NUMEROS REALES
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
Abdielys Riera
sección: CO0113 Profesora: María Carruido

Definición de conjuntos:
Es la agrupación de diferentes elementos
que comparten entre sí características y
propiedades semejantes. Estos elementos
pueden ser sujetos u objetos, tales como
números, canciones, meses, personas,
entre otros. Por ejemplo: el conjunto de
números primos o el conjunto de planetas
del sistema solar.

Operaciones con conjuntos:
También conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes: unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.

Unión o reunión de conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más
conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a
todos los elementos que queremos unir pero sin que se
repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la
unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado
por todos los elementos de A, con todos los elementos
de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la
unión de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se
unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera
la operación de unión.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Intersección de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los
elementos de A y los elementos de B que sean
comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la
operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}.

Diferencia de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que pertenecen al primero
pero no al segundo. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado por
todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa
para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será B-A={6,7,8,9}.

Diferencia de
simétrica de conjuntos
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no
comunes a los conjuntos A y B. El símbolo
que se usa para indicar la operación de
diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}.

Complemento de un conjunto
Es la operación que nos permite formar un conjunto
con todos los elementos del conjunto de referencia
o universal, que no están en el conjunto. Es decir
dado un conjunto A que está incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto complemento de
A es el conjunto formado por todos los elementos
del conjunto universal pero sin considerar a los
elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta
operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto que se
opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es
el conjunto del cual se hace la operación de
complemento.
Ejemplo:
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y
el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado
por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.

Números reales
Son todos aquellos valores numéricos que se
encuentran contenidos en una recta real, desde el
infinito negativo hasta el positivo. Es el conjunto de
números que resulta de la unión de los números
racionales e irracionales, que al mismo tiempo se
clasifican en subconjuntos como los naturales y
enteros.
A este conjunto se lo representa con la letra "R". Estos
números son empleados en las matemáticas para
todo tipo de cálculos y mediciones, asociados al
mismo tiempo con otras ramas de la ciencia que
precisan de ellos para un mejor entendimiento.
Son infinitos los ejemplos de los números reales.
• Los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…∞
• Los números enteros: ∞…-5, -6, -7, 0, 2, 3, 5,… ∞
• Los números irracionales: -√2, -√5, e, π…
• Los números racionales: 1/4, 6/2, 50/10…

Desigualdades
Es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que
se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden
ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades
estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también
puede leerse como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Este tipo de desigualdades reciben el nombre de
desigualdades amplias (o no estrictas).

Desigualdades
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el
otro, o siquiera si son comparables.
La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de «mayor
que» cortado con una barra, «no». Lo mismo ocurre con a no menor que b y la notación a ≮ b.
Ejemplo:
Calcule el rango de valores de y, que satisface la desigualdad: y - 4 <2y + 5.
Solución:
Suma ambos lados de la desigualdad por 4.
y – 4 + 4 < 2y + 5 + 4
y < 2y + 9
Resta ambos lados por 2y.
y – 2y < 2y – 2y + 9
Y − 9

Definición de valor absoluto:
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las
matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más
allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la
cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto
tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor
absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el
número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor
absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo
tanto, la notación correcta es |5|.
Ejemplos:
• |⅛| = ⅛ (el valor absoluto de ⅛ es ⅛)
• |-476| = 476 (el valor absoluto de -476 es 476)
• |-984,32| = 984,32 (el valor absoluto de -984,32 es 984,32)

Desigualdades con valor
absoluto:
Desigualdades de valor absoluto (<):
Una desigualdad de valor absoluto es una
desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
La desigualdad |x|<3 significa que la distancia
entre x y 0 es menor que 4
Así, x>-3 y x<3. El conjunto solución es {x┤|-
3<x<3,x ∈R}
Cuando se resuelven desigualdades de valor
absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es negativa.

La solución es la intersección de las
soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera
números reales a y b si |a| < b, entonces
a < b y a > -b.
Ejemplo:
Resolver la inecuación | 6x-11 | <5
Solución:
Sabiendo que: |x| <k⇒-k <x <k
-5 <6x-11<5
-5+11 <6 x <5+11
6<6x<16
6/6<x<16/6
1<x<8/3
Por lo que el conjunto solución es el
intervalo ( 1,8/3 )

Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad |x|>3 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x<-3 o x>3. El conjunto solución es {x|x<-3 o x >3.x∈R }
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si |a|>b, entonces a >b o a < -b.
Ejemplo:
Resolver la inecuación |5x +2|>7
Solución:
Sabiendo que: |x|>k ⇒k <x o x<-k
7<5x+2 ; 5x+2<-7
7-2<5x ; 5x < -7-2
5<5x ;5x< - 9
5/5<x ;x < (-9)/5
1 <x ;x < -9/5
Por lo que el conjunto solución es: (-∞,-9/5 ) ∪(1,∞)

Revisión bibliográfica
Introducción
El objetivo de este tema es revisar el significado de los números reales y sus conceptos básicos,
definir de forma específica la recta real, las propiedades de los números reales, propiedades de la
igualdad así también estudiar las inecuaciones y desigualdades y mediante ejemplos podemos
distinguir y ubicar cualquier número real y su respectivo conjunto. Los números reales pueden
expresarse en forma decimal mediante un numero entero, un decimal exacto, un decimal periódico
o un decimal con infinitas cifras no periódicas, la recta real es en la que podemos representar todos
los números reales; son propiedades que estudian el orden de sumar y multiplicar los números
reales sin importar el orden; propiedades de las igualdades es la proporción de equivalencia entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de signo = en la cual ambas expresan el mismo
valor, y por ultimo tenemos las inecuaciones y desigualdades, es una expresión que indica que una
es mayor o menor que otra. Se utilizan signos como mayor que > menor que < mayor o igual que ≥
menor o igual que ≤. El objetivo de este estudio es comprender los números reales como un
conjunto que engloba a otros sistemas numéricos, para ello realizaremos el desarrollo del tema.

Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal
periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo,
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real.
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen expansión
decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman
números Racionales (denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no periódica se
llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g
son números irracionales.

Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad
de tener expansión decimal no periódica para los irracionales define dos tipo de números muy
distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos.
Paula Rodó, 06 de noviembre, 2019
Números reales. Economipedia.com Los números reales son cualquier número que corresponda a
un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los
números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R

Conjunto de los números Reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales se define como la unión
de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales.
A su vez, los números racionales se clasifican en:
a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11,… Naturales - Qué es, Significado y Concepto. Definición. De. Recuperado el 6 de
enero de 2023 de https://definicion.de/numeros-naturales/ Se trata del primer conjunto de números
que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos; pertenecen al conjunto de los números
enteros positivos: no tienen decimales, no son fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero
en la recta real. Son infinitos, ya que incluyen a todos los elementos de una sucesión. Pérez Porto,
J., Merino, M. (22 de mayo de 2009). Definición de números
b) Números Enteros (Z)
Son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
Artículo revisado en 21/01/21 Toda Materia: Contenidos escolares. 2018 - 2023 © 7Graus Los
números enteros pertenecen a los números reales e incluyen el conjunto de los números naturales,
que son los números enteros positivos. Los números negativos surgieron como una necesidad para
el desarrollo del álgebra.

c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos
números enteros, es decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
Eves, Howard Eves with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of
mathematics 6th ed. Philadelphia: Saunders College Pub.
Devlin, K. (2002). El lenguaje de las matemáticas. España: Ediciones Robbinbook, s.l.
En la expresión 𝑎/𝑏 los números fraccionarios están divididos en dos partes:
El numerador (a): es el número superior de una fracción. Indica la cantidad total que será dividida o
repartida.
El denominador (b): es el número inferior de una fracción. Indica el número de partes iguales en
que se divide la cantidad expresada en el numerador. Deben ser un número distinto de 0.
d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica
y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, √3
Sancler, Valentina. (2018). Números algebraicos. Recuperado el 7 diciembre, 2022, de Euston96:
https://www.euston96.com/numeros-algebraicos/ Son números con decimales no periódicos como
por ejemplo las raíces no exactas. Los números irracionales que no son algebraicos se llaman
trascendentes.
Sirven para la resolución de operaciones algebraicas como es el caso de los polinomios de grado n.
Es importante recordar que la ecuación algebraica es siempre un polinomio con coeficientes reales
o complejos que se igualan a cero.
Los números algebraicos son muy utilizados en ciencias tales como la estadística, la matemática, la
física, la química, la astronomía y entre otras.

e) Números Trascendentales, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres
o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales. El númeroπ y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse
mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no
periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido.
Sancler, Valentina. (2018). Números algebraicos. Recuperado el 11 enero, 2023, de Euston96:
https://www.euston96.com/numeros-algebraicos/ Son números con decimales no periódicos como
por ejemplo las raíces no exactas. Los números irracionales que no son algebraicos se llaman
trascendentes.
Es importante recordar que la ecuación algebraica es siempre un polinomio con coeficientes reales
o complejos que se igualan a cero.
Los números algebraicos son muy utilizados en ciencias tales como la estadística, la matemática, la
física, la química, la astronomía y entre otras.

La recta real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número real. Como cada
punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta recta es una recta
compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos puntos de ella. Para tener una idea de
esta propiedad imagine que dados dos números racionales siempre es posible encontrar uno
entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre
está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los números (recuerde que todo punto
de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella podemos visualizar el orden en que se
ubican.
Apuntes de las clases de Cálculo 10 Prof. Derwis Rivas. Esta recta recibe el nombre de recta real
dado que podemos representar en ella todos los números reales.
−∞ ℝ +∞
Línea real.

Propiedades de los números reales
Propiedad: Conmutativa
Operación: Suma y Resta
Definición: a+b = b+a
Que dice: El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.
Guillermo Westreicher, 14 de febrero, 2021 Propiedad conmutativa.economipedia.com Vale aclarar
que la propiedad conmutativa aplica no solo para operaciones básicas con números naturales, si no
pera las sumas de vectores, matrices y polinomios.
Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = (-3)5
Propiedad: Asociativa
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a+ (b+a)=(a+b)+c------ a (bc) = (ab) c
Que dice:
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.
Del Moral, M. & Rodríguez, J. (s.f.). Ejemplo de Propiedad Asociativa. Ejemplo de. Recuperado el 2
de Septiembre de 2022 de https://www.ejemplode.com/5-matematicas/1371-
ejemplo_de_propiedad_asociativa.html Es la cualidad que tienen las suma y la multiplicación de
conjunto de números que posteriormente se sumaran o multiplicaran a otra cantidad. El objetivo es
reducir la cantidad de números al trabajar, se basa en el principio de igualdad donde el resultado de
una operación previa no afecta al resultado final.

Ejemplo: 7+ (6+1)= (7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad: Identidad
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice:
Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se
queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.
Euclides.org Es un número que, cuando se utiliza en una operación con otro número, da como
resultado el mismo número.
Las identidades aditivas y multiplicativas son dos de los elementos de identidad más tempranos con
los que la gente se encuentra típicamente; la identidad aditiva es 0 y la identidad multiplicativa es 1.
Ejemplo: -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17
Propiedad: Inversos
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a + (-a) = 0------(a) 1/a=1
Que dice:
https://www.superprof.es>aritmetica La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.
Un número es inverso de otro si al multiplicarlo obtenemos como resultado la unidad.
El elemento inverso, es igual a 1 partido por el número.
Propiedades: el 0 no tiene inverso. El inverso de un numero fraccionario es el inverso del inverso de
un número es el mismo número.

La multiplicación de números racionales, reales y complejos tiene elemento inverso.
Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4)=1
Propiedad: Distributiva
Operación: Suma respecto a Multiplicación
Definición: a (b + c) = ab + a c
Que dice:
El factor se distribuye a cada sumando; Carena, M. (2022, enero 27). Manual de matemáticas
preuniversitaria. https://infolibros.org/pdfview/434-manual-de-matematicas-prunivercitaria-marilina-
carena/. Refiere que la multiplicación de un número por una suma o una resta, es igual a la suma o
diferencia de sus productos.
Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Si m = n y n = p, entonces m = p
Licenciado en Matemáticas. Universidad de los andes. Última edición el 25 agosto de 2022.
Establece que si a=b y b=c, entonces a=c. por ejemplo, 2+7=9 y 9=6+3; por lo tanto, por la
propiedad transitiva se tiene que 2+7=6+3.
Propiedad Uniforme
Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se
conserva.
Ejemplo:
Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)
Si a = b, entonces a + x = b + x
Licenciado en Matemáticas. Universidad de los andes. Última edición el 25 agosto de 2022.
Consiste en que, si se suman o se multiplican ambos lados de una igualdad por la misma cantidad,
la igualdad se preserva. Por ejemplo, si 2=2, entonces 2+3=2+3, lo cual es claro, pues 5=5. Esta
propiedad tiene mayor utilidad cuando se trata de resolver una ecuación.
Propiedad Cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la
igualdad no se altera.
Ejemplos: Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12 Si a + b = c + b, entonces a = c

Propiedades de las igualdades
Propiedad Reflexiva
Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.
Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Licenciado en Matemáticas. Universidad de los andes. Última edición el 25 agosto de 2022. En el
caso de la igualdad, establece que todo número es igual a sí mismo y se expresa como b=b para
cualquier número real b.
Propiedad Simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.
Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 Si a - b = c, entonces c = a - b Si x = y, entonces y =
x
Licenciado en Matemáticas. Universidad de los andes. Última edición el 25 agosto de 2022. Para la
igualdad dice que si a=b, entonces b=a. no importa el orden que se use en las variables, este será
preservado por la relación de igualdad.
Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son
iguales.
Ejemplo:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b

Licenciado en Matemáticas. Universidad de los andes. Última edición el 25 agosto de 2022. Es un
caso particular de la propiedad uniforme, considerando particularmente el caso de la resta i la
división (que, en el fondo, también corresponden a una suma y una multiplicación). Esta propiedad
trata este caso de manera separada. Por ejemplo, si 7+2=9, entonces 7=9-2. O si 2y=6, entonces
y=3 (dividiendo entre dos en ambos lados).
Inecuaciones y desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por
uno de estos signos:
< Menor que 2x − 1 < 7
≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> Mayor que 2x − 1 > 7
≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
Manuel Fortun, 07 de julio, 2019 Inecuación. Economipedia.com Es la desigualdad existente entre
dos expresiones algebraicas, conectadas a través de los signos: mayor que >, menor que <, menor
o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, en la que figura uno o varios valores desconocidos
llamado incógnita, además de ciertos datos conocidos.
La desigualdad existente entre las dos expresiones algebraicas solo se verifica, o más bien, solo es
verdadera para determinados valores de la incógnita.
La solución de una inecuación formulada, significa determinar mediante ciertos procedimientos, el
valor que la satisfaga.

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solución
de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
4

(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞)
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 2x: 2 < 6: 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo,
la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x<5 (−x) • (−1) > 5 • (−1) x >−5
http://agrega.educacion.es Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las
mismas soluciones.

• Sumando o restando a ambos miembros de la misma expresión.
• Multiplicando ambos miembros por un número positivo (distinto de cero).
• Multiplicando ambos miembros por un número negativo (distinto de cero) y cambiando el signo de
la desigualdad.
Inecuaciones de primer grado
Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/ecuacion-de-primer-grado/
Consultado: 14 de enero de 2023, 05:27 pm. Una ecuación de primer grado es una igualdad
matemática con una o más incógnitas. Dichas incógnitas deben ser despejadas o resueltas para
encontrar el valor numérico de la igualdad.
Las ecuaciones de primer grado reciben este nombre porque sus variables (incógnitas) están
elevadas a la primera potencia (X1), que suele representarse solo con una X. Del mismo modo, el
grado de la ecuación indica el número de soluciones posibles. Por lo tanto, una ecuación de primer
grado (también llamada ecuación lineal) solo tiene una solución.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
1º Quitar corchetes y paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones
5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la
desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.

7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
2-(-2x-2-(x-3)/2) ≤ 2x/3-(5x-3)/12+3x
2+2x+2+(x-3)/2 ≤ 2x/3-(5x-3)/12+3x
24+24x+24+6 (x-3)≤8x-(5x-3)+36x
24+24x+24+6x-18≤8x-5x+3+36x
24x+6x-8x+5x-36x≤3-24-24+18
-9x≤-27
9x≥27
x≥3
[3,+∞)
Inecuaciones de segundo grado
Autor: Leoncio Santos Cuervo Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 Son
ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al
cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro
quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo
grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy
conveniente. Por ejemplo:
Ejercicio 1.- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:
3x2 - 3x/2 = x/2 - x + 2 + x2
Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:
6x2 - 3x = x - 2x + 4 + 2x2
Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x2 - 2x - 4 = 0 y simplificando (dividiendo
todo por 2): 2x2 - x - 2 = 0.
Consideremos la inecuación:
x2− 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de
segundo grado.

x2− 6x + 8 = 0
𝑥 =
6± 62−4.8
2
=
6± 36−32
2
=
6±2
2
=
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos
el signo en cada intervalo:
P(0) =0 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) =3 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 5 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el
polinomio.
S= (-∞, 2) ∪ (4, ∞)
𝑥 + 2x +1 ≥ 0
𝑥 + 2x +1 = 0
𝑥 =
−2 ± 2 − 4
2
=
−2 ± 0
2
= −1
(x + 1) ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R
Solución
𝑥 + 2𝑥 + 1 ≥ 0 (𝑥 + 1) ≥ 0 ℝ
𝑥 + 2𝑥 + 1 > 0 (𝑥 + 1) > 0 ℝ − 1
𝑥 + 2𝑥 + 1 ≤ 0 (𝑥 + 1) ≤ 0 𝑥 = −1
𝑥 + 2𝑥 + 1 < 0 (𝑥 + 1) < 0 ∅
𝑥 + 𝑥 + 1 > 0
𝑥 + 𝑥 + 1 = 0
𝑥 =
−1 ± 1 − 4
2
=
−1 ± −3
2

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución
𝑥 + 𝑥 + 1 ≥ = 0 ℝ
𝑥 + 𝑥 + 1 ≥= 0 ℝ
𝑥 + 𝑥 + 1 ≤= 0 ∅
𝑥 + 𝑥 + 1 ≤= 0 ∅

Inecuaciones racionales
Oscar Darío. Santa. Zuluaga. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia,
Especialista en Informática Educativa. D’repaso virtual educación del siglo XXI. Una inecuación
racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita, la
cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador puede ser una inecuación lineal o cuadrática,
y en el denominador también
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay
que tener presente que el denominador no puede ser cero.
𝑥 − 2
𝑥 − 4
≥ 0
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
X − 2 = 0 x = 2
X − 4 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del
denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
𝑥−
𝑥−
≥ 0 𝑥 ≠ 4
𝑥 = 0
0 − 2
0 − 4
> 0
𝑥 = 3
3 − 2
3 − 4
< 0
𝑥 = 5
5 − 2
5 − 4
> 0

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la
fracción polinómica.
S = (-∞, 2] ∪ (4, ∞)
𝑥 + 3
𝑥 − 2
< 2
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
𝑥 + 3
𝑥 − 2
− 2 < 0
𝑥 + 3 − 2 𝑥 − 2
𝑥 − 2
< 0
−𝑥 + 7
𝑥 − 2
< 0
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0 x = 7
x − 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:
𝑥 = 0
0 + 7
0 − 2
< 0
𝑥 = 3
3 + 7
3 − 2
> 0
𝑥 = 8
−8 + 7
8 − 2
< 0
S = (-∞, 2) ∪ (7, ∞)

Conclusión
Tras el análisis podemos deducir la importancia que tienen los números reales en nuestra vida
diaria en cálculos, cuentas de la casa, el banco, compra, venta entre otros. Para ilustrar mejor los
resultados se puede resaltar que los números reales son cualquier número que se encuentren o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, por lo
tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito. Este
conjunto de los números reales contienen en el, al conjunto de los números naturales (N), números
enteros (Z), números racionales (Q), números irracionales así también números fraccionarios,
números algebraicos, números transcendentales. Podemos resaltar que los números algebraicos
son números con decimales no periódicas, los números irracionales que no son algébricos se
llaman transcendentes todos los números reales siguen un orden por ejemplo 1, 2, 3, 4…. Adema
se puede ver que estos números reales cumplen con una serie de propiedades que son
propiedades conmutativas, asociativa, identidad, inversos y distributiva, donde el orden de los
factores no altera el resultado. Así también es muy importante resaltar las propiedades de las
igualdades, estas nos ayudan a justificar los métodos que usaremos para resolver problemas por
ejemplo la propiedad reflexiva dice: un número siempre es igual a sí mismo.
En la simetría: si un número es igual a otro, el segundo debe ser igual al primero.
La transitiva: si un primer número es igual a otro segundo número, y demás, el segundo es igual a
otro tercer número y el primer número deben ser iguales.

Uniforme: establece que si aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros la
igualdad se conserva.
Consecutiva: en una igualdad pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la
igualdad no se altera finalmente nos encontramos con la inecuación y desigualdades podemos ver
que las inecuaciones permiten tomar decisiones que optimizan el resultado buscado a travez de
una expresión matemáticas. Las inecuaciones se clasificar atendiendo al número de incógnitas y al
grado de la expresión algebraica que aparece en ella. Las desigualdades nos permiten comparar
instintivamente cualesquiera dos elementos y conocer la relación que hay entre ellos, una
desigualdad formaliza la manera en que se relacionan los elementos de un conjunto ordenado.
Entre las inecuaciones se encuentra las equivalentes, inecuaciones de primer grado, segundo
grado y racionales. En fin la matemática es la ciencia de la estructura, el orden y los patrones
repetitivos que se basan en contar, medir y describir las formas, su objetivo de estudio son las
magnitudes, las cantidades y los cambios de estas en el tiempo y el espacio.

Bibliografía
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• Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/ecuacion-de-primer-grado/
Consultado: 14 de enero de 2023, 05:27 pm.
• Autor: Leoncio Santos Cuervo Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000
• Oscar Darío Santa Zuluaga. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de Antioquia,
Especialista en Informática Educativa. D’repaso virtual educación del siglo XXI.