1. 1
Alex Nunes Barbosa Cunha
Música
Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática
Monografia apresentada à Universidade do
Grande Rio “Escola de Ciências,
Educação, Letras, Artes e Humanidade”,
como parte dos requisitos parciais para a
obtenção do grau de licenciatura em
Matemática.
Orientador: Prof. Ms. Leandro de Oliveira Pereira
Duque de Caxias
Julho / 2011

2. 2
Alex Nunes Barbosa Cunha
Música
Uma Ferramenta Interdisciplinar Para o Ensino de Matemática
Monografia apresentada à Universidade do
Grande Rio “Escola de Ciências,
Educação, Letras, Artes e Humanidade”,
como parte dos requisitos parciais para a
obtenção do grau de licenciatura em
Matemática.
Aprovada em ________de _____________________ de ________
Banca Examinadora

3. 3
A minha mãe que sempre me deu
força, ânimo, sua credibilidade e seu orgulho.

4. 4
AGRADECIMENTOS
A Deus que me deu forças e sabedoria.
Aos meus pais que sempre acreditaram no meu potencial.
Aos meus amigos de um modo geral e especialmente a Guilherme Pereira e Elzilane Silva.
Aos meus professores que contribuíram diretamente e indiretamente para minha formação
acadêmica.

5. 5
“O homem que dedilha Bach ou
Beethoven dedilha sobre logaritmos.”
(Prof. Luiz Barco).

6. 6
RESUMO
Este estudo é resultado de um desafio que todo professor de matemática enfrenta ao
iniciar sua carreira profissional quando se depara com um grande grupo de estudantes
desestimulados em aprender, dificultando o ensino e a aprendizagem dessa disciplina. Este
trabalho não apresenta uma solução para esse problema mais trás uma ferramenta de trabalho,
utilizar a música de uma maneira interdisciplinar tornando mais viável, pra o aluno, o
aprendizado de matemática. Este trabalho trás algumas propostas de como a música pode ser
utilizado no ensino da matemática, tais como: uma aula, ministrada pelo autor, mostrando a
aplicação dos logaritmos na música e sugestões de oficinas de Matemática e Música.
Palavras chave: matemática - música – interdisciplinaridade - ensino

7. 7
ABSTRACT
This study is the result of a challenge that faces every teacher of mathematics to begin
his professional career when faced with a large group of discouraged students in learning,
making teaching and learning of that discipline. This work does not present a solution to this
problem back one more tool, using the music of an interdisciplinary way making
it feasible for the student, the learning of mathematics. This work back some proposals
for how music can be used in teaching Mathematics, such as a class, taught by the author,
showing the application of logarithms in music workshops and suggestions of
Mathematics and Music.
Keywords: Mathematics - Music - Interdisciplinary - Teaching

8. 8
SUMÁRIO
1 Introdução ................................................................................................................................ 9
1.1 Objetivo .............................................................................................................................. 10
1.1 O Ensino De Música Nas Escolas ...................................................................................... 10
1.2 Matemática E Música ......................................................................................................... 11
1.3 Monocórdio......................................................................................................................... 12
1.3.1 As Relações Encontradas Por Pitágoras .......................................................................... 13
1.4 Cravo Bem Temperado ....................................................................................................... 15
1.4.1 As Relações Matemáticas Dentro Do Cravo Bem Temperado ....................................... 16
2 Fundamentações Teóricas...................................................................................................... 18
2.1 O Som ................................................................................................................................. 18
2.2 Altura .................................................................................................................................. 19
2.3 Intensidade .......................................................................................................................... 20
2.4 Timbre................................................................................................................................. 21
2.5 Logaritmos .......................................................................................................................... 22
2.5.1 Definições De Logaritmo ................................................................................................ 23
2.5.2 Propriedades Do Logaritmo............................................................................................. 24
2.5.3 Mudança De Base ............................................................................................................ 25
2.6 Equação Da Escala Musical Temperada............................................................................. 26
2.6.1 Forma Genérica ............................................................................................................... 27
3 Contextualização Do Ensino Da Matemática De Forma Interdisciplinar ............................. 29
3.1 Proposta De Uma Aula ....................................................................................................... 30
3.1.1 Atividade Proposta........................................................................................................... 31
4 Pesquisa De Campo ............................................................................................................... 32
5 Conclusão .............................................................................................................................. 34
6 Sugestão De Trabalho Futuro ................................................................................................ 35
7 Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 38

9. 9
1 Introdução
A principal função da escola é preparar os alunos para o futuro, para a vida adulta e
suas responsabilidades, oferecendo-lhe uma Educação como formação do caráter. Uma
instituição de ensino precisa promover meios para oferecer estes benefícios aos jovens de
forma a estimulá-los a crescer. Mas existe a possibilidade de o aluno entender a vida
acadêmica como um processo desagradável e amargo que ele precisa passar para assegurar
um futuro bem sucedido.
Os profissionais da educação estão sempre buscando meios de tornar o ambiente
escolar mais alegre e atrativo para o estudante, pois “propiciar uma alegria que seja vivida no
presente é a dimensão essencial da pedagogia, e é preciso que os esforços dos alunos sejam
estimulados, compensados e recompensados por uma alegria que possa ser vivida no
momento presente” (SNYDERS, 1992, p. 14).
Uma grande massa de estudantes vive, na sua vida escolar, um desconforto no ensino
da matemática. Tornar atrativo o aprendizado dos números tem sido um grande desafio para o
professor dessa disciplina. Como contextualizar o abstrato? Os educadores da área das exatas
tentam buscar uma solução para esse problema.
De acordo com os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, o papel das Ciências
Naturais é o de colaborar para a compreensão do mundo e suas transformações, situando o
homem como indivíduo participante e integrante do Universo. Apesar de os PCN
apresentarem como proposta o estudo das Ciências Naturais em quatro blocos temáticos
(Ambiente, Ser humano e Saúde, Recursos tecnológicos, Terra e Universo), estes não se
encontram dissociados em suas abordagens. Os temas visam facilitar o tratamento

10. 10
interdisciplinar das Ciências Naturais, considerando-os a partir do contexto social e da
vivência cultural da comunidade escolar. Partindo do pressuposto que o homem encontra-se
mergulhado num universo sonoro e que os estudos dos fenômenos acústicos são do domínio
das Ciências, encontra-se a pertinência do estudo interdisciplinar da Música e das Ciências.
1.1 Objetivo
O objetivo deste trabalho é criar mecanismos de ensino de matemática de forma
contextualizada e interdisciplinar usando a música, fornecendo sugestões de oficinas,
atividades e montagem de aula.
Para alcançar o objetivo proposto foram traçadas as seguintes estratégias:
 Criar uma proposta de aula e aplicar em uma turma.
 Formular um questionário sobre as concepções trabalhadas em aula.
 Indicar sugestões de atividades e oficinas de matemática e música.
1.1 O Ensino de Música nas Escolas
Em 1971, a música passou a fazer parte de um ensino interdisciplinar, com base no
artigo 7º da Lei 5692 de 1971. Com esta reforma, a Educação Artística foi introduzida nos
currículos escolares dos Ensinos Fundamental e Médio, trazendo problemas para o ensino da
música. A partir de 1971, o professor de Educação Artística ficou responsável por uma prática
pedagógica versátil. Conseqüentemente, a formação universitária dos professores foi

11. 11
desconsiderada e os profissionais que tinham formação em música acabavam ministrando
aulas de outras disciplinas, como artes plásticas. E os professores não graduados em música
não supriam a necessidade dessa disciplina e davam aulas para outras áreas.
Assim, foi abolida a oferta do ensino de música nos anos 70.
O parágrafo 6 da LDB 9394/96, acrescido pela Lei nº 11.769 de 18 – 8 – 2008 torna
obrigatório o ensino da música enquanto componente curricular do ensino de artes.
Porém o art. 3º da Lei nº 11.769, de 18-8-2008, determina que os sistemas de ensino
tenham três anos letivos para se adaptarem a essa exigência.
Este incentivo dado pela legislação em favor do ensino da música propõe
modificações nos currículos das escolas estaduais e municipais, e ainda, das escolas
particulares que poderá adotar a música como ferramenta interdisciplinar principalmente para
o ensino de matemática.
1.2 Matemática e Música
Em alguns povos da antiguidade (romanos, egípcios, árabes, hindus, etc.)
encontravam-se manifestações da matemática e da musica separadamente. Na mitologia grega
a arte musical já dava seus sinais, através do canto acompanhado de lira. Desde tempos mais
remotos a matemática já se fazia presente, por exemplo, na contagem de coisas e logo a
matemática começa tomar consistência a partir da necessidade de se equacionar e solucionar
problemas, no sentido de buscar fundamentos científicos capaz de justificar alguns conceitos.

12. 12
A música para muitos autores é considerada uma prática cultural. Atualmente
civilizações ou agrupamentos possuem “uma manifestação musical própria” podemos dar
como exemplo o Brasil que tem o samba.
Cultura ou ciência? É licito afirmar que é uma ciência maravilhosa que levou muitos
anos de estudos para se alcançar uma coesão em relação às técnicas da música como:
harmonia, melodia e ritmo. Hoje quando se escuta uma orquestra tocando achamos gracioso
por causa da quantidade de instrumentos, “falando uma mesma linguagem” em relação aos
parâmetros harmoniosos contidos entre eles.
As escalas musicais, uma série de notas de um determinado tom, nem sempre foram
organizadas como nos dias de hoje. Johann Sebastian Bach, compositor e instrumentista,
ajuntou todo seu conhecimento musical e nos deixou uma herança, sistema lógico de
composição (as escalas), que desfrutamos até atualidade.
1.3 - Monocórdio
De acordo com o vídeo educativo (Matemática e Música), produzido pelo
departamento de Arte e Matemática da TV Cultura, No século VI a.C. surge uma relação
muito intima entre a matemática e a música, quando Pitágoras iniciou seus estudos
envolvendo as relações numéricas com os sons desenvolvendo o monocórdio, isto é,
ilustrando as propriedades matemáticas das vibrações sonoras. A figura 1 ilustra um
monocórdio e suas partes.
Figura 1. Visualização esquemática de um
monocórdio.

13. 13
1.3.1 As Relações Encontradas Por Pitágoras
No monocórdio quando o fio está esticado produz uma vibração numa freqüência
particular, quando o comprimento da corda é dividido ao meio e tocado, produz um tom uma
oitava mais alta, e vibra a uma freqüência duas vezes maior que a original (2:1). As metades
desse comprimento irão produzir um tom duas oitavas mais alto que o original, A sua
freqüência (4:1) e assim por diante.
Pitágoras realiza, no fio tensionado, sucessivas divisões e as notas musicais vão se
comportando de maneira aritmética, veja na figura 2.
ESSA DIVISÃO CONTINUA SUCESSIVAMENTE...
1
2
3
4
Figura 2. Visualização esquemática das divisões
feitas por Pitágoras no monocórdio.
Se observarmos, sonoramente, a vibração da nota da corda tensionada será a mesma
nota dessa corda divida ao meio sendo a diferença na altura, ou seja, ela solta dará uma nota

14. 14
grave e dividida ao meio a mesma nota sendo aguda. Os nossos ouvidos interpretam essa
variação como sons equivalentes, por exemplo: Dó (262 Hz) e um Dó uma oitava acima (523
Hz).
A partir dessas equivalências sonoras deu inicio a um novo estudo que é: fracionar
esse intervalo. A divisão mais comum foi em sete partes onde se partia de uma nota qualquer
até chega a essa nota de novo mais aguda isso se o nome de oitava, intervalo fechado de um
conjunto de sete notas. Pelos os estudos de Pitágoras não era garantido que o próximo grupo
de nota, uma oitava acima, seria igual ao primeiro. Esse fenômeno nos da uma estrutura
(escala) espiralada para as notas musicais, como mostra a figura 3.
Figura 3. Demonstração das escalas musicais nos
estudos de Pitágoras.
Um povo que se destacou foi os chineses promovendo uma divisão em seis partes
igual chegando a uma nota muito parecida com a de partida e resolveram tira essa nota
chegando à razão de cinco notas conhecidas e usadas até hoje como escala penta tônica.

15. 15
1.4 Cravo Bem Temperado
“Johann Sebastian Bach nasceu no dia 21 de março de 1685, em Eisenach, uma
pequena cidade da Turíngia, no centro da Alemanha. Era descendente de uma família de
músicos profissionais, que desde os tempos de Martinho Lutero (início do século XVI) viviam
de seus trabalhos e transmitiam de geração em geração os segredos da arte musical”.
(http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm).
Bach colaborou bastante para a estruturação da música como ciência quando criou o
cravo bem temperado (Figura 4), instrumento que deu a possibilidade de sair da dissonância,
trítono, conhecido como o diabo da música, para consonância, relações de sons agradáveis ao
ouvido; deixando uma herança universal que é usada até hoje por músicos de todo o mundo
que são as escalas temperadas.
Figura 4. Reprodução, em preto e branco, da foto
de Bach tocando o Cravo Bem Temperado.

16. 16
1.4.1 As Relações Matemáticas Dentro do Cravo Bem Temperado
Após as descobertas de Pitágoras, em ralação a música, muitas nações e povos
continuaram seus estudos baseado no monocórdio dentro da relação de ½, conhecida como
oitava nos dias de hoje. A figura 5 ilustra a freqüência de uma nota e a sua oitava.
Figura 5. Demonstração gráfica de uma oitava.
Tomando a nota Dó como exemplo tem: um intervalo fechado de Dó (262 Hz) até
outro Dó (523 Hz) agudo com quase o dobro da freqüência do anterior, primeira relação do
monocórdio de ½, a questão agora seria: Dividir esse intervalo em quantas partes? Os
chineses dividirão em seis os indianos já fizeram duas divisões que foram em 22 é 24 partes.
Nenhuma divisão, feitas por estudiosos musicais de todo mundo, atingiu que J. S. Bach
descobriu, o tempero das notas musicais onde se podia tocar uma música em qualquer tom
tanto maior como menor sem fugir da consonância.
Bach dividiu em doze partes esse intervalo. Dentro de estudo mais aprofundado
fazendo uma ligação de Pitágoras e Bach, no que eles pesquisaram, vamos achar uma relação

17. 17
entre a Progressão Aritmética (Pitágoras) e Progressão Geométrica (Bach) que conhecida
como logaritmo, desenvolvida por John Napier em 1614.

18. 18
2 Fundamentações Teóricas
2.1 O Som
“O som se propaga tridimensionalmente, em formas de ondas ou compressão
mecânica, em apenas meios materiais, como o ar ou a água. Elas não se propagam no vácuo,
já que se transmitem através de vibrações moleculares e as moléculas precisam de um maio
material, o que não acontece no vácuo”. (FERRARO, 1998).
Para que este fenômeno ocorra é necessário que aconteçam compressões e rarefações
em propagação do meio conforme mostra a figura 6a.
Graficamente, esse movimento de compressão e rarefação pode ser representado por uma
onda, ilustrado na figura 6b, onde a parte de cima do eixo horizontal representa a compressão
e a parte de baixo à rarefação:
Figura 6a. Demonstração das ondas de um alto
falante.
Figuras 6b. Representação gráfica da propagação do
som

19. 19
A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos que estão vibrando, como é o
caso do alto-falante. Quando as variações de pressão chegam aos nossos ouvidos, os tímpanos
tentam imitar esta vibração causando sensações da fisiológica do som.
Nos estudos realizados por Wilson Carron, autor do livro Física Básica, o ouvido do
homem não é capaz de registrar ondas sonoras menores que 20 Hz (infrassons) e nem maiores
que 20.000 Hz (ultra-sons). Dentro desse intervalo o ser humano é capaz de individualizar as
ondas sonoras identificando de onde elas estão sendo produzidas e o meio que elas estão
sendo conduzidas onde se cria uma percepção sonora na qual conseguimos identificar quando
um pássaro esta cantando ou quando um instrumento musical esta sendo tocado e até mesmo
distinguir quando uma voz é masculina ou feminina.
O som é a “matéria prima da musica”, pois foi através da percepção sonora que se
começou o estudo da musica. Pitágoras de Samos, filósofo e matemático, observou, ao passar
em frente a uma oficina de ferreiros, que o bater de cinco martelos numa bigorna produziam
uma harmonia, aja visto que cada martelo, com seu tamanho desigual, produziam sons
diferentes e quando se martelavam juntos combinavam muito bem apesar do barulho forte. A
partir dessa experiência, com os sons, Pitágoras inicia os estudos musicais.
2.2 Altura
“A altura é uma qualidade que nos permite classificar os sons em graves ou agudos.
Quanto menor for à freqüência mais grave o som e quanto maior for à freqüência mais agudo
e som.” (FERRARO, 1998). Podemos observar o fenômeno na figura 7.

20. 20
Gráfico 1
Gráfico 2
Figura 7. Representação gráfica de Altura.
O gráfico 1 representa um som grave: observe que em um segundo foram concluídos três
ciclos (f = 3Hz).
O gráfico dois representa um som agudo: observe que em um segundo foram concluídos
10 ciclos (f = 10 Hz).
2.3 Intensidade
“A intensidade, também chamada de sonoridade, é uma propriedade do som que
permite ao ouvinte distinguir se o som é fraco ou se o som é forte e ela está relacionada à

21. 21
energia de vibração da fonte que emite as ondas sonoras. Ao se propagar, as ondas sonoras
transmitem energias que se espalham em todas as regiões. Quanto maior é a energia que a
onda transporta, maior é a intensidade do som que o nosso ouvido percebe. A intensidade e
medida em unidade chamada bel. No entanto se usar um submúltiplo dessa unidade que é
decibéis: 1 decibel = 1db = 0,1 bel. A figura 8 ilustra a intensidades das ondas em alguns
casos.” (FERRARO, 1998).
2.4 Timbre
Figura 8. Representação da intensidade das ondas
sonoras.
“É a qualidade que permite diferenciar sons de mesma altura emitidos por fontes
diferentes. O timbre depende da forma da onda.” (FERRARO, 1998).

22. 22
Esse desenho da onda e comumente de harmônico, uma função seno ou cosseno que se
movimenta com velocidade constante e com mesmo período. Na figura 9 verifica-se que cada
instrumento produz ondas com formas diferentes, isso faz com que o ser humano reconheça o
instrumento que o envia.
2.5 Logaritmos
“O primeiro registro sobre logaritmo foi feito em 1614 pelo matemático escocês Jonh
Napier, conhecido também como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano).
Quatro anos após o livro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por Napier, se
divulgado muitos cálculos, antes impossíveis de serem resolvidos, passam a ter soluções.”
(MURAKAMI, 1977).
Figura 9. Representação gráfica de alguns
timbres.

23. 23
Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão:
λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu
dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos
quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a
uma série geométrica de números.
2.5.1 Definições de Logaritmo
Sendo a e b números reais positivo, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b
o expoente real x a qual se eleva b para obter a:
log푏 푎 = 푥 → 푏푥 = 푎, 푐표푚 푎 > 0, 푏 > 0 푒 푏 ≠ 1
Para que log푏 푎 = 푥 tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1
e a > 0. A essa restrição chamamos condição de existência do logaritmo.
Na igualdade log푏 푎 = 푥, a é o logaritmo ou antilogaritmo de x (a = antilog푏 푥), b, a
base e x, o logaritmo.
LOGARITIMANDO (푎푛푡푖log2 4)
log2 16 = 4
LOGARITIMO
BASE

24. 24
2.5.2 Propriedades Do Logaritmo
Como corolário das propriedades, decorre:
Todas as propriedades seguem as condições para qualquer base 풂 (0 < 푎 ≠ 1).
Em símbolos:
0 < 푎 ≠ 1, 푏 > 0 푒 푐 > 0.
Logaritmo do Produto
Sendo a, b e c números reais positivos, a ≠ 1, temos:
log푎(푏 . 푐) = log푎 푏 + log푎 푐
DEMONSTRAÇÃO
log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1)
log푎 푐 = 푦 → 푎푦 = 푐 (2)
log푎(푏 . 푐) = 푧 → 푎푧 = 푏푐 (3)
Substituindo (1) e (2) em (3), temos:
푎푧 = 푎푥 . 푎푦 → 푎푧 = 푎푥 +푦 → 푧 = 푥 + 푦 → log푎(푏 . 푐) = log푎 푏 + log푎 푐
Logaritmo do Quociente
Sendo a, b e c números reais positivo, a ≠ 1, temos:
log푎
푏
푐
= log푎 푏− log푎 푐

25. 25
DEMONSTRAÇÃO
log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1)
log푎 푐 = 푦 → 푎푦 = 푐 (2)
log푎
푏
푐 = 푧 → 푎푧 = 푏
푐
(3)
Substituindo (1) e (2) em (3), temos:
푎푧 =
푎푥
푎푦 → 푎푧 = 푎푥 −푦 → 푧 = 푥 − 푦 → log푎
푏
푐
= log푎 푏− log푎 푐
Logaritmo da Potência
Sendo a e b números reais positivos, a ≠ 1, e m um número real, temos:
log푎 푏푚 = 푚. log푎 푏
DEMONSTRAÇÃO
log푎 푏 = 푥 → 푎푥 = 푏 (1)
log푎 푏푚 = 푦 → 푎푦 = 푏푚 (2)
Substituindo (1) em (2) temos:
푎푦 = (푎푥 )푚 → 푎푦 = 푎푚푥 → 푦 = 푚푥 → log푎 푏푚 = 푚. log푎 푏
2.5.3 Mudança de Base
As propriedades operatórias dos logaritmos são validas na mesma base. Vejamos
como transformar o logaritmo de uma base em outra.

26. 26
Sendo a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, temos:
log푏 푎 =
log푐 푎
log푐 푏
DEMONSTRAÇÃO
log푏 푎 = 푥 → 푏푥 = 푎
log푐 푎 = 푦 → 푐푦 = 푎
log푐 푏 = 푧 → 푐푧 = 푏 (2)
Substituindo (2) em (1), temos:
(푐푧 )푥 = 푐푦 → 푐푧푥 = 푐푦 → 푧푥 = 푦 → 푥 =
푦
푧
→ log푏 푎 =
log푐 푎
log푐 푏
2.6 Equação da Escala Musical Temperada
Observe a figura:
푏푥 = 푐푦 (1)
Figura 10. Ilustra uma oitava de teclado musical.

27. 27
 Toda nota musical tem uma freqüência;
 Uma oitava (DÓ1 a Dó2, por exemplo) e dado pelo quociente
2
1
.
Isto posto podemos escrever que:
1.i.i.i.i.i. ... .i = 2
Assim temos:
i mult iplicado 12 vezes
푖 12 = 2 → 푖 = √2 12 → 푖 = 1.0594631
OBS.: Nas escalas bem temperadas os intervalos são iguais.
Conhecendo o valor de i da escala temperada como se calcula as freqüências das notas
musicais?
Verifique que as freqüências das escalas estão em progressão geométrica de razão
igual a 1.0594631.
2.6.1 Forma Genérica
Dados duas freqüências 푓1 푒 푓2 onde seus intervalos e dado por
푓2
푓1
. Isto posto podemos
escrever:
푓1.i.i.i.i.i. ... .i = 푓2
i mult iplicado 12 vezes

28. 28
Exemplo de intervalo de uma oitava de Lá2 a Lá3 como mostra a figura 11.
Figura 11. Quadro ilustrativo tirado dos estudos realizado pelo professor Luiz Neto.
Assim, para calcular um intervalo genérico, temos:
푓1
푥 = 푓2
Aplicando o logaritmo, temos:
log 푓1
푥 = log 푓2 → 푥 log 푓1 = log 푓2 → 푥 =
log 푓2
log 푓1
→ 푥 = log
푓2
푓1

29. 29
3 Contextualização do Ensino da Matemática de Forma Interdisciplinar
Os PCN de Matemática destacam que “a matemática deverá ser vista pelo aluno como
um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua capacidade
expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação”. (2000, p.31).
È lícito afirmar que, a música e a matemática sempre foram domínio um do outro
desde os tempos de Pitágoras. Assim como a matemática favorece a capacidade expressiva, a
sensibilidade estética e a imaginação, “... o universo da arte caracteriza um tipo particular de
conhecimento que o ser humano produz a partir das perguntas fundamentais que desde sempre
se fez com relação ao seu lugar no mundo”. (PCN-Arte, 2000, p.32).
O estudo da música ajuda o aluno a ampliar o raciocínio abstrato, essencial para o
aprendizado da matemática e das ciências. A essa virtude pode-se acrescentar o ensino de
instrumentos musicais que também contribui para a formação de indivíduos autônomos. A
aprendizagem musical pode ser um valioso aliado no desenvolvimento de cidadãos
independentes e criativos em suas relações sociais, enfatiza a musicista e professora Maria
Helena Borges.
No estudo da matemática nos deparamos com alguns tópicos que podemos visualizar
uma aplicação prática e para nossa felicidade existem muitos deles. Isto reforça ainda mais
nosso interesse, pois afinal aquilo que é produto exclusivo da inteligência do homem, a
matemática, encontra um modelo prático que represente o que era produto da inteligência, da
imaginação.

30. 30
3.1 Proposta de Uma Aula
Segue abaixo o plano de aula.
Tema
Música e Logaritmos
Objetivos
 Relatar as relações matemáticas na música desenvolvidas por Pitágoras e Bach
 Mostra as relações existentes entre a matemática e a música.
 Relatar uma aplicação prática do logaritmo no dia-a-dia.
 Levar o aluno a visualizar os logaritmos de uma forma concreta
 Aplicar exercícios que mostre o aluno como se trabalha o logaritmo na fabricação de
instrumentos musicais
Procedimentos Metodológicos
1º Momento – Colocar para os alunos escutarem uma música do compositor J. S. Bach.
2º Momento – Apresentar os slides e explanar o conteúdo envolvido.
3º Momento – Fazer demonstrações pratica do que esta sendo falado utilizando um teclado
musical.
4º Momento – Levar os alunos a desenvolverem a atividade proposta.
Avaliação
O interesse dos alunos na hora da explicação e o método resolução, dos alunos, na
hora da atividade.

31. 31
3.1.1 Atividade Proposta
1 – Seja
log2 푓푓푖푛푎푙
log2 푓푖푛푖푐푖푎푙
, passe para a base 10 a expressão.
2 - Observe o quadro abaixo:
푓풊풏풊풄풊풂풍 푓풇풊풏풂풍
20 40
40 80
80 160
160 320
320 640
640 1280
1280 2560
2560 5120
5120 10240
10240 20480
Dos intervalos das freqüências dadas determine, aproximadamente, a oitava que ela
representa.

32. 32
4 Pesquisa de Campo
A proposta de aula foi aplicada para 20 (vinte) alunos de uma turma do 5º período de
uma turma de licenciatura em matemática.
Questionário
sim não
1 - Você já estudou música? 2 18
2 - Você sabia que existiam relações entre a matemática e a música? 13 7
3 - Você conhece alguma aplicação do logaritmo no seu cotidiano? 12 8
4 - Depois da aula mudou a sua maneira de ver a música e a matemática? 20 0
5 - O uso da música como contexto ajudou no aprendizado sobre logaritmo? 17 3
6 - Você acharia atrativo ver a música sendo usada como contexto de ensino de outras disciplinas? 17 3
O uso da música como contexto ajudou no
aprendizado sobre logaritmo?
sim
não
Gráfico 1. Ilustra o resultado da pergunta 5

33. 33
De acordo com os resultados do questionário, em destaque a pergunta 5, podemos
verificar que houve boa aceitação por parte da turma do ensino de logaritmos contextualizado
na música.

34. 34
5 Conclusão
Quando falamos de interdisciplinaridade no ensino, não podemos deixar de considerar
a contribuição dos PCN. Uma análise mais cuidadosa desses documentos nos revela a opção
por uma concepção instrumental. (BRASIL, 2002, p. 34-36).
Esse instrumento de ensino, a interdisciplinaridade, não é uma solução para o
aprendizado de matemática mais é uma ferramenta importante e bem eficaz para o professor
que dentro de vários conhecimentos ou um saber útil, no caso desse trabalho foi utilizado à
música, levando os estudantes ao concreto e conseqüentemente o faz compreender a
matemática.

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6 Sugestões de Trabalho Futuro
A sugestão a seguir foi selecionada e tirada do trabalho dos alunos do curso de pós-graduação
da Universidade Federal do Espírito Santo do ano de 2009.
Oficinas de Matemática e Música
 Pitágoras e a Música
Figura 13. Ilustração de Franchi nus Gafurius (Theo rica Musicae, 1492).
Imagem usada para representar a descoberta de Pitágoras das proporções das consonâncias.
1º Momento: exibir a imagem (figura 13) e comentar a respeito da mesma. Logo após,
direcionamos um debate com a apresentação dos participantes e algumas perguntam a respeito
da experiência de cada um com a matemática e a música.
2º Momento: demonstrar a escala de Pitágoras e as relações matemáticas existente.

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ATIVIDADE 1
Pedir aos participantes para definirem fração, razão, proporção, intervalo musical e escala
musical.
ATIVIDADE 2
Complete o quadro abaixo com as notas da Escala Pitagórica, percorrendo a escala por quintas
ascendentes e transpondo as notas obtidas à oitava de referência em caso de ultrapassagem
desse intervalo.
NOTAS DÓ RÉ MÍ FÁ SOL LÁ SÍ DÓ
RAZÃO 1 3
4
1
2
 Música na Idade Média
Figura 12. Ilustração do livro De Musica de Boécio. Manuscrito possivelmente da primeira
metade do século XII, escrito em pele de animal.

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Exibir o vídeo: A Matemática da Música produzida pelo Ministério da Educação e
Cultura. Aborda a matemática presente em diversas áreas do universo musical. Mostra como a
matemática auxilia na formação das escalas e como pode estar em padrões rítmicos de uma
escola de samba, no jazz e blues ou nas complexas sinfonias criadas por grandes autores
clássicos. Menciona fatos e personagens históricos que ajudaram a fundamentar a música
como ciência.
ATIVIDADE 1
Pedir aos participantes que definissem os conceitos de média aritmética, média harmônica,
freqüência, consonância, dissonância e batimento.
ATIVIDADE 2
Tomando como ponto de partida as notas musicais de hoje atribua hipoteticamente o
comprimento 1 (um) ao Do e ache:
Quarta (Fá) – Média Aritmética entre 1ª e 8ª
Quinta (Sol) – Média Harmônica entre 1ª e 8ª
Terça (Mí) – Média Harmônica entre 1ª e 5ª
Segunda (Ré) – Média Harmônica entre 1ª e 4ª

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7 Referências Bibliográficas
 IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de
Matemática Elementar: Logaritmos – 3º edição. São Paulo: Atual Editora, 1977.
 DANTE, Luiz Roberto. MATEMÁTICA: Ensino Médio – 1º edição. São Paulo:
Ática, 2004.
 FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antonio de Toledo Soares. Física
Básica. São Paulo: Atual Editora, 1998.
 CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As Faces da Física. São Paulo: Editora
Mode, 1997.
 ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: O pensamento analógico na
construção de significados - 2ª Edição. São Paulo: Editora Escrituras, 2002.
 SNYDERS, Georges. A Escola Pode Ensinar as Alegrias da Música? São Paulo:
Editora Cortez, 1992.
 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e Patologia do Saber. Rio de Janeiro:
Editora Imago, 1976.
 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da
Educação, 2002a.
 BRASIL. Câmara dos Deputados. LDB: Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional: lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e
bases da educação nacional. – 5ed. – Brasília: Coordenação Edições da Câmara, 2010.
 BARCO, Luiz. Matemática e Música. Vídeo Educativo: Departamento de Arte e
Matemática da TV cultura, 2007.

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 NETTO, Luiz Ferraz. Harmonia e Escala temperada, visitado no dia 18-05-2011,
<http://www.algosobre.com.br/fisica/acustica.html>.
 NETTO, Luiz de Assis. Física, Matemática, Física e Matemática na Música,
visitado no dia 20-05-2011, < http://caraipora2.tripod.com/assuntos.htm>.