vérifiant AB = A + B 1) Montrer que In − A est inversible 2) En déduire que AB = BA Exercice 2 Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3) Soit f ∈ E dont la matrice dans la base B est A =    0 2 1 −1 2 1 0 1 1    On pose v1 = e1 + e3, v2 = e1 + e2, v3 = e1 + e2 + e3 1) Montrer que B = (v1, v2, v3) est une base de E 2) Déterminer la matrice de passage de B à B 3) Montrer que la matrice T associée à f dans B est de la forme suivante T = I3 + J avec J3 = 0 4) Calculer Tn 5) En déduire An Exercice 3 On note Ω l’ensemble des matrices de la forme M =    a −c −b b a −c c b a    avec a, b, c ∈ IC. Soient les matrices A =    0 0 −1 1 0 0 0 1 0    et I3 =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    1) Calculer A2 et A3 2) Montrer que Ω est un sous espace vectoriel de M3(IC) 3) Déterminer la base de Ω 4) Montrer que Ω est un anneau 5) Déterminer les nombres complexes α tels que la matrice (A−αI3) ne soit pas inversible 3

4. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 3 Exercice 1 On considère la matrice B =    1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 0    1) Calculer le déterminant de la matrice B 2) Calculer l’inverse de la matrice B Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel réel des polynômes à coefficients réel de degré inférieur ou égale `deux muni de sa base B = (1, X, X2 ) E f −→ E P = a + bX + cX2 −→ a − b + (b − a)X + (a + b − 2c)X2 1) Déterminer la matrice de f dans B 2) Calculer Imf et ker(f) 3) Déterminer des bases respectivement de Imf et ker(f) 4) Montrer que E = Imf ⊕ ker(f) Exercice 3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, h ∈ L(E) tel que h2 = 0 et h3 = 0 1) Montrer que h2 (E) = h(E) 2) Soit y ∈ h2 (E)0 tel que y = h2 (t) Montrer que B = (t, h(t), h2 (t)) est une base de E 3) Déterminer la matrice M de h dans la base B 4) Soit F = {f ∈ L(E)/hof = foh} a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de L(E) b) Supposons que f = aid + bh + ch2 avec a, b, c ∈ K i) Montrer que f ∈ F ii) Déterminer la matrice M de f dans la base B 4

5. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 4 Exercice 1 On considère la matrice B =    1 −1 2 −1 0 −1 2 −1 1    1) Calculer le déterminant de la matrice B 2) Calculer l’inverse de la matrice B Exercice 2 Soit {v1, v2, v3} une base de IR3 , On considère l’application lineaire f définie par: IR3 f −→ IR3 x1v1 + x2v2 + x3v3 −→ (x1 − x3)v1 + x2v2 + x2v3 1) Donner la matrice M de f dans la base B = (v1, v2, v3) 2) Calculer Imf et ker(f) 3) Déterminer des bases B1, B2 respectivement de Imf et ker(f) 4) Completer respectivement les bases B1 et B2 5) Calculer M2 , M3 6) En déduire l’expression de Mn 7)Montrer que les deux sous espaces vectoriels V ect(M, M2 , M3 , · · · , Mn ) et V ect(M, M2 − M) de M3(IR) sont égaux Exercice 3 Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de IR3 et u l’endomorphisme de IR3 représenté sur cette base par la matrice B =    0 1 0 −4 4 0 −2 1 2   . On pose v = u − 2idIR3 1) Déterminer Imv et ker(v) 2) Déterminer des bases B1, B2 respectivement de Imv et ker(v) 3) Montrer que v2 = 0 et en déduire que (v(e1), e3) est une base de ker(v) 4) Montrer que B1 = (e1, v(e1), e3) est une base de IR3 5) Supposons que A1, C1 deux matrices associé respectivement de u et v sur la base B1 i) Déterminer A1 et C1 ii) Calculer Cn 1 et An 1 iv) Déterminer matrice de passage P de B vers B1 v) Calculer An 5

6. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 5 Exercice 1 Soit E = {P ∈ IR[X]/deg(P) ≤ 2} 1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de (IR[X], +, .) sur IR 2) Donner une base de E 3) Soit f une application définie sur E par f(P) = P − (X + 1)P i) Montrer que f est un endomorphisme de E ii) Calculer f(1), f(X), f(X2 ) iii) Déterminer la matrice de f dans la base (1, X, X2 ) iv) f est elle injective ? Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 4 et B = (e1, e2, e3, e4) une base de E. On Considère l’endomorphisme u de E défini par: u(e1) = −2e2 + 2e3 − 5e4, u(e2) = −3e1 + 2e3 − 6e4, u(e3) = −e1 + 3e3 − e4, u(e4) = e1 + 2e2 − e3 + 6e4 1) Déterminer la matrice de u dans la base B 2) Soient b1 = e1 − e2, b2 = e1 + e4, b3 = e3, f = 2id − u et F = vect(b1, b2, b3) a) Montrer que f(F) ⊂ F b) Montrer que (b1, b2, b3) est une base F c) On pose v la restriction de f sur F i) Donner la matrice A1 de v dans la base v ii) Montrer que v3 = 0 iii) On pose c1 = 2e1 − e2 − e3 + e4 Montre que (c1, v(c1), v2 (c1)) est une base de F 6

7. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 6 Exercice 1 On considère la matrice B =      1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −3 1 −3 −7      1) Calculer le rang de B Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel réel des polynômes à coefficients réel de degré inférieur ou égale `cinq muni de sa base B = (1, X, X2 , X3 , X4 , X5 ) 1) Soit F l’ensemble des polynômes de E divisible par X3 a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de E b) Déterminer une base de F 2) On définit l’application f du E vers E E f −→ E P −→ X[P (X) + P (0)] − 2[P(X) − P(0)] a) Montrer que f est linéaire b) Déterminer la matrice de f dans B c) Calculer Imf et ker(f) d) Montrer E = Imf ⊕ ker(f) Exercice 3 On munit de IR3 de sa base canonique B = (e1, e2, e3), et IR3 f −→ IR3 (x, y, z) −→ (4x + y + z, x + 4y + z, x + y + 4z) 1) Montrer que f est linéaire 2) Déterminer une base B1 de ker(f − 3id) 3) Déterminer une base B2 de ker(f − 6id) 4) Montrer B3 = B1 B2 est une base de IR3 5) Déterminer la matrice de f dans la base B3 7

8. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 7 Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel et B = (e1, e2, e3, e4) une base de E, f ∈ L(E) tel que f(e1) = −e3 − e4, f(e2) = e1 + e2 + e3 + e4, f(e3) = e2 − e4, f(e4) = e3 + e4, 1) Montrer que f est linéaire 2) Déterminer une base B1 de ker(f) 3) Déterminer une base B2 de Imf 4) Est ce que ker(f) et Imf sont supplémentaires Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E, pour tout λ ∈ K on pose Eλ = {x ∈ E/u(x) = λx} 1) Montrer que Eλ = ker(u − λid) 2) Montrer que Eλ est un sous espace vectoriel de E 3) Soit α1, α2, · · · , αp des valeurs propres deux à deux distincts de u associés aux vecteurs propres x1, x2, · · · , xp (u(xi) = αixi ∀ 1 ≤ i ≤ p ) Montrer que (x1, x2, · · · , xp) est une famille libre 4) Soient α1, α2, · · · , αp des valeurs propres deux à deux distincts de u On suppose qu’il existe une base B = (e1, e2, · · · , en) formé de vecteurs propres de u i) Montrer que (u − α1id)o(u − α2id)o(u − α3id)o · · · o(u − αpid) = 0 ii) Montrer que ker(u − α1id) ⊕ ker(u − α2id) ⊕ ker(u − α3id) ⊕ · · · ⊕ ker(u − αpid) = 0 5) Supposons que α1, α2, · · · , αn des valeurs propres deux à deux distincts de u associés aux vecteurs propres x1, x2, · · · , xn et b = x1 + x2 + · · · + xn i) Montrer que (b, u(b), u2 (b), u3 (b), · · · , un (b)) est une base de E ii) Déterminer la matrice de u dans la base B en fonction de a0, a1, a2, · · · , an−1 ((X − α1)(X − α2)(X − α3) = Xn + an−1Xn−1 · · · + a1X1 + a0) 8

9. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 8 Exercice 1 D(X) = f(e1) f(e2) f(e3) · · · f(en) r1 − X a − X a − X · · · a − X b − X r2 − X a − X · · · a − X b − X b − X r3 − X · · · a − X ... ... ... ... ... b − X b − X b − X · · · rn − X | avec a, b, r1, r2, · · · , rn ∈ IR et f(X) = (r1 − X)(r2 − X)(r3 − X) · · · (rn − X) 1) Calculer D(a), D(b) en fonction de a, b, r1, r2, · · · , rn 2)Montrer qu’il existent A, B ∈ IR tel que D(X) = A + BX 3) Montrer que D(0) = af(a)−bf(b) a−b Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel avec E = M2(IR) où M2(IR) enemble des matrices carrés d’ordre 2 et A = 1 1 1 1 , et E f −→ E M −→ AM − MA On pose M1 = 1 0 0 0 , M2 = 0 1 0 0 , M3 = 0 0 1 0 , M4 = 0 0 0 1 , 1) Montrer que B = (M1, M2, M3, M4) est une base de E 2) Montrer que f est un endomorphisme de E 3) Déterminer la matrice de f dans la base de B 4) Déterminer respectivement les bases de ker(f) et Imf 5) Montrer que Imf2 = Imf 6) En déduire que ker(f) = ker(f2 ) 9

10. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 9 Exercice 1 Soit fm : IR3 −→ IR3 l’endomorphisme de IR3 défini par fm(e1) = me1 +e2 +e3, fm(e2) = e1 +me2 +e3, fm(e3) = e1 +e2 +me3 avec B = (e1, e2, e3) une base de IR3 1) Déterminer la matrice de f dans la base de B 2) Montrer que fm est automorphisme de IR3 si et seulement si m = 1 et m = −2 3) Montrer que (M(f1, B))n = 3n−1 M(f1, B) 4) Montrer que (M(f−2, B))n = 3n−1 M(f−2, B) Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et u un endomorphisme de E non nul 1) On suppose que u2 = 0 i) Montrer que Imu ⊂ ker(U) et en déduire que dim(Imu) = 1 ii) Montrer qu’il existe x0 ∈ E et y0 ∈ ker(u) tels que (u(x0), y0) est libre (indication Imu sous espace vectoriel de ker(u)) iii) Montrer que B = (u(x0), y0, x0) est une base de E iv) Déterminer la matrice de u dans la base B 2) On suppose que u3 = 0 et u2 = 0 i) Soit X0 ∈ Imu2 0 avec X0 = u(z0) Montrer qu’il existe B = (u2 (z0), u(z0), z0) est une base de E ii) Déterminer la matrice de u dans la base B iii) Déterminer ker(u) et ker(u2 ) 10

11. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 10 Exercice 1 On considère la matrice M =    p q r r p q q r p    avecp + q + r = 1 1) Calculer M2 2) Calculer Mn =    pn qn rn rn pn qn qn rn pn    avec pn + qn + rn = 1 pour tout n ∈ IN∗ 3) Soient α1, α2, α3 les racines de X3 − 1 = 0. On pose    u = x +α0y +α2 0z v = x +α1y +α2 1z w = x +α2y +α2 2z    i) Montrer que α1 + α2 + α3 = 0 et α2 1 + α2 2 + α2 3 = 0 ii)    3x = u +v +w 3y = α2 0u +α2 1v +α2 2w 3z = α0u +α1v +α2w    iii) Déterminer l’inverse de    1 α0 α2 0 1 α1 α2 1 1 α2 α2 2    iv) En déduire l’inverse de Déterminer l’inverse de A =    1 1 1 α0 α1 α2 α2 0 α2 1 α2 2    3) On suppose que L =    β0 0 0 α0 β1 0 0 0 β2    avec βi = p + αiq + α2 i r i) Montrer que MA = AL ii) Montrer que M = ALA−1 et en déduire que Mn = ALn A−1 ii) Montrer que M−n = AL−n A−1 Exercice 2 Soient A, B, C, D ∈ M3(IR) tels que A =    a b c d e f g h i    B =    b c a e f d h i g    C =    αa αb αc βd βe βf −αg −αh −αi    D =    αa + d αb + e αc + f d e f g h i    Montrer que det(B) = det(A), det(C) = −(α2 β)det(A), det(D) = αdetA 11

12. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 11 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3) Soit f un endomorphisme de E et A sa matrice de f dans la base B A =    3 1 −1 −4 −1 2 4 2 −1    1) Calculer A2 et en déduire A−1 2) Soient F = {x ∈ E/f(x) = x} et G = {x ∈ E/f(x) = −x} a) Montrer que F et G sont deux sous espace vectoriels de E b) Déterminer des bases de respectivement F et G c) Montrer que E = F ⊕ G 2) On suppose que f1 = e1 + 2e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 − 2e2 + 2e3 et B1 = (f1, f2, f3) a) Déterminer la matrice de passage de B à B1 b) Ecrire la matrice de f dans la base de B1 Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E) tel que f2 = fof = 0 1) Montrer que Imf ⊂ ker(f) et en déduire que rang(f) ≤ n/2 2) On suppose que n = 4 et la matrice de f dans la base B = (e1, e2, e3, e4) c’est A =       c 0 b a 0 c −a b b −a −c 0 a b 0 −c       a) Calculer A2 et le déterminant de A2 b) Déterminer l’expression du déterminat A c) En déduire que A est inversible si et seulement si c2 + aa + bb = 0 c) Etudier le rang de A dans les cas suivants 1er cas c2 + aa + bb = 0, 2eme cas c2 + aa + bb = 0 et c = 0; 3eme cas c2 + aa + bb = 0 c = 0 et a = 0 2) On suppose que f1 = e1 + 2e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 − 2e2 + 2e3 et B1 = (f1, f2, f3) 3)a) Résoudre le système suivant   cx +0 +bz +at = 0 0 +cy −a z b = 0 b x −ay −cz +0t = 0 a x +by +0z −ct = 0    avec x, y, z, t sont des inconnues et a, a , b, b , c sont des nombres réels et aa + bb = 0 b) Ecrire la matrice de f dans la base de B1 12

13. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 12 Exercice 1 On considère IR[X] un IR-espace vectoriel (IR[X] ensemble des polynômes réels) E = {pIR[X]/deg(p) ≤ 2 ∈} 1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de IR[X] et donner sa base 2) Soit f une application définie sur E par f(P) = (X − 3)(X − 1)P − (2X − 5)P a) Vérifier que si P ∈ E alors f(P) ∈ E b) Montrer que f est linéaire c) Montrer que f est un automorphisme d) Déterminer la matrice de f dans la base B = (1, X, X2 ) e) Supposons que P0 = 1 − 2X + X2 , P1 = 1 − 4 3 2X + 1 3 X2 , P2 = 1 − 2 3 X + 1 9 X2 i) Montrer que B1 = (P0, P1, P2) est une base de E ii) Déterminer la matrice de passage de B à B de f dans la base B1 iii) Déterminer la matrice M de f dans la base B1 Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3, et sa base B = (e1, e2, e3) u ∈ L(E) défini par u(e1) = 2e1 − 4e2 + 4e3; u(e2) = −4e1 + 3e2 − 5e3; u(e3) = −4e1 + 5e2 − 7e3. et les polynômes P = (−2 + X) ∈ IR[X], Q = (2 + X) ∈ IR[X]. On pose v = P(u), w = Q(u) a) Donner la matrice de v et celle de w2 dans la base B b) Déterminer ker(v) et ker(w2 ) c) Montrer que E = ker(v) ⊕ ker(w2 ) d) En déduire que PQ2 (u) = 0 13

14. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 13 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel, B = (e1, e2, e3) base de E. Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A =    1 1 1 1 1 1 1 1 1    1) Déterminer une base de ker(f) 2) Déterminer une base de Imf 3) Soit c1 = e1 + e2 + e3, c2 = e1 − e3, c3 = e2 − e3, Montrer que B1 = (c1, c2, c3) est une base de E 4) Ecrire la matrice de passage P de B à B1 5)Calculer P−1 puis P−1 AP 6) Exprimer f(c1), f(c2), f(c3) en fonction de c1, c2, c3 Exercice 2 Soit E un IR-espace vectoriel, B = (e1, e2, e3) base de E, Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est M =    1 5 −3 0 −2 1 0 −3 2    1) Déterminer une base de ker(u) 2) Déterminer une base de Imu 3) Déterminer les valeurs de α tels que uαid est un automorphismes 4) Montrer que E = ker((u − id)2 ) ⊕ ker(u + id) 14

15. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 14 Exercice 1 Soient B = (e1, e2) une base de IR2 , f ∈ IR∈ tel que f(e1) = 2e1 − 6e2, f(e2) = e1 + 7e2 1) Déterminer la matrice M de f dans la base B 2) Supposons que Y = f(X) avec X = x1e1 + x2e2, et Y = y1e1 + y2e2 Experimer y1 et y2 en fonction de x1 et x2 3) Montrer que f est bijective, et calculer M−1 4) Déterminer une B1 dans laquelle la matrice M1 de f dans B1 est diagonal 5) Calculer Mn 1 puis Mn Exercice 2 Résoudre en fonction du paramtre m    x +y +(1 − m)z = m + 2 (1 + m)x −y +2z = 0 2x −my +3z = m + 2    Exercice 3 Soit Pn une matrice carrée d’ordre n tel que Pn =          x 1 1 · · · 1 1 x 1 · · · ... ... ... ... ... 1 1 · · · 1 x 1 1 · · · 1 x          1) Ecrire det(Pn+2) en fonction de det(Pn+1), det(Pn), x et n 2) Montrer que det(Pn+1) = (x − 1)n (x + n) 3) En déduire det(A) Pn =          b a a · · · a a b b · · · ... ... ... ... ... a a · · · 1 b a a · · · a b          15

16. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 15 Exercice 1 Soient B = (e1, e2) une base de IR2 , f ∈ L(IR2 ) tel que f(e1) = 2e1 − 6e2, f(e2) = e1 + 7e2 1) Déterminer la matrice M de f dans la base B 2) SUpposons que Y = f(X) avec X = x1e1 + x2e2, et Y = y1e1 + y2e2 Exprimer y1 et y2 en fonction de x1 et x2 3) Montrer que f est bijective, et calculer M−1 4) Déterminer une B1 dans laquelle la matrice M1 de f dans B1 est diagonal 5) Calculer Mn 1 puis Mn Exercice 2 Soit S le systeme suivant S =    (2 − m)x −2y +z = 0 2x −(3 + m)y +2z = 0 −x +2y −mz = 0    avec m est un paramètre réel et B = (e1, e2, e3) une base canonique de IR3 1) Pour m = 1. Montrer que E1 l’ensemble des solution de systeme S est un sous espace vectoriel de base (e1, e , ) avec e1 = e1 − e3, e2 = e2 + 2e3 2) pour m = −3 montrer que E2 l’ensemble des solution de systeme S est un sous espace vectoriel de base (e3) avec e1 = e1 + 2e2 − e3 3) Montrer que IR3 = E1 E2 4) Soit u l’endomorphisme de IR3 dont la matrice par rapport B est M =    2 −2 1 2 −3 2 −1 2 0    Déterminer la matrice M1 de u dans la base B1 = (e1, e2, e3) 5) Calculer Mn 1 16

17. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 16 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 3, B = (e1, e2, e3) une base de E et u l’endomorphisme de E défini par u(e1) = −2e1 − 2 3 e2 + 8 3 e3, u(e2) = e1 + 4 3 e2 − 7 3 e3, u(e3) = e1 − 2 3 e2 − 1 3 e3. 1) Déterminer la matrice M de u dans la base B 2) Montrer que ker(u) est le sous espace vectoriel de E engendré par le vecteur e1 = e1 + e2 + e3 3) Montrer que l’ensemble {x ∈ E/u(x) = 2x} est le sous espace vectoriel de E engendré par le vecteur e2 = e2 − e3 4) Montrer que l’ensemble {x ∈ E/u(x) = −3x} est le sous espace vectoriel de E en- gendré par le vecteur e3 = e1 − e3 5) Montrer que B1 = (e1, e2, e3) est une base de E 6) Montrer que (e2, e3) est une base de Imu 7) Montrer que Imu et ker(u) sont supplémentaires dans E 8) Déterminer de deux facons différentes la matrice de u dans la base B1 Exercice 2 On considère M2(Q) l’esemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dans Q, Ln c’est l’ensemble des matrices de la forme a nb b a avec a, b ∈ Q 1) Montrer que Ln est un sous espace vectoriel de M2(Q) 2) Montrer que Ln est sous anneau de M2(Q) 3) Soit A ∈ Ln. Montrer que si A est inversible sur M2(Q) alors A est inversible dans Ln 4) Montrer que Ln est un corps si et seulement si X2 − n n’a pas de solution dans Q 17

18. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 17 Exercice 1 D(X) = 3 − X 1 1 1 3 − X 1 1 1 3 − X 1) Calculer D(X) 2) Soit f ∈ L(IR3 ) et A sa matrice dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de IR3 tel que A =    3 1 1 1 3 1 1 1 3    Montrer que 2 et 5 sont les seuls valeurs propres de A 3) Déterminer les vecteurs propres associés aux 2 4) Déterminer les vecteurs propres associés aux 5 5) Déterminer la matrice A1 de f dans la base B = (e1, e2, e3) tel que e1 = e1 + e2 + e3, e2 = e1 − e3, e1 = e2 − e3, Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel des polynomes réels de degré inférieur à 2, Soit f une application du E vers E tel que pour tout P ∈ E P = a0 + a1X + a2X2 , f(P) = q(P) + r(P) où r(P) c’est le rest de la division euclidien de P par X2 q(P) c’est le quotient de la division euclidien de P par X 1) Calculer f(P) en fonction des a0, a1, a2 2) Montrer que f est un endomorphisme de E 3) Déterminer la matrice M de f dans la base B = (1, X, X2 ) 4) Calculer M2 , M3 et en déduire Mn 5) Déterminer ker(f) 18

19. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 18 Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique de IR3 est A =    −4 2 0 −2 1 0 0 0 2    1) Calculer le déterminant de la matrice A 2) Déterminer une base de ker(f) 3) Déterminer une base de Imf 4) Déterminer les valeurs propres de f 5) Déterminer la matrice A1 def dans la base B1 = (e1, e2, e3) avec e1 = (1, 2, 0), e1 = (2, 1, 0), e1 = (0, 0, 1) 6) Calculer An 1 7) En déduire An Exercice 2 Résoudre dans IR le système linéaire suivant    (2 − m)x −2y +z = 0 2x −(3 + m)y +2z = 0 −x +y −mz = 0    où m est un paramétre réel Exercice 3 Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique de IR3 est A =    2 −2 1 2 −3 2 −1 2 0    1) Déterminer les valeurs propres α1, α2 de f 2) Déterminer une base B1 de IR3 pour laquelle la matrice M1 de f est diagona 3) Calculer Mn 1 puis Mn 19

20. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 19 Exercice 1 Soit A ∈ M4(IR) telle que A =      1 x1 x2 1 x3 1 1 x2 x2 2 x3 2 1 x3 x2 3 x3 3 1 x4 x2 4 x3 4      1) montrer que det(A) = (x1 − x2)(x1 − x3)(x1 − x3)(x2 − x3)(x2 − x4)(x3 − x4) 2) Soit f ∈ L(E) et B =      1 α α2 α3 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 0 0 0      la matrice de f dans la base canonique de IR4 a) Calculer det(B) b) Déterminer α pour lesquelles la matrice B est inversible c) Calculer B−1 d) Si α = 0. i) Déterminer un vecteur propre v1 associé à 1 ii) Déterminer un vecteur propre v2 associé à 0 iii) Déterminer des vecteurs propres v3, v4 tels que (v1, v2, v3, v4) est une base de IR4 iv) la matrice de f dans la base (v1, v2, v3, v4) Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 5 et soit B = (e1, e2, e3, e4, e5) une base de E, f ∈ L(E) tel que f(e1) = e1 + e3 − e4 + e5, f(e1) = −e1 + e2 + e4, f(e3) = e2 − e3e5, f(e4) = e1 − e4 + e5, f(e5) = e3, 1) Montrer que (f(e1), f(e2), f(e3)) est libre 2) Montrer que V ect(f(e4), f(e5)) est inclus dans V ect(f(e1), f(e2), f(e3)) 3) Déterminer la base de Imf 4) Déterminer MB(f) 5) Déterminer ker(f) 6) Montrer que E = ker(f) Imf 7) En déduire que Imf = Imf2 et ker(f2 ) = ker(f) 20

21. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 20 Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et soit B = (e1, e2, e3) une base de E, f ∈ L(E) tel que f(e1) = −e1 − sin(θ)e3, f(e1) = e1 + cos(θ)e3, f(e3) = −sin(θ)e1 − cos(θ)e2 1) Déterminer f(x, y, z) en fonction de x, y et z 2) Déterminer ker(f) 3) Montrer que Imf = V ect((1, 0cos(θ)); (0, 1, sin(θ), )) 4) Montrer que Imf2 est inclus dans ker(f) 5) En déduire que f3 = 0 6) Déterminer une base B1 de E tel que MB1 (f) =    0 1 0 0 0 1 0 0 0    Exercice 2 Soit E un K espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (e1, e2, e3) Soit f ∈ E dont la matrice dans la base B est A =    0 2 1 −1 2 1 0 1 1    1) Déterminer ker(f) 2) Déterminer a, b tel que f est bijective 3) Déterminer a, b tel que rg(f) = 2 4) Déterminer a, b tel que rg(f) = 1 Exercice 3 On note Ω l’ensemble des matrices de la forme M =    a −c −b b a −c c b a    avec a, b, c ∈ IC. Soient les matrices A =    0 0 −1 1 0 0 0 1 0    et I3 =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    1) Calculer A2 et A3 2) Montrer que Ω est un sous espace vectoriel de M3(IC) 3) Déterminer la base de Ω 4) Montrer que Ω est un anneau 5) Déterminer les nombres complexes α tels que la matrice (A−αI3) ne soit pas inversible 21

22. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 21 Exercice 1 Soient p ∈ IN et a ∈ IR{0, 1}, On note Sp l’ensemble des suites (un) vérifiant ∃Q ∈ IRp [X] tel que un+1 = aun + Q(n) 1) Montrer que si u ∈ Sp. Q est unique, on le notera Qu 2) Montrer que Sp est un IR espace vectoriel 3) Supposons que ϕSp −→ IRp[X] tel que ϕ(u) = Qu a)Montrer que ϕ est une application linéaire b)D´terminer ker(ϕ) c)Montrer que ϕ est surjective d)Si 0 ≤ k ≤ p et (vk(n))n∈IN u(n)n∈INavec vk,n = nk un = an i) Montrer que ϕ(u) = 0 et ϕ(vk) = Xk+1 − aXk ii) Montrer que la suite (Xk+1 − aXk )k∈IN) est une base de IRp[X] iii) Si r0 = 1 rn+1 = 2rn + 4Rk(n) avec Rk(n) = nn+1 − 2nk . Calculer rnen fonction de n iv) Si t0 = 2 tn+1 = 2rn + 4n + 2. Calculer tnen fonction de n Exercice 2 Soit f un endomorphisme non nul d’un IR-espace vectoriel E de dimension 3 vrifiant f3 + f = 0. 1) Soit x ∈ E. Démontrer que si x = y + z avec y ∈ kerf et z ∈ ker(f2 + Id) alors y = x + f2 (x) et z = f2 (x). 2) Montrer que E = kerf ker(f2 + Id) 3) Prouver dimker(f2 + Id) ≥ 1. 4) Si x ∈ ker(f2 + Id){0}. Montrer que (x, f(x)) est une famille libre . 5) Calculer det(−IdE) 6) En dduire dim ker(f2 + Id) = 2. 7) Déterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est    0 0 0 0 0 −1 0 1 0    22

23. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 22 Exercice 1 Soit    2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2    On note B = (e1; e2; e3) la base canonique de IR3 . Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans B est A. (a) Déterminer kerf et Imf. (b) Montrer que IR3 = ker(f) Imf (c) Si B∗ = B1 B2 avec B1, B2 sont des bases respectivement de ker(f) et Imf Déterminer la matrice de f associée à la base B∗ Exercice 2 Soit f ∈ L(M3(IR), IR) tel que tel que f(AB) = f(BA) 1) Si Ai0,j0 =    a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3    ai,j = 0 si (i, j) = (i0; j0) et ai0,j0 = 1 1) Supposons que i0 = jO Montrer que Ai0,j0 Aj0,j0 = Ai0,j0 et Aj0,j0 Ai0,j0 = 0 2) Montrer que f(P−1 AP) = f(A) 3) Montrer que f(A1,1) = f(Ai,i) pour tout 1 ≤ i ≤ 3 4) En déduire qu’il existe α ∈ IR tel que f(A) = αtr(A) 5) Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel M3(IR) vérifiant g(AB) = g(BA) pour toutes A; B ∈ M3(IR) et g(In) = In. Montrer que tr(g(A)) = tr(A) pour tout A ∈ M3(IR) 23

24. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir23 Exercice 1 Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n. On sait que L(E, IR) est un IR-espace vectoriel 1) Supposons que B = (e1, e2, · · · , en) est une base de E, on désign par e∗ i l’élément de L(E, IR) E e∗ i → IR x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen −→ xi i) Calculer e∗ i (ej) ii) Si f ∈ L(E, IR) tel que f(ei) = n i=1 aie∗ i iii) En déduire que B∗ = (e∗ 1, e∗ 2, · · · , e∗ n) est une base de L(E, IR) 2)Soit H un sous espace vectoriel de E tel que BH = (e1, · · · , ep) et B = (e1, · · · , en) sont des bases respectivement de H et E. On pose H = {l ∈ L(E, IR)/f(x) = 0∀x ∈ H} i) Montrer que H est sous espace de L(E, IR) ii) Montrer que (e∗ p+1, e∗ p+2, · · · , e∗ n) est une base de H iii) En déduire que dim(E) = dim(H ) + dim(H) Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de IR4 défini par sa matrice A =      0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 −1 1      dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de IR4 1) Calculer det(A − XI4) 2) Déterminer ker(f2 ) et ker(f − idIR4 ) 3) Supposons que N1 = ker(f2 ) et N2 = ker(f − idIR4 ) a) Montrer que N1 et N2 sont stable par f b) Montrer que N1 N2 = IR4 4) Déterminer une base B tel que MB(f) =      1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0      5) Calculer (MB(f))n 24

25. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir24 Exercice 1 Soit u l’endomorphisme de IR3 défini par sa matrice A =    α 0 β −β α −β2 /2 0 0 α    dans la base canonique (e1, e2, e3) de IR3 1) Déterminer les valeurs propres de u 2) Supposons que β = 0 i) Déterminer les vecteurs propres de u ii) Calculer les vecteurs propres de u iii) Déterminer dim(ker(u − αidIR3 )), dim(ker(u − αidIR3 )2 ), dim(ker(u − αidIR3 )3 ). iii) En déduire que (u − αidIR3 )3 = 0 et (u − αidIR3 )2 = 0 iv) Déterminer une base B1 de IR3 tel que MB1 (u − αidIR3 ) =    0 1 0 0 0 1 0 0 0    MB1 (u) =    α 1 0 0 α 1 0 0 α    Exercice 2 Soit u l’endomorphisme de IR4 défini par sa matrice A =    7/4 −1/4 −3/4 3/4 −1/4 7/4 −3/4 3/4 −3/4 −3/4 7/4 1/4    dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de IR3 1) Déterminer les valeurs propres de u 2) Déterminer les vecteurs propres de u i) Déterminer une matrice P tel que B = P−1 AP soit diagonale ii) Calculer Exp(B) = ∞ k=0 Bk k! iii) En déduire Exp(B) 25

26. Université Hassane II Faculté des Scineces Ain Chock Filière SMIA Devoir 25 Exercice 1 Soit M(a, b, c) une matrice de M3(IC) un IC-espace vectoriel tel que M(a, b, c) =    a c b b a c c b a    Supposons que C le IC-espace vectoriel avec C = {M(a, b, c)/a, b, c ∈ IC} U =    0 0 1 1 0 0 0 1 0    1) Montrer que (I3, U, U2 ) est une base de C 2) Montrer que det(M(a, b, c)) = (a + b + c)(a + jb + j2 c)(a + j2 b + jc) est une base de C (1, j, j2 ) sont des racines de X3 − 1 3) Montrer que det(M(a, b, c)) = (a + b + c − X)(a + jb + j2 c − X)(a + j2 b + jc − X) 4) Déterminer les valeurs propres de M(a, b, c) 5) En déduire les valeurs propres de U 6) Montrer que UM(a, b, c) = M(a, b, c)U 7) Montrer que tout vecteur propre de U est un vecteur propre de M(a, b, c) 8) Montrer qu’il existe une matrice inversible de M3(IC) telle que P−1 MP soit diagonal pour tout M ∈ C Exercice 2 On considère les matrices suivantes: A =      −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1      B =      −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 −1      et C = A − B 1) Montrer que A2 = I et B2 = −2B 2) Calculer det(A − XI4), et det(B − XI4) 3) Vérifier que BC = CB = 0. En déduire que B2 + C2 = 4I4 et C3 = 4C 4) Calculer le rang de la matrice C. 5) en déduire qu’il existe deux vecteurs libre associés au valeur propre 0 6) Ecrire Cn en fonction de C2 ,C et n 7) Calculer Bn et An 8) Déterminer une matrice P inversible de M4(IR) telle que P−1 AP, P−1 BP, P−1 CP soient diagonales 26

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