อินทิเกรต

1. บทที่ 4 การอินทิเกรต (Integration)
 Antiderivative (Indefinite Integral)
 Differential Equation
 And Modeling

2. Antiderivative (Indefinite
Integral)
นิยาม
ฟังก์ชัน F(x) เป็น antiderivative ของ f(x) ถ้าหาก
F’(x) = f(x)
สำาหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ
antiderivative ของ f เรียกว่า
indefinite integral ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย
∫ f ( x)dx
Integral Variable of
sign integrand integration

3. ตัวอย่างที่ 1
จงหา ∫ 2xdx antiderivative
ค่า
วิธีทำา
∫ 2xdx = x 2 + C The arbitrary
constant

4. ตารางแสดงค่า antiderivative

5. ตัวอย่างที่ 2 (เลือกค่า
antiderivative จากตาราง)

6. ตัวอย่างที่ 3 (ตรวจสอบผลการอินทิ
เกรตโดยการหาอนุพันธ์)
∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C ?
d
( x sin x + cos x + C ) = x cos x + sin x − sin x + 0 = x cos x
dx

7. ปัญหาค่าเริมต้น (Initial Value
่
Problems)
ปัญหาที่กำาหนดอนุพันธ์ y’(x) และกำาหนดค่าเริ่มต้น
yo เมื่อ x=xo มาให้

8. ตัวอย่างที่ 4
จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จัด (x,y)
ใดๆ เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1)
dy
วิธีทำา
∫ dx dx = ∫ 3 x 2 dx
dy
The differential equation: 3x
= 2
y + C1 = x 3 + C2
dx General
The initial condition: y(1) = −1 y = x +C
3
solution
y = x3 + C
Initial −1 = (1)3 + C Particular
condition solution
C = −2

9. การสร้างแบบจำาลองทางคณิตศาสตร์
(Mathematical Modeling)
-กำาหนดตัวแปร
-หาสมการอนุพนธ์ั
-กำาหนดค่าเงื่อนไขเริ่มต้น

10. ตัวอย่างที่ 5
บอลลูนกำาลังลอยขึ้นด้วยอัตรา12 ฟุต/วินาที ที่ความ
สูง 80 ฟุต เหนือพื้น
ก่อนที่จะโยนของลงมา ของจะตกถึงพื้นเมื่อเวลาใด?
กำาหนดให้ v(t) = ความเร็ว
t = เวลา
s(t)= ระยะความสูงจากพื้น
สมการ
ความเร่งเนื่อง dv อนุพัน
= g = −32
จากแรงดึงดูดของโลก dt ธ์

11. ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ)
เงื่อนไขเริ่มต้น: v(0) = 12
แก้สมการ dv
= −32
dt
dv
∫ dt dt = ∫ −32dt
v = −32t + C
หาค่า C จากเงื่อนไขเริ่มต้น
12 = −32(0) + C
v = −32t + 12
C = 12

12. ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ)
กำาหนดสมการ ds
v= = −32t + 12
อนุพันธ์ dt
s (0) = 80
แก้าหนดเงื่อนไขเริ่ม−32t + 12)dt
กำ สมการ ds
ต้น ∫ dt dt = ∫ (
s = −16t 2 + 12t + C
แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น
80 = −16(0)2 + 12(0) + C s = −16t 2 + 12t + 80
C = 80

13. ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ)
หาเวลาที่ระยะทาง = 0
s = −16t 2 + 12t + 80 = 0
−4t 2 + 3t + 20 = 0
−3 ± 329
t=
−8
= −1.89, 2.64

14. 4.2 Integrating Rules,
Integration by substitution

15. ตัวอย่างที่ 1
∫ 5sec x tan xdx
∫ 5sec x tan xdx = 5∫ sec x tan xdx
= 5(sec x + C )
= 5sec x + 5C
= 5sec x + C '

16. ตัวอย่างที่ 2 อินทีเกรตทีละเทอม
∫ ( x 2 − 2 x + 5)dx
∫ ( x 2 − 2 x + 5)dx = ∫ x 2 dx − 2 ∫ xdx + 5∫ dx
1 3
= x − x2 + 5x + C
3

17. ตัวอย่างที่ 3 อินทีเกรต sin2x และ
cos2x
1 − cos 2 x
∫ sin 2 xdx = ∫
2
dx
1 1 1
= ∫ (1 − cos 2 x)dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx
2 2 2
x 1 sin 2 x x sin 2 x
= − +C = − +C
2 2 2 2 4
1 + cos 2 x
∫ cos 2 xdx = ∫
2
dx
1 1 1
= ∫ (1 + cos 2 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx
2 2 2
x 1 sin 2 x x sin 2 x
= + +C = + +C
2 2 2 2 4

18. ตัวอย่างที่ 4 ใช้ power rule
∫ 1 + y 2 2 ydy = ∫ u1/ 2 du
1 +1
u 2
= +C
1
2 +1
2 3/ 2
= u +C
3
2
= (1 + y 2 )3/ 2 + C
3

19. ตัวอย่างที่ 5 ปรับเปลี่ยนค่าคงที่
∫ 4t − 1dt = ∫ u1/ 2 1 du
4
1 1/ 2
= ∫ u du
4
1 u 3/ 2
= +C
4 23
1 3/ 2
= u +C
6
1
= (4t − 1)3/ 2 + C
6

20. ตัวอย่างที่ 6 เปลี่ยนตัวแปร
∫ cos(7θ + 5)dθ = ∫ cos(u ). 1 du
7
1
= ∫ cos udu
7
1
= sin u + C
7
1
= sin(7θ + 5) + C
7

21. ตัวอย่างที่ 7
∫ x 2 sin( x 3 )dx = ∫ sin( x 3 ).x 2 dx
= ∫ sin u. 1 du
3
1
= ∫ sin udu
3
1
= (− cos u ) + C
3
1
= − cos( x 3 ) + C
3

22. ตัวอย่างที่ 8 เอกลักษณ์ตรีโกณฯ
1
∫ cos2 2 x dx = ∫ sec 2 2 xdx
= ∫ sec 2 u. 1 du
2
1
= ∫ sec 2 udu
2
1
= tan u + C
2
1
= tan(2 x) + C
2

23. 4.3 การประมาณพื้นที่ใต้กราฟโดย
finite Sums
การหาอัตราการสูบฉีดเลือดของหัวใจทำาได้โดยการ
ฉีดสีย้อม (กำามันตรังสีที่ไม่
เป็นอันตราย) เข้าไปห้องขวาของหัวใจ เลือดจะไหล
ผ่านปอด แล้วกลับมาที่
หัวใจห้องซ้ายก่อนจะไหลออกเส้นเลือดใหญ่ ซึ่งจะ
เป็นจุดที่วัดความเข้มข้นของ
สีย้อม

24. พื้นทีใต้กราฟมีความหมายอะไร?
่

25. การประมาณปริมาตรของทรงกลม

26. การประมาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดย
พื้นทีใต้การฟ
่

27. 4.4 Riemann Sums and Definite
Integral
 สัญลักษณ์ sigma

28. Riemann Sums

29. นิยามของ definite Integral ด้วยลิ
มิตของ Riemann Sums
ให้ f เป็นฟักชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออก
์
เป็นช่วงย่อยๆด้วยตัว
แบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk]
n
ถ้าหากมีจำานวนจริง I fทีc )∆x = I
lim ∑ ( ่ทำาให้
k k
P →0
k =1
ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้
ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็น
ค่า Definite Integral ของ f

30. ทฤษฎีบทที่ 1
ทุกฟังก์ชนที่ตอเนื่อง สามารถอินทิเกรตได้
ั ่

31. การแสดงสัญลักษณ์ของ Definite
Integration
∆y dy
Differentiation lim =
∆x →0 ∆x dx
n b
Integration lim ∑ f (ck )∆x = ∫ f ( x)dx
n →∞
k =1 a
Upper limit
b
∫
a
f ( x)dx
lower limit

32. ตัวอย่างที่ 2
จงแสดง limit ในรูปของ Integration ในช่วงของ x
= [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง
n 3
ของช่ว(3(mk่ )k− 2mk + 5)∆x
lim ∑ งที 2
= ∫ (3 x 2 − 2 x + 5)dx
n →∞
k =1 −1

33. นิยาม พื้นที่ใต้กราฟ
ถ้า y=f(x) ไม่มีค่าเป็นลบ และอินทีเกรตได้ในช่วง
[a,b] จะได้วาพื้นที่ใต้
่
b
กราฟเป็น A =
∫a
f ( x)dx

34. ตัวอย่าง
พิจารณาพื้นที่ใต้กราฟ y=x ในช่วง [a,b]

35. นิยาม ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชน f ในช่วง [a,b] คือ
ั
1 b
f av =
b−a ∫a f ( x)dx

36. ตัวอย่าง
หาค่าเฉลี่ยฟัง ( x) =
f ก์ชัน 4 − x 2 ในช่วง [-2,2]

37. กฎที่ใช้กบ definite integration
ั

38. ตัวอย่าง

39. 4.5 ทฤษฎีคาเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน
่
ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำาหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต
(Mean Value Theorem for Definite Integrals)
ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c
อย่างน้อย
หนึ่งจุดที่f (c) = 1 b f ( x)dx
b − a ∫a

40. ตัวอย่าง
หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f(x)= 4 – x ในช่วง [0,3] และหาว่า
จุดไหนของฟังก์ชbันที่มีคาเท่ากับ
่
1
ค่าีทำา ย f av = b − a ∫a f ( x)dx
วิธ เฉลี่
1 3
=
3−0 ∫0 (4 − x)dx
1
(
3 0
3 3
= 4 ∫ dx + ∫ xdx
0 )
1  32 02   4−x =
5
=  4(3 − 0) −  −   2
3  2 2 

3
x=
3 5 2
= 4− =
2 2

41. ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamental
theorem) ตอนที่ 1
ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน
x
F ( x) = ∫ f (t )dt
a
จะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ
dF d x
=
dx dx ∫a f (t )dt = f ( x)

42. ตัวอย่างที่ 3
d x d x 1
จงหาค่า
dx ∫− p cos tdt dx ∫0 1 + t 2 dt
และ
วิธีทำา
d x d x 1 1
dx ∫0 1 + t 2
∫− p cos tdt = cos( x) dt =
dx 1+ t2

43. ตัวอย่างที่ 4 (chain rule)
x2
จงหา dy/dx เมื่อy = ∫1 cos tdt
du
วิธีทำา ให้ u=x ⇒ 2
= 2x
dx
และจาก
dy dy du
= .
dx du dx
dy d u
=
du du ∫1 cos tdt = cos u
dy
= cos u.2 x = 2 x cos( x 2 )
dx

44. ตัวอย่างที่ 5
d 5 d (b) 1
จงหา (a) ∫ 3t sin tdt 4
dx x dx ∫1+3 x2 2 + t 2 dt
d 5 d 4 1
dx ∫x 3t sin tdt dx ∫1+3 x2 2 + t 2 dt
d x d 1+3 x2 1
= − ∫ 3t sin tdt = −3 x sin x =− ∫ dt
dx 5 dx 1 2+t 2
1
=− .6 x
2 + (1 + 3 x ) 2 2
2x
=−
1 + 2 x 2 + 3x 4

45. การอินทีเกรตเชิงเลขคณิตโดยวิธี
trapezoidal
b
ประมาณค่าอินทีเ∫a f ( x)dx
กรต
ด้วย h
T= ( y0 + 2 y1 + 2 y2 ... + 2 yn −1 + yn )
2
เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชนที่จุดแบ่ง โดยที่
ั
x0 = a, x1 = a + h,....xn −1 = b − h, xn = b
b−a
h=
n

46. ตัวอย่าง