2. CAPITULO I
MODELOS MULTIECUACIONALES
1. EVALUACIÓN DE MODELOS MULTIECUACIONALES
1.1. EXOGENEIDAD
En términos generales:
1º Variable Endógena es aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar.
2º Variable exógena es aquella cuyos valores se toman como datos para analizar
el comportamiento de las endógenas.
Para seleccionar variables exógenas se considera el criterio siguiente:
DEPARTAMENTAL Se consideran como exógenas aquellas que están
total o parcialmente al margen del sistema (Clima,
población, política, tecnología)
CAUSAL Se consideran exógenas aquellas que no están
influidas por las endógenas.
Según Koopmans (1950) la definición estadística de exogeneidad debe ser
más estricta que la definición teórica.
DEFINICIÓN I: En un sistema con variables retardadas se considera como
estadísticamente exógenas además de las anteriores las que
cumplan las siguientes condiciones:
1º Que sólo intervengan en las ecuaciones estructurales con algún nivel de
retardo.
2º Que aún interviniendo sin ningún nivel de retardo, estás sólo dependan de
variables estrictamente exógenas o de variables retardadas.
DEFINICIÓN ESTADÍSTICA: Partimos de la definición de un sistema completo
como:
X 1t 11 * X 1t 21 * X 2 t ... rt * X rt u1t
X it 1i * X 1t 2i * X 2 t ... ri * X rt uit
X rt 1r * X 1t 2 r * X 2 t ... rr * X rt urt
3. 2
y presentando una función de distribución conjunta de las perturbaciones aleatorias
independiente para cada periodo t, así:
f t (u1 , , ui ur )
En un sistema sin variables retardadas se considera como estadísticamente
exógenas aquellas variables cuya función de distribución es independiente de las
variables exógenas. Es decir:
1º El conjunto de variables endógenas no intervienen en las ecuaciones de las
endógenas.
2º Las funciones de distribución de las perturbaciones aleatorias son
independientes.
3º El Jacobiano del conjunto de perturbaciones aleatorias con respecto al total de
variables presenta valores nulos en las perturbaciones correspondientes a las
variables exógenas con respecto a las variables endógenas.
Por lo general, se distinguen dos conceptos de exogeneidad:
1º Predeterminación Una variable es predeterminada en una ecuación
específica si es independiente de los errores
contemporáneo y futuro en tal ecuación. Es decir:
E X t ut m 0 ; E X t ut 0 ; E X t ut n 0.
2º Exogeneidad Estricta Una variable es estrictamente exógena si es
independiente de los contemporáneo, futuro y
pasado en la ecuación relevante. Es decir:
E X t u t m 0 ; E X t ut 0 ; E X t ut n 0.
Para explicar estos conceptos es preciso considerar un modelo con variables
rezagadas; así:
Yt 1 Xt Y
11 t 1 12 Xt 1 u1t
Xt Y
2 t Y
21 t 1 22 Xt 1 u 2t
u1t y u2 t son mutua y serialmente independientes.
En la primera ecuación, si 2 0 entonces X t está predeterminada para Yt .
Considerando la segunda ecuación, si 2 0 y 21 0 entonces X t es
estrictamente exógena para Yt . Si 21 0 entonces X t depende de u1,t1 por medio
4. 3
de Yt 1 .
En los modelos no dinámicos y sin correlación serial en los errores, no es
necesario hacer esta distinción.
Engle, Hendry y Richard sugieren tres conceptos adicionales:
1º Exogeneidad débil.- una variable X t es débilmente exógena para estimar un
conjunto de parámetros si la inferencia sobre condicional
en X t no supone una pérdida de información. Es una
condición requerida para la estimación eficiente.
Ejemplo: Yt y X t tienen una distribución normal bivariada, existen cinco
parámetros: u1 , u 2 , 11 , 22 , 12 . Es posible transformarlos
mediante una transformación unívoca en , , 2 y u 2 , 22 .
Ambos conjuntos son separados, por lo tanto, para estimar
, , 2 no es necesario información de u 2 , 22 .
2º Superexogeneidad.- Si X t es débilmente exógena y los parámetros en la
distribución conjunta de Yt y X t permanecen sin cambios
ante las variaciones en la distribución marginal de X t . Es
una condición requerida para propósitos de política.
Ejemplo: Si modificamos u 22 y 22 (parámetros en la distribución
marginal de X t se producen cambios en , , 2 , entonces no
es superexógena.
3º Exogeneidad fuerte.- Si X t es débilmente exógena y no está precedida
por ninguna de las variables endógenas del
sistema.
Ejemplo: Se tiene el modelo:
Yt Xt u1t
Xt 1 Xt 1 Y
2 t 1 u 2t
u1t , u 2t se distribuye normal bivariada y son serialmente independientes,
Vat u1t 11 , Vat u 2 t 22 y Covat u1t u 2t 12 .
Si 12 0 entonces X t es débilmente exógena debido a que la
distribución marginal de X t no involucra a ni a 11 .
Pero la segunda ecuación demuestra que Yt precede a X t , es decir, X t
5. 4
depende de Yt 1 ; por lo tanto, X t no es fuertemente exógena.
La definición de Engle, Hendry y Richard es en términos de un
concepto llamado causalidad de Granger. Así:
"Si X t es débilmente exógena y no es causada en el sentido de Granger por
ninguna de las variables endógenas del sistema, entonces se define como
fuertemente exógena".
1.2. PRUEBA DE EXOGENEIDAD
El enfoque de la Fundación Cowles para ecuaciones simultáneas sostiene el
punto de vista de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad.
Tenemos un modelo de ecuaciones simultáneas con tres variables endógenas
Y1 , Y2 , Y3 y tres variables exógenas Z 1 , Z 2 , Z 3 .
Supongamos que la primera ecuación del modelo es:
Y1t Y
2 2t Y
3 3t 1 Z 1t u1t
se quiere probar si es posible tratar a Y2 y Y3 como exógenas para la estimación de
esta ecuación.
Para probar esta hipótesis seguimos el siguiente procedimiento:
1º Obtenemos los valores predichos de Y2 y Y3 , a partir de las ecuaciones en la
forma reducida para estas últimas.
2º Luego se estima el modelo:
Y1t 2 Y2 t Y
3 3t 1 Z 1t 2
ˆ
Y2 t Yˆ
3 3t u1t
empleando mínimos cuadrados ordinarios.
3º Se realiza la prueba de Wald para probar la hipótesis:
H0 : 2 3 0
H1 : 2 3 0
si se acepta la hipótesis nula entonces Y2 y Y3 si pueden tratarse como
exógenas en la estimación de la ecuación; y si se rechaza la hipótesis nula
entonces Y2 y Y3 no pueden tratarse como exógenas en la estimación de la
ecuación.
Se tiene el modelo siguiente:
6. 5
DDt 1 2 tI 3 ENCt 4 DDt 1 u1t
It 1 2 DDt 3 INFt u 2t
INFt 1 2 DDt 3 CIN t u 3t
Verificaremos que las variables DD e INF se pueden tratar cono exógenas en
la segunda ecuación, se tiene el procedimiento siguiente:
1º Estimamos la forma reducida de DD e INF y obtenemos los valores predichos
estáticos de DD e INF, nos da:
Dependent Variable: DD
Method: Least Squares
Sample: 1992:02 1997:12
Included observations: 71
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 37.82578 11.54381 3.276716 0.0017
DD(-1) 0.686693 0.087386 7.858146 0.0000
ENC -0.400755 0.206661 -1.939190 0.0567
CIN 0.038788 0.010386 3.734700 0.0004
============================================================
R-squared 0.848166 Mean dependent var 207.9296
============================================================
DDF
================================================================================
Modified: 1992:02 1997:12 // frdd.fit ddf
1992:01 NA 144.7520 146.4577 147.9097 153.1752 151.2739
1992:07 155.2140 164.7869 156.9519 154.5775 156.8674 157.9472
1993:01 171.6747 164.1451 170.1863 164.5127 158.1686 153.1212
1993:07 164.9365 178.5399 164.1107 167.7566 173.7750 173.9148
1994:01 194.8023 180.7786 182.7720 188.9755 178.1305 179.3825
1994:07 185.6961 219.4566 196.9213 200.7219 201.4028 200.8673
1995:01 239.0520 215.7034 224.6584 236.4655 225.9911 219.8976
1995:07 225.4408 247.7038 230.3212 234.5356 234.8269 230.6908
1996:01 258.3213 233.7957 230.7273 237.7114 241.8207 242.2752
1996:07 236.4521 250.4778 238.3640 235.9629 235.6657 237.1514
1997:01 260.8767 241.0755 244.8116 257.7485 259.6422 261.2410
1997:07 253.4000 279.0850 267.5338 260.7541 266.3076 261.8484
================================================================================
Dependent Variable: INF
Method: Least Squares
Sample: 1992:02 1997:12
Included observations: 71
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 5.239088 0.542312 9.660657 0.0000
DD(-1) -0.019710 0.004105 -4.801078 0.0000
ENC 0.053570 0.009709 5.517762 0.0000
CIN -0.001711 0.000488 -3.507769 0.0008
============================================================
R-squared 0.687070 Mean dependent var 1.652113
============================================================
7. 6
INFF
================================================================================
Modified: 1992:02 1997:12 // frinf.fit inff
1992:01 3.500000 4.008865 3.872067 3.424886 3.545896 3.490536
1992:07 2.875449 3.159742 3.740656 3.466783 3.676729 2.952576
1993:01 3.270704 2.953143 3.007627 3.047820 3.690561 3.643172
1993:07 2.353319 2.372938 2.984426 2.271774 2.434575 1.733955
1994:01 1.423582 1.805801 1.524053 1.334873 1.867048 1.901173
1994:07 2.005350 0.926592 1.317732 1.282110 1.420033 1.150795
1995:01 0.215221 0.944469 0.608405 0.371529 1.193807 1.102860
1995:07 1.269565 0.729651 1.096230 1.045941 1.129630 1.238353
1996:01 0.811535 1.334264 1.524015 0.831504 0.646067 0.558532
1996:07 1.241294 0.626075 1.364197 0.873296 1.130797 1.108127
1997:01 0.471394 1.091477 1.313852 0.135472 -0.091280 -0.022570
1997:07 0.575497 -0.462633 0.228249 0.256949 0.207520 0.663370
================================================================================
2º Se estima el modelo extendido, obteniéndose:
Dependent Variable: I
Method: Least Squares
Sample: 1992:02 1997:12
Included observations: 71
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 26.54475 15.14426 1.752793 0.0843
DD 0.003468 0.050426 0.068765 0.9454
INF 2.088850 1.073380 1.946050 0.0559
DDF -0.042697 0.076812 -0.555866 0.5802
INFF 2.607720 2.241078 1.163601 0.2488
============================================================
R-squared 0.525173 Mean dependent var 26.14704
============================================================
3º Realizamos la prueba de Wald para probar la hipótesis:
H0 : 4 5 0
H1 : 4 5 0
El Eviews da el resultado siguiente:
Wald Test:
Equation: MEI
====================================================
Null Hypothesis C(4)=0
C(5)=0
====================================================
F-statistic 2.252994 Probability 0.113108
Chi-square 4.505988 Probability 0.105084
====================================================
se realiza la comparación:
F 2.252994 3.1357193449 F 0.95, 2 , 66
se acepta la hipótesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden tratarse
como exógenas en la segunda ecuación.
8. 7
1.3. CAUSALIDAD DE GRANGER
En algunas oportunidades es importante determinar si cambios en una variable
causa cambios en otra variable.
El test de causalidad de Granger nos ayuda a determinar si de acuerdo a los
datos (no la teoría) existe una variable cuyos cambios anteceden cambios en otra
variable. Es importante que las series sean estacionarias para evitar el riesgo de
obtener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esta característica es
necesario aplicar alguna transformación para convertirlas en estacionarias,
asumiendo que al hacerlo se mantienen las relaciones de causalidad.
Granger se basa en la premisa de que el futuro no puede provocar el presente o
el pasado.
Si un evento A ocurre después de un evento B, se sabe que A no puede
provocar a B. Al mismo tiempo, si A ocurre antes de B, esto no necesariamente
implica que A provoque a B.
Consideremos dos series de tiempo Yt y X t , la serie X t fracasa en la
causalidad de Granger de Yt si en una regresión de Yt sobre las Y rezagadas y las X
rezagadas los coeficientes de esta última son cero. Es decir, la hipótesis es:
H0 : i 0 i 1,2,..., k
H1 : i 0
y se estima el siguiente modelo:
k k
Yt i Yt i i Xt i ut
i 1 i 1
si se acepta la hipótesis nula, entonces X t fracasa en causar a Yt , siendo K arbitrario.
Si se rechaza la hipótesis nula, es decir X causa Y, entonces cambios en X deben
preceder en el tiempo a cambios en Y.
La prueba de causalidad de Granger asume que la información relevante para
la predicción de las variables Yt y X t está contenida únicamente en los datos de
series de tiempo sobre estas variables.
El test dependerá de m (el # de rezagos) y este es arbitrario, es decir uno
puede especificar el número de rezagos. Y el resultado de pronto se vería afectado.
Entonces uno debería efectuar los tests con diferentes rezagos y asegurarse que la
conclusión del test no se afecte por el número de rezagos.
Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiente modelo:
9. 8
Yt 1 Xt Y
11 t 1 12 Xt 1 u1t
Xt Y
2 t Y
21 t 1 22 Xt 1 u 2t
escribamos la forma reducida del modelo:
Yt Y
11 t 1 12 Xt 1 v1t
Xt Y
21 t 1 22 Xt 1 v 2t
para la no causalidad de Granger se requiere que 21 0 . En cambio, para que X t
sea predeterminada de Yt debe cumplirse que 2 0 . Para que X t sea estrictamente
exógena para Yt se requiere que 2 0 y 21 0 .
Sabemos que:
2 11 21
21
1 1 2
entonces 21 0 no implica que 2 0 y 21 0 . Por lo tanto, la prueba de
causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeterminación ni a la prueba de
exogeneidad estricta.
1.4. EVALUACIÓN
Mucho de lo establecido para modelos uniecuacionales es directamente
aplicable con la inmediata generalización que supone trabajar con g ecuaciones en
lugar de con una sola.
La diferencia conceptual al analizar los errores en modelos multiecuacionales,
respecto al caso de ecuación única, reside en que ahora los errores en la variable
endógena de una ecuación no pueden asignarse directamente a un defectuoso
funcionamiento de la misma, sino que frecuentemente vendrán inducidos por errores
en otras ecuaciones conexas con la que estamos estudiando.
El proceso de evolución se realiza ecuación por ecuación y siguiendo los
mismo criterios que en la evaluación de un modelo multiecuacional; es decir, el
criterio económico, criterio estadístico y criterio econométrico.
1.4.1. CRITERIO ECONÓMICO
Consiste en contrastar si los resultados de la estimación cumplen con las
restricciones impuestas por la teoría económica.
La evaluación consiste en verificar si las categorías de signo y tamaño son los
que la teoría exige. Por lo tanto, existen sólo dos alternativas:
A.- Los parámetros estimados tengan el tamaño y el signo que la teoría señala, o
10. 9
B.- los parámetros estimados no posean las características que la teoría espera.
Tenemos el modelo de determinación de la renta siguiente:
CPt 0 1 PBI t u1t
IBt 0 1 PBI t PBI t 1 2 TIBt u 2t
PBI t CPt IBt GGt
La teoría económica determina que:
0 1 1 1 0 2 0
Los resultados econométricos de la estimación del modelo son:
Dependent Variable: CP
Method: Two-Stage Least Squares
Sample(adjusted): 1950:2 1985:4
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Instrument list: C PBI(-1) TIB GG
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C -142.1103 10.13736 -14.01848 0.0000
PBI 0.673290 0.004185 160.8802 0.0000
============================================================
R-squared 0.994587 Mean dependent var 1416.052
Adjusted R-squared 0.994549 S.D. dependent var 484.8804
S.E. of regression 35.79936 Sum squared resid 180704.8
F-statistic 25882.43 Durbin-Watson stat 0.165631
Prob(F-statistic) 0.000000
============================================================
Dependent Variable: IB
Method: Two-Stage Least Squares
Sample(adjusted): 1950:2 1985:4
Included observations: 143 after adjusting endpoints
Instrument list: C PBI(-1) TIB GG
============================================================
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
============================================================
C 61.22132 48.49890 1.262324 0.2089
PBI-PBI(-1) 7.496991 1.826459 4.104659 0.0001
TIB 35.78810 5.098588 7.019217 0.0000
============================================================
R-squared -1.225633 Mean dependent var 385.1077
Adjusted R-squared -1.257428 S.D. dependent var 130.6596
S.E. of regression 196.3126 Sum squared resid 5395412.
F-statistic 29.63298 Durbin-Watson stat 1.342052
Prob(F-statistic) 0.000000
============================================================
La función consumo personal presenta correcto el signo y tamaño del
parámetro, mientras la función inversión bruta presenta un signo correcto y el otro
cambiado.
11. 10
1.4.2. CRITERIO ESTADÍSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN)
Consiste en someter a los parámetros estimados a una serie de test o exámenes
para determinar su grado de confiabilidad o certeza.
La investigación aplicada ha centrado todos estos exámenes en el uso del
siguiente procedimiento:
A.- Test o Prueba de Hipótesis: Pueden ser pruebas individuales o conjuntas,
dentro de las cuales se encuentran las pruebas de significancia. La regla de
decisión es: Si el estadístico calculado supera al valor de la tabla se rechaza la
hipótesis nula, es decir, el estadístico calculado cae en la región crítica.
B.- Test de Bondad de Ajuste: de un modelo estimado a través del coeficiente de
determinación (R2): El coeficiente de determinación nos indica la proporción
o porcentaje de variación total en la variable dependiente que ha sido
explicada por los cambios de las variables explicativas del modelo.
PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL:
En la función de consumo personal, la propensión marginal a consumir es
significativa al 5% (0.0000); mientras que en la función de inversión bruta, el
acelerador y el coeficiente de la tasa de interés son significativos al 5 % (0.0001 y
0.0000 respectivamente).
PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL:
La función de consumo personal e inversión bruta en conjunto son estadísticamente
significativas al 5 % (0.000000 y 0.000000 respectivamente).
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE:
En la función de consumo personal es aceptable y significa que el 99.4587 %
de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la
función de inversión bruta no se puede interpretar el resultado porque nos sale
negativo.
TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL
Conceptualmente, no es fácil disponer de una medida única integradora de la
bondad de un modelo multiecuacional en su conjunto. Se ha propuesto el coeficiente
de Determinación de Dhrymes, que se define:
G 2
2 2 yh
R R
h G
h 1 2
yh
h 1
12. 11
La crítica a este coeficiente se sustenta en que un modelo multiecuacional no
es simplemente una unión de ecuaciones individuales, sino que cobra un carácter
unitario que exige una evaluación también global.
Incluso aunque todas las ecuaciones individuales se ajusten bien a los datos y
sean estadísticamente significativos, no tendremos la garantía de que en su conjunto,
cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajustada.
En el ejemplo del modelo de determinación de la renta, el coeficiente de
determinación del modelo es positivo aunque el coeficiente de determinación de la
función de inversión bruta es negativo, el coeficiente de determinación de Dhrymes
se obtiene de la siguiente forma:
2 484.88042 130.6596 2
R 0.994587 1.225633
484.88042 130.65962 484.8804 2 130.6596 2
R2 0.844284
1.4.3. CRITERIO ECONOMÉTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN)
Corresponde a determinar si todos los supuestos del modelo se han cumplido
de manera satisfactoria. Hay que detectar si existe un alto grado de multicolinealidad,
heterocedasticidad, autocorrelación, observaciones atípicas, normalidad y estabilidad
parametrica.
MULTICOLINEALIDAD:
La multicolinealidad es una cuestión de grado, no de existencia. La decisión
importante no es entre presencia y ausencia, sino entre los distintos grados de
multicolinealidad.
La regla de Klein en su versión de correlaciones indica que existe un alto
grado de multicolinealidad si:
rX i X j RY
donde rX i X j es el coeficiente de correlación simple entre dos regresores cualquiera y
RY es el coeficiente de correlación múltiple de la ecuación, o la raíz cuadrada de su
coeficiente de determinación. O en su versión más empleada, si al menos una
correlación entre regresores supera a una correlación de uno de los regresores con la
endógena.
La matriz de correlaciones de las variables del modelo son:
13. 12
Correlation Matrix
================================================
PBI-PBI(-1) IB TIB
================================================
PBI-PBI(-1) 1.000000 0.210195 -0.043968
IB 0.210195 1.000000 0.821177
TIB -0.043968 0.821177 1.000000
================================================
La función de consumo personal no presenta multicolinealidad. La primera y
segunda versión de Klein no se puede aplicar para la función de inversión bruta por
tener un coeficiente de determinación negativo. La tercera versión de Klein nos
indica que existe un bajo grado de multicolinealidad.
HETEROCEDASTICIDAD:
La hipótesis nula es la existencia de homocedasticidad, es decir no existencia
de heterocedasticidad. Esta hipótesis se verificará en los siguientes tests:
1º WHITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede
adoptar la heterocedasticidad. Abrimos la estimación del modelo original
(para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción:
View Residual Tests White Heteroskedasticity (no cross terms) y el
computador nos muestra el resultado.
En nuestro caso para la primera ecuación es:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 4.476687 Probability 0.013045
Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599
============================================================
Para la segunda ecuación da:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 264.9849 Probability 0.000000
Obs*R-squared 126.5267 Probability 0.000000
============================================================
Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis
alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe
heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta.
2º WHITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la
heterocedasticidad. Se abre la estimación del modelo original (para cada una
de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción:
View Residual Tests White Heteroskedasticity (cross terms) y el
14. 13
computador nos muestra para la primera ecuación:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 4.476687 Probability 0.013045
Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599
============================================================
Para la segunda ecuación da:
White Heteroskedasticity Test:
============================================================
F-statistic 245.2174 Probability 0.000000
Obs*R-squared 128.6275 Probability 0.000000
============================================================
Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis
alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe
heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta.
3º HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha
elegido que el modelo autorregresivo de heterocedasticidad es de primer
orden. Después de abrir la estimación del modelo original ejecutamos la
siguiente instrucción:
View Residual Tests Arch LM Test 1 OK y se obtiene para la
primera ecuación:
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 334.3676 Probability 0.000000
Obs*R-squared 100.0916 Probability 0.000000
============================================================
El resultado de la segunda ecuación es:
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 2.054933 Probability 0.153943
Obs*R-squared 2.054138 Probability 0.151793
============================================================
Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis
alternativa en la primera ecuación a un nivel de significancia del 1 %; es decir,
existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden uno en la
función de consumo personal. En la función de inversión bruta existe
homocedatsicidad.
Ahora, se comprobará heterocedasticidad de segundo orden; siendo los
resultados de la primera ecuación:
15. 14
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 179.5448 Probability 0.000000
Obs*R-squared 101.8561 Probability 0.000000
============================================================
En la segunda ecuación se obtiene:
ARCH Test:
============================================================
F-statistic 6.139587 Probability 0.002790
Obs*R-squared 11.52098 Probability 0.003150
============================================================
De acuerdo a la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis
alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe
heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden dos en ambas
funciones.
AUTOCORRELACION:
La hipótesis nula es la no existencia de autocorrelación de orden p, es decir
ausencia de autocorrelación de orden p. Esta hipótesis se comprobará en los
siguientes tests:
1º DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de autocorrelación de primer
orden, por lo tanto, utilizamos el estadístico Durbin-Watson que se tiene en la
estimación de la primera ecuación, luego buscamos en la tabla de Durbin -
Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143
observaciones y una variable explicativa (excluyendo el intercepto); a
continuación aplicamos la regla correspondiente:
0 0.165631 1.72 1.7 46 2
DW dL dU
Como el DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la
hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden.
Para la segunda ecuación utilizamos el estadístico Durbin-Watson de la
estimación, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de
significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y dos
variables explicativas; a continuación aplicamos la regla correspondiente:
0 1.342052 1.706 1.76 2
DW dL dU
El valor del DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la
16. 15
hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden.
2º BREUSCH - GODFREY (LM).- Comprobaremos que no existe
autocorrelación de primer orden. Abrimos la estimación del modelo original y
se ejecuta la siguiente instrucción:
View Residual Tests Serial Correlation LM Test 1 OK y el
EVIEWS nos muestra el siguiente resultado de la primera ecuación:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
F-statistic 737.9106 Probability 0.000000
Obs*R-squared 115.9041 Probability 0.000000
============================================================
Y nos muestra el siguiente resultado para la segunda ecuación:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
Obs*R-squared 15.37167 Probability 0.000088
============================================================
Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis
alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,
existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal y
en la función de inversión bruta.
A continuación, se verificará autocorrelación de segundo orden;
obteniéndose para la primera ecuación:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
F-statistic 379.6381 Probability 0.000000
Obs*R-squared 116.7076 Probability 0.000000
============================================================
Obtenemos para la segunda ecuación:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
============================================================
Obs*R-squared 15.39034 Probability 0.000455
============================================================
Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis
alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,
existe autocorrelación de segundo orden en las funciones de consumo e
inversión bruta.
3º BOX – PIERCE.- Verificaremos que no existe autocorrelación de primer
orden y segundo orden. Abrimos la estimación del modelo original y se
ejecuta el siguiente comando:
17. 16
View Residual Tests Correlogram –Q- Statistics 2 OK y el
EVIEWS y el computador nos da el siguiente resultado para la primera
ecuación:
Correlogram of Residuals
==============================================================
Sample: 1950:2 1985:4
Included observations: 143
==============================================================
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
==============================================================
.|*******| .|*******| 1 0.899 0.899 118.09 0.000
.|****** | *|. | 2 0.778-0.160 207.14 0.000
==============================================================
Se tiene:
H0 : 1 0
H1 : 1 0
comparamos:
QBP 143 * 0.899 2 115.572743 3.84 2
0.95 ,1
Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal.
Para verificar segundo orden, tenemos:
H0 : 1 2 0
H1 : 1 2 0
calculamos:
QBP 143 * 0.899 2 0.778 2 202.128355 5.99 2
0.95 , 2
Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelación de segundo orden en la función de consumo personal.
A partir de la segunda ecuación se obtiene:
Correlogram of Residuals
==============================================================
Sample: 1950:2 1985:4
Included observations: 143
==============================================================
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
==============================================================
.|** | .|** | 1 0.327 0.327 15.655 0.000
.|* | .|. | 2 0.117 0.011 17.665 0.000
==============================================================
18. 17
Se tiene:
H0 : 1 0
H1 : 1 0
comparamos:
QBP 143 * 0.327 2 15.290847 3.84 2
0.95 ,1
Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelación de primer orden en la función de inversión bruta.
Para verificar segundo orden, tenemos:
H0 : 1 2 0
H1 : 1 2 0
calculamos:
QBP 143 * 0.327 2 0.117 2 17.248374 5.99 2
0.95 , 2
Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,
existe autocorrelación de segundo orden en la función de inversión bruta.
NORMALIDAD:
Se plantea la siguiente hipótesis:
H0 : u
H1 : u
se utiliza el estadístico Jarque - Bera, cuya fórmula es:
N K 1 2
JB S2 K 3
6 4
se tiene la siguiente regla de decisión:
2
JB 5.99 0.95, 2
entonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una
distribución normal.
El test de normalidad lo obtenemos de la siguiente forma para la primera
ecuación:
Abris EQ1 View Residual Tests Histogram-Normality Test OK,
obteniéndose el siguiente resultado:
19. 18
14
Series: Residuals
12 Sample 1950:2 1985:4
Observations 143
10
Mean 1.02E-12
Median -3.450644
8
Maximum 101.6454
Minimum -73.31450
6 Std. Dev. 35.67308
Skewness 0.333192
4 Kurtosis 3.135286
2 Jarque-Bera 2.754957
Probability 0.252214
0
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribución
normal.
El test de normalidad se obtiene de la siguiente forma para la segunda
ecuación:
Abris EQ2 View Residual Tests Histogram-Normality Test OK,
obteniéndose el resultado siguiente:
30
Series: Residuals
Sample 1950:2 1985:4
25 Observations 143
20 Mean 4.84E-14
Median -9.054948
Maximum 764.3070
15
Minimum -643.3132
Std. Dev. 194.9253
10 Skewness 0.233754
Kurtosis 5.681904
5
Jarque-Bera 44.15825
Probability 0.000000
0
-600 -400 -200 0 200 400 600 800
entonces, a un nivel de significancia del 1 % lo residuos no se aproximan a una
distribución normal.
PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS:
Asumimos en el test de Chow como punto de quiebre 1995:2 y en la función
consumo personal nos da:
Chow Breakpoint Test: 1975:2
============================================================
F-statistic 74.94903 Probability 0.000000
============================================================
Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hipótesis nula; es
decir, existe cambio estructural.
20. 19
Consideramos como punto de quiebre 1980:2, en la función inversión bruta
resulta:
Chow Breakpoint Test: 1980:2
============================================================
F-statistic 0.396361 Probability 0.755822
============================================================
Observando la probabilidad, concluimos que aceptamos la hipótesis nula; es
decir, no existe cambio estructural.
2. SIMULACIÓN
Para simular los efectos de valores alternativos en diferentes variables o
parámetros, es preciso disponer de una cierta solución del modelo que la haga
factible en un contexto de simultaneidad de las diferentes ecuaciones.
La simulación más habitual es la que supone cuantificar los efectos sobre las
endógenas de valores alternativos para las variables exógenas del modelo. Si los
datos de las variables exógenas son históricos se tiene una simulación ex - post o
histórica; en cambio, si los datos de las variables exógenas son supuestos para el
futuro se trata de una simulación ex - ante.
Es posible realizar otras simulaciones que correspondan a variaciones en los
términos de error de cada ecuación (factores adicionales) o incluso retoques en
algunos de los parámetros (ajuste y afinado).
2.1. OBJETIVOS
Los objetivos de la simulación pueden ser:
1º La evaluación del modelo y la evaluación de la capacidad predictiva del
modelo.
2º La predicción, se trata de determinar los valores de las variables endógenas
del modelo en base a los valores de las variables exógenas.
3º La comparación de políticas alternativas, en base a diferentes escenarios se
puede determinar los diferentes efectos de las políticas y poder elegir la más
conveniente.
4º El análisis de las condiciones dinámicas del modelo, consiste en determinar la
estabilidad del modelo.
21. 20
2.2. TIPOS
Se tienen los siguientes tipos de simulación:
1º Simulación Residual.- Para cada ecuación en forma aislada, se da tanto a las
exógenas como a las endógenas explicativas sus valores reales y se
comprueban los errores de cada ecuación y las identidades. Es útil realizarla
para comprobar que no existen errores de transcripción, redondeo en los
valores de los parámetros, etc., en el modelo definitivamente seleccionado. Es
decir:
ˆ
y1t 1 2 y 2t 3 y1t 1 4 xt
2º Simulación Estática.- Se consideran valores reales en las variables
explicativas, excepto las endógenas corrientes de cada ecuación, que se
determinan por el propio modelo en forma conjunta. Sirve para un análisis del
funcionamiento período a período del modelo, puede conseguirse trabajando
simultáneamente con todas las ecuaciones, pero sin conexión dinámica.
Tenemos:
ˆ
y1t 1 2
ˆ
y 2t y
3 1t 1 4 t x
Resultados satisfactorios no garantizan el que el modelo no se
desestabilice o presente errores importantes después de varios periodos de
funcionamiento, ya que en este tipo de simulación, en cada nuevo periodo se
sustituyen las endógenas desplazadas por sus valores reales y no por los de
solución del modelo para periodos anteriores.
3º Simulación Dinámica.- La solución es simultánea para todas las ecuaciones y
sólo se suministra datos (reales del pasado o supuestos) para las exógenas y el
valor inicial de partida de las endógenas. Esta es la que permite contrastar la
estabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sería:
ˆ
y1t 1 2
ˆ
y 2t ˆ
y
3 1t 1 4 xt
4º Simulación Estocástica.- Se trabaja con las distribuciones de probabilidad
tanto de los parámetros como del término de error. Nos permite establecer el
grado de incertidumbre sobre los efectos estimados de una determinada
política.
2.3. SOLUCIÓN DEL MODELO
La mayor o menor complejidad en la solución del modelo dependerá de la
propia forma en que la simultaneidad se manifieste, de la inclusión o no de
ecuaciones dinámicas, de la posible coexistencia de relaciones no lineales junto a
otras lineales y del tamaño del modelo.
22. 21
La existencia de variables endógenas desplazadas en el modelo, la forma
reducida ya no nos permite una solución inmediata del modelo, dado que la
simultaneidad afecta también a las variables endógenas desplazadas y no de todas las
variables predeterminadas como se hace en la forma reducida.
Theil y Boot propusieron a estos efectos la denominada Forma Final del
modelo, donde las variables endógenas corrientes quedan expresadas en función de
sólo las exógenas (corrientes y desplazadas), mediante un proceso de eliminación
repetitiva de todas las variables endógenas desplazadas en la forma reducida.
La forma reducida del modelo es:
YY X t Vt
Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamiento de de
la forma siguiente:
0 término independiente.
0 endógenas desplazadas.
0 exógenas corrientes.
0 exógenas desplazadas.
Asumimos que sólo existen variables desplazadas un período, entonces la
forma reducida se expresa:
Yt 0 1 Yt 1 2 Zt 3 Zt 1 Vt
donde Z t sólo incluye las exógenas corrientes del modelo.
Si no existen variables desplazadas, es decir:
Yt 0 2 Zt Vt
entonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden.
Reemplazando Yt 1 en la forma reducida nos da:
Yt 0 1 0 1 Yt 2 2 Zt 1 3 Zt 2 Vt 1 2 Zt 3 Zt 1 Vt
simplificando, tenemos:
2
Yt 0 I 1 1 Yt 2 2 Zt 2 1 3 Zt 1 1 3 Zt 2 Vt 1 Vt 1
Repitiendo el proceso s veces, resulta:
2 s s 1
Yt 0 I 1 1 ... 1 1 Yt s 1 2 Zt 2 1 3 Zt 1 ...
s 1 s 2 s
2 1 3 1 Zt s 1 3 Zt s 1 Vt 1 Vt 1 1 Vt 2 ... 1 Vt s
23. 22
s
Cuando s crece indefinidamente supondremos que 1 0 . Luego se anula
los coeficientes de Z t s 1 e Yt s 1 .
La suma de matrices del término independiente es:
2 s
S I 1 1 ... 1
como se trata de una progresión geométrica infinita, nos da igual:
I 1
lím s
S
I 1
I 1
La forma final del modelo puede resumirse:
1 r 1 r
Yt 0 I 1 2 Zt 2 1 3 1 Zt r 1 Vt r
r 1 r 1
Esta expresión recoge los siguientes efectos denominados:
1º Multiplicador de impacto.- recoge el efecto inmediato que cualquier cambio
en la variable exógena tiene sobre la variable endógena. En este modelo es
2. .
2º Multiplicador dinámico.- recoge el efecto según pasa uno, dos, ... , s períodos
que cualquier cambio en la variable exógena tienen sobre la variable
endógena. En este modelo son:
2
2 1 3 ; 2 1 3 1 ; 2 1 3 1 ; ...
3º Multiplicador total a largo plazo.- viene a ser la suma de todos los
multiplicadores. Tenemos:
2
MLP 2 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 1 ...
sacando factor común, nos queda:
2
MLP 2 2 1 3 I 1 1 ...
reemplazando la suma del término independiente da:
1
MLP 2 2 1 3 I 1
simplificando tenemos:
1
MLP 2 3 I 1
24. 23
En caso de trabajar con variaciones en porcentaje tanto de las variables
exógenas como de las variables endógenas, podemos hablar en forma equivalente de
elasticidad impacto, elasticidad dinámica y elasticidad total a largo plazo.
Si no existen variables rezagadas (endógenas y exógenas), los coeficientes de
la forma reducida son directamente los multiplicadores de impacto y son los únicos
multiplicadores en el tiempo y coinciden con los multiplicadores totales.
En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un tamaño que
resulta incómodo seguir todo este proceso y se busca una solución al modelo
mediante algún algoritmo de resolución por tanteo de sistema de ecuaciones,
frecuentemente alguna variante del algoritmo de Gauss - Seidel.
2.4. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINÁMICO
Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan ciertas
condiciones de convergencia en relación con las matrices de parámetros de las
endógenas desplazadas.
La estabilidad del modelo la entendemos en el sentido de que tienda a una
nueva solución de equilibrio después de que se haya provocado un cambio inicial en
uno o varios de los valores de las exógenas.
Para el caso de un modelo de G ecuaciones simultáneas con variables
endógenas retardadas hasta s periodos, podríamos expresar el conjunto de ecuaciones
dinámicas fundamentales como una ecuación en diferencias vectoriales con
coeficientes consistentes del tipo:
A0 YT A1YT 1 A2 YT 2 ..... AS YT S Gt
donde,
Yt r vector de las variables endógenas (1xG) que se han transpuesto a
efectos de post multiplicar la matriz de coeficientes.
Ar matriz de los coeficientes de todas las variables endógenas (GxG) para
cada retardo establecido r ( r = 0, 1, .., s) en las diferentes ecuaciones
del modelo.
Gt incluye a todas las variables exógenas desplazadas, corrientes y
término de error para las G ecuaciones.
Dhrymes comprobó que la ecuación en diferencias vectoriales de orden s
puede reducirse a una de sólo primer orden; por lo tanto:
Yt AYt 1 0
