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1. Problemas del examen
1. El movimiento de una particula esta definida por la relación
x=2t3
-12t2
-72t-80, en dondex y t están expresados en metros y segundos.
Determine a) cuando la velocidad es cero b)la velocidad, aceleración y
distancia total cuando x=0
procedimiento
x=2t3
-12t2
-72t-80
v=dx/dt 1/6(6t2
-12t-72)
(t2
-4t-12)
(t-6) (t+2) t=6 seg.
b) v=? a=? x=0 t=?
1/2(2t3
-12t2
-72t-80) =0
0= t3
-6t2
-36t-40
X=(10)3
-6(10)2
-36(10)-40
X=0
v=6(10)2
-24(10)-72
v=288m/s
a=dv/dt 12t-24 a=12(10)-24
a=96 m/s2
t=6 seg v=0
(x10-x6)+(x6-x0)
0-(-512)+(-512-(-80)) xtotal=944 mts.

2. 2. La aceleración de una particula se define mediante la relación a=-
1.8senktdondea y t se expresan en m/s2
y segundos, además el valor
de la constantek=3rad/s sabiendo que x=0 y v=0.6 m/s cuando t=0.
Determine la velocidad y posición cuando t=0.5 seg
a=-1.8senkt
k=3rad/s t=0 x=0 x0=0 v0=0.6 m/s
a=dv/dt dv=adt
∫ 𝑑𝑣 = −1.8∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
𝑣
𝑣0
v-v0=-1.8(
−𝑐𝑜𝑠3𝑡
3
)t
to
v=v0+0.6(cos3t-1)
posicion
v=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
dx=vdt
∫ 𝑑𝑥 = ∫ (𝑣𝑜 + 0.6( 𝑐𝑜𝑠3𝑡 − 1))𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
𝑥
𝑥0
x-x0=vot+0.6
𝑠𝑒𝑛3𝑡
3
-0.62
x=x0+vot+0.2[sen3t-3t]
velocidad
v=0.6+0.6[cos3t-1]=0.0424m/s
posicion
x=0.6(.5)+0.2[sen3t-3t]
x=0.6(.5)+0.2[sen1.5-1.5]=0.1994mts

3. 3. Si una particula se mueve a velocidad constante, determine su
ecuación de movimiento que define la posición de la particula en
cualquier intervalo de tiempo t.
V=cte. V=dx/dt
∫ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑐 ∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
𝑥
𝑥0
x-x0=vct
x=x0+vct
4. Un automóvilqueviajacon una rapidezconstantede45m/s,pasadonde
esta un policía oculto detrás de un anuncio. Un segundo despuésde que
el automóvil pasa por el anuncio, el policía arranca desde el anuncio
para alcanzarlo acelerando 3m/s2
¿Cuánto tarda el policía para
alcanzarlo?
Datos:
X0=0 v0=0 a=3m/s2
v=cte xauto=xpolicia
Para el auto

4. X=x0+vct
X=0 + 45(1)
X=45m/s xauto=45+45t
Para la policía
X=x0+vot+1/2ac(t)2
Xpolicia=0+0+1/2(t)2
1.5t2
=45+45t
1.5t2
-45t-45=0 formula general
t=30.96seg
5. en una carrera de botes,el bote A adelanta a el bote B por 120ft/h,
ambos botes se desplazan con una velocidad constantede 105 mi/h.
en t=0 los botes aceleran de manera constante. Sabiendo que cuando
el bote B pasa al bote A existe un tiempo t=8seg y una vo=135mi/h,
determine a)la acelaracion de A b)la aceleración de B.
análisis:
t=0 voA=154ft/s vOb=154ft/s
105mi/h=154ft/s
VA=135mi/h=198ft/s t=8seg voA=154ft/s x0A=120ft
V=v0+aA+t
198=154+aA(8)
AA=198-154/8 aA=5.5ft/s2
X=x0+vot+1/2ac(t)2
X=120+154(8)+1/2(5.5)(8)2
XA=1528mts.

5. XA=XB
En bote B
1528=0+154(8)+1/2ªB(8)2
AB=1528-1232/32 aB=9.25ft/s2
6. Desdeaproximadamente que piso debe dejarsecaer un automóvil a
partir de su posición de reposo, de manera que llegue al piso con una
rapidez de 80.7ft/s2
. Cada piso es de 12ftmas alto que el anterior.
Datos:
V0=0
X0=0
G=32.2ft/s2
V=80.7ft/s2
V2
=vo
2
+2g(x-x0)
80.72
-02
/2(32.2)=x
X=101.12ft
#pisos=101.12/12=8.42ft/piso
9 piso aprox.
Movimiento curvilíneo

6. 12-21.la pelota es pateada desde el punto A con la velocidad inicial
va=10m/s. determinela altura máxima que alcanza h.
Datos:
Va=10m/s x0=0 y0=0 y=? g=-9.81m/s2
Vox=10cos30=8.66m/s
Voy=10sen30=5m/s
En ecuacion 4
02
=52
-2(9.81)(y)
Y=0-25/-19.62
Y=1.27mts.
12-22. la pelota es pateada desdeel punto A con la velocidad inicial
va=10m/s. determinela distancia R y la rapidez con la que la pelota
golpea el suelo.
Va=10m/s x0=0 y0=0 y=? g=-9.81m/s2
Vox=10cos30=8.66m/s
Voy=10sen30=5m/s
X=x0+vocos<t sacar tiempo de ecuación 2
En ec.2
Y=y0+v0sen<t+1/2gt2
0=0+5t-4.905(t2
)
T(4.905t-5)
T=5/4.905 T=1.019seg
X=8.66(1.019) x=8.82mts
En ec.3
Vy=v0sen<+gt
Vy=5-9.81(1.019) vy=-4.99mts
12-23. determinela rapidez a la que se debe lanzar el balon de
basquetbolen A al angulo de 30° de modo que llegue al punto B.
Datos:

7. Va=? x0=0 y0=1.5 y=3mts. G=-9.81m/s2
x=10mts
Vox=vacos30
Voy=vasen30
En ecuación 1°
X=x0+vacos<t
10=0+vacos30°t
10-0/cos30°t=va
Va=10/0.933cos30° va=12.37m/s
En ecuación 2°
Y=y0+vasen<t+1/2gt2
3=1.5+vasen30°t
−9.81
2
t2
3=1.5+(
10
cos30°t
)sen30t-
−9.81
2
t2
3=1.5+10tan30°-4.905t2
3=1.5+5.77-4.905t2
T=
√3−7.27
−4.905
t=0.933seg
V0x=12.37cos30°=10.31
V0x=12.37sen30°=6.185
12-25. selanza una pelota desde A. si serequiere salvar el muro en B,
determine la magnitud minima de su velocidad inicial vA.
Datos:
X0=0 y0=3ft y=8ft x=12ft g=-32.2ft/s2
Va=?
En ecuacion 1°
X=x0+vocos<t
12=0+vacos30°t
12/cos30°=vat
En ecuación 2°
Y=y0+vasen<t+1/2gt2

8. 8=3+vasen30°
−32.2
2
t2
8=3+(
12
cos30t
)sen30t-16.1t2
8=3+0.5(13.85)-16.1t2
8=3+6.92-16.1t2
T=
√8−9.92
−16.1
=0.346seg
Va=
12
cos30t
va=
12
0.346cos30°
va=40.04ft/s
12-26. sedispara un proyectil con una velocidad inicial de vA=150m/s desde
la azotea de un edificio. Determine la distancia R donde golpea el suelo en B.
Datos:
Va=150 m/s x0=0 y0=0 y=-150mts g=-9.81m/s2
x=?
Sen-1
3/5=36.86 cos-1
4/5=36.86 tan-1
3/4=36.86
En ecuación 1°
X=x0+vocos<t
X=0+150cos36.6°t
X=120.01t
En ecuación 2°
Y=y0+vasen<t+1/2gt2
-150=0+150sen36.86t
−9.81
2
t2
-150=89.97t-4.905t2
4.905t2
-89.97t-150=0 𝑡 =
−(−89.97)±√(−89.97)2−4(4.905)(−150)
2(4.905)
T=19.88 seg

9. R=150cos36.86(19.88)
R=2385mts=2.38km
12-94.seobserva queel tiempo para que la bola golpee el suelo en B
es de 2.5seg. determine la rapidez va y el angulo <a a que se arrojo.
Datos:
Va=? <a=? x0=0 y0=0 y=-1.2 x=50mts g=-9.81m/s2
Vx=vacos<
Vy=vasen<
En ecuación 1°
X=x0+vocos<t
50=0+vacos<(2.5)
50
cos<(2.5)
=va
En ecuación 2°
Y=y0+vasen<t+1/2gt2
-1.2=0+(
50
cos<2.5
)sen<(2.5)-
−9.81
2
(2.5)2
1.2=tan-1
<a-30.65
Tan-1
=
30.65−1.2
50
=<a <a=30.45
Va=
50
2.5cos30.45°
va=23.19m/s
12-95.sielmotociclistadeja la rampa a 110ft/s, determinela altura h que la
rampa B debe tener, de modo que la motocicleta aterrizea salvo.
Datos:
Va=110ft/s <a=30° x0=0 y0=30ft y=h x=300mts g=-32.2m/s2
Vx=vacos<=110cos30°=95.26°

10. Vy=vasen<=110sen30°=55°
En ecuación 1°
X=x0+vocos<t
350=0+95.26(t)
T=
350
95.26
t=3.67seg
En ecuación 2°
Y=y0+vasen<t+1/2gt2
Y=30+55(3.67)
−32.2
2
(3.67)2
Y=15.00mts
12-96. Elbeisbolista A batea la bola con VA=40ft/s y 0=60°. Cuando la bola
está directamente sobreel jugador Besté comienza a correr debajo de ella.
Determina la rapidez constanteVB y la distancia de a la cual B debe correr
para hacer la atrapada a la misma altura a la que fue bateada.
Datos:
VA=40ft/s xab=15ft y0=0
0A=60° x0= 0 xc=1s+d Vx=40 cos 60=20°
Y=0 Vy=40 sen 60=34.64
En ecuación 1° En ecuación 2°
Xc=x0+v0 cos 0 tAC y=y0 +v0 sen 0 tAC +
1
2
g tAC
2
1s + d= 0+20 tAC o= 0+34.64 tAC-16.1 tAC
2
1std=20(2.15) -15 16.1t2
-34.64 t=o

11. d=20(2.15)-15 t= (16.1t-34.64)=0
d=43-15 t=
34.64
16.1
=2.15seg
d=28ft
Ecuación 1° Ecuación 1°
1s=0+20t TBC= tAC - tAB 28=0 VB (1.4)
t= 0.75 TBC= 2.15-0.75
TBC=1.4seg VB=
28
1.4
=20ft/seg
12-98.La pelota de golf es golpeada en A con una rapidez de 40m/s y dirigida
a un ángulo de 30° con la horizontalcomo se muestra. Determine la distancia
de donde la bola golpea la pendiente en B.
Datos:
vA=40m/s g=-9.81 vx=v0 cos 0 = 40 cos 30 = 34.64°
0A=30° vy=vy sen 0 = 40 sen 30 = 20°
x0 =0
y0 = 0
y= d sen 11.30
x=d cos 11.30
En ecuación 1° En ecuación 2°
d cos 11.30=0+34.64t d sen11.30=0+20t-4.905(t)2

12. d=
34.64t
cos11.30
(
34.64t
cos11.30
) sen11.30=0+20t-4.905(t)2
d=
34.64(2.66)
cos11.30
34.64 tan 11.30t=20t-4.905t2
d=93.96 mts 6.92t=20t-4.905t2
4.905t2
-13.08t=0
t=(4.905t-13.08)
t=
13.08
4.905
= 2.66seg
12-99.Sisepatea el balón de futbol a un ángulo de 45°determine su
velocidad inicial mínima VA de modo que pasesobreel poste de meta en C.C
¿A qué distancia del poste de meta golpeara el balón el suelo en B?
Datos:
VA=? g=-32.2 vx=VAcos45°
0A=45° x=? vy= VAsen45°
Y0 =0 yc=20ft yb=0
X0=0 xc=160ft xb=160ts
En ecuación 1° En ecuación 2°
X=x0+v0cos0t y=y0+v0sen0t+
1
2
gt2

13. 160=0 +vAcos 45t 20=0+vAsen45t-
32.2t2
2
160
cos45t
= vA 20= (
160
cos45t
) sen45t-
32.2t2
2
160
cos45(2.94)
=vA t=
√20−160
−16.1
VA=76.96m/s t=2.94seg
Ecuación 1° Ecuación 2°
XB=xo+vo cos 0t yB=0+76.96 sen 45(t) −
32.2t2
2
160ts=0+76.96cos45t 16.1t2
-54.274t=0
160ts=54.274(3.37) t=(16.1t-54.274)=0
160ts=182.90 t=
54.274
16.1
S=182.9-160=22.9mts tAB=3.37seg
Eje x v=cte
X=x0 + vot
Eje y a=cte=>g v0y=0°
Y=y0 +
1
2
gt2
Vy=gt
Vy
2
= 2g(y=y0)
11_97.Un aeroplano que seusó para rociar incendios forestales vuela
horizontalmente en línea recta a 315km/h a una altitud de 80m.Determinela

14. distancia d a la cual el piloto debe liberar el agua de manera que esta caiga
sobreel fuego B.
Datos:
v0=315km/h (
1000m
1km
) (
1hra
3600s
)=87.5m/s
x0=0
y0= 0
y=80m g=9.81m/s2
x=d
En eje x En eje y
x=0+87.5m/s t y=y0+
1
2
gt2
d= 87.5 (t) 80=0+
9.81t2
2
d=87.5(4.03) t=
√80
4.905
d=352.62mts t=4.03seg
11-98.a)15.50m/s b) 5.12mts
3 niños están lanzando bolas de nieve .El niño A lanza una bola con una
velocidad inicial Vo Sila bola de nieve pasa justo sobrela cabeza del niño B y
golpea al niño C.
A) Determine el valor de Vo B) la distancia d
Datos:

15. g=9.81m/s2
x0= 0 y0=0
xB =7
xC = 7+d
yb=1
yc=3
En eje x En eje y
7=0+v0t y=y0+
1
2
gt2
V0=
7
t
1=0+
1
2
9.81t2
V0=
7
0.45
t=
√1
4.905
V0=15.55m/s t=0.45seg
7ts= 15.55(t) 3=0+
9.81t2
2
7ts=15.55(.782) t=
√3
4.905
s=12.160-7 t=0.782seg
d= 5.16mts
11-99. 15.38ft/ < v0 < 35.0 ft/s
Al repartir periódicos, una muchachalanza un ejemplar con una velocidad
horizontalv0.Determine el rango de valores de v0 si el periódico va a caer
entre los puntos B y C.
Datos:

16. Ift=12 in
g=9.81m/s2
x0=0
y0=0
xB=7
xC=? 7ft+64in=12.33
yB=? 4ft-8in=3.33
yC=4ft-24in
Eje x
3.33=0+16.1t2
7=v0 (.455)
t=
√3.33
16.1
v0=
7
.455
t=0.455 v0=15.38ft/seg
A-C
Eje x 12.33=v0 t v0=
12.33
.03524
=34.99ft
Eje y 2=16.1t2
t=
√2
16
t=0.3524seg
11-100una maquina lanzadora arroja pelotas debeisbol con una velocidad
horizontalv0. Sabiendo que la altura h varia entre 31 y 42 in. Determine a)el
rango de valores v0. B)los valores de < correspondientes a h=31in y h=42in
Datos:

17. G=9.81m/s2 x0=0 y0=0 x=40
31in.=2.58ft
42in.=3.5ft
Y=5-28=2.42ft
Y=5-3.5=1.5ft
En ecuacion 1°
X=xo+vo cos 0t
40=0+v0t
V0=
40
𝑡
En ecuación 2°
y=y0+
1
2
gt2
2.42=0+32.2
T=
√2.42
16.1
t=.387 seg
V0=
40
.387
=103.35 ft/s=70.46mi/h
1.5=16.1t2
T=
√1.5
16.1
t=.3052 seg
V0=
40
.3052
=131.06ft/s=89.35 mi/h
Tan-1
(
2.42
40
)=3.36x1
Tan-1
(
2.58
40
)=6.89x2