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Cours equation d'une droite

cours detaillé sur les equations d'une droite dans un systeme orthonormale avec un cours sur les vecteurs

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Ecole officielledesaadanayel 2014-2015
Classe Brevet
Prof: Ali Mehy Dine
Equation d'une droite
Définition: L'équation d'une droite est une relation algébrique entre les coordonnés d'un
tel point appartient à cette droite .Cette relation est donnépar la forme génerale y=ax+b
où a et b sontdeux nombres réelles à déterminer (on appelle "a" est la pente ou la
coefficient directeur de la droite et "b" l'ordonnéà l'origine).C'està dire pour un point
M ∈ (d) d'équation: y=2x+3 (par exemple) on peut dire que yM = 2xM+3
Exemple: y=2x+1 est une équation d'une droite avec a =2 et b=1
Pour indiquer les coordonnés d'unpoint d'une droite (d)
Ilsuffitde savoir l'une des coordonnés pour calculer l'autre
Exemple: (d) : y = 2x + 1 et A(2; yA) ∈ (d) calculer yA
YA = 2xA + 1 = 2(2) +1 = 5 ⇒ A( 2;5) ∈ (d)
B(xB ; -2) ∈ (d) calculer xB yB = 2xB +1
-2=2xB +1 ⇒ xB =
−3
2
⇒ B(
−3
2
; -2)
Comment tracer une droite sur unrepère orthonormale:
On choisie deux points appartient à cette droite puis on relie pour obtenir la droite
donnée.Pour déterminer les coordonnées de ces deux points on choisie deux valeurs
quelconques pour "x " (chaque"x" est une abscissed'unede ces deux points) on utilise
simplement x=0 et x=1, puis on détermine l'ordonné "y" on utilisons l'équation de la droite
donnée.
Exemple: tracer la droite (D) d'équation: y=2x+1
x 0 1
y 1 3
pour x=0 on a y= 2(0) +1 = 0+1=1
pour x=1 on a y = 2(1) +1 = 2 +1 =3
donc les deux points sont (0;1) et (1;3) on place ces deux points sur le repère puis on relie.
Comment vérifier l'appartenanced'unepoint à une droite:
Nous avons connu dans la définition de l'équation que siun point M ∈ (d) alors yM = axM + b
la réciproque est vraie donc si l'égalité est vraie pour un point
donné alors ce point appartient à cette droite.Donc on déduis que
{
𝑠𝑖 𝑌𝑀 = 𝑎𝑋 𝑀 + 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀 ∈ (𝑑)
𝑠𝑖 𝑌𝑀 ≠ 𝑎𝑌𝑀 + 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀 ∉ (𝑑)
Exemple: Soit (D) la droite donnée précèdement d'équation y=2x+1
dans le grapheon remarqueque le point E(2;1)∉(D) et le point F(–1;–1)∈ (D)
suivant on démontrepar calculequeE ∉ (D) et F ∈(D)
on teste l'égalité par les coordonnés deE : yE = 2xE +1 ??
1=2(2) +1
1=4+1
1=5 Faux alors E ∉ (D)
on teste l'égalité par les coordonnés deF : yF= 2xF +1 ??
–1=2(–1) +1
–1= –2+1
–1 = –1 Vraie alors F ∈ (D)
(D):y=2x+1
x' x
'
y'
y
Exercice: vérifier queA(2;3) ∈ (d) avec (d): y= 2x –1
On peut démontrer encore que si deux droite sont parallèles ounon
Propriété:
a) si a(u) = a(v) ( (u) et (v) de même pente) alors (u) // (v)
b) si a(u) x a(v) = –1 alors (u) ⊥ (v)
Exemple : (u) : y = 3x + 4 et (v) : y = 3x - 5 sontparallèles
(d) : y = 2x +1 et (d') : y =
−1
2
x +2 a(d) x a(d') = 2 x (
−1
2
) = -1 alors (d) ⊥ (d')
Déterminationd'une équationd'une droite passant par deux points:
Soient A et B deux points donnés ,la pente de la droite (AB) est donnée par :
a(AB) =
𝒀( 𝑩)─𝒀(𝑨)
𝑿( 𝑩)─𝑿(𝑨)
Exemple:
déterminer la pente de la droite: (AB) avec A (1;2) et B(0;3)
a(AB) =
𝒀( 𝑩)─𝒀(𝑨)
𝑿( 𝑩)─𝑿(𝑨)
=
𝟑─𝟐
𝟎─𝟏
=
𝟏
─𝟏
= ─1
pour déterminer l'équation de (AB) il reste de déterminer la valeur de "b".
pour cela on écrit la formegénerale de l'équation y=ax+b et on remplace "a" par sa valeur
calculée et "x" et "y" par les coordonnés de A ou B , pour obtenir une équation a un seul
inconnu qui est "b" et on le résoudre.
application numérique:
l'équation de (AB) est y= ax+b avec a(AB)=─1
on remplace x et y par les coordonnés de B on obtient:
3=(-1)(0) +b
3=0+b ⇒ 3 = b alors l'équation de (AB) sera y=-1x+3 (AB): y=-x+3
Exercice: déterminer l'équation de la droite (EF) avec E(2;3) et F(5;-2)
Note: forme particulier d'une équation d'une droite passepar l'origine : y=ax (il ya un seul
paramètre à déterminer qui est "a")
Milieud'unsegment:
Pour calculer les coordonnés du milieu d'un segment on applique les formules suivantes:
soit C milieu de [AB] on a: X(C)=
𝑿( 𝑨)+ 𝑿(𝑩)
𝟐
; Y(C) =
𝒀( 𝑨)+𝒀(𝑩)
𝟐
Pour vérifier q'un point est le milieu d'un segment donnée on vérifie les équations des
coordonnés du milieu précédent.
Exemple: vérifier que M(3;2) est le milieu de [AB] avec A(2;4) et B(4;0)
seulement on vérifie que X(M) =
𝑋( 𝐴)+𝑋(𝐵)
2
et que Y(M) =
𝑌( 𝐴)+ 𝑌(𝐵)
2
??
3=
2+4
2
2=
4+0
2
3=
6
2
2=
4
2
3=3 vraie 2=2 vraie
on déduis que M milieu de [AB]
Note: les formules des coordonnés du milieu peut utiliser dans la détermination des
coordonnés d'un symétrie.
Exemple: déterminer les coordonnés du point C symétriede A(1; 2) par rapportà B(2;3)
solution: la symétriquedonnée implique que B est le milieu du segment[AC]
alors: X(B) =
𝑋( 𝐴)+ 𝑋(𝐶)
2
et Y(B) =
𝑌( 𝐴)+ 𝑌(𝐶)
2
2 =
1+𝑋(𝐶)
2
3=
2+𝑌(𝐶)
2
4= 1+X(C) 6=2+Y(C)
4–1=X(C) 6–2= Y(C)
alors X(C) = 3 et Y(C) = 4 , C(3;4)
Comment démontrer que trois points donnés sont alignées:
Soient A , B et C sonttrois points donnés pour démontrer qu'ils sontalignés seulement on
démontre que pente(AB) = pente(BC)
Exemple : A(0;2) B(2;4) C( –1;1)
démontrer que A , B et C sontalignées ?
on calcule la pente de la droite (AB) : a(AB)=
𝑌( 𝐵)− 𝑌(𝐴)
𝑋( 𝐵)−𝑋(𝐴)
=
4−2
2−0
=
2
2
=1
et la pente de la droite (BC) : a(BC)=
𝑌( 𝐶)−𝑌(𝐵)
𝑋( 𝐶)−𝑋(𝐵)
=
1−4
−1−2
=
−3
−3
= 1
alors a(AB)=a(BC)= 1 parsuiteA , B et C sont alignées
2ème méthode:on détermine l'équation de (AB) puis on vérifie que C∈ (AB)
Exercice: démontrer queles points E(0;–1) , F(2;3) , G(3;5) sontalignés .
Exercices
Exercice 1 :
Compléter les coordonnées des points A(1 ; ....) B( 0 ; ....) C( ...; 0)
qui sont appartient sur la droite (d) : y = -2x +2
Exercice 2:
Calculer la pente de la droite (d) dans chacun des cas suivants:
a) (d) ⊥ (d') et (d'): y = -2x +2
b) (d) ⊥ (d') et (d'): y= -x-1
c) (d) passe par A(1;2) et B(0; -1)
Exercice 3:
Déterminer l'équation de la droite (d) médiatrice du [AB] avec A(2;1) et B(1;2)
Géométrie analytique
La longueur d'un segment [AB] : AB = √( 𝑿 𝑩 − 𝑿 𝑨) 𝟐 + ( 𝒀 𝑩 − 𝒀 𝑨) 𝟐
pour démontrer q'un quadrilatère est un parallélogramme:
pour que ABCD est un parallélogramme il suffitde démontrer que :
1er méthode:(AB) //(CD)[ on démontre que a(AB) =a(CD) ]
et AB = CD ( oncalcule AB et CD en utilisant la formule précedente de longueur d'un
segment )
2ème méthode:(AB) // (CD)[ démontrer que a(AB) = a(CD) ]
et (BC) // (AD)[ démontrer que a(BD) =a(AD)]
3ème méthode:calculer les coordonnés du milieu du diagonale [AC]
et démontrons qu'il est a la fois milieu de [BD] (donc les diagonales secoupent en leur
milieux)
Pour démontrer q'un quadrilatère est un rectangle:
1èr étape:il suffitde démontrer que ce quadrilatère est un parallélogramme
2ème étape:a) il suffit de démontrer qu'il ya deux côtés consécutif perpendiculaire [on
démontre que (AB) ⊥ (BC) en utilisant : a(AB) x a(BC) = –1 ]

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Cours equation d'une droite

  • 1. Ecole officielledesaadanayel 2014-2015 Classe Brevet Prof: Ali Mehy Dine Equation d'une droite Définition: L'équation d'une droite est une relation algébrique entre les coordonnés d'un tel point appartient à cette droite .Cette relation est donnépar la forme génerale y=ax+b où a et b sontdeux nombres réelles à déterminer (on appelle "a" est la pente ou la coefficient directeur de la droite et "b" l'ordonnéà l'origine).C'està dire pour un point M ∈ (d) d'équation: y=2x+3 (par exemple) on peut dire que yM = 2xM+3 Exemple: y=2x+1 est une équation d'une droite avec a =2 et b=1 Pour indiquer les coordonnés d'unpoint d'une droite (d) Ilsuffitde savoir l'une des coordonnés pour calculer l'autre Exemple: (d) : y = 2x + 1 et A(2; yA) ∈ (d) calculer yA YA = 2xA + 1 = 2(2) +1 = 5 ⇒ A( 2;5) ∈ (d) B(xB ; -2) ∈ (d) calculer xB yB = 2xB +1 -2=2xB +1 ⇒ xB = −3 2 ⇒ B( −3 2 ; -2) Comment tracer une droite sur unrepère orthonormale: On choisie deux points appartient à cette droite puis on relie pour obtenir la droite donnée.Pour déterminer les coordonnées de ces deux points on choisie deux valeurs quelconques pour "x " (chaque"x" est une abscissed'unede ces deux points) on utilise simplement x=0 et x=1, puis on détermine l'ordonné "y" on utilisons l'équation de la droite donnée. Exemple: tracer la droite (D) d'équation: y=2x+1 x 0 1 y 1 3 pour x=0 on a y= 2(0) +1 = 0+1=1 pour x=1 on a y = 2(1) +1 = 2 +1 =3
  • 2. donc les deux points sont (0;1) et (1;3) on place ces deux points sur le repère puis on relie. Comment vérifier l'appartenanced'unepoint à une droite: Nous avons connu dans la définition de l'équation que siun point M ∈ (d) alors yM = axM + b la réciproque est vraie donc si l'égalité est vraie pour un point donné alors ce point appartient à cette droite.Donc on déduis que { 𝑠𝑖 𝑌𝑀 = 𝑎𝑋 𝑀 + 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀 ∈ (𝑑) 𝑠𝑖 𝑌𝑀 ≠ 𝑎𝑌𝑀 + 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀 ∉ (𝑑) Exemple: Soit (D) la droite donnée précèdement d'équation y=2x+1 dans le grapheon remarqueque le point E(2;1)∉(D) et le point F(–1;–1)∈ (D) suivant on démontrepar calculequeE ∉ (D) et F ∈(D) on teste l'égalité par les coordonnés deE : yE = 2xE +1 ?? 1=2(2) +1 1=4+1 1=5 Faux alors E ∉ (D) on teste l'égalité par les coordonnés deF : yF= 2xF +1 ?? –1=2(–1) +1 –1= –2+1 –1 = –1 Vraie alors F ∈ (D) (D):y=2x+1 x' x ' y' y
  • 3. Exercice: vérifier queA(2;3) ∈ (d) avec (d): y= 2x –1 On peut démontrer encore que si deux droite sont parallèles ounon Propriété: a) si a(u) = a(v) ( (u) et (v) de même pente) alors (u) // (v) b) si a(u) x a(v) = –1 alors (u) ⊥ (v) Exemple : (u) : y = 3x + 4 et (v) : y = 3x - 5 sontparallèles (d) : y = 2x +1 et (d') : y = −1 2 x +2 a(d) x a(d') = 2 x ( −1 2 ) = -1 alors (d) ⊥ (d') Déterminationd'une équationd'une droite passant par deux points: Soient A et B deux points donnés ,la pente de la droite (AB) est donnée par : a(AB) = 𝒀( 𝑩)─𝒀(𝑨) 𝑿( 𝑩)─𝑿(𝑨) Exemple: déterminer la pente de la droite: (AB) avec A (1;2) et B(0;3) a(AB) = 𝒀( 𝑩)─𝒀(𝑨) 𝑿( 𝑩)─𝑿(𝑨) = 𝟑─𝟐 𝟎─𝟏 = 𝟏 ─𝟏 = ─1 pour déterminer l'équation de (AB) il reste de déterminer la valeur de "b". pour cela on écrit la formegénerale de l'équation y=ax+b et on remplace "a" par sa valeur calculée et "x" et "y" par les coordonnés de A ou B , pour obtenir une équation a un seul inconnu qui est "b" et on le résoudre. application numérique: l'équation de (AB) est y= ax+b avec a(AB)=─1 on remplace x et y par les coordonnés de B on obtient: 3=(-1)(0) +b 3=0+b ⇒ 3 = b alors l'équation de (AB) sera y=-1x+3 (AB): y=-x+3
  • 4. Exercice: déterminer l'équation de la droite (EF) avec E(2;3) et F(5;-2) Note: forme particulier d'une équation d'une droite passepar l'origine : y=ax (il ya un seul paramètre à déterminer qui est "a") Milieud'unsegment: Pour calculer les coordonnés du milieu d'un segment on applique les formules suivantes: soit C milieu de [AB] on a: X(C)= 𝑿( 𝑨)+ 𝑿(𝑩) 𝟐 ; Y(C) = 𝒀( 𝑨)+𝒀(𝑩) 𝟐 Pour vérifier q'un point est le milieu d'un segment donnée on vérifie les équations des coordonnés du milieu précédent. Exemple: vérifier que M(3;2) est le milieu de [AB] avec A(2;4) et B(4;0) seulement on vérifie que X(M) = 𝑋( 𝐴)+𝑋(𝐵) 2 et que Y(M) = 𝑌( 𝐴)+ 𝑌(𝐵) 2 ?? 3= 2+4 2 2= 4+0 2 3= 6 2 2= 4 2 3=3 vraie 2=2 vraie on déduis que M milieu de [AB] Note: les formules des coordonnés du milieu peut utiliser dans la détermination des coordonnés d'un symétrie. Exemple: déterminer les coordonnés du point C symétriede A(1; 2) par rapportà B(2;3) solution: la symétriquedonnée implique que B est le milieu du segment[AC] alors: X(B) = 𝑋( 𝐴)+ 𝑋(𝐶) 2 et Y(B) = 𝑌( 𝐴)+ 𝑌(𝐶) 2 2 = 1+𝑋(𝐶) 2 3= 2+𝑌(𝐶) 2 4= 1+X(C) 6=2+Y(C)
  • 5. 4–1=X(C) 6–2= Y(C) alors X(C) = 3 et Y(C) = 4 , C(3;4) Comment démontrer que trois points donnés sont alignées: Soient A , B et C sonttrois points donnés pour démontrer qu'ils sontalignés seulement on démontre que pente(AB) = pente(BC) Exemple : A(0;2) B(2;4) C( –1;1) démontrer que A , B et C sontalignées ? on calcule la pente de la droite (AB) : a(AB)= 𝑌( 𝐵)− 𝑌(𝐴) 𝑋( 𝐵)−𝑋(𝐴) = 4−2 2−0 = 2 2 =1 et la pente de la droite (BC) : a(BC)= 𝑌( 𝐶)−𝑌(𝐵) 𝑋( 𝐶)−𝑋(𝐵) = 1−4 −1−2 = −3 −3 = 1 alors a(AB)=a(BC)= 1 parsuiteA , B et C sont alignées 2ème méthode:on détermine l'équation de (AB) puis on vérifie que C∈ (AB) Exercice: démontrer queles points E(0;–1) , F(2;3) , G(3;5) sontalignés . Exercices Exercice 1 : Compléter les coordonnées des points A(1 ; ....) B( 0 ; ....) C( ...; 0) qui sont appartient sur la droite (d) : y = -2x +2 Exercice 2: Calculer la pente de la droite (d) dans chacun des cas suivants: a) (d) ⊥ (d') et (d'): y = -2x +2 b) (d) ⊥ (d') et (d'): y= -x-1
  • 6. c) (d) passe par A(1;2) et B(0; -1) Exercice 3: Déterminer l'équation de la droite (d) médiatrice du [AB] avec A(2;1) et B(1;2) Géométrie analytique La longueur d'un segment [AB] : AB = √( 𝑿 𝑩 − 𝑿 𝑨) 𝟐 + ( 𝒀 𝑩 − 𝒀 𝑨) 𝟐 pour démontrer q'un quadrilatère est un parallélogramme: pour que ABCD est un parallélogramme il suffitde démontrer que : 1er méthode:(AB) //(CD)[ on démontre que a(AB) =a(CD) ] et AB = CD ( oncalcule AB et CD en utilisant la formule précedente de longueur d'un segment ) 2ème méthode:(AB) // (CD)[ démontrer que a(AB) = a(CD) ] et (BC) // (AD)[ démontrer que a(BD) =a(AD)] 3ème méthode:calculer les coordonnés du milieu du diagonale [AC] et démontrons qu'il est a la fois milieu de [BD] (donc les diagonales secoupent en leur milieux) Pour démontrer q'un quadrilatère est un rectangle: 1èr étape:il suffitde démontrer que ce quadrilatère est un parallélogramme 2ème étape:a) il suffit de démontrer qu'il ya deux côtés consécutif perpendiculaire [on démontre que (AB) ⊥ (BC) en utilisant : a(AB) x a(BC) = –1 ]
  • 7. ou b) démontrer que AC = BD (on utilisons la formulede longueur d'un segment précedent) {ce cas démontre que les diagonales sont égaux} pour démontrer que ABCD est un losange : 1èr étape:démontrer qu'il est parallélogramme 2ème étape:a) démontrer que les diagonales [AC] et [BD] sontperpendiculaires ( démontrer que a(AC) x a(BD) = –1 ) ou b) démontrer qu'il ya deux côtes consécutifes égaux ( démontrer que AB = BC par la formule de longueur d'un segment) Pour déterminer le centre ducercle circonscrit: a) le centre du cercle circonscritdans un triangle est l'intersection des médiatrices des côtes du triangle (ce cercle passepar les trois sommets du triangle) b) si le triangle est un triangle rectangle alors le centre du cercle circonscritest le milieu de l'hypothénuseet de rayon = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 2 Pour déterminer le centre ducercle inscrit dans untriangles: le centre du cercle inscrit est l'intersection des bissectrisses des trois angles du triangles (ce cercle est tengante aux trois côtés du triangles) Pour démontrer q'un point M appartient à un cercle de centre O et de rayon R: il suffitde démontrer que OM = Rayon (on calcule OMpar la formule du longueur d'un segment et le rayon est donné par hypothèsepeut être directement ou indirectement c'est à dire peut être utilise rayon = 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 2 ) Translation et vecteurs Carastéristiques duvecteur: levecteur est caracterisépar: * le longueur * la direction * le sens
  • 8. propriété :deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont égaux s'ils possèdentles mêmes caractéristiques. vecteur résultante:Soient A ,B et C trois points non alignés alors : a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ avec D est le 4ème point du parallélogramme ABDC translation d'un point par un vecteur: Soit A un point et 𝑢⃗ un vecteur donnés on dit que B est le translaté du point A par la translation du vecteur 𝑢⃗⃗⃗ 𝑠𝑖 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ Coordonnés d'un vecteur: les coordonnés d'un vecteur AB sont donnés par : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴 ; 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴) c'est à dire 𝑋 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴 et 𝑌𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 Pour démontrer que deux vecteurs sont égaux on calcule les coordonnés de chaque vecteur et vérifions q'ils possèdentles mêmes coordonnés Pour démontrer que ABCD est un parallélogramme: seulement on démontre que AB = DC ( dans ce cas on déduis que les deux côtés [AB] et [DC] sont de même direction(parallèle) et de même longueur alors ABCD est un parallélogramme) A B C A B C D 𝑢⃗ A B
  • 9. Exemple: démontrer que ABCD est un parallélogramme avec A(–2;1) , B(3;6), C(–1;4) ,D (–6; –1). solution: On démontre que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ?? 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑋 𝐵 − 𝑋𝐴 ; 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴) = ( 3–(–2) ; 6 –1) = ( 5; 5) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑋𝐶 − 𝑋 𝐷 ; 𝑌𝐶 − 𝑌𝐷)= (–1–(–6) ;4–(–1) ) =(–1+6; 4+1) = (5; 5) alors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ parsuite ABCD est un parallélogramme Exercice: déterminer les coordonnés du point B translaté du point A(1;–1) par le vecteur 𝑢⃗ =(2;3) . solution: on déduis d'après la définition du translation que : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ alors: 𝑋 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑋 𝑢⃗⃗ et 𝑌 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑌 𝑢⃗⃗ 𝑋 𝐵− 𝑋𝐴 = 𝑋 𝑢⃗⃗ 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 = 𝑌 𝑢⃗⃗ 𝑋 𝐵 – 1 = 2 𝑌𝐵– (–1) = 3 𝑋 𝐵 = 2+1 𝑌𝐵 +1 = 3 𝑋 𝐵= 3 𝑌𝐵 = 3–1=2 alors B(3 ; 2)