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Généralités sur les fonctions

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CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS




     1 Ensemble de définition et réductions
       éventuelles
         1. Ensemble de définition
• Dans , les intervalles sont les ensembles suivants où a b :
– intervalles ouverts : ]– ∞ ; a[ ; ]a ; b[ ; ]b ; +∞[ ;
– intervalles fermés : ]– ∞ ; a] ; [a ; b] ; [b ; +∞[ ;
– intervalles semi-ouverts ou semi-fermés : [a ; b[ ; ]a ; b] ;
– intervalles particuliers :
   = ]– ∞ ; + ∞ [ et ∅ = ]a ; a ] = [ a ; a [ = ] a ; a [ .
• L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des élé-
ments ayant une image par f.
                           D f = { x ∈ /f (x) existe }.
Remarque : Df est un intervalle ou une réunion d’intervalles.

         2. Parité d’une fonction
Soit une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à
zéro, c’est-à-dire que pour tout x de D, –x appartient à D.

             Parité de f         Définition             Élément de symétrie
                                                          de la courbe f
                Paire           f (– x) = f (x)        axe des ordonnées
              Impaire          f (– x) = – f (x)        origine du repère

Conséquence : si f est paire ou impaire, alors on peut réduire l’étude de f à   +   D.

         3. Périodicité d’une fonction
Soit un réel T strictement positif et une fonction f d’ensemble de défini-
tion D.

Le nombre T est une période de f si, et seulement si pour tout réel x de D,
( x + T ) ∈ D et f (x + T) = f (x).

Conséquence : on peut réduire D à un intervalle d’étude d’amplitude T contenu
dans D.
On peut représenter f sur cet intervalle, puis on obtient toute la courbe en utilisant
des translations de vecteur kT i avec k ∈          .

10
cours                     savoir-faire                         exercices                         corrigés



                          exemples d’application
³ Réduire l’ensemble de définition de la fonction f définie par :
                                                f (x) = sin xcos 2 x.

corrigé commenté
    Indication : on commence par chercher une période pour la fonction f : pour cela on
    sait que les fonctions sinus et cosinus sont de période 2π.
∀x ∈       ,    f (x + 2π) = sin ( x + 2π )cos 2 ( x + 2π )
          f (x + 2π) = sin xcos 2 x = f (x).
Donc 2π est une période de f, ce qui permet de choisir un intervalle d’amplitude
2π pour étudier f.
    Conseil : en cas de parité de la fonction f, il est préférable de choisir un intervalle
    centré en zéro donc, ici, l’intervalle [–p ; p].

∀x ∈ [ – π ; π ] , – x ∈ [ – π ; π ] et f (– x) = sin ( – x )cos 2 ( – x )
soit f (– x) = – sin xcos 2 x = – f (x).
La fonction f est donc impaire.
On peut en définitive réduire l’intervalle d’étude de f à [0 ; p].
Conséquences : si on appelle Γ1 la représentation de f pour x ∈ [ 0 ; π ] , par symé-
trie de Γ1 par rapport à l’origine O du repère on obtient Γ2 . La courbe Γ 1 Γ 2 est
donc la représentation de f pour x ∈ [ – π ; π ] .
La représentation de f, sur s’obtient par des translations de vecteurs ( k2π ) i de
Γ 1 Γ 2 , avec k ∈ .

                                            x2 + 1
· Soit la fonction définie par     f ( x ) = -------------- .
                                                         -
                                            x3 – x
Étudier la parité de f et réduire si possible son ensemble d’étude.

corrigé commenté
    Indication : il faut commencer par déterminer l’ensemble de définition de f.
f ( x ) existe si et seulement si x 3 – x ≠ 0 soit ( x ≠ 1 et x ≠ – 1 et x ≠ 0 ) donc :
                         Df = ] – ∞ ; –1 [           ]– 1 ; 0[        ] 0 ; 1[       ] 1 ; + ∞[ .
On remarque que D f est symétrique par rapport à 0, donc on peut étudier la
parité de f.
                                              ( –x )2 + 1                      x2 + 1
( ∀x ∈ D f ) ( – x ∈ D f ) et f ( – x ) = ------------------------------ = ----------------------- = – f ( x ) ; donc la fonc-
                                                                       -                         -
                                          ( –x )3 – ( –x )                 – ( x3 – x )
tion f est impaire.
On peut réduire l’ensemble d’étude à ] 0 ; 1[                                 ]1 ; + • [.




                                                                                                                            11
CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS




     2 Variations et opérations sur les fonctions
         1. Variations d’une fonction sur un intervalle
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition.

                   Variations de f                Définitions
                                             ( ∀x ∈ I ) ( ∀x′ ∈ I )

                  f croissante sur I         x   x′ ⇒ f (x)      f (x′)

                 f décroissante sur I        x   x′ ⇒ f (x)      f (x′)


         2. Extrema d’une fonction
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition D.

                 Extrema de f sur I                    Définitions
                                                        ( ∀x ∈ I )

           M est le maximum de f sur I                   f (x)      M

           m est le minimum de f sur I                   f (x)      m

Remarques : si I = D, alors l’extremum est absolu, sinon il est relatif ou local.
Si M ou m existe, alors il existe un réel x0 de I tel que f (x 0) = M ou f (x 0) = m.

         3. Opérations sur les fonctions
         Opérations           Les fonctions f et g               Définitions
                              sont définies sur I                  ( ∀x ∈ I )

           Addition                    f+g              ( f + g ) ( x ) = f (x) + g ( x )

      Multiplication par
                                        kf                    ( k f ) ( x ) = k f (x)
       un réel non nul

       Multiplication                  f×g              ( f × g ) ( x ) = f (x) × g ( x )

                                                                    f (x) ∈ J
        Composition                    h◦f
                                                          ( h ◦ f ) ( x ) = h [ f (x) ]

12
cours                savoir-faire                exercices                 corrigés


          4. Variations et opérations sur les fonctions
• Si les fonctions f et g ont même variation, alors leur composée est crois-
sante, sinon elle est décroissante.
• Si les fonctions f et g ont même variation sur un intervalle I, alors leur
somme a même variation que chacune d’elles.
• Si les fonctions f et g ont même variation et sont strictement positives sur
un intervalle I, alors leur produit a même variation que chacune d’elles.

        k∈         f     et k     0 f        et k   0 f       et k     0 f      et k     0

           kf




                       exemple d’application
                                 π π
 Soit la fonction f définie sur – -- ; -- par f (x) = sin 2 x.
                                  - -
                                 2 2
 Décomposer f en fonctions usuelles pour étudier ses variations.

 corrigé commenté                                               π π
                                      f 1 ( x ) = sin x ; x ∈ – -- ; --
                                                                  - -
                                                                 2 2 .
 On peut écrire f = f 2 ◦ f 1 avec 
                                      f ( x ) = x 2 ; x ∈ [ –1 ; 1 ]
                                      2
                         π π                  π π
 f1 est croissante sur – -- ; -- et f1 : – -- ; -- → [ – 1 ; 1 ] ; f2 est définie sur [ – 1 ; 1 ] .
                          - -                  - -
                         2 2                  2 2

                                           π                     π
                                  x      – --
                                            -        0           --
                                                                  -
                                           2                     2
                                                                  1
                                  f1                 0
                                        –1

                                                                            π
 Or sur [–1 ; 0], f2 est décroissante donc f 2 ◦ f 1 est décroissante sur – -- ; 0 ; et f2
                                                                             -
                                                                            2
                                                              π
 croissante sur [0 ; 1] donc f 2 ◦ f 1 est croissante sur 0 ; -- .
                                                               -
                                                              2

                                  x      –1          0           1
                                          1                      1
                                  f2
                                                     0




                                                                                                13
CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS




     3 Comparaisons et positions relatives
       de deux courbes
            1. Majoration et minoration de fonctions
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition.

                                                    Définitions
                                                     ( ∀x ∈ I )

                 M est un majorant de f               f (x)       M

                 m est un minorant de f               f (x)       m

Remarque : tout extremum est majorant ou minorant d’une fonction sur un inter-
valle, mais la réciproque est fausse.
Autrement dit, un majorant ou un minorant n’est pas nécessairement atteint.
Une fonction f est bornée sur un intervalle I, si elle est à la fois majorée et
minorée.

            2. Positions relatives de deux courbes
On appelle représentation graphique de la fonction f, l’ensemble des points
de coordonnées ( x ; f (x) ) dans un repère ( O ; i , j ) quand x décrit D.
Étudier la position relative de deux courbes représentant deux fonctions f
et g revient à étudier le signe de la différence f (x) – g ( x ).
Si f (x) – g ( x )    0, alors f (x)   g ( x ) ce qui signifie que       f   est strictement
au-dessus de         g.

Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x)      g ( x ) ce qui signifie que       f   est strictement
au-dessous de g .
Si f (x) = g ( x ) pour certaines valeurs de x, alors         f   est   g   ont des points
communs pour chacune de ces valeurs.

            3. Construction d’une courbe à partir de celle d’une
               fonction de référence
Soit f une fonction de référence définie sur un ensemble D et représentée
dans un repère ( O ; i , j ) orthonormé.

14
cours               savoir-faire              exercices                     corrigés



    Fonctions            Conditions              Transformations permettant
   définies par           d’existence                 de passer de f à g

 g ( x ) = f (x) + b         x∈D            Translation de vecteur b j .

 g ( x ) = f (x – a)      (x – a) ∈ D       Translation de vecteur a i .

  g ( x ) = – f (x)          x∈D            Symétrie d’axe ( O ; i ) .

                                            Sur D             , g= f;
  g ( x ) = f (x)            x∈D                          +
                                            sur D         –   , symétrie d’axe ( O ; i ) .

                                            g est paire, donc :
                                            sur D      +,   g =         f   =Γ;
  g(x) = f ( x )             x ∈D           sur D             , symétrique de Γ par rap-
                                                          –

                                            port à l’axe ( O ; j ) .




                       exemple d’application
Soit la fonction f définie sur      par :
                                                  x–1
                             f (x) = – 2x + 5 + -------------- .
                                                             -
                                                x2 + 1
Étudier les positions relatives de la droite ∆ d’équation y = – 2x + 5 et de la
courbe représentant f.

corrigé commenté
   Indication : étudier les positions relatives de la droite D et de la courbe         revient à
                                                x–1
   étudier le signe de f (x) – ( – 2x + 5 ) = -------------- .
                                                           -
                                              x2 + 1
   Le signe de cette différence est celui de x – 1 car x 2 + 1 0.

• Si x – 1    0 c’est-à-dire si x ∈ ]1 ; + ∞ [ , alors   f (x) – ( – 2x + 5 )     0,
donc     est strictement au-dessus de ∆ pour x ∈ ]1 ; + ∞ [ .
• Si x – 1    0 c’est-à-dire si x ∈ ]– ∞ ; 1 [ , alors   f (x) – ( – 2x + 5 )   0,
donc     est strictement en dessous de ∆ pour x ∈ ]– ∞ ; 1 [ .
• Si x = 1, alors       et ∆ ont le point A (1 ; 3) en commun.




                                                                                              15

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Généralités sur les fonctions

  • 1. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 1 Ensemble de définition et réductions éventuelles 1. Ensemble de définition • Dans , les intervalles sont les ensembles suivants où a b : – intervalles ouverts : ]– ∞ ; a[ ; ]a ; b[ ; ]b ; +∞[ ; – intervalles fermés : ]– ∞ ; a] ; [a ; b] ; [b ; +∞[ ; – intervalles semi-ouverts ou semi-fermés : [a ; b[ ; ]a ; b] ; – intervalles particuliers : = ]– ∞ ; + ∞ [ et ∅ = ]a ; a ] = [ a ; a [ = ] a ; a [ . • L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des élé- ments ayant une image par f. D f = { x ∈ /f (x) existe }. Remarque : Df est un intervalle ou une réunion d’intervalles. 2. Parité d’une fonction Soit une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à zéro, c’est-à-dire que pour tout x de D, –x appartient à D. Parité de f Définition Élément de symétrie de la courbe f Paire f (– x) = f (x) axe des ordonnées Impaire f (– x) = – f (x) origine du repère Conséquence : si f est paire ou impaire, alors on peut réduire l’étude de f à + D. 3. Périodicité d’une fonction Soit un réel T strictement positif et une fonction f d’ensemble de défini- tion D. Le nombre T est une période de f si, et seulement si pour tout réel x de D, ( x + T ) ∈ D et f (x + T) = f (x). Conséquence : on peut réduire D à un intervalle d’étude d’amplitude T contenu dans D. On peut représenter f sur cet intervalle, puis on obtient toute la courbe en utilisant des translations de vecteur kT i avec k ∈ . 10
  • 2. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application ³ Réduire l’ensemble de définition de la fonction f définie par : f (x) = sin xcos 2 x. corrigé commenté Indication : on commence par chercher une période pour la fonction f : pour cela on sait que les fonctions sinus et cosinus sont de période 2π. ∀x ∈ , f (x + 2π) = sin ( x + 2π )cos 2 ( x + 2π ) f (x + 2π) = sin xcos 2 x = f (x). Donc 2π est une période de f, ce qui permet de choisir un intervalle d’amplitude 2π pour étudier f. Conseil : en cas de parité de la fonction f, il est préférable de choisir un intervalle centré en zéro donc, ici, l’intervalle [–p ; p]. ∀x ∈ [ – π ; π ] , – x ∈ [ – π ; π ] et f (– x) = sin ( – x )cos 2 ( – x ) soit f (– x) = – sin xcos 2 x = – f (x). La fonction f est donc impaire. On peut en définitive réduire l’intervalle d’étude de f à [0 ; p]. Conséquences : si on appelle Γ1 la représentation de f pour x ∈ [ 0 ; π ] , par symé- trie de Γ1 par rapport à l’origine O du repère on obtient Γ2 . La courbe Γ 1 Γ 2 est donc la représentation de f pour x ∈ [ – π ; π ] . La représentation de f, sur s’obtient par des translations de vecteurs ( k2π ) i de Γ 1 Γ 2 , avec k ∈ . x2 + 1 · Soit la fonction définie par f ( x ) = -------------- . - x3 – x Étudier la parité de f et réduire si possible son ensemble d’étude. corrigé commenté Indication : il faut commencer par déterminer l’ensemble de définition de f. f ( x ) existe si et seulement si x 3 – x ≠ 0 soit ( x ≠ 1 et x ≠ – 1 et x ≠ 0 ) donc : Df = ] – ∞ ; –1 [ ]– 1 ; 0[ ] 0 ; 1[ ] 1 ; + ∞[ . On remarque que D f est symétrique par rapport à 0, donc on peut étudier la parité de f. ( –x )2 + 1 x2 + 1 ( ∀x ∈ D f ) ( – x ∈ D f ) et f ( – x ) = ------------------------------ = ----------------------- = – f ( x ) ; donc la fonc- - - ( –x )3 – ( –x ) – ( x3 – x ) tion f est impaire. On peut réduire l’ensemble d’étude à ] 0 ; 1[ ]1 ; + • [. 11
  • 3. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 2 Variations et opérations sur les fonctions 1. Variations d’une fonction sur un intervalle Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition. Variations de f Définitions ( ∀x ∈ I ) ( ∀x′ ∈ I ) f croissante sur I x x′ ⇒ f (x) f (x′) f décroissante sur I x x′ ⇒ f (x) f (x′) 2. Extrema d’une fonction Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition D. Extrema de f sur I Définitions ( ∀x ∈ I ) M est le maximum de f sur I f (x) M m est le minimum de f sur I f (x) m Remarques : si I = D, alors l’extremum est absolu, sinon il est relatif ou local. Si M ou m existe, alors il existe un réel x0 de I tel que f (x 0) = M ou f (x 0) = m. 3. Opérations sur les fonctions Opérations Les fonctions f et g Définitions sont définies sur I ( ∀x ∈ I ) Addition f+g ( f + g ) ( x ) = f (x) + g ( x ) Multiplication par kf ( k f ) ( x ) = k f (x) un réel non nul Multiplication f×g ( f × g ) ( x ) = f (x) × g ( x ) f (x) ∈ J Composition h◦f ( h ◦ f ) ( x ) = h [ f (x) ] 12
  • 4. cours savoir-faire exercices corrigés 4. Variations et opérations sur les fonctions • Si les fonctions f et g ont même variation, alors leur composée est crois- sante, sinon elle est décroissante. • Si les fonctions f et g ont même variation sur un intervalle I, alors leur somme a même variation que chacune d’elles. • Si les fonctions f et g ont même variation et sont strictement positives sur un intervalle I, alors leur produit a même variation que chacune d’elles. k∈ f et k 0 f et k 0 f et k 0 f et k 0 kf exemple d’application π π Soit la fonction f définie sur – -- ; -- par f (x) = sin 2 x. - - 2 2 Décomposer f en fonctions usuelles pour étudier ses variations. corrigé commenté  π π  f 1 ( x ) = sin x ; x ∈ – -- ; -- - - 2 2 . On peut écrire f = f 2 ◦ f 1 avec   f ( x ) = x 2 ; x ∈ [ –1 ; 1 ]  2 π π π π f1 est croissante sur – -- ; -- et f1 : – -- ; -- → [ – 1 ; 1 ] ; f2 est définie sur [ – 1 ; 1 ] . - - - - 2 2 2 2 π π x – -- - 0 -- - 2 2 1 f1 0 –1 π Or sur [–1 ; 0], f2 est décroissante donc f 2 ◦ f 1 est décroissante sur – -- ; 0 ; et f2 - 2 π croissante sur [0 ; 1] donc f 2 ◦ f 1 est croissante sur 0 ; -- . - 2 x –1 0 1 1 1 f2 0 13
  • 5. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 3 Comparaisons et positions relatives de deux courbes 1. Majoration et minoration de fonctions Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition. Définitions ( ∀x ∈ I ) M est un majorant de f f (x) M m est un minorant de f f (x) m Remarque : tout extremum est majorant ou minorant d’une fonction sur un inter- valle, mais la réciproque est fausse. Autrement dit, un majorant ou un minorant n’est pas nécessairement atteint. Une fonction f est bornée sur un intervalle I, si elle est à la fois majorée et minorée. 2. Positions relatives de deux courbes On appelle représentation graphique de la fonction f, l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f (x) ) dans un repère ( O ; i , j ) quand x décrit D. Étudier la position relative de deux courbes représentant deux fonctions f et g revient à étudier le signe de la différence f (x) – g ( x ). Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x) g ( x ) ce qui signifie que f est strictement au-dessus de g. Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x) g ( x ) ce qui signifie que f est strictement au-dessous de g . Si f (x) = g ( x ) pour certaines valeurs de x, alors f est g ont des points communs pour chacune de ces valeurs. 3. Construction d’une courbe à partir de celle d’une fonction de référence Soit f une fonction de référence définie sur un ensemble D et représentée dans un repère ( O ; i , j ) orthonormé. 14
  • 6. cours savoir-faire exercices corrigés Fonctions Conditions Transformations permettant définies par d’existence de passer de f à g g ( x ) = f (x) + b x∈D Translation de vecteur b j . g ( x ) = f (x – a) (x – a) ∈ D Translation de vecteur a i . g ( x ) = – f (x) x∈D Symétrie d’axe ( O ; i ) . Sur D , g= f; g ( x ) = f (x) x∈D + sur D – , symétrie d’axe ( O ; i ) . g est paire, donc : sur D +, g = f =Γ; g(x) = f ( x ) x ∈D sur D , symétrique de Γ par rap- – port à l’axe ( O ; j ) . exemple d’application Soit la fonction f définie sur par : x–1 f (x) = – 2x + 5 + -------------- . - x2 + 1 Étudier les positions relatives de la droite ∆ d’équation y = – 2x + 5 et de la courbe représentant f. corrigé commenté Indication : étudier les positions relatives de la droite D et de la courbe revient à x–1 étudier le signe de f (x) – ( – 2x + 5 ) = -------------- . - x2 + 1 Le signe de cette différence est celui de x – 1 car x 2 + 1 0. • Si x – 1 0 c’est-à-dire si x ∈ ]1 ; + ∞ [ , alors f (x) – ( – 2x + 5 ) 0, donc est strictement au-dessus de ∆ pour x ∈ ]1 ; + ∞ [ . • Si x – 1 0 c’est-à-dire si x ∈ ]– ∞ ; 1 [ , alors f (x) – ( – 2x + 5 ) 0, donc est strictement en dessous de ∆ pour x ∈ ]– ∞ ; 1 [ . • Si x = 1, alors et ∆ ont le point A (1 ; 3) en commun. 15
  • 7. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 4 Symétries de la courbe représentative d’une fonction 1. Centre de symétrie d’une courbe Soit Ω ( a ; b ) un point situé dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) . On veut prouver que Ω est centre de symétrie de la courbe représentative d’une fonction f dont l’ensemble de définition est Df . G Première méthode  • D f est symétrique par rapport à a     • h ∈ , ( a + h ) ∈ Df , ( a – h ) ∈ Df     f (a + h) + f (a – h)  • --------------------------------------------- = b 2    Alors Ω est le centre de symétrie de . G Deuxième méthode  • M ( x, y ) dans ( O ; i , j ) et M ( X ; Y ) dans ( Ω ; i , j )     x = a + X   •    y = a+Y     • a pour équation y = f (x) dans ( O ; i , j )     et a pour équation Y = g (X) dans ( Ω ; i , j )  Si g est impaire, alors Ω est le centre de symétrie de . 2. Axe de symétrie d’une courbe Soit la droite ∆ d’équation x = a dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) . On veut prouver que ∆ est l’axe de symétrie de la courbe représentative d’une fonction f dont l’ensemble de définition est Df . G Première méthode  • D f est symétrique par rapport à a     • h ∈ , ( a + h ) ∈ Df , ( a – h ) ∈ Df     • f (a + h) = f (a – h)  Alors ∆ est axe de symétrie de . 16
  • 8. cours savoir-faire exercices corrigés G Deuxième méthode  • M ( x, y ) dans ( O ; i , j ) et M ( X ; Y ) dans ( Ω ; i , j )     avec par exemple Ω ( a ; 0 )    • x = a + X   y = Y      • a pour équation y = f (x) dans ( O ; i , j )       et a pour équation Y = g (X) dans ( Ω ; i , j )  Si g est paire, alors ∆ est axe de symétrie de . exemple d’application Montrer que la droite d’équation x = – 2 est axe de symétrie de la courbe repré- x 2 + 4x + 3 sentant la fonction f, définie sur par f (x) = ---------------------------- . - x 2 + 4x + 6 corrigé commenté Indication : soit Ω ( – 2 ; 0 ) l’origine du repère ( Ω ; i , j ) . On considère le point M(x ; y) dans ( O ; i , j ) et M(X ; Y) dans ( Ω ; i , j ) . Les formules de changement de repère sont : x = – 2 + X   y = Y. x 2 + 4x + 3 La courbe a pour équation f (x) = ---------------------------- = y dans ( O ; i , j ) , elle a pour - x 2 + 4x + 6 ( – 2 + X )2 + 4 ( – 2 + X ) + 3 équation dans ( Ω ; i , j ) : Y = --------------------------------------------------------------------- , - ( – 2 + X )2 + 4 ( – 2 + X ) + 6 X2 – 1 soit Y = ---------------- . - X2 + 2 X2 – 1 Y = g ( X ) = ---------------- , g est définie sur car X 2 + 2 0. - X2 + 2 ( –X )2 – 1 Pour tout réel X, – X ∈ et g ( – X ) = ------------------------ ; - ( –X )2 + 2 X2 – 1 soit g ( – X ) = ---------------- = g ( X ). - X2 + 2 La fonction g est paire, donc la courbe est symétrique par rapport à l’axe ( Ω ; j ) ; c’est-à-dire que la droite D d’équation x = – 2 est axe de symétrie de , dans le repère ( O ; i , j ) . 17
  • 9. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 5 Fonctions usuelles Fonctions Noms et variations Courbes représentatives fonction affine a 0 x ax + b b b 0 sur a∈ et b ∈ a 0 x∈ O a 0 fonction carrée x ax 2 a 0 sur sur – x∈ + O a∈ ∗ a 0 O a 0 a 0 fonction cube x ax 3 a 0 sur O ∗ a∈ a 0 O x∈ a 0 a 0 fonction racine carrée x x strictement croissante x∈ + sur + O fonction inverse ∗ ∗ a 0 a 0 a sur – sur + x -- - x a 0 O O a 0 fonction valeur absolue x x sur – sur + x∈ O x ln x ∗ voir page 148 voir page 148 x∈ + x exp x voir page 184 voir page 184 x∈ 18
  • 10. cours savoir-faire exercices corrigés Fonctions Noms et variations Courbes représentatives fonction cosinus de x cos x période 2π, x∈ paire sur [–π ; π], –π 0 –1 π décroissante sur [0 ; π] fonction sinus de période 2π, π – -- - x sin x impaire sur [–π ; π], –π 2 0 π x∈ croissante sur 0 ; -- , - π π 2 -- - 2 π décroissante sur -- ; π - 2 exemple d’application Donner, pour chaque proposition une justification, qui soit relative à la variation d’une fonction usuelle. 1. Si a b 0, alors a2 b2 0. 2. Si a b, alors a3 b3 . 1 1 3. Si a b 0, alors -- - -- - 0. b a 4. Si 0 a b, alors 0 a b. 5. Si 0 a b, alors ln a ln b. 6. Si a b, alors ea eb . 7. Si a b, alors – 2a + 3 – 2b + 3. corrigé commenté 1. La fonction carrée est strictement décroissante sur . – 2. La fonction cube est strictement croissante sur . ∗ 3. La fonction inverse est strictement décroissante sur – . 4. La fonction racine carrée est strictement croissante sur + . ∗ 5. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur + . 6. La fonction exponentielle est strictement croissante sur . 7. La fonction affine x – 2x + 3 est strictement décroissante sur . 19