1. UNIDAD 3. PENSAMIENTO
GEOMÉTRICO Y ANALÍTICO
Presentado por:
Angy Tatiana Cruz García
Daniel Eduardo Roncancio Torres
Marisol Casanova Sterling
Yuri Andrea Quintero Pérez

2. UNIDAD 3. PENSAMIENTO
GEOMÉTRICO Y ANALÍTICO
PROPÓSITO:
Analizar las formas geométricas en el plano cartesiano, permitiendo
resolver problemas de tipo geométricos con procedimientos algebraicos,
en forma individual y colaborativa, apoyados con el uso de las TIC.

3. La Línea Recta
Lugar Geométrico:
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos
que pertenece al plano cartesiano y cumplen
determinada característica geométrica común.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos
𝑃 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝑄(𝑥2, 𝑦2) del plano, se simboliza
como 𝑑(𝑃, 𝑄) y está determinada por la fórmula:
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
La fórmula de distancia entre dos puntos se
deduce a partir del Teorema de Pitágoras.

4. Pendiente de una recta
La pendiente (m) de la recta que pasa por
los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝑄(𝑥2, 𝑦2) se
define como:
𝒎 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Se puede determinar la tangente para el
ángulo 𝜃 𝑒𝑛 𝑒𝑙 ∆𝑃𝑅𝑄.
𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽

5. Ecuación de la recta 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏
Función Afín: La RECTA NO pasa por el
origen (0,0)

6. Ecuación de la recta
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
En la ecuación 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, el valor de m es
un número diferente de cero y corresponde a
la pendiente de la recta, lo cual indica la
inclinación de la recta respecto al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
En la ecuación 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, el valor de b es un
número diferente de cero y corresponde al
punto de corte de la línea recta con el 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
La ecuación de la recta cuya pendiente es m y
que pasa por el punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1), es:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟏

7. Ecuación de la recta
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
En la ecuación 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, el valor de m es
un número diferente de cero y corresponde a
la pendiente de la recta, lo cual indica la
inclinación de la recta respecto al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
En la ecuación 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, el valor de b es un
número diferente de cero y corresponde al
punto de corte de la línea recta con el 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
La ecuación de la recta cuya pendiente es m y
que pasa por el punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1), es:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟏

8. GEOMETRÍA
ANALÍTICA
Se conoce como geometría analítica al estudio de
ciertas líneas y figuras geométricas aplicando
técnicas básicas del análisis matemático y del
álgebra en un determinado sistema de
coordenadas. Lo novedoso de la geometría
analítica es que permite representar figuras
geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0,
donde f representa una función u otro tipo de
expresión matemática. La idea que llevó a la
geometría analítica fue: a cada punto en un plano
le corresponde un par ordenado de números y a
cada par ordenado de le corresponde un punto en
un plano.

9. CÓNICAS
Superficie cónica de
revolución
Una superficie de revolución es aquella
generada por una curva plana, que se hace
girar alrededor de una recta fija, ubicada en
el mismo plano de la curva.
En la figura se muestra la curva 𝑦 = 𝑥2, que
se hace girar alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑦.

10. CÓNICAS
Cuando se hace girar una recta alrededor de una recta fija, la superficie generada es
un cono circular recto denominado superficie cónica de revolución.
• La recta que gira se denomina generatriz de la superficie.
• La recta fija se denomina eje.
• El punto de corte de las dos rectas se denomina vértice.

11. SECCIÓN
CÓNICA
• Una sección cónica es una
curva que resulta de la
intersección de un plano con
una superficie cónica de
revolución.
• Las secciones que se pueden
obtener dependiendo del
ángulo de inclinación del
plano que corta la superficie
cónica de revolución son: la
circunferencia, la parábola, la
elipse y la hipérbola.

12. Ecuación general de
segundo grado
Una sección cónica se puede determinar a
partir de la ecuación de segundo grado:
𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒚𝟐
+ 𝑪𝒙𝒚 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎,
donde 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 𝑦 𝐹son números reales
y 𝐴, 𝐵, 𝑦 𝐶 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜.
El estudio de cada sección cónica se hará
desde el punto de vista geométrico y
analítico donde a cada curva le corresponde
una ecuación de segundo grado.

13. Ecuación
general de
segundo
grado
𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒚𝟐
+ 𝑪𝒙𝒚 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
CASOS: Vertical y horizontal:
𝑨𝒙𝟐
+ 𝑪𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Cónica Características
Circunferencia ±𝐴 𝑦 ± 𝐶, A = C
Parábola ±𝐴𝑥2
ó ± 𝐶𝑦2
Elipse ±𝐴 𝑦 ± 𝐶, A ≠ C
Hipérbola ±𝐴 𝑦 ∓ 𝐶, 𝐴 ≠ 𝐶

14. LA CIRCUNFERENCIA:
Una circunferencia es el conjunto de
puntos que está a una distancia
constante de un punto fijo
denominado centro. La distancia de
cada punto de la circunferencia al
centro se llama radio.

15. Ecuación canónica de la
circunferencia
En la figura se muestra una circunferencia con
centro en el punto C(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟. Como el punto
𝑃 𝑥, 𝑦 pertenece a la circunferencia se cumple
que:
- Se determina la distancia entre P y C:
𝑑 𝑃, 𝐶 = (𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2
- Se aplica la definición de circunferencia:
𝑟 = (𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2
- Se eleva al cuadrado a ambos lados.
𝑟2 = (𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2

16. Ecuación general de la
circunferencia
La ecuación general de una circunferencia se puede
determinar a partir de su ecuación canónica.
La ecuación 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, se
conoce como la ecuación general de la
circunferencia.
Ejemplo:
𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 2
𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 2
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎
Hallando la ecuación general de la circunferencia.

17. LA PARÁBOLA:
La parábola es el lugar geométrico
de los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) del plano,
que equidistan de una recta fija
denominada directriz y de un
punto fijo F, llamado foco. Así:
𝑑 𝑃, 𝑀 = 𝑑 𝑃, 𝐹
Donde M es el punto sobre el que
se proyecta P, en la directriz.

18. Elementos de la
parábola
Eje de simetría o eje focal: es la línea recta l
donde una rama de la parábola se refleja en otra.
Vértice: es el punto V de intersección de la
parábola con el eje de simetría.
Foco: es el punto F del plano que equidista de
cualquier punto sobre la parábola y se encuentra
sobre el eje de simetría.
Directriz: en la línea recta d cuya distancia a
cualquier punto sobre la parábola es la misma, es
perpendicular al eje de simetría.
Lado recto: es la cuerda LR perpendicular al eje
de simetría de la parábola, que pasa por el foco.

19. Ecuación canónica
de la parábola con
vértice en (𝟎, 𝟎)
Ecuación canónica de la parábola con
vértice en (0,0) y el eje de simetría el
𝑒𝑗𝑒 𝑥.
Por la definición de la parábola se tiene que:
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑀
Se reemplazan las 𝑑 𝑃, 𝐹 𝑦 𝑑 𝑃, 𝑀 y se elimina el
radical:
(𝑥 − 𝑝)2+𝑦2 = 𝑥 + 𝑝
Se desarrollan los cuadrados:
(𝑥 − 𝑝)2+𝑦2 = (𝑥 + 𝑝)2
Ecuación canónica con eje de simetría el 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
𝒚𝟐
= 𝟒𝒑𝒙

20. Ecuación canónica
de la parábola con
vértice en (𝟎, 𝟎)
Ecuación canónica de la parábola con
vértice en (0,0) y el eje de simetría el
𝑒𝑗𝑒 𝑦.
Realizando un análisis similar al anterior se deduce la
ecuación canónica con vértice en (0,0) y eje de
simetría el eje y. Así:
Ecuación canónica con eje de simetría el 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
𝒙𝟐
= 𝟒𝒑𝒚

21. Ecuación canónica de la
parábola con vértice en
(𝒉, 𝒌)
Ecuación canónica de la parábola con
vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo
al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
Por la definición de la parábola se tiene que:
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑀
Se reemplazan las 𝑑 𝑃, 𝐹 𝑦 𝑑 𝑃, 𝑀 y se elimina el
radical:
(𝑥 − ℎ − 𝑝)2+(𝑦 − 𝑘)2= 𝑥 − ℎ + 𝑝
Se despeja a (𝑦 − 𝑘)2
y se desarrollan los cuadrados,
reduciendo términos semejantes:
(𝑥 − ℎ − 𝑝)2
+(𝑦 − 𝑘)2
= (𝑥 − ℎ + 𝑝)2
Ecuación canónica con vértice en (ℎ, 𝑘) y eje de simetría
paralelo al el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 es:
(𝒚 − 𝒌)𝟐
= 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉
Donde p es la distancia del vértice al foco y 𝑄𝑅 = 4𝑝
Si 𝑝 > 0, la parábola abre hacia la derecha.
Si 𝑝 < 0, la parábola abre hacia la izquierda.

22. Ecuación canónica de la
parábola con vértice en
(𝒉, 𝒌)
Ecuación canónica de la parábola con
vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo
al 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
Realizando un análisis similar al anterior se deduce la
ecuación canónica , así:
Ecuación canónica con vértice en (ℎ, 𝑘) y eje de
simetría paralelo al el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 es:
(𝒙 − 𝒉)𝟐= 𝟒𝒑 𝒚 − 𝒌
Donde p es la distancia del vértice al foco y 𝑄𝑅 = 4𝑝
Si 𝑝 > 0, la parábola abre hacia arriba.
Si 𝑝 < 0, la parábola abre hacia abajo.

23. Ecuación
general de la
parábola
 La ecuación general de una parábola se puede
determinar a partir de su ecuación canónica. En la
ecuación canónica de la parábola con vértice 𝑉 ℎ, 𝑘 ,
se consideran dos casos:
• Parábola con vertice (h,k) y eje de simetría paralelo al eje x.
• 𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, con 𝐷 ≠ 0
• Parábola con vertice (h,k) y eje de simetría paralelo al eje y.
• 𝒙𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, con E ≠ 0

24. LA ELIPSE:
La elipse es un lugar
geométrico de los puntos del
plano, tales que la suma de
las distancias a dos puntos
fijos 𝐹1 𝑦 𝐹2 denominados
focos es constante. Así, el
punto M(𝑥, 𝑦) pertenece a la
elipse si 𝑑 𝑀, 𝐹1 +
𝑑 𝑀, 𝐹2 = 2𝑎, donde a es
un número real positivo.

25. Elementos de
una elipse
Los focos: son los puntos fijos
𝐹1 𝑦 𝐹2 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜.
Eje focal o el eje principal: es la recta que
pasa por los dos focos.
Eje normal o secundario: es la recta
perpendicular al eje focal que pasa por el
centro de la elipse.
El centro: es el punto medio del segmento
que une los dos focos.
Los vértices: en los puntos 𝑉1 𝑦 𝑉2 donde la
elipse corta al eje focal.
El lado recto: es el segmento perpendicular
al eje focal que pasa por uno de los focos y
que une a dos puntos de la elipse.

26. Ecuación canónica
de la elipse con
centro en (𝟎, 𝟎)
Ecuación canónica de la elipse con centro
en (0,0) y el eje focal sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
La ecuación canónica de una elipse con centro
(0,0):
Focos: 𝐹1 −𝑐, 0 𝑦 𝐹2 𝑐, 0 ,
Vé𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑉1 −𝑎, 0 𝑦 𝑉2(𝑎, 0)
y los cortes con el eje y en
𝐵1 0, 𝑏 𝑦 𝐵2(0, −𝑏) es:
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑦 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2

27. Ecuación canónica
de la elipse con
centro en (𝟎, 𝟎)
Ecuación canónica de la elipse con centro
en (0,0) y el eje focal sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
La ecuación canónica de una elipse con centro
(0,0):
Focos: 𝐹1 0, 𝑐 𝑦 𝐹2 0, −𝑐 ,
Vé𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑉1 0, 𝑎 𝑦 𝑉2(0, −𝑎)
y los cortes con el eje y en
𝐵1 𝑏, 0 𝑦 𝐵2(−𝑏, 0) es:
𝒙𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏 𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑦 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2

28. Ecuación canónica
de la elipse con
centro en (𝒉, 𝒌)
Ecuación canónica de la elipse con
centro en (h,k) y eje focal paralelo al
𝒆𝒋𝒆 𝒙.
En la gráfica se muestra con el eje focal paralelo al eje
x y centro en (h,k). En la elipse se tiene que:
Centro: (h,k).
Focos: 𝐹1 ℎ − 𝑐, 𝑘 𝑦 𝐹2 ℎ + 𝑐, 𝑘
Vértices sobre el eje focal: 𝑉1 ℎ − 𝑎, 𝑘 𝑦 𝑉2 ℎ + 𝑎, 𝑘
Vértices sobre el eje menor: 𝐵1 ℎ, 𝑘 − 𝑏 𝑦 𝐵2 ℎ, 𝑘 + 𝑏
Longitud del lado mayor: 2𝑎
Longitud del lado menor: 2𝑏
Ecuación del eje focal: 𝑦 = 𝑘
La longitud de cada lado recto es 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎

29. Ecuación canónica
de la elipse con
centro en (𝒉, 𝒌)
Ecuación canónica de la elipse con centro
en (h,k) y eje focal paralelo al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
En la gráfica se muestra con el eje focal paralelo al
eje x y centro en (h,k).
En este caso, para deducir la ecuación de la elipse con
centro en (h,k), se realiza una traslación de ejes. Se
obtiene que:
La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k)
y eje focal paralelo al eje x es:
𝒙 − 𝒉 𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚 − 𝒌 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
Donde 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑦 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

30. Ecuación canónica
de la elipse con
centro en (𝒉, 𝒌)
Ecuación canónica de la elipse con centro
en (h,k) y eje focal paralelo al 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
En la gráfica se muestra con el eje focal paralelo al
eje y y centro en (h,k).
En este caso, para deducir la ecuación de la elipse con
centro en (h,k), se realiza una traslación de ejes. Se
obtiene que:
La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k)
y eje focal paralelo al eje y es:
𝒙 − 𝒉 𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚 − 𝒌 𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏
Donde 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑦 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

31. Ecuación general de la
elipse
La ecuación general de una elipse se puede determinar a
partir de su ecuación canónica. La ecuación canónica de
la elipse cuyo eje focal es paralelo al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 es:
𝒙 − 𝒉 𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚 − 𝒌 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
La ecuación anterior se puede expresar como:
A𝒙𝟐
+ 𝑪𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
La ecuación general de la elipse, con eje focal paralelo a
uno de los ejes coordenados es A𝒙𝟐
+ 𝑪𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 +
𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 con 𝐴 ≠ 𝐶, diferentes del cero y con el
mismo signo.

32. La Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos denominados focos es constante. Así, el punto 𝑃 𝑥, 𝑦
pertenece a la hipérbola si
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎, donde a es un real positivo.
Elementos de una hipérbola:
Focos: son los puntos fijos del plano 𝐹1 𝑦 𝐹2.
Eje focal: es la recta que pasa por los dos focos.
Vértices: son los puntos de la hipérbola que están sobre el eje focal 𝑉1 𝑦 𝑉2.
Eje transverso: es el segmento cuyos extremos son los vértices de la hipérbola.
Centro: punto medio del eje transverso.
Eje normal: es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola.
Eje conjugado: es el segmento perpendicular al eje transverso que pasa por el centro de la
hipérbola.
Asíntotas: son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola, las cuales se aproximan a
las ramas de la hipérbola sin tocarla y se extienden indefinidamente.
Lado Recto: es un segmento perpendicular al eje focal que pasa por un punto de los focos y
que une a dos puntos de la hipérbola.

33. Ecuación canónica de la
hipérbola con centro en (0,0)
Hipérbola con centro en (0,0) y eje focal sobre el eje x
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0), con eje focal sobre el
𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝐹1 −𝑐, 0 𝑦 𝐹2 𝑐, 0 , 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑉1 −𝑎, 0 𝑦 𝑉2 𝑎, 0 es:
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 donde a, b, c > 0, 𝑐 > 𝑎 𝑦 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Además. 𝑂𝐹 = 𝑐 y los extremos del eje conjugado son 0, 𝑏 𝑦 0, −𝑏 .
Las ecuaciones de las asíntotas son 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 y 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥

34. Ecuación canónica de la
hipérbola con centro en (0,0)
Hipérbola con centro en (0,0) y eje focal sobre el eje y
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0), con eje focal sobre el
𝑒𝑗𝑒 𝑦, 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝐹1 0, −𝑐 𝑦 𝐹2 0, 𝑐 , 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑉1 0, −𝑎 𝑦 𝑉2 0, 𝑎 es:
𝒚𝟐
𝒂𝟐
−
𝒙𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 donde a, b, c > 0, 𝑐 > 𝑎 𝑦 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Además. 𝑂𝐹 = 𝑐 y los extremos del eje conjugado son 𝑏, 0 𝑦 −𝑏, 0 .
Las ecuaciones de las asíntotas son 𝑦 =
𝑎
𝑏
𝑥 y 𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥
La excentricidad de una hipérbola se define como 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
𝑎2+𝑏2
𝑎
, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 > 𝑎.
La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que 1.
Longitud del lado recto de la hipérbola se obtiene así: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
.

35. Ecuación canónica de la
hipérbola con centro (h,k)
Hipérbola con centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje x.
La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje x es:
𝒙 − 𝒉 𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚 − 𝒌 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
donde a, b, c > 0, 𝑐 > 𝑎 𝑦 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Los elementos de la hipérbola son:
Focos: 𝐹1 ℎ − 𝑐, 𝑘 𝑦 𝐹2 ℎ + 𝑐, 𝑘
Vértices: 𝑉1 ℎ − 𝑎, 𝑘 𝑦 𝑉2(ℎ + 𝑎, 𝑘)
Longitud del eje transverso = 2𝑎.
Longitud del eje conjugado = 2𝑏.
Eje normal: paralelo al eje y.
Asíntotas: 𝑦 − 𝑘 =
𝑏
𝑎
𝑥 − ℎ y 𝑦 − 𝑘 = −
𝑏
𝑎
𝑥 − ℎ .

36. Ecuación canónica de la
hipérbola con centro (h,k)
Hipérbola con centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje y.
La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje y es:
𝒚 − 𝒌 𝟐
𝒂𝟐
−
𝒙 − 𝒉 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
donde a, b, c > 0, 𝑐 > 𝑎 𝑦 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Los elementos de la hipérbola son:
Focos: 𝐹1 ℎ, 𝑘 − 𝑐 𝑦 𝐹2 ℎ, 𝑘 + 𝑐
Vértices: 𝑉1 ℎ, 𝑘 − 𝑎 𝑦 𝑉2(ℎ, 𝑘 + 𝑎)
Longitud del eje transverso = 2𝑎.
Longitud del eje conjugado = 2𝑏.
Eje normal: paralelo al eje x.
Asíntotas: 𝑦 − 𝑘 =
𝑎
𝑏
𝑥 − ℎ y 𝑦 − 𝑘 = −
𝑎
𝑏
𝑥 − ℎ .

37. Ecuación general de la
hipérbola
La ecuación general de la hipérbola se puede determinar
a partir de su ecuación canónica. La ecuación canónica
de la hipérbola cuyo eje focal es paralelo al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 es:
𝒙 − 𝒉 𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚 − 𝒌 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
La ecuación anterior se puede expresar como:
A𝒙𝟐
+ 𝑪𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
La ecuación general de la hipérbola, con eje focal
paralelo a uno de los ejes coordenados es A𝒙𝟐
+ 𝑪𝒚𝟐
+
𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 con 𝐴 ≠ 𝐶; diferentes del cero y de
signos opuestos.

38. MUCHAS GRACIAS
• Angy Tatiana Cruz García
• Daniel Eduardo Roncancio Torres
• Marisol Casanova Sterling
• Yuri Andrea Quintero Pérez