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CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES




    1 Définition et représentation graphique
      de la fonction logarithme népérien
             1. Définition
                        1
La fonction inverse x   -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet
                         -
                         x
donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ .

  La fonction logarithme népérien x       ln x est la primitive, définie sur
                                1
  ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x -- qui s’annule en 1.
                                 -
                                x


             2. Conséquences
• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive
sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante.
Elle est continue et bijective.
               1
• ln ′ ( x ) = -- ;
                -                               x         0         1       +∞
               x
ln 1 = 0.
                                                     1         +        +
                                            x        --
                                                      -
• lim ln x = – ∞                                     x
  x→0
    0                                                                       +∞
 lim ln x = + ∞ .                               ln                  0
x → +∞                                                    –∞



                                                               ln
         1                          A


                      1
         0                B             e




148
cours                  savoir-faire                       exercices                    corrigés


• On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1.
                                                       1
Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = -- x et au point
                                                        -
                                                       e
B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1.



                         exemple d’application
 Déterminer les asymptotes à la courbe                   représentative de la fonction :
                                                          x+3
                                           f: x      ln  ------------ .
                                                         x – 1

 corrigé commenté
     Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f.
                                       x+3
 f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un tri-
                                       x–1
 nôme du second degré de racines 1 et – 3.
              x+3
 Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ .
              x–1
 Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ .
     Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D.

                  1 + --
                            3
                             -                         1 + 3   -- 
                                                                  -
   x+3                      x                                   x
 • ------------ = ------------ pour x ≠ 0 d’où
                             -                   lim  ------------  = 1 et lim ln X = 0 donc par
                                                                  -
   x–1                      1                    x → ∞          1
                  1 – --     -                          1 – --   -          X→1
                            x                                   x
 composition lim f ( x ) = 0.
                    x →∞
 Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞.
          x+3
 • lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ .
   x → –3 x – 1              X→0                                   x → –3
       –3                          0                                                    –3
 Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à .
                                                                                   x+3
 • lim ( x – 1 ) = 0 +        et       lim ( x + 3 ) = 4              donc   lim  ------------ = + ∞   et
   x →1                                x →1                                  x → 1 x   – 1
      1                                                                         1
  lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ .
 X → +∞                                                 x→1
                                                          1
 Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D.
 En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives :
                             y = 0 ; x = – 3 et x = 1.




                                                                                                         149
CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES




     2 Propriétés et autres fonctions
           1. Propriétés de la fonction logarithme népérien
 Conditions                 Propriétés

 a     0                     ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des
 b     0                    fonctions logarithmes)
                                a                     1
                             ln -- = ln a – ln b ; ln -- = – ln b
                                 -                     -
                                b                     b
                             ln a  α = α ln a avec α ∈

                             ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective)
                             ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement
                            croissante)
                             ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1

 0     x     1               ln x    0

 x     1                     ln x    0


           2. Dérivées et primitives
• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour
tout x de I, u ( x ) soit strictement positif :

               u′                                    u′
 ( ln ◦ u )′ = ----
                  -   . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ---- .
                                                        -
                u                                     u

• Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée
u′ est dérivable sur I.
                         u¢
Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ .
                         u

           3. Fonction logarithme décimal
                                                                        ln x
La fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------ .
                                                                               -
                                                                       ln 10
Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que
la fonction logarithme népérien.
                                              1
log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ---------------- .
                                                      -
                                        x ln 10
Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puis-
sances de 10.

150
cours                                  savoir-faire                                      exercices         corrigés


                  4. Autres limites
    ln ( 1 + x )                                         ln x
lim ----------------------- = 1 ;
                          -                          lim --------- = 0 ;
x→0            x                                    x → +∞  x
lim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois).
x→0

ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro.

                  5. Résolution de l’équation ln x = a
Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans
]0 ; + ∞ [ .
Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a.




                           x2 + 3
                                        exemple d’application
 Soit la fonction f : x ln -------------- définie sur ]1 ; + ∞ [ .
                                        -
                             x–1
 Déterminer les variations de f.

 corrigé commenté                                                                        x2 + 3
 La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = -------------- .                               -
                                                                                          x–1
            u′                   2x ( x – 1 ) – ( x                   2 + 3)          x  2 – 2x – 3
 D’où f ′ = ---- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = ---------------------------
               -                                                                  -                             -
             u                                   ( x – 1 )2                               ( x – 1 )2
 donc :
             x 2 – 2x – 3
             ---------------------------
                                       -
                 ( x – 1 )2                ( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 )
 f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------- .
                                       -                                                    -
                   x   2+3                      ( x – 1 )2 ( x2 + 3 )
                   ---------------
                     x–1
 Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même
 signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3.
 Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement
 si, x ∈ ]1 ; 3 ] .
 Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est
 strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] .

       Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df .
       Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ .




                                                                                                                               151

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  • 1. CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 La fonction inverse x -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet - x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x -- qui s’annule en 1. - x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante. Elle est continue et bijective. 1 • ln ′ ( x ) = -- ; - x 0 1 +∞ x ln 1 = 0. 1 + + x -- - • lim ln x = – ∞ x x→0 0 +∞ lim ln x = + ∞ . ln 0 x → +∞ –∞ ln 1 A 1 0 B e 148
  • 2. cours savoir-faire exercices corrigés • On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1. 1 Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = -- x et au point - e B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1. exemple d’application Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction : x+3 f: x ln  ------------ .  x – 1 corrigé commenté Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f. x+3 f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un tri- x–1 nôme du second degré de racines 1 et – 3. x+3 Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . x–1 Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D. 1 + -- 3 -  1 + 3 --  - x+3 x  x • ------------ = ------------ pour x ≠ 0 d’où - lim  ------------  = 1 et lim ln X = 0 donc par - x–1 1 x → ∞ 1 1 – -- - 1 – --  - X→1 x  x composition lim f ( x ) = 0. x →∞ Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞. x+3 • lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ . x → –3 x – 1 X→0 x → –3 –3 0 –3 Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à . x+3 • lim ( x – 1 ) = 0 + et lim ( x + 3 ) = 4 donc lim  ------------ = + ∞ et x →1 x →1 x → 1 x – 1 1 1 lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ . X → +∞ x→1 1 Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D. En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives : y = 0 ; x = – 3 et x = 1. 149
  • 3. CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 2 Propriétés et autres fonctions 1. Propriétés de la fonction logarithme népérien Conditions Propriétés a 0 ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des b 0 fonctions logarithmes) a 1 ln -- = ln a – ln b ; ln -- = – ln b - - b b ln a α = α ln a avec α ∈ ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective) ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement croissante) ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1 0 x 1 ln x 0 x 1 ln x 0 2. Dérivées et primitives • Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour tout x de I, u ( x ) soit strictement positif : u′ u′ ( ln ◦ u )′ = ---- - . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ---- . - u u • Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée u′ est dérivable sur I. u¢ Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ . u 3. Fonction logarithme décimal ln x La fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------ . - ln 10 Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que la fonction logarithme népérien. 1 log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ---------------- . - x ln 10 Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puis- sances de 10. 150
  • 4. cours savoir-faire exercices corrigés 4. Autres limites ln ( 1 + x ) ln x lim ----------------------- = 1 ; - lim --------- = 0 ; x→0 x x → +∞ x lim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois). x→0 ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro. 5. Résolution de l’équation ln x = a Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans ]0 ; + ∞ [ . Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a. x2 + 3 exemple d’application Soit la fonction f : x ln -------------- définie sur ]1 ; + ∞ [ . - x–1 Déterminer les variations de f. corrigé commenté x2 + 3 La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = -------------- . - x–1 u′ 2x ( x – 1 ) – ( x 2 + 3) x 2 – 2x – 3 D’où f ′ = ---- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = --------------------------- - - - u ( x – 1 )2 ( x – 1 )2 donc : x 2 – 2x – 3 --------------------------- - ( x – 1 )2 ( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 ) f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------- . - - x 2+3 ( x – 1 )2 ( x2 + 3 ) --------------- x–1 Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3. Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]1 ; 3 ] . Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] . Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df . Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ . 151