2. El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole,
la línea, la circunferencia y la elipse, las
cuales forman parte de la geometría
analítica.
La finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de
coordenadas
Se conoce como plano cartesiano,
coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado
origen o punto cero.
3. Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce
la fórmula de distancia entre estos dos puntos. La
demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo
muestra cómo usar la fórmula para determinar la
distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La
distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la
denotaremos por d(P1,P2). La fórmula de la distancia usa
las coordenadas de los puntos.
4. El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un
segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo
divide en dos partes iguales.
Sean A(X1, Y1, Z1) Y B(X2, Y2, Z2) los extremos de
un segmento, el punto medio del segmento
viene dado por:
5. Sea un punto A (a,b) de la recta, cuyo vector
Directriz es . Si tomamos un punto
Genérico de la recta p (x,y) se tiene:
Ejemplo
Que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo un parámetro tal que al
ir tomando los distintos valores de R nos va dando los distintos puntos P
de la recta.
𝑣 𝑣1, 𝑣2
𝑥 = 𝑎 + 𝐴𝑣
6. Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos
las ecuaciones paramétricas de la recta
Despejando en la ecuación de arriba, e igualando se tiene la ecuación
continua de la recta:
𝑥 = 𝑎 + 𝐴𝑉1
y= b + 𝐴𝑉2
𝑥 − 𝑎
𝑉1
=
𝑦 − 𝑏
𝑉2
7. Dados dos puntos del plano, , la ecuación de la recta
que pasa por estos dos puntos es:
(Siendo a el punto de corte con el eje X y B el punto de corte con el eje y)
𝑝1 𝑥1, 𝑦1 𝑝2 𝑥2, 𝑦2
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦 − 𝑦2
𝑋
𝐴
+
𝑌
𝐵
= 1
8. A X + B Y + C = O
Y=M X + B
Siendo M valor de tg a (también llamada
“pendiente” de la recta), el punto de corte del eje Y.
9. Para una circunferencia de radio
centrada en el origen de coordenadas:
𝑋2
+ 𝑌2
= 𝑅2
Para una circunferencia de radio R
centrada en un punto P (a,b):
𝑥 − 𝑎 2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑅2
10. Para una circunferencia de radio
centrada en el origen:
Ecuación de la elipse centrada en el
origen:
En el caso de que la circunferencia esta centrada en un punto distinto
del origen, digamos en p(a,b), las ecuaciones paramétricas quedan:
y = R Con j
y = R Sen j
y = b + R Sen j
y = a + R Con j
Sea una elipse centrada en O, y cuyos
semiejes sean a, b. esta elipse tiene
por ecuación en
Coordenadas cartesianas: 𝑥2
𝑎2
+
𝑦3
𝑏2
= 1
12. Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una
recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e,
eje, con el cual se corta en un punto v, vértice.
g = la Generatriz
e = el eje
v = el vértice
*Superficie – una superficie cónica de revolución esta engendrada por la
rotación de una recta alrededor de otra recta fija llamada eje, a la que corta
de modo oblicuo.
*Generatriz – la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
*Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
*Hojas – las hojas son las dos partes en la que el vértice divide a la superficie
cónica de revolución.
*Sección – se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono
con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existen
entre el.
Angulo de conicidad (A) y la inclinación del plano respecto del eje del cono
(B). Pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
