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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Quelques contributions à la commande non linéaire
des robots marcheurs bipèdes sous-actionnés
Ahmed CHEMORI
Laboratoire d’Automatique de Grenoble. UMR 5528
BP46,Domaine Univesitaire, 38402 Saint Martin d’Hères
Sous la direction de
Mazen ALAMIR & Antonio LORIA
14 juin 2005
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 1
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
1 Introduction & problématique
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
2 Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
3 Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
4 Conclusions & perspectives
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Dequeltype de robot
bipède s'agit-il ?
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Dequeltype de robot
bipède s'agit-il ?
Robotsmarcheurs bipèdes
Robotsmarcheurs passifs Robots marcheurs actifs
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Dequeltype de robot
bipède s'agit-il ?
Robotsmarcheurs bipèdes
Robotsmarcheurs passifs
Robots complètement actionnés
Robots marcheurs actifs
Robotssous-actionnés
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Dequeltype de robot
bipède s'agit-il ?
Robotsmarcheurs bipèdes
Robotsmarcheurs passifs
Robots complètement actionnés
Dequeltype de marche
s'agit-il ?
Robots marcheurs actifs
Robotssous-actionnés
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Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Dequeltype de robot
bipède s'agit-il ?
Robotsmarcheurs bipèdes
Robotsmarcheurs passifs
Robots complètement actionnés
Dequeltype de marche
s'agit-il ? Modes de marche robotique
Marche statique
Robots marcheurs actifs
Robotssous-actionnés
Marche dynamique
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
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Prototype
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Dequeltype de robot
bipède s'agit-il ?
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Robotsmarcheurs passifs
Robots complètement actionnés
Dequeltype de marche
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Pour s’affranchir du problème de sous-actionnement
Solution 1 Solution 2 Solution 3
Trois solutions sont retenues
Utilisation des
commandesvirtuelles
Optimisation de la
dynamique des zéros
Utilisation des
techniques
prédictives
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Solution 1 : utilisation des commandes virtuelles
- Wieber 2000
- Chevallereau 2002
- Canudas et al. 2002
- Chevallereau et Lounis 2002
Définir des trajectoires sur toutes les coordonnées
qd = qr(s)
s : un paramètre (temps virtuel, variable de configuration, ...)
¨s : une commande supplémentaire
Poursuite des trajectoires de références avec ¯u =
u
¨s
Inconvénient : contraintes sur ¨s délicates à satisfaire
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Solution 2 : optimisation de la dynamique des zéros
- Grizzle et al. 2001
- Westervelt et al. 2003
- Plestan et al. 2003
Définir des applications de sortie y = h(q,α)
Définir des trajectoires sur les sorties (fonctions d’une variable de
configuration, minimisant les couples sur un pas)
Analyse de la dynamique des zéros : optimisation hors ligne
⇒ α =? dynamique des zéros exponentiellement stable
Section de Poincaré : existence et stabilité de cycles limites périodiques
Inconvénient : manque de reactivité
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Solution 3 : utilisation des techniques prédictives
- Azevedo et al. 2002
- Azevedo et al. 2004
Systèmes considérés : ˙x = f(x,Γ) , nΓ < nx
Prendre le robot d’une certaine configuration initiale x0
à une certaine
configuration finale xf



minu(k) J(u(k)) ; u(k) =




Γ(k + 1)
...
Γ(k + nc)



 ; nc × nΓ ≥ nx
sous C(x0
,u(k)) ≤ 0
Appliquer Γ(k + 1) et glisser l’horizon
Inconvénient : temps de calcul
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Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Solutions proposées
Deux approches de commande sont proposées
Solution 1 Solution 2 Solution 3
Solutions retenues
Utilisation des
commandesvirtuelles
Optimisation de la
dynamique des zéros
Utilisation des
techniques
prédictives
Approche 2
Commande prédictive non linéaire
Approche 1
Commande par la méthode
de Lyapunov
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Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
prototype
5 segments : un tronc & 2 jambes avec genoux
Sans chevilles : contact ponctuel
7 degrés de liberté
Actioneurs (4 moteur à C.C & réducteurs de vitesses)
C’est un robot marcheur sous-actionné
Capteurs : codeurs incrémentaux
système de guidage
Stabilisation latérale
Barre radiale : mouvements dans le plan
Contrepoids : équilibrer le poids de la barre
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Prototype
Problématique
prototype
5 segments : un tronc & 2 jambes avec genoux
Sans chevilles : contact ponctuel
7 degrés de liberté
Actioneurs (4 moteur à C.C & réducteurs de vitesses)
C’est un robot marcheur sous-actionné
Capteurs : codeurs incrémentaux
système de guidage
Stabilisation latérale
Barre radiale : mouvements dans le plan
Contrepoids : équilibrer le poids de la barre
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Prototype
Problématique
Modèle non linéaire à 7 d.d.l :
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su
q = [q31 q41 q32 q42 q1 x y]T ∈ R7
u = [u1 u2 u3 u4]T
∈ R4
Sous-actionnement : dim(u) < dim(q)
Contraintes de contact avec le sol :
Φ(q) = 0
Modèle d’impact rigide :
q+
˙q+ = ∆(q)
q−
˙q−
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Prototype
Problématique
Modèle non linéaire à 7 d.d.l :
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su
q = [q31 q41 q32 q42 q1 x y]T ∈ R7
u = [u1 u2 u3 u4]T
∈ R4
Sous-actionnement : dim(u) < dim(q)
Contraintes de contact avec le sol :
Φ(q) = 0
Modèle d’impact rigide :
q+
˙q+ = ∆(q)
q−
˙q−
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Prototype
Problématique
simple support impact double support
Simple support :
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT
1 (q)λ
Φss(q) = 0
Impact :
q+
˙q+ = ∆(q)
q−
˙q−
Double support :
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT
(q)λ
Φds(q) = 0
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Prototype
Problématique
simple support impact double support
Simple support :
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT
1 (q)λ
Φss(q) = 0
Impact :
q+
˙q+ = ∆(q)
q−
˙q−
Double support :
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT
(q)λ
Φds(q) = 0
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Contexte
Approches existantes pour les robots sous-actionnés
Prototype
Problématique
Objectif
Réaliser une marche dynamique stable
Hypothèses
Marche sur un sol plat horizontal sans obstacles
Mouvements dans le plan sagittal (système de guidage)
Contraintes
Non glissement avec la surface de marche (à vérifier a posteriori)
Les commandes restent dans les limites admises (à vérifier a posteriori)
Puissance admissible des moteurs (à vérifier a posteriori)
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Prototype
Problématique
Objectif
Réaliser une marche dynamique stable
Hypothèses
Marche sur un sol plat horizontal sans obstacles
Mouvements dans le plan sagittal (système de guidage)
Contraintes
Non glissement avec la surface de marche (à vérifier a posteriori)
Les commandes restent dans les limites admises (à vérifier a posteriori)
Puissance admissible des moteurs (à vérifier a posteriori)
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Réaliser une marche dynamique stable
Hypothèses
Marche sur un sol plat horizontal sans obstacles
Mouvements dans le plan sagittal (système de guidage)
Contraintes
Non glissement avec la surface de marche (à vérifier a posteriori)
Les commandes restent dans les limites admises (à vérifier a posteriori)
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Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Approche 1
Commande par la méthode de Lyapunov
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Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Principe de base
double support support droit
support gauche double support
impactdroit impact gauche
˙x = f2(x) + g2(x)u ˙x = f1(x) + g1(x)u
˙x = f1(x) + g1(x)u ˙x = f2(x) + g2(x)u
x(t+) = ∆(x(t−))x(t+) = ∆(x(t−))
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Applications
Principe de base
double support support droit
support gauche double support
impactdroit impact gauche
˙x = f2(x) + g2(x)u ˙x = f1(x) + g1(x)u
˙x = f1(x) + g1(x)u ˙x = f2(x) + g2(x)u
x(t+) = ∆(x(t−))x(t+) = ∆(x(t−))
Modèle à 7 d.d.l
contraintes de contact simple contraintes de contact double
modèle d'ordre réduit SS modèle d'ordre réduit DSmodèle d'impact
Commande en phase de SS Commande en phase de DSPerturbations
Stabilité du robot marcheursur le cycle complet de marche
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Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de simple support
Objectif
Faire un pas en avant
Contraintes : Φss(q) :
xf = x − l3 sin(q31) − l4 sin(q31 + q41) = 0
yf = y + l3 cos(q31) + l4 cos(q31 + q41) = 0
Modèle d’ordre réduit :
M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT
(q)Su
λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su]
qnc ∈ R5
, u ∈ R4
⇒ sous-actionnement
Trajectoires de référence :
Amener le robot d’une certaine
configuration initiale à une certaine
configuration finale
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Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
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Applications
Commande en phase de simple support
Objectif
Faire un pas en avant
Contraintes : Φss(q) :
xf = x − l3 sin(q31) − l4 sin(q31 + q41) = 0
yf = y + l3 cos(q31) + l4 cos(q31 + q41) = 0
Modèle d’ordre réduit :
M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT
(q)Su
λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su]
qnc ∈ R5
, u ∈ R4
⇒ sous-actionnement
Trajectoires de référence :
Amener le robot d’une certaine
configuration initiale à une certaine
configuration finale
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Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de simple support
Objectif
Faire un pas en avant
Contraintes : Φss(q) :
xf = x − l3 sin(q31) − l4 sin(q31 + q41) = 0
yf = y + l3 cos(q31) + l4 cos(q31 + q41) = 0
Modèle d’ordre réduit :
M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT
(q)Su
λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su]
qnc ∈ R5
, u ∈ R4
⇒ sous-actionnement
Trajectoires de référence :
Amener le robot d’une certaine
configuration initiale à une certaine
configuration finale
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Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de simple support:
Loi de commande : linéarisation partielle
u = S+
(H+
)T
(q)ua
qnc := [qa qna]T
ua := [u1 0]T ⇒
m11¨qa + m12¨qna + n11 ˙qa + n12 ˙qna + g1(q) = u1
m21¨qa + m22¨qna + n21 ˙qa + n22 ˙qna + g2(q) = 0
Choisir u1 linéarisante
¨qnad = −m−1
22 m21¨qad − m−1
22 n21 ˙qa − m−1
22 n22 ˙qna − m−1
22 g2 + Kd
˙˜qna + Kp˜qna
système en B.F résultant
¨˜qa + Kd
˙˜qa + Kp˜qa = 0
¨˜qna + Kd
˙˜qna + Kp˜qna = m−1
22 m21[Kd
˙˜qa + Kp˜qa]
Analyse de stabilité : méthode de Lyapunov
Globalement exponentiellement stable
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Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de simple support:
Loi de commande : linéarisation partielle
u = S+
(H+
)T
(q)ua
qnc := [qa qna]T
ua := [u1 0]T ⇒
m11¨qa + m12¨qna + n11 ˙qa + n12 ˙qna + g1(q) = u1
m21¨qa + m22¨qna + n21 ˙qa + n22 ˙qna + g2(q) = 0
Choisir u1 linéarisante
¨qnad = −m−1
22 m21¨qad − m−1
22 n21 ˙qa − m−1
22 n22 ˙qna − m−1
22 g2 + Kd
˙˜qna + Kp˜qna
système en B.F résultant
¨˜qa + Kd
˙˜qa + Kp˜qa = 0
¨˜qna + Kd
˙˜qna + Kp˜qna = m−1
22 m21[Kd
˙˜qa + Kp˜qa]
Analyse de stabilité : méthode de Lyapunov
Globalement exponentiellement stable
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Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de double support
Objectif
Redressement vertical du tronc (coordonnée non actionné en SS)
4 contraintes holonomes ⇒ modèle d’ordre réduit
M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT
(q)Su
λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su]
, qnc ∈ R3
, u ∈ R4
Loi de commande :
u = S+
(H+
)T
(q)ua ⇒ M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = ua
Choisir ua linéarisante : commande dynamique
Système en boucle fermée :
¨˜qnc + Kd”˙˜qnc + Kp”˜qnc = 0 ⇒ ˙x = Ax
Kd”, Kp” > 0 ⇒ exponentiellement stable
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Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de double support
Objectif
Redressement vertical du tronc (coordonnée non actionné en SS)
4 contraintes holonomes ⇒ modèle d’ordre réduit
M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT
(q)Su
λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su]
, qnc ∈ R3
, u ∈ R4
Loi de commande :
u = S+
(H+
)T
(q)ua ⇒ M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = ua
Choisir ua linéarisante : commande dynamique
Système en boucle fermée :
¨˜qnc + Kd”˙˜qnc + Kp”˜qnc = 0 ⇒ ˙x = Ax
Kd”, Kp” > 0 ⇒ exponentiellement stable
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Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Commande en phase de double support
Objectif
Redressement vertical du tronc (coordonnée non actionné en SS)
4 contraintes holonomes ⇒ modèle d’ordre réduit
M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT
(q)Su
λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su]
, qnc ∈ R3
, u ∈ R4
Loi de commande :
u = S+
(H+
)T
(q)ua ⇒ M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = ua
Choisir ua linéarisante : commande dynamique
Système en boucle fermée :
¨˜qnc + Kd”˙˜qnc + Kp”˜qnc = 0 ⇒ ˙x = Ax
Kd”, Kp” > 0 ⇒ exponentiellement stable
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Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Stabilité sur le cycle complet de marche :
ΣSS : ¨˜q + Kd
˙˜q + Kp˜q = F(t,˜q,˙˜q) ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ ISS × ˜ΩSS
ΣI :
˜q+
˙˜q+ = ∆3(q)
˜q−
˙˜q− ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ II × R2n
ΣDS : ¨˜q + Kd
˙˜q + Kp ˜q = 0 ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ IDS × ˜ΩDS
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Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Stabilité sur le cycle complet de marche :
ΣSS : ¨˜q + Kd
˙˜q + Kp˜q = F(t,˜q,˙˜q) ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ ISS × ˜ΩSS
ΣI :
˜q+
˙˜q+ = ∆3(q)
˜q−
˙˜q− ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ II × R2n
ΣDS : ¨˜q + Kd
˙˜q + Kp ˜q = 0 ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ IDS × ˜ΩDS
Ωss Ωds
x(0)
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Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
La marche à vitesse constante
Paramètres de l’approche
Paramètre Signification valeur
tf la durée d’un pas (SS+impact+DS) 1.42sec
tss la durée du simple support 1sec
tds la durée du double support 0.42sec
Kd gain de retour de vitesse (SS) 10 × I5×5
Kp gain de retour de position (SS) 300 × I5×5
Kd gain de retour de vitesse, dans ¨qna (SS) 280
Kp gain de retour de position, dans ¨qna (SS) 800
Kd” gain de retour de vitesse (DS) 50 × I3×3
Kp” gain de retour de position (DS) 800 × I3×3
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 19
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Cuisse1
Cuisse2
Tibia1
Tibia2
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 20
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Cuisse1
Cuisse2
Tibia1
Tibia2
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 20
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Tronc
Plandephase
Forcespied1
Forcespied2
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 21
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Tronc
Plandephase
Forcespied1
Forcespied2
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 21
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Commande en phases principales (SS, DS)
Stabilité sur le cycle complet de marche
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
CommandesPuissancesmoteurs
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 22
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Approche 2
Commande prédictive non linéaire
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 23
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Principe de base
˙x = f(x) + g(x)u , si x ∈ S0
x(t+
) = ∆(x(t−
)) , si x ∈ S0
, S0 := x ∈ Rn
| S(x) = 0
Exemple : cas du robot marcheur bipède
Il y a impact si yf2 (x(t)) = 0 ; ˙yf2 (x(t)) ≤ 0
S(x) := yf2 (x)
2
+ max{0,˙yf2 (x)}
Linéarisation partielle
˙ξ = Aξ + Bv ; ξ ∈ Rnξ
˙η = Z(ξ,η,v) ; η ∈ Rnη
Exemple : cas du robot marcheur bipède
ξ : coordonnées des jambes η : coordonnée du tronc
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Système à
commander
Contrôleurpar
retourd'étatTrajectoires
paramétéres
Configuration
désirée
Prédiction optimisation
Modèle du
système
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 25
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc
saut saut
ξ(t(k−1)) = ξf
ξ(tk) = ξf
t
ξ(t+
(k−1)) =: ξ0
k−1
ξ(t+
k ) =: ξ0
k
Comment choisir p?
pk = ˆp(η(t−
k ),ξf
,ηf
) := min
p∈P
F(η(t−
k ),p,ξf
) − ηf 2
Q
F η(t−
k ),pk,ξf
= η(t−
k+1)
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc
saut saut
ξ(t(k−1)) = ξf
ξ(tk) = ξf
t
ξ(t+
(k−1)) =: ξ0
k−1
ξ(t+
k ) =: ξ0
k
T(ξ0
k−1,p1,·)
Comment choisir p?
pk = ˆp(η(t−
k ),ξf
,ηf
) := min
p∈P
F(η(t−
k ),p,ξf
) − ηf 2
Q
F η(t−
k ),pk,ξf
= η(t−
k+1)
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc
saut saut
ξ(t(k−1)) = ξf
ξ(tk) = ξf
t
ξ(t+
(k−1)) =: ξ0
k−1
ξ(t+
k ) =: ξ0
k
T(ξ0
k−1,p1,·)
T(ξ0
k−1,p2,·)
Comment choisir p?
pk = ˆp(η(t−
k ),ξf
,ηf
) := min
p∈P
F(η(t−
k ),p,ξf
) − ηf 2
Q
F η(t−
k ),pk,ξf
= η(t−
k+1)
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc
saut saut
ξ(t(k−1)) = ξf
ξ(tk) = ξf
t
ξ(t+
(k−1)) =: ξ0
k−1
ξ(t+
k ) =: ξ0
k
T(ξ0
k−1,p1,·)
T(ξ0
k−1,p2,·)
Comment choisir p?
pk = ˆp(η(t−
k ),ξf
,ηf
) := min
p∈P
F(η(t−
k ),p,ξf
) − ηf 2
Q
F η(t−
k ),pk,ξf
= η(t−
k+1)
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
pk = ˆp(η(t−
k ),ξf
,ηf
) := min
p∈P
F(η(t−
k ),p,ξf
) − ηf 2
Q
remplacé dans la dynamique interne, donne
η(t−
k+1) = Fcl(η(t−
k ),¯xf
) ; ¯xf
:= (ξf
,ηf
)
Un système discret autonome
C’est la dynamique interne projetée sur la section de Poincaré
Sous une forme multi pas (évaluée après k0 sauts)
η(t−
k+k0
) = Fk0
cl (η(t−
k ),¯xf
)
Originalité : cycles limites multiples
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
pk = ˆp(η(t−
k ),ξf
,ηf
) := min
p∈P
F(η(t−
k ),p,ξf
) − ηf 2
Q
remplacé dans la dynamique interne, donne
η(t−
k+1) = Fcl(η(t−
k ),¯xf
) ; ¯xf
:= (ξf
,ηf
)
Un système discret autonome
C’est la dynamique interne projetée sur la section de Poincaré
Sous une forme multi pas (évaluée après k0 sauts)
η(t−
k+k0
) = Fk0
cl (η(t−
k ),¯xf
)
Originalité : cycles limites multiples
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 27
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Analyse de stabilité
Poursuite exacte ⇒ ξ(t−
k ) = ξf
La stabilité du système dépend de la convergence de la séquence η(t−
k ) k∈N
1 Convergence vers une trajectoire k0-cyclique
lim
j→∞
η(t−
jk0
) − ηf
= 0
2 Convergence vers un voisinage d’une trajectoire k0-cyclique
lim
j→∞
η(t−
jk0
) − ηf
≤ ε
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 28
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Analyse de stabilité
Poursuite exacte ⇒ ξ(t−
k ) = ξf
La stabilité du système dépend de la convergence de la séquence η(t−
k ) k∈N
1 Convergence vers une trajectoire k0-cyclique
lim
j→∞
η(t−
jk0
) − ηf
= 0
2 Convergence vers un voisinage d’une trajectoire k0-cyclique
lim
j→∞
η(t−
jk0
) − ηf
≤ ε
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 28
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Convergence vers un cycle limite
Région d'attraction
r = η − ηf 2
Qρ
ΨQ
k0
(r) := sup η−ηf 2
Q=r Fk0
cl (η,xf
) − ηf 2
Q
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 29
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Convergence vers un voisinage d’un cycle limite
Région d'attraction
Voisinage du
cycle limite
r = η − ηf 2
Qρ
ΨQ
k0
(r) := sup η−ηf 2
Q=r Fk0
cl (η,xf
) − ηf 2
Q
ε
ε
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 30
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Robustesse de l’approche en terme de stabilité
Région d'attraction
du système nominal
Voisinage du cycle limite
pourle système incertain
Système incertain
Système nominal
Région d'attraction
du système incertain
r = η − ηf 2
Qρ1ρ2
ΨQ
k0
(r) = supδ sup η−ηf 2
Q=r Fk0
cl (η,xf
) − ηf 2
Q
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 31
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
• Un système non linéaire dont le linéarisé est non commandable
• Le système chaotique impulsionnel de Lorenz
• La bille sur le rail
• Le pendule inversé ECP 505 • Le robot bipède Rabbit
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 32
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Application au robot bipède RABBIT
Support droit
Impact gauche
Support gauche
Impact droit
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT
1 (q)λ
Φss(q) = 0
˙x = f(x) + g(x)u ; λ = Λ(x,u)
x(t+
) = ∆(x(t−
))
Linéarisation partielle
h(x) := (q31 q41 q32 q42)T
∈ R4
ξ := q31 q41 q32 q42 ˙q31 ˙q41 ˙q32 ˙q42
T
∈ R8
η := q1 ˙q1
T
∈ R2
Paramètre d’optimisation scalaire : p = q32(tf /2)
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 33
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Application au robot bipède RABBIT
Support droit
Impact gauche
Support gauche
Impact droit
M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT
1 (q)λ
Φss(q) = 0
˙x = f(x) + g(x)u ; λ = Λ(x,u)
x(t+
) = ∆(x(t−
))
Linéarisation partielle
h(x) := (q31 q41 q32 q42)T
∈ R4
ξ := q31 q41 q32 q42 ˙q31 ˙q41 ˙q32 ˙q42
T
∈ R8
η := q1 ˙q1
T
∈ R2
Paramètre d’optimisation scalaire : p = q32(tf /2)
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 33
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Choix de ξf
: paramétrisation réduite
Choix des positions :
(d,y,ρ)⇒ positions articulaires dans ξf
Choix des vitesses :
vitesse d’impact désirée vp → vitesse à
norme minimale ⇒ vitesses articulaires
dans ξf
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 34
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Principe d’application
Initialisation :
Calcul de :
Génération de trajectoires de référence
- Solution du Problème d’optimisation
- Calcul des coefficients des B -Splines
Calcul de la commande de poursuite
Poursuite jusqu’au prochain inst de décision
Impact ?
Non
Dynamique de l’impact
Permutation des jambes
Acquisition des mesures
Oui
Acquisition des mesures
Initialisation :
Calcul de :
Génération de trajectoires de référence
- Solution du Problème d’optimisation
- Calcul des coefficients des B -Splines
Calcul de la commande de poursuite
Poursuite jusqu’au prochain inst de décision
Impact ?
Non
Dynamique de l’impact
Permutation des jambes
Acquisition des mesuresAcquisition des mesures
Oui
Acquisition des mesures
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 35
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Résultats de simulation
scénarios de simulation
Marche à vitesse constante
Génération d’allures transitoires de démarrage et d’arrêt
Transition entre différentes vitesses de marche
Balancement autour d’une posture d’équilibre
Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques
Robustesse vis-à-vis des irrégularités du le sol
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 36
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
La marche à vitesse constante
Paramètres de l’approche
Paramètre Signification valeur
tf la durée d’un pas 0.75sec
y hauteur des hanches y = 0.775m
d Longueur d’un pas 0.3m
ρ position horizontale des hanches 0.5
vp2
vitesse d’impact désirée du pied de balancement −0.25m/sec
(q1,˙q1)0 position et vitesse initiale du tronc (0,0)
Q matrice de pondération
1 0
0 0
vmoy vitesse moyenne de marche −0.4m/sec
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 37
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 38
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Plandephase(tronc)
Forcesdecontact
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 39
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario A : La marche à vitesse constante
Plandephase(tronc)
Forcesdecontact
Commandes
Puissancemoteurs
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 39
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario A : animation graphique
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 40
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario B : Transition entre différentes vitesses de marche
Plandephase(tronc)
Forcesdecontact
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 41
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario B : Transition entre différentes vitesses de marche
Plandephase(tronc)
Forcesdecontact
Commandes
Puissancemoteurs
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 41
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario C
Balancement autour d’un équilibre
Scénario D
Robustesse envers des irrégularité du sol
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 42
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario C : Balancement autour d’un équilibre
Plandephase(tronc)
Forcesdecontact
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 43
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario C : Balancement autour d’un équilibre
Plandephase(tronc)
Forcesdecontact
Commandes
Puissancemoteurs
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 43
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du sol
Cuisses
Tibias
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 44
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du sol
Cuisses
Tibias
Tronc
Plandephase(tronc)
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 44
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du le sol
Forcesdecontact
Commandes
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 45
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du le sol
Forcesdecontact
Commandes
Puissancemoteurs
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 45
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Principe de base
Analyse de Stabilité
Applications
Scénarios C & D : animation graphique
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 46
Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Problème traité :
Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous
actionné
Confronté à :
Un système non linéaire instable en boucle ouverte
Sous actionnement
Dynamique hybride
Interaction avec l’environnement (le sol)
Solutions proposées :
Commande par la méthode de Lyapunov
Commande prédictive non linéaire de faible dimension
Analyse de la stabilité en boucle fermée :
Méthode de Lyaponov (app1)
Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2)
Perspectives :
Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit
Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour
élargir la région d’attraction
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Problème traité :
Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous
actionné
Confronté à :
Un système non linéaire instable en boucle ouverte
Sous actionnement
Dynamique hybride
Interaction avec l’environnement (le sol)
Solutions proposées :
Commande par la méthode de Lyapunov
Commande prédictive non linéaire de faible dimension
Analyse de la stabilité en boucle fermée :
Méthode de Lyaponov (app1)
Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2)
Perspectives :
Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit
Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour
élargir la région d’attraction
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Problème traité :
Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous
actionné
Confronté à :
Un système non linéaire instable en boucle ouverte
Sous actionnement
Dynamique hybride
Interaction avec l’environnement (le sol)
Solutions proposées :
Commande par la méthode de Lyapunov
Commande prédictive non linéaire de faible dimension
Analyse de la stabilité en boucle fermée :
Méthode de Lyaponov (app1)
Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2)
Perspectives :
Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit
Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour
élargir la région d’attraction
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Problème traité :
Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous
actionné
Confronté à :
Un système non linéaire instable en boucle ouverte
Sous actionnement
Dynamique hybride
Interaction avec l’environnement (le sol)
Solutions proposées :
Commande par la méthode de Lyapunov
Commande prédictive non linéaire de faible dimension
Analyse de la stabilité en boucle fermée :
Méthode de Lyaponov (app1)
Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2)
Perspectives :
Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit
Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour
élargir la région d’attraction
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Problème traité :
Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous
actionné
Confronté à :
Un système non linéaire instable en boucle ouverte
Sous actionnement
Dynamique hybride
Interaction avec l’environnement (le sol)
Solutions proposées :
Commande par la méthode de Lyapunov
Commande prédictive non linéaire de faible dimension
Analyse de la stabilité en boucle fermée :
Méthode de Lyaponov (app1)
Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2)
Perspectives :
Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit
Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour
élargir la région d’attraction
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Introduction & problématique
Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov
Approche 2 : commande prédictive non linéaire
Conclusions & perspectives
Publications
A.Chemori and A. Loria, "Control of a planar under-actuated biped on a complete walking cycle", IEEE
Transactions on Automatic Control, vol 49, N 5, May 2004.
A.Chemori and A. Loria, "Commande d’un robot bipède sur un cycle complet de marche", CIFA’02
(Conférence Internationale Francophone d’Automatique), Nantes, France, 2002.
A.Chemori and A. Loria, "Control of a planar five link under-actuated biped robot on a complete walking
cycle", IEEE CDC’02 (41st. International Conference on Decision and Control), Las vegas-Nevada, USA,
2002.
A.Chemori and A. Loria, "Walking control strategy for a planar under-actuated biped robot based on optimal
reference trajectories and partial feedback linearization", RoMoCo’04 (4th International workshop on Robot
Motion and Control), Puszczykowo, Poland, 2004.
———————————————————————————————————————————
A.Chemori and M. Alamir "Limit cycle generation for a class of nonlinear systems with jumps using a low
dimensional predictive control", International Journal of control, to appear, 2005
A.Chemori and M. Alamir "Nonlinear Predictive Control of Under-actuated Mechanical Systems
Application : the ECP 505 inverted pendulum", MTNS’04 (16th International Symposium on Mathematical
Theory of Networks and Systems), Leven, Belgique, 2004
A.Chemori and M. Alamir "Low dimensional predictive control scheme for limit cycle generation in
nonlinear hybrid controlled systems", CCCT’04 (International Conference on Computing, Communications
and Control Technologies), Texas, USA, 2004
A.Chemori and M. Alamir "Generation of Multi-steps limit cycles for Rabbit using a low dimensional
nonlinear predictive control scheme", IEEE/RSJ IROS 2004 (International Conference on Intelligent Robots
and Systems), Sendai, Japan, 2004
A.Chemori and M. Alamir "A new low dimensional nonlinear predictive control scheme for Rabbit’s
dynamic walking control", HLR 2004 (French-German Workshop on humanoid and legged robots), Metz ,
France, 2004
Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 48

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  • 1. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Quelques contributions à la commande non linéaire des robots marcheurs bipèdes sous-actionnés Ahmed CHEMORI Laboratoire d’Automatique de Grenoble. UMR 5528 BP46,Domaine Univesitaire, 38402 Saint Martin d’Hères Sous la direction de Mazen ALAMIR & Antonio LORIA 14 juin 2005 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 1
  • 2. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives 1 Introduction & problématique Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique 2 Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications 3 Approche 2 : commande prédictive non linéaire Principe de base Analyse de Stabilité Applications 4 Conclusions & perspectives Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 2
  • 3. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Dequeltype de robot bipède s'agit-il ? Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 3
  • 4. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Dequeltype de robot bipède s'agit-il ? Robotsmarcheurs bipèdes Robotsmarcheurs passifs Robots marcheurs actifs Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 3
  • 5. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Dequeltype de robot bipède s'agit-il ? Robotsmarcheurs bipèdes Robotsmarcheurs passifs Robots complètement actionnés Robots marcheurs actifs Robotssous-actionnés Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 3
  • 6. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Dequeltype de robot bipède s'agit-il ? Robotsmarcheurs bipèdes Robotsmarcheurs passifs Robots complètement actionnés Dequeltype de marche s'agit-il ? Robots marcheurs actifs Robotssous-actionnés Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 3
  • 7. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Dequeltype de robot bipède s'agit-il ? Robotsmarcheurs bipèdes Robotsmarcheurs passifs Robots complètement actionnés Dequeltype de marche s'agit-il ? Modes de marche robotique Marche statique Robots marcheurs actifs Robotssous-actionnés Marche dynamique Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 3
  • 8. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Dequeltype de robot bipède s'agit-il ? Robotsmarcheurs bipèdes Robotsmarcheurs passifs Robots complètement actionnés Dequeltype de marche s'agit-il ? Modes de marche robotique Marche statique Robots marcheurs actifs Robotssous-actionnés Marche dynamique Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 3
  • 9. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Approches existantes pour les robots sous-actionnés Pour s’affranchir du problème de sous-actionnement Solution 1 Solution 2 Solution 3 Trois solutions sont retenues Utilisation des commandesvirtuelles Optimisation de la dynamique des zéros Utilisation des techniques prédictives Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 4
  • 10. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Solution 1 : utilisation des commandes virtuelles - Wieber 2000 - Chevallereau 2002 - Canudas et al. 2002 - Chevallereau et Lounis 2002 Définir des trajectoires sur toutes les coordonnées qd = qr(s) s : un paramètre (temps virtuel, variable de configuration, ...) ¨s : une commande supplémentaire Poursuite des trajectoires de références avec ¯u = u ¨s Inconvénient : contraintes sur ¨s délicates à satisfaire Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 5
  • 11. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Solution 2 : optimisation de la dynamique des zéros - Grizzle et al. 2001 - Westervelt et al. 2003 - Plestan et al. 2003 Définir des applications de sortie y = h(q,α) Définir des trajectoires sur les sorties (fonctions d’une variable de configuration, minimisant les couples sur un pas) Analyse de la dynamique des zéros : optimisation hors ligne ⇒ α =? dynamique des zéros exponentiellement stable Section de Poincaré : existence et stabilité de cycles limites périodiques Inconvénient : manque de reactivité Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 6
  • 12. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Solution 3 : utilisation des techniques prédictives - Azevedo et al. 2002 - Azevedo et al. 2004 Systèmes considérés : ˙x = f(x,Γ) , nΓ < nx Prendre le robot d’une certaine configuration initiale x0 à une certaine configuration finale xf    minu(k) J(u(k)) ; u(k) =     Γ(k + 1) ... Γ(k + nc)     ; nc × nΓ ≥ nx sous C(x0 ,u(k)) ≤ 0 Appliquer Γ(k + 1) et glisser l’horizon Inconvénient : temps de calcul Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 7
  • 13. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Solutions proposées Deux approches de commande sont proposées Solution 1 Solution 2 Solution 3 Solutions retenues Utilisation des commandesvirtuelles Optimisation de la dynamique des zéros Utilisation des techniques prédictives Approche 2 Commande prédictive non linéaire Approche 1 Commande par la méthode de Lyapunov Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 8
  • 14. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique prototype 5 segments : un tronc & 2 jambes avec genoux Sans chevilles : contact ponctuel 7 degrés de liberté Actioneurs (4 moteur à C.C & réducteurs de vitesses) C’est un robot marcheur sous-actionné Capteurs : codeurs incrémentaux système de guidage Stabilisation latérale Barre radiale : mouvements dans le plan Contrepoids : équilibrer le poids de la barre Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 9
  • 15. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique prototype 5 segments : un tronc & 2 jambes avec genoux Sans chevilles : contact ponctuel 7 degrés de liberté Actioneurs (4 moteur à C.C & réducteurs de vitesses) C’est un robot marcheur sous-actionné Capteurs : codeurs incrémentaux système de guidage Stabilisation latérale Barre radiale : mouvements dans le plan Contrepoids : équilibrer le poids de la barre Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 9
  • 16. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Modèle non linéaire à 7 d.d.l : M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su q = [q31 q41 q32 q42 q1 x y]T ∈ R7 u = [u1 u2 u3 u4]T ∈ R4 Sous-actionnement : dim(u) < dim(q) Contraintes de contact avec le sol : Φ(q) = 0 Modèle d’impact rigide : q+ ˙q+ = ∆(q) q− ˙q− Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 10
  • 17. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Modèle non linéaire à 7 d.d.l : M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su q = [q31 q41 q32 q42 q1 x y]T ∈ R7 u = [u1 u2 u3 u4]T ∈ R4 Sous-actionnement : dim(u) < dim(q) Contraintes de contact avec le sol : Φ(q) = 0 Modèle d’impact rigide : q+ ˙q+ = ∆(q) q− ˙q− Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 10
  • 18. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique simple support impact double support Simple support : M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT 1 (q)λ Φss(q) = 0 Impact : q+ ˙q+ = ∆(q) q− ˙q− Double support : M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT (q)λ Φds(q) = 0 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 11
  • 19. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique simple support impact double support Simple support : M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT 1 (q)λ Φss(q) = 0 Impact : q+ ˙q+ = ∆(q) q− ˙q− Double support : M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT (q)λ Φds(q) = 0 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 11
  • 20. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Objectif Réaliser une marche dynamique stable Hypothèses Marche sur un sol plat horizontal sans obstacles Mouvements dans le plan sagittal (système de guidage) Contraintes Non glissement avec la surface de marche (à vérifier a posteriori) Les commandes restent dans les limites admises (à vérifier a posteriori) Puissance admissible des moteurs (à vérifier a posteriori) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 12
  • 21. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Objectif Réaliser une marche dynamique stable Hypothèses Marche sur un sol plat horizontal sans obstacles Mouvements dans le plan sagittal (système de guidage) Contraintes Non glissement avec la surface de marche (à vérifier a posteriori) Les commandes restent dans les limites admises (à vérifier a posteriori) Puissance admissible des moteurs (à vérifier a posteriori) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 12
  • 22. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Contexte Approches existantes pour les robots sous-actionnés Prototype Problématique Objectif Réaliser une marche dynamique stable Hypothèses Marche sur un sol plat horizontal sans obstacles Mouvements dans le plan sagittal (système de guidage) Contraintes Non glissement avec la surface de marche (à vérifier a posteriori) Les commandes restent dans les limites admises (à vérifier a posteriori) Puissance admissible des moteurs (à vérifier a posteriori) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 12
  • 23. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Approche 1 Commande par la méthode de Lyapunov Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 13
  • 24. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Principe de base double support support droit support gauche double support impactdroit impact gauche ˙x = f2(x) + g2(x)u ˙x = f1(x) + g1(x)u ˙x = f1(x) + g1(x)u ˙x = f2(x) + g2(x)u x(t+) = ∆(x(t−))x(t+) = ∆(x(t−)) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 14
  • 25. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Principe de base double support support droit support gauche double support impactdroit impact gauche ˙x = f2(x) + g2(x)u ˙x = f1(x) + g1(x)u ˙x = f1(x) + g1(x)u ˙x = f2(x) + g2(x)u x(t+) = ∆(x(t−))x(t+) = ∆(x(t−)) Modèle à 7 d.d.l contraintes de contact simple contraintes de contact double modèle d'ordre réduit SS modèle d'ordre réduit DSmodèle d'impact Commande en phase de SS Commande en phase de DSPerturbations Stabilité du robot marcheursur le cycle complet de marche Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 14
  • 26. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de simple support Objectif Faire un pas en avant Contraintes : Φss(q) : xf = x − l3 sin(q31) − l4 sin(q31 + q41) = 0 yf = y + l3 cos(q31) + l4 cos(q31 + q41) = 0 Modèle d’ordre réduit : M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT (q)Su λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su] qnc ∈ R5 , u ∈ R4 ⇒ sous-actionnement Trajectoires de référence : Amener le robot d’une certaine configuration initiale à une certaine configuration finale Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 15
  • 27. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de simple support Objectif Faire un pas en avant Contraintes : Φss(q) : xf = x − l3 sin(q31) − l4 sin(q31 + q41) = 0 yf = y + l3 cos(q31) + l4 cos(q31 + q41) = 0 Modèle d’ordre réduit : M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT (q)Su λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su] qnc ∈ R5 , u ∈ R4 ⇒ sous-actionnement Trajectoires de référence : Amener le robot d’une certaine configuration initiale à une certaine configuration finale Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 15
  • 28. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de simple support Objectif Faire un pas en avant Contraintes : Φss(q) : xf = x − l3 sin(q31) − l4 sin(q31 + q41) = 0 yf = y + l3 cos(q31) + l4 cos(q31 + q41) = 0 Modèle d’ordre réduit : M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT (q)Su λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su] qnc ∈ R5 , u ∈ R4 ⇒ sous-actionnement Trajectoires de référence : Amener le robot d’une certaine configuration initiale à une certaine configuration finale Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 15
  • 29. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de simple support: Loi de commande : linéarisation partielle u = S+ (H+ )T (q)ua qnc := [qa qna]T ua := [u1 0]T ⇒ m11¨qa + m12¨qna + n11 ˙qa + n12 ˙qna + g1(q) = u1 m21¨qa + m22¨qna + n21 ˙qa + n22 ˙qna + g2(q) = 0 Choisir u1 linéarisante ¨qnad = −m−1 22 m21¨qad − m−1 22 n21 ˙qa − m−1 22 n22 ˙qna − m−1 22 g2 + Kd ˙˜qna + Kp˜qna système en B.F résultant ¨˜qa + Kd ˙˜qa + Kp˜qa = 0 ¨˜qna + Kd ˙˜qna + Kp˜qna = m−1 22 m21[Kd ˙˜qa + Kp˜qa] Analyse de stabilité : méthode de Lyapunov Globalement exponentiellement stable Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 16
  • 30. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de simple support: Loi de commande : linéarisation partielle u = S+ (H+ )T (q)ua qnc := [qa qna]T ua := [u1 0]T ⇒ m11¨qa + m12¨qna + n11 ˙qa + n12 ˙qna + g1(q) = u1 m21¨qa + m22¨qna + n21 ˙qa + n22 ˙qna + g2(q) = 0 Choisir u1 linéarisante ¨qnad = −m−1 22 m21¨qad − m−1 22 n21 ˙qa − m−1 22 n22 ˙qna − m−1 22 g2 + Kd ˙˜qna + Kp˜qna système en B.F résultant ¨˜qa + Kd ˙˜qa + Kp˜qa = 0 ¨˜qna + Kd ˙˜qna + Kp˜qna = m−1 22 m21[Kd ˙˜qa + Kp˜qa] Analyse de stabilité : méthode de Lyapunov Globalement exponentiellement stable Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 16
  • 31. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de double support Objectif Redressement vertical du tronc (coordonnée non actionné en SS) 4 contraintes holonomes ⇒ modèle d’ordre réduit M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT (q)Su λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su] , qnc ∈ R3 , u ∈ R4 Loi de commande : u = S+ (H+ )T (q)ua ⇒ M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = ua Choisir ua linéarisante : commande dynamique Système en boucle fermée : ¨˜qnc + Kd”˙˜qnc + Kp”˜qnc = 0 ⇒ ˙x = Ax Kd”, Kp” > 0 ⇒ exponentiellement stable Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 17
  • 32. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de double support Objectif Redressement vertical du tronc (coordonnée non actionné en SS) 4 contraintes holonomes ⇒ modèle d’ordre réduit M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT (q)Su λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su] , qnc ∈ R3 , u ∈ R4 Loi de commande : u = S+ (H+ )T (q)ua ⇒ M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = ua Choisir ua linéarisante : commande dynamique Système en boucle fermée : ¨˜qnc + Kd”˙˜qnc + Kp”˜qnc = 0 ⇒ ˙x = Ax Kd”, Kp” > 0 ⇒ exponentiellement stable Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 17
  • 33. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Commande en phase de double support Objectif Redressement vertical du tronc (coordonnée non actionné en SS) 4 contraintes holonomes ⇒ modèle d’ordre réduit M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = HT (q)Su λ = Z(q)[Nλ(q,˙q)˙qnc + G(q) − Su] , qnc ∈ R3 , u ∈ R4 Loi de commande : u = S+ (H+ )T (q)ua ⇒ M∗(q)¨qnc + N∗(q,˙q)˙qnc + G∗(q) = ua Choisir ua linéarisante : commande dynamique Système en boucle fermée : ¨˜qnc + Kd”˙˜qnc + Kp”˜qnc = 0 ⇒ ˙x = Ax Kd”, Kp” > 0 ⇒ exponentiellement stable Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 17
  • 34. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Stabilité sur le cycle complet de marche : ΣSS : ¨˜q + Kd ˙˜q + Kp˜q = F(t,˜q,˙˜q) ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ ISS × ˜ΩSS ΣI : ˜q+ ˙˜q+ = ∆3(q) ˜q− ˙˜q− ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ II × R2n ΣDS : ¨˜q + Kd ˙˜q + Kp ˜q = 0 ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ IDS × ˜ΩDS Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 18
  • 35. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Stabilité sur le cycle complet de marche : ΣSS : ¨˜q + Kd ˙˜q + Kp˜q = F(t,˜q,˙˜q) ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ ISS × ˜ΩSS ΣI : ˜q+ ˙˜q+ = ∆3(q) ˜q− ˙˜q− ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ II × R2n ΣDS : ¨˜q + Kd ˙˜q + Kp ˜q = 0 ; ∀ (t,˜q,˙˜q) ∈ IDS × ˜ΩDS Ωss Ωds x(0) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 18
  • 36. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications La marche à vitesse constante Paramètres de l’approche Paramètre Signification valeur tf la durée d’un pas (SS+impact+DS) 1.42sec tss la durée du simple support 1sec tds la durée du double support 0.42sec Kd gain de retour de vitesse (SS) 10 × I5×5 Kp gain de retour de position (SS) 300 × I5×5 Kd gain de retour de vitesse, dans ¨qna (SS) 280 Kp gain de retour de position, dans ¨qna (SS) 800 Kd” gain de retour de vitesse (DS) 50 × I3×3 Kp” gain de retour de position (DS) 800 × I3×3 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 19
  • 37. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Cuisse1 Cuisse2 Tibia1 Tibia2 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 20
  • 38. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Cuisse1 Cuisse2 Tibia1 Tibia2 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 20
  • 39. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Tronc Plandephase Forcespied1 Forcespied2 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 21
  • 40. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Tronc Plandephase Forcespied1 Forcespied2 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 21
  • 41. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Commande en phases principales (SS, DS) Stabilité sur le cycle complet de marche Applications Scénario A : La marche à vitesse constante CommandesPuissancesmoteurs Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 22
  • 42. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Approche 2 Commande prédictive non linéaire Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 23
  • 43. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Principe de base ˙x = f(x) + g(x)u , si x ∈ S0 x(t+ ) = ∆(x(t− )) , si x ∈ S0 , S0 := x ∈ Rn | S(x) = 0 Exemple : cas du robot marcheur bipède Il y a impact si yf2 (x(t)) = 0 ; ˙yf2 (x(t)) ≤ 0 S(x) := yf2 (x) 2 + max{0,˙yf2 (x)} Linéarisation partielle ˙ξ = Aξ + Bv ; ξ ∈ Rnξ ˙η = Z(ξ,η,v) ; η ∈ Rnη Exemple : cas du robot marcheur bipède ξ : coordonnées des jambes η : coordonnée du tronc Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 24
  • 44. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Système à commander Contrôleurpar retourd'étatTrajectoires paramétéres Configuration désirée Prédiction optimisation Modèle du système Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 25
  • 45. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc saut saut ξ(t(k−1)) = ξf ξ(tk) = ξf t ξ(t+ (k−1)) =: ξ0 k−1 ξ(t+ k ) =: ξ0 k Comment choisir p? pk = ˆp(η(t− k ),ξf ,ηf ) := min p∈P F(η(t− k ),p,ξf ) − ηf 2 Q F η(t− k ),pk,ξf = η(t− k+1) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
  • 46. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc saut saut ξ(t(k−1)) = ξf ξ(tk) = ξf t ξ(t+ (k−1)) =: ξ0 k−1 ξ(t+ k ) =: ξ0 k T(ξ0 k−1,p1,·) Comment choisir p? pk = ˆp(η(t− k ),ξf ,ηf ) := min p∈P F(η(t− k ),p,ξf ) − ηf 2 Q F η(t− k ),pk,ξf = η(t− k+1) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
  • 47. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc saut saut ξ(t(k−1)) = ξf ξ(tk) = ξf t ξ(t+ (k−1)) =: ξ0 k−1 ξ(t+ k ) =: ξ0 k T(ξ0 k−1,p1,·) T(ξ0 k−1,p2,·) Comment choisir p? pk = ˆp(η(t− k ),ξf ,ηf ) := min p∈P F(η(t− k ),p,ξf ) − ηf 2 Q F η(t− k ),pk,ξf = η(t− k+1) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
  • 48. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications t(k−1) = (k − 1)τc tk = kτc saut saut ξ(t(k−1)) = ξf ξ(tk) = ξf t ξ(t+ (k−1)) =: ξ0 k−1 ξ(t+ k ) =: ξ0 k T(ξ0 k−1,p1,·) T(ξ0 k−1,p2,·) Comment choisir p? pk = ˆp(η(t− k ),ξf ,ηf ) := min p∈P F(η(t− k ),p,ξf ) − ηf 2 Q F η(t− k ),pk,ξf = η(t− k+1) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 26
  • 49. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications pk = ˆp(η(t− k ),ξf ,ηf ) := min p∈P F(η(t− k ),p,ξf ) − ηf 2 Q remplacé dans la dynamique interne, donne η(t− k+1) = Fcl(η(t− k ),¯xf ) ; ¯xf := (ξf ,ηf ) Un système discret autonome C’est la dynamique interne projetée sur la section de Poincaré Sous une forme multi pas (évaluée après k0 sauts) η(t− k+k0 ) = Fk0 cl (η(t− k ),¯xf ) Originalité : cycles limites multiples Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 27
  • 50. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications pk = ˆp(η(t− k ),ξf ,ηf ) := min p∈P F(η(t− k ),p,ξf ) − ηf 2 Q remplacé dans la dynamique interne, donne η(t− k+1) = Fcl(η(t− k ),¯xf ) ; ¯xf := (ξf ,ηf ) Un système discret autonome C’est la dynamique interne projetée sur la section de Poincaré Sous une forme multi pas (évaluée après k0 sauts) η(t− k+k0 ) = Fk0 cl (η(t− k ),¯xf ) Originalité : cycles limites multiples Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 27
  • 51. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Analyse de stabilité Poursuite exacte ⇒ ξ(t− k ) = ξf La stabilité du système dépend de la convergence de la séquence η(t− k ) k∈N 1 Convergence vers une trajectoire k0-cyclique lim j→∞ η(t− jk0 ) − ηf = 0 2 Convergence vers un voisinage d’une trajectoire k0-cyclique lim j→∞ η(t− jk0 ) − ηf ≤ ε Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 28
  • 52. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Analyse de stabilité Poursuite exacte ⇒ ξ(t− k ) = ξf La stabilité du système dépend de la convergence de la séquence η(t− k ) k∈N 1 Convergence vers une trajectoire k0-cyclique lim j→∞ η(t− jk0 ) − ηf = 0 2 Convergence vers un voisinage d’une trajectoire k0-cyclique lim j→∞ η(t− jk0 ) − ηf ≤ ε Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 28
  • 53. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Convergence vers un cycle limite Région d'attraction r = η − ηf 2 Qρ ΨQ k0 (r) := sup η−ηf 2 Q=r Fk0 cl (η,xf ) − ηf 2 Q Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 29
  • 54. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Convergence vers un voisinage d’un cycle limite Région d'attraction Voisinage du cycle limite r = η − ηf 2 Qρ ΨQ k0 (r) := sup η−ηf 2 Q=r Fk0 cl (η,xf ) − ηf 2 Q ε ε Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 30
  • 55. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Robustesse de l’approche en terme de stabilité Région d'attraction du système nominal Voisinage du cycle limite pourle système incertain Système incertain Système nominal Région d'attraction du système incertain r = η − ηf 2 Qρ1ρ2 ΨQ k0 (r) = supδ sup η−ηf 2 Q=r Fk0 cl (η,xf ) − ηf 2 Q Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 31
  • 56. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications • Un système non linéaire dont le linéarisé est non commandable • Le système chaotique impulsionnel de Lorenz • La bille sur le rail • Le pendule inversé ECP 505 • Le robot bipède Rabbit Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 32
  • 57. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Application au robot bipède RABBIT Support droit Impact gauche Support gauche Impact droit M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT 1 (q)λ Φss(q) = 0 ˙x = f(x) + g(x)u ; λ = Λ(x,u) x(t+ ) = ∆(x(t− )) Linéarisation partielle h(x) := (q31 q41 q32 q42)T ∈ R4 ξ := q31 q41 q32 q42 ˙q31 ˙q41 ˙q32 ˙q42 T ∈ R8 η := q1 ˙q1 T ∈ R2 Paramètre d’optimisation scalaire : p = q32(tf /2) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 33
  • 58. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Application au robot bipède RABBIT Support droit Impact gauche Support gauche Impact droit M(q)¨q + N(q,˙q)˙q + G(q) = Su + JT 1 (q)λ Φss(q) = 0 ˙x = f(x) + g(x)u ; λ = Λ(x,u) x(t+ ) = ∆(x(t− )) Linéarisation partielle h(x) := (q31 q41 q32 q42)T ∈ R4 ξ := q31 q41 q32 q42 ˙q31 ˙q41 ˙q32 ˙q42 T ∈ R8 η := q1 ˙q1 T ∈ R2 Paramètre d’optimisation scalaire : p = q32(tf /2) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 33
  • 59. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Choix de ξf : paramétrisation réduite Choix des positions : (d,y,ρ)⇒ positions articulaires dans ξf Choix des vitesses : vitesse d’impact désirée vp → vitesse à norme minimale ⇒ vitesses articulaires dans ξf Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 34
  • 60. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Principe d’application Initialisation : Calcul de : Génération de trajectoires de référence - Solution du Problème d’optimisation - Calcul des coefficients des B -Splines Calcul de la commande de poursuite Poursuite jusqu’au prochain inst de décision Impact ? Non Dynamique de l’impact Permutation des jambes Acquisition des mesures Oui Acquisition des mesures Initialisation : Calcul de : Génération de trajectoires de référence - Solution du Problème d’optimisation - Calcul des coefficients des B -Splines Calcul de la commande de poursuite Poursuite jusqu’au prochain inst de décision Impact ? Non Dynamique de l’impact Permutation des jambes Acquisition des mesuresAcquisition des mesures Oui Acquisition des mesures Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 35
  • 61. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Résultats de simulation scénarios de simulation Marche à vitesse constante Génération d’allures transitoires de démarrage et d’arrêt Transition entre différentes vitesses de marche Balancement autour d’une posture d’équilibre Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques Robustesse vis-à-vis des irrégularités du le sol Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 36
  • 62. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications La marche à vitesse constante Paramètres de l’approche Paramètre Signification valeur tf la durée d’un pas 0.75sec y hauteur des hanches y = 0.775m d Longueur d’un pas 0.3m ρ position horizontale des hanches 0.5 vp2 vitesse d’impact désirée du pied de balancement −0.25m/sec (q1,˙q1)0 position et vitesse initiale du tronc (0,0) Q matrice de pondération 1 0 0 0 vmoy vitesse moyenne de marche −0.4m/sec Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 37
  • 63. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 38
  • 64. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Plandephase(tronc) Forcesdecontact Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 39
  • 65. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario A : La marche à vitesse constante Plandephase(tronc) Forcesdecontact Commandes Puissancemoteurs Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 39
  • 66. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario A : animation graphique Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 40
  • 67. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario B : Transition entre différentes vitesses de marche Plandephase(tronc) Forcesdecontact Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 41
  • 68. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario B : Transition entre différentes vitesses de marche Plandephase(tronc) Forcesdecontact Commandes Puissancemoteurs Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 41
  • 69. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario C Balancement autour d’un équilibre Scénario D Robustesse envers des irrégularité du sol Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 42
  • 70. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario C : Balancement autour d’un équilibre Plandephase(tronc) Forcesdecontact Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 43
  • 71. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario C : Balancement autour d’un équilibre Plandephase(tronc) Forcesdecontact Commandes Puissancemoteurs Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 43
  • 72. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du sol Cuisses Tibias Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 44
  • 73. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du sol Cuisses Tibias Tronc Plandephase(tronc) Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 44
  • 74. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du le sol Forcesdecontact Commandes Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 45
  • 75. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénario D : Robustesse envers des irrégularités du le sol Forcesdecontact Commandes Puissancemoteurs Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 45
  • 76. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Principe de base Analyse de Stabilité Applications Scénarios C & D : animation graphique Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 46
  • 77. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Problème traité : Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous actionné Confronté à : Un système non linéaire instable en boucle ouverte Sous actionnement Dynamique hybride Interaction avec l’environnement (le sol) Solutions proposées : Commande par la méthode de Lyapunov Commande prédictive non linéaire de faible dimension Analyse de la stabilité en boucle fermée : Méthode de Lyaponov (app1) Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2) Perspectives : Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour élargir la région d’attraction Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 47
  • 78. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Problème traité : Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous actionné Confronté à : Un système non linéaire instable en boucle ouverte Sous actionnement Dynamique hybride Interaction avec l’environnement (le sol) Solutions proposées : Commande par la méthode de Lyapunov Commande prédictive non linéaire de faible dimension Analyse de la stabilité en boucle fermée : Méthode de Lyaponov (app1) Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2) Perspectives : Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour élargir la région d’attraction Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 47
  • 79. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Problème traité : Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous actionné Confronté à : Un système non linéaire instable en boucle ouverte Sous actionnement Dynamique hybride Interaction avec l’environnement (le sol) Solutions proposées : Commande par la méthode de Lyapunov Commande prédictive non linéaire de faible dimension Analyse de la stabilité en boucle fermée : Méthode de Lyaponov (app1) Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2) Perspectives : Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour élargir la région d’attraction Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 47
  • 80. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Problème traité : Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous actionné Confronté à : Un système non linéaire instable en boucle ouverte Sous actionnement Dynamique hybride Interaction avec l’environnement (le sol) Solutions proposées : Commande par la méthode de Lyapunov Commande prédictive non linéaire de faible dimension Analyse de la stabilité en boucle fermée : Méthode de Lyaponov (app1) Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2) Perspectives : Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour élargir la région d’attraction Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 47
  • 81. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Problème traité : Commande de la marche dynamique d’un robot bipède sous actionné Confronté à : Un système non linéaire instable en boucle ouverte Sous actionnement Dynamique hybride Interaction avec l’environnement (le sol) Solutions proposées : Commande par la méthode de Lyapunov Commande prédictive non linéaire de faible dimension Analyse de la stabilité en boucle fermée : Méthode de Lyaponov (app1) Outil graphique basé sur la section de Poincaré (app2) Perspectives : Implémentation en temps réel sur le prototype Rabbit Optimisation (hors ligne) de la configuration désirée pour élargir la région d’attraction Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 47
  • 82. Introduction & problématique Approche 1 : commande par la méthode de Lyapunov Approche 2 : commande prédictive non linéaire Conclusions & perspectives Publications A.Chemori and A. Loria, "Control of a planar under-actuated biped on a complete walking cycle", IEEE Transactions on Automatic Control, vol 49, N 5, May 2004. A.Chemori and A. Loria, "Commande d’un robot bipède sur un cycle complet de marche", CIFA’02 (Conférence Internationale Francophone d’Automatique), Nantes, France, 2002. A.Chemori and A. Loria, "Control of a planar five link under-actuated biped robot on a complete walking cycle", IEEE CDC’02 (41st. International Conference on Decision and Control), Las vegas-Nevada, USA, 2002. A.Chemori and A. Loria, "Walking control strategy for a planar under-actuated biped robot based on optimal reference trajectories and partial feedback linearization", RoMoCo’04 (4th International workshop on Robot Motion and Control), Puszczykowo, Poland, 2004. ——————————————————————————————————————————— A.Chemori and M. Alamir "Limit cycle generation for a class of nonlinear systems with jumps using a low dimensional predictive control", International Journal of control, to appear, 2005 A.Chemori and M. Alamir "Nonlinear Predictive Control of Under-actuated Mechanical Systems Application : the ECP 505 inverted pendulum", MTNS’04 (16th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems), Leven, Belgique, 2004 A.Chemori and M. Alamir "Low dimensional predictive control scheme for limit cycle generation in nonlinear hybrid controlled systems", CCCT’04 (International Conference on Computing, Communications and Control Technologies), Texas, USA, 2004 A.Chemori and M. Alamir "Generation of Multi-steps limit cycles for Rabbit using a low dimensional nonlinear predictive control scheme", IEEE/RSJ IROS 2004 (International Conference on Intelligent Robots and Systems), Sendai, Japan, 2004 A.Chemori and M. Alamir "A new low dimensional nonlinear predictive control scheme for Rabbit’s dynamic walking control", HLR 2004 (French-German Workshop on humanoid and legged robots), Metz , France, 2004 Ahmed CHEMORI LAG - ENSIEG Mardi 14 juin 2005 48