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CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     1 Représentation géométrique
       d’un nombre complexe
         1. Ensemble des nombres complexes
Soit i le nombre tel que i 2 = – 1
L’ensemble      des nombres complexes est l’ensemble des nombres qui
s’écrivent a + ib où a et b sont des nombres réels.


         2. Représentation géométrique d’un nombre complexe
Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; u , v ) , à tout point M de
coordonnées ( a, b ), on associe le nombre complexe z tel que z = a + ib.
On dit que M est l’image du nombre complexe z et que le nombre z est
l’affixe du point M.
De même, le vecteur OM est l’image de z et z est l’affixe de OM.

 L’écriture a + ib est l’écriture algébrique du nombre complexe z

L’abscisse du point M est la partie réelle de z notée Re ( z ).
L’ordonnée du point M est la partie imaginaire de z notée Im ( z ).
Remarque : Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe sont des nom-
bres réels.


         3. Conséquences
       M ( a, b ) et M′ ( a′, b′ ) confondus   ⇔     a = a′ et b = b′
                            ⇔




                                                    ⇔




                           z = a + ib et z′ = a′ + ib′ égaux

• M = O ⇔ a = 0 et b = 0 ⇔ z = 0.
• M ∈ ( O, u ) ⇔ b = 0 ⇔ Im ( z ) = 0 ⇔ z ∈    .
L’axe ( O, u ) est appelé l’axe réel.
• M ∈ ( O, v ) ⇔ a = 0 ⇔ Re ( z ) = 0 ⇔ z ∈ i .
Dans ce cas on dit que z est un imaginaire pur et que l’axe ( O, v ) est l’axe
des imaginaires ou l’axe des imaginaires purs.

10
cours              savoir-faire              exercices                  corrigés


• Les points M ( a, b ) et M′ ( – a, – b ) sont symétriques par rapport à O, leurs
affixes sont opposées.
• Le point N ( a, – b ) est l’image du nombre complexe appelé conjugué de
z et noté z .
• Les points M ( a, b ) et N ( a, – b ) sont symétriques par rapport à l’axe réel.




                                        b                                       M(z)




                  axe réel              v

                                            O                                   a
                                                 u


                                                axe imaginaire
                                                                                N(z )
         M′ ( – z )




                      exemple d’application
 1. Écrire les nombres complexes, affixes respectives des points :
                 A(0 ; –2) ; B(–2 ; 0) ; C(3 ; –2) ; D(3 ; 2) et E(0 ; 2).
 2. Reconnaître s’il y a lieu des nombres conjugués.

 corrigé commenté
 1. L’affixe du point A est z A = – 2i ; l’affixe du point B est z B = – 2 ;

 celle de C est z C = 3 – 2i ; celle de D est z D = 3 + 2i
 et celle de E est z E = 2i.
 2. z A = z E et z C = z D .




                                                                                        11
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     2 Formes trigonométriques
          1. Formes trigonométriques
• Soit un repère ( O ; u , v ) orthonormé du plan.
Un point M distinct de O est repéré de deux façons, soit par ses coordon-
nées cartésiennes ( a, b ) soit par ses coordonnées polaires ( r, θ ).
• Soit M l’image du nombre complexe z tel que z = a + ib. On pose
OM = r avec r 0.
Le nombre positif r est appelé module de z et noté z .
Le nombre réel θ est une mesure de l’angle ( u , OM ). Cette mesure est défi-
nie à 2kπ près avec k ∈      et est appelée argument de z et on écrit :
arg z = θ ( 2π ).
Remarque : La notion d’angle de
vecteurs nécessite une orientation
du plan (l’orientation trigonomé-                  b                      M
trique est la plus souvent utilisée.)                                            +
• En projetant M sur chacun
des axes, on obtient :
a = r cos q et b = r sin q                                  r
d’où z = r ( cos θ + i sin θ ) et
d’après le théorème de
                                                   v
Pythagore          z =     a2 + b2                         θ
                                                   O                  a
( r = OM = OM = z ).                                       u


  Sachant que r 0, on appelle forme trigonométrique du nombre
  complexe z l’écriture r ( cos θ + i sin θ ).

          2. Propriétés du module et d’un argument
             d’un nombre complexe
• z = 0 ⇔ z = 0.
• z = z = – z = – z , quel que soit z.
• L’argument de zéro n’est pas déterminé.
• Si z ≠ 0, arg ( – z ) = arg z + π ( 2π ).
• Si z ≠ 0, arg ( z ) = – arg z.
                                                               r = r′
• z = z′ ⇔ r ( cos θ + i sin θ ) = r′ ( cos θ′ + i sin θ′ ) ⇔ 
                                                               θ = θ′ ( 2π ).

12
cours               savoir-faire                       exercices                         corrigés


          3. Passage de l’écriture algébrique à une forme
            trigonométrique
                                                                                          b
                              a 2 + b 2 , d’où z = z  --------------------- + i --------------------- .
                                                                a
z = a + ib avec z =                                                        -                         -
                                                      a2 + b2                       a   2 + b 2


  Soit θ le nombre exprimé en radians tel que :
                                 a
               cos θ = ---------------------
                                            -
                            a2 + b2
                                             alors z = z ( cos θ + i sin θ ).
                                 b
               sin θ = ---------------------
                                            -
                           a2 + b2
              

Remarque : Il est nécessaire d’avoir en tête les sinus et cosinus des valeurs parti-
culières des angles.


                     exemple d’application
 Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u , v ) les
                                                               π
 points M, N et R définis par OM = 2 et ( u , OM ) = -- [2π] ; ON = 1 et
                                                               -
                                                               4
                π                                 2π
 ( u , ON ) = – -- [2π] et OR = 3 et ( u , OR ) = ------ [2π].
                 -                                     -
                2                                   3

 corrigé commenté
    • Le point M appar-
                                                                           y
                                                                                                            
                                                 R
    tient au cercle de cen-
    tre O et de rayon 2 et
    à la bissectrice du
    premier quadrant.                                                                        M
    • Le point N appar-
                                                                     v
    tient au cercle trigo-                                                        π
                                                                                  --
                                                                                   -
    nométrique et à la                                                            4
    demi-droite [Oy¢ ).                                             O            π     u                        A
                                                                               – --
                                                                                  -
    • Sur le cercle de cen-                                                      2
    tre O et de rayon 3,
    on reporte deux fois                                                  N
    le rayon à partir de
    A(3 ; 0) dans le sens
    trigonométrique, on
    obtient ainsi le point
    R.                                                                    y′


                                                                                                                    13
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     3 Opérations dans
          1. Addition des nombres complexes
• L’addition des nombres complexes possède les mêmes propriétés que
l’addition dans .
L’ensemble est contenu dans .
     Tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

Soit les vecteurs OM et OM′ d’affixes respectives a + ib et a′ + ib′.
Le vecteur ( OM + OM′ ) a pour coordonnées ( a + a′, b + b′ ) donc si
z = a + ib et z′ = a′ + ib′, le nombre complexe z + z′ est tel que

Re ( z + z′ ) = a + a′ et Im ( z + z′ ) = b + b′ d’où          z + z′ = ( a + a′ ) + i ( b + b′ ).



      OS est l’image de                 b + b′                                           S
      z + z′.
      MM′ est l’image de                                  M
                                            b
      z′ – z.

                                            b′
                                                                                M′
                                            v

                                                O          a                  a′      a + a′
                                                      u


•    z + z′ = z + z′ ;    z + z = 2Re ( z ) ;       z – z = 2i Im ( z ).


          2. Multiplication des nombres complexes
• La multiplication des nombres complexes possède les mêmes propriétés
que la multiplication dans .
zz′ = ( a + ib ) ( a′ + ib′ ) = aa′ – bb′ + i ( ba′ + ab′ ).
Remarque : ayez toujours à l’esprit que i 2 = – 1 et que i2 ne doit pas figurer dans
un résultat ni aucune autre puissance de i.

• z ⋅ z′ = z ⋅ z′ ;      z ⋅ z = a2 + b2 = z 2


14
cours                          savoir-faire                               exercices                         corrigés


Si z ≠ 0 et z′ ≠ 0 et z = r ( cos θ + i sin θ ) et z′ = r′ ( cos θ′ + i sin θ′ ),
alors zz′ = rr′ ( cos ( θ + θ′ ) + i sin ( θ + θ′ ) ).

Donc :                zz′ = z × z′                     et       arg ( zz′ ) = arg z + arg z′ ( 2π )

                3. Division de deux nombres complexes
La division de deux nombres complexes a les mêmes propriétés que la divi-
sion dans .
                                                                                      1
• Tout nombre complexe non nul admet un inverse -- tel que :                          -
                                                                                      z
                        1          1                 a                     b .
                        -- = -------------- = ----------------- – i -----------------
                         -                -
                        z    a + ib           a2 + b2 a2 + b2
Remarque : cette écriture algébrique s’obtient en multipliant numérateur et déno-
minateur par le conjugué du dénominateur.
                        1                                  a′b – ab′
• Si z′ ≠ 0, --- = z × --- = ----------------------- + i  ---------------------- 
              z              aa′ + bb′
               -         -                         -                            -
             z′        z′     a′ 2 + b′ 2                 a′ 2 + b′ 2 


 Si z′ ≠ 0,   z      z            z-                             z-     z
             --- = ------ et arg  ---  = arg z – arg z′ ( 2π ),  ---  = ---
               -    z′
                        -
                                   z′                               z′
                                                                              -
             z′                                                             z′
                                           1
 donc, si z ≠ 0, 1 = ---- et arg  --  = – arg z ( 2π ).
                            1
                   --
                    -        -             -
                   z        z             z




                                 Exemple d’application
                                         4 – 3i
  Soit Z le nombre complexe tel que Z = -------------- .
                                                     -
                                         2 – 2i
  Calculer Z et donner l’écriture algébrique de Z .

  corrigé commenté                            z      z
       Indication : On applique la propriété --- = ------ .
                                               -        -
                                             z′     z′

        4 – 3i                 42 + 32                  25           5                           5 2
   Z = ----------------- = ---------------------- = ---------- = ----------
                       -                                     -            -   d’où :         Z = ---------- .
                                                                                                          -
        2 – 2i                 22 + 22                    8      2 2                                 4

                                                                               z
    Indication : On applique la propriété  ---  = --- .
                                                                                                z
                                                                                 -                -
                                                                             z′               z′
      4 – 3i           4 + 3i             4 + 3i              ( 4 + 3i ) ( 1 – i )                              7 1
  Z = -------------- = -------------- = ------------------- = ------------------------------------ d’où :
                   -                -                     -                                      -          Z = -- – -- i.
                                                                                                                 -    -
      2 – 2i           2 + 2i           2(1 + i)                          2×2                                   4 4

       Conseil : N’oubliez pas que zz = z 2 donc que ( 1 + i ) ( 1 – i ) s’écrit sans calcul 2.
       On pouvait aussi mettre Z sous forme algébrique et écrire ensuite Z .


                                                                                                                                15
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     4 Formes exponentielles
            1. Formes exponentielles
G Soit    la fonction f : θ         cos θ + i sin θ.
f ( θ ) × f ( θ′ ) = ( cos θ + i sin θ ) ( cos θ′ + i sin θ′ )
f ( θ ) × f ( θ′ ) = ( cos θ cos θ′ – sin θ sin θ′ ) + i ( sin θ sin θ′ + cos θ cos θ′ )
f ( θ ) × f ( θ′ ) = cos ( θ + θ′ ) + i sin ( θ + θ′ ).
Donc f ( θ ) × f ( θ′ ) = f ( θ + θ′ ).
Cette relation fonctionnelle étant caractéristique des fonctions exponen-
tielles on pose :

                                                 e iθ = sin θ + i sin θ

Tout nombre complexe non nul z de module r est tel que z = r ( sin θ + i sin θ ).

G L’écriture      re iθ est une forme exponentielle du nombre complexe z.
Remarques :
– Cette écriture est à privilégier dans des calculs de quotients ou de puissances de
nombres complexes.
– Tous les nombres complexes e iθ ont pour module un et pour images des points
du cercle trigonométrique.
G De   part l’introduction de l’écriture exponentielle :

                                              e iθ
         e iθ × e iθ′ = e i ( θ + θ′ ) ;     ------- = e i ( θ – θ′ ) ;
                                                   -                         ( e iθ ) n = e inθ avec n ∈   .
                                             e iθ′

G Formules        d’Euler :

                                      e iθ + e – iθ                          e iθ – e – iθ
                              cos θ = ---------------------- ;       sin θ = --------------------- .
                                                                                                 -
                                                2                                    2i

                       r = r′
G   re iθ = r′e iθ′ ⇔ 
                       θ = θ′             ( 2π ).



            2. Résolution d’une équation de type z n = a
                                             ∗                   ∗
Si n 2 avec n ∈                , z∈              et a ∈              , on écrit z et a sous forme exponen-
tielle.

16
cours                       savoir-faire                          exercices           corrigés


Soit z = re iθ et a = ρe iα .

                               rn = ρ
z n = a ⇔ r n e inθ = ρe iα ⇔ 
                               nθ = α + k2π avec k ∈
      r = n ρ
      
soit       α      2π
       θ = -- + k ------ avec k ∈ .
             -          -
           n        n
L’équation admet alors n solutions en donnant à k, n valeurs consécutives.




                             exemple d’application
 Résoudre dans l’équation z 3 = 8i.
 Donner les solutions sous forme algébrique.

 corrigé commenté
 On pose z = re iθ avec r                         0 et i = e 2 .
                                                                  π
                                                                i --
                                                                   -



                                     π
                                                  r3 = 8
                                   i --
                                      -          
 z3    = 8i ⇔   r 3 e i3 θ   =   8e 2          ⇔        π
                                                  3 θ = -- + k 2 π avec k ∈
                                                         2
                                                          -
                                                 

      r = 2
      
 soit      π      2π
       θ = -- + k ------ , k ∈ .
            6
             -
                     3
                        -
      
                                    π
                                                       π          π
                                             = 2  cos -- + i sin --  =
                                  i --
                                     -
 Pour k = 0, z = 2e                 6                   -          -         3+i;
                                                      6          6
                                    5π
                                                        5π             5π
                                              = 2  cos ------ + i sin ------ = – 3 + i ;
                                  i ------
                                         -
 pour k = 1, z = 2e                   6                      -              -
                                                         6              6
                                    3π
                                                        3π             3π
                                              = 2  cos ------ + i sin ------ = – 2i.
                                  i ------
                                         -
 pour k = 2, z = 2e                   2                      -              -
                                                         2              2

                                              S = { – 2i ;         3 + i ; – 3 + i}.




                                                                                                        17
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     5 Résolutions d’équations dans
          1. Équations du premier degré
Toute équation du premier degré d’inconnue z se ramène à az + b = 0
avec a ∈ ∗ et b ∈ .
                                            b
Cette équation a pour solution z = – -- .   -
                                            a
Remarque : Il est souvent inutile de poser z = x + iy et de déterminer ensuite x
et y par identification des parties réelles et imaginaires.
Donner la solution sous une des trois formes algébrique, trigonométrique ou expo-
nentielle.


          2. Équations du second degré à coefficients réels
Toute équation du second degré d’inconnue z se ramène à az 2 + bz + c = 0
avec a ∈ ∗ , b ∈ et c ∈ .

 Discriminant ∆                  ∆       0                  ∆ = 0                    ∆        0

                               –b+ ∆                                             – b + i –∆
                          x′ = ---------------------                        x′ = --------------------------
                                                                                                          -
                                      2a                                                   2a
                                                                     b
       Solutions                                       x′ = x″ = – ------
                                                                        -
                                                                   2a
                               –b– ∆                                             – b – i –∆
                          x″ = --------------------
                                                  -                         x″ = --------------------------
                                                                                                          -
                                      2a                                                   2a

Remarques :
• Si ∆ 0, les solutions sont des nombres complexes conjugués non réels.
• Veillez à ne pas introduire le nombre complexe i sous un radical.
•    – ∆ existe si ∆   0, on peut aussi écrire             ∆.


          3. Équations dont le degré est strictement supérieur à 2
Les méthodes de résolution sont souvent les mêmes que dans : il faut
d’abord essayer de factoriser, voir s’il y a une identité remarquable, cher-
cher une racine évidente.
On désire donc se ramener à des produits de facteurs du premier degré ou
du second degré.
Remarque : il faut penser que 1 = – i 2 et donc que z2 + 1 est factorisable dans
  alors qu’il ne l’est pas dans .

18
cours                         savoir-faire                                    exercices             corrigés




³ Résoudre dans
                           exemples d’application
                                  l’équation ( 1 – i )z + 3 = – z + i .

corrigé commenté
On regroupe les termes faisant intervenir z :

( 1 – i )z + z = – 3 + i             soit        ( 2 – i )z = – 3 + i
            –3+i              (– 3 + i)(2 + i)                          7 1
d’où    z = --------------- = ------------------------------------- = – -- – -- i.
                          -                                       -      - -
              2–i                              5                        5 5
                                                              7 1 
                                                         S =  – -- – -- i .
                                                                  - -
                                                              5 5 
· Résoudre dans                   l’équation z 2 – z + 1 = 0.

corrigé commenté
   Indication : on calcule ∆ = b 2 – 4ac
                           ∆ = 1 – 4 = – 3, ∆                                              0;
on peut écrire ∆ = 3i 2 .

   Indication : on sait alors que les solutions de l’équation sont deux nombres complexes
   conjugués.
   Conseil : ne pas oublier la valeur absolue.

                                                     –b+i ∆                       1+i 3
                                               z 1 = -------------------------- = -------------------
                                                                              -
                                                               2a                         2
                                                           1–i 3
                                               z 2 = z 1 = ------------------ .
                                                                            -
                                                                   2

                                                      1 + i 3 1 – i 3 
                                                  S =  ------------------- ; ------------------ .
                                                                                               -
                                                       2                             2 




                                                                                                                   19
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     6 Transformations ponctuelles
        1. Transformation et application associée
Soit f une application définie par :   →
                                    z   f ( z ).
Le point M étant l’image de z et M′ l’image de z′ tel que z′ = f ( z ), on
définit dans le plan la transformation T associée à f, qui à M fait correspon-
dre M′.


        2. Transformations usuelles
Soit un repère orthonormé ( O ; u , v ) direct.


 Transforma- Éléments         Définitions de T              Écritures
 tion T      caractéristiques avec M′ = T ( M )            complexes de T
                                                           avec M ( z )
                                                           et M′ ( z′ )

 Translation   Un vecteur u      MM′ = u                    z′ = z + u
               non nul
               d’affixe u

 Homothétie Un point Ω           ΩM′ = kΩM                 z′ – ω = k ( z – ω )
            d’affixe ω                                      ou bien
            et un réel k ≠ 0                               z′ = kz + b
                                                           avec b ∈

 Rotation      Un point Ω                                  z′ – ω = e iθ ( z – ω )
                                  ΩM′ = ΩM
               d’affixe ω                                  ou bien
               et un angle        ( ΩM, ΩM′ ) = θ         z′ = e iθ z + b
               de mesure θ                                 avec b ∈ .
               à 2π près

 Symétrie      L’axe réel                                    z′ = z
                                 OM = OM′
 d’axe réel                      
                                 ( u , OM ) = – ( u , OM′ )




20
cours                              savoir-faire                                          exercices                                   corrigés



                                  exemple d’application
Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et don-
ner pour chacune d’elles les éléments caractéristiques.
1. z′ = – 6z + 2 – 3i.

              3 1
2. z′ =  ------ + -- i z – 4 + 2i.
               - -
         2 2

corrigé commenté
1. Indication : comme le coefficient de z est – 6, alors la transformation associée est
   une homothétie de rapport – 6. Pour trouver son centre, qui est le seul point invariant
   de la transformation, on résout « l’équation aux points fixes » c’est-à-dire celle tra-
   duisant M′ = M donc z¢ = z.
Par suite z = – 6z + 2 – 3i                                  soit          7z = 2 – 3i,
           2 3
d’où z = -- – -- i.
            - -
           7 7
                                                                     2 3
L’homothétie est celle de rapport –6 et de centre W d’affixe -- – -- i.- -
                                                                     7 7
                                                                    3 1
2. Indication : comme le coefficient de z est le nombre complexe ------ + -- i dont l’écri-
                                                                     - -
                                                                  2 2
                                                     π
                                                   i --
                                                      -
    ture exponentielle est e 6 , alors la transformation associée à l’écriture complexe est
                          π
    une rotation d’angle -- .
                           -
                          6
    Pour trouver son centre, on résout « l’équation aux points fixes ».
          π
                                                                3 1                                                                   – 4 + 2i
                                                    z  1 – ------ – -- i = – 4 + 2i
        i --
           -
z = e 6 z – 4 + 2i                    soit                       - -                                              d’où       z = ---------------------------- ,
                                                                                                                                                            -
                                                             2 2                                                                             3 1
                                                                                                                                 1 – ------ – -- i
                                                                                                                                                - -
                                                                                                                                             2 2
                                                      3 1
            ( – 4 + 2i )  1 – ------ + -- i          - -
                                                   2 2                  –5+2 3                           – 3
soit    z = ----------------------------------------------------------- = ------------------------- + i ---------------- ,
                                                2
                                                                      -                                                -
                          1 – ------ + --
                                         3              1                    2– 3                      2– 3
                                           -              -
                                      2                4
d’où      z = – 4 – 3 – i ( 2 3 + 3 ).
                                                                             π
La rotation est celle de centre Ω d’affixe – 4 – 3 – i ( 2 3 + 3 ) et d’angle -- .
                                                                              -
                                                                             6




                                                                                                                                                                  21
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES




     7 Interprétations géométriques
On se place dans un repère orthonormal ( O ; u , v ) .

           1. Interprétation géométrique d’une égalité de modules
Soit A, B et M trois points d’affixes respectives a, b et m.
• Si m – a = m – b , alors AM = MB ce qui signifie que le point M
appartient à la médiatrice du segment [ AB ].
                             ∗
• Si m – a = r, avec r ∈ + , AM = r donc le point M appartient au cer-
cle de centre A et de rayon r.

           2. Interprétation géométrique du quotient
              de deux nombres complexes
Les points M et M′ ont pour affixes respectives z et z′.
            z
• Soit Z = --- avec z ≠ 0 et z′ ≠ 0.
             -
           z′
arg Z = arg z – arg z′ = ( u , OM ) – ( u , OM′ ) (2π)

 arg Z = ( u , OM ) + ( OM′, u ) = ( OM′, OM )                   (2π).
Remarque : un argument d’un quotient de deux nombres complexes non nuls est
un angle de vecteurs.

 • Soit les points A ( z A ), B ( z B ), C ( z C ) et D ( z D ) avec z A ≠ z B et z C ≠ z D .
 Alors :
                                    zA – zB
                              arg  ----------------- = ( DC, BA ) ( 2 π )
                                                    -
                                   z C – z D


           3. Figures particulières
                                                                                 π
                                                            zA – zB            i --
                                                                                  -
• (ABC est un triangle rectangle et isocèle direct en B) ⇔ ---------------- = e 2 = i.
                                                                          -
                                                            zC – zB
• (ABC est un triangle équilatéral) ⇔ z B – z A = z C – z B = z C – z A .
                                                                     π
                                               zC – zA             i --
                                                                      -
• (ABC est un triangle équilatéral direct) ⇔ ---------------- = e 3 .
                                                            -
                                               zB – zA
                                                  zC – zA           π         zA – zB π
• (ABC est un triangle équilatéral direct) ⇔ arg ---------------- = -- et arg ---------------- = --.
                                                                -     -                      - -
                                                  zB – zA           3         zC – zB 3
• (ABCD est un parallélogramme) ⇔ AB = DC ⇔ z B – z A = z C – z D .

22
cours                           savoir-faire                                   exercices                  corrigés



                                exemples d’application
³ Quelle est la nature du triangle ABO sachant que les points A et B ont pour
affixes respectives 3 + i et 2i ?

corrigé commenté                                          z0 – zA
      Indication : on explicite le complexe Z tel que Z = ---------------- , puis on en détermine
                                                                         -
                                                          zB – zA
      son module et un argument.
                                                           – 3–i                    – 3–i
                                                   Z = -------------------------- = ------------------- .
                                                                                -                     -
                                                       2i – 3 – i                   – 3+i
      Indication : les nombres complexes – 3 – i et – 3 + i sont conjugués donc leurs
      modules sont égaux et leurs arguments opposés, donc Z = 1 soit :

                                                z 0 – z A = z B – z A ⇔ OA = OB.

                                3 1                                   5π
arg ( – 3 – i ) = arg 2  – ------ – -- i
                                 - -                              = – ------ (2π),
                                                                           -
                         2 2                                          6
or arg Z = arg ( – 3 – i ) – arg ( – 3 + i ) = 2 arg ( – 3 – i ),
                    5π                                π
soit  arg Z = – 2 × ------ (2π) d’où arg Z = -- (2π).
                         -                            -
                      6                               3
                        z AO
De plus arg Z = arg  --------  = arg ( z ) – arg ( z )
                             -
                        z AB            AO          AB


soit  arg Z = ( u , AO ) – ( u , AB ) = ( AB, AO )
                     π
d’où   ( AB, AO ) = -- (2π).
                     -
                     3
Par suite le triangle AOB est équilatéral.

· Soit A, B et C les points d’affixes respectives 1 + 2i, –2 + i et –1 – 2i.
Quelle est la nature du triangle ABC ?

corrigé commenté
      Il est souhaitable de placer les points dans un repère pour bien poser le problème.
                                            z
                                               BA
On calcule le nombre complexe Z tel que Z = ------- .
                                                  -
                                            z
                                                                                              BC
      1 + 2i – ( – 2 + i )                             3+i            ( 3 + i ) ( 1 + 3i )
Z = ---------------------------------------------- = -------------- = ------------------------------------ ,
                                                                  -                                      -
    – 1 – 2i – ( – 2 + i )                           1 – 3i                          10
                   10i                                                                                       π
d’où z = -------- = i ; on en déduit que ( BC, BA ) = -- (2π).
                          -                                                                                  -
                    10                                                                                       2
De plus i = 1 ⇔ BA = BC ⇔ BA = BC.
Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B.



                                                                                                                            23

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  • 1. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d’un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i 2 = – 1 L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble des nombres qui s’écrivent a + ib où a et b sont des nombres réels. 2. Représentation géométrique d’un nombre complexe Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; u , v ) , à tout point M de coordonnées ( a, b ), on associe le nombre complexe z tel que z = a + ib. On dit que M est l’image du nombre complexe z et que le nombre z est l’affixe du point M. De même, le vecteur OM est l’image de z et z est l’affixe de OM. L’écriture a + ib est l’écriture algébrique du nombre complexe z L’abscisse du point M est la partie réelle de z notée Re ( z ). L’ordonnée du point M est la partie imaginaire de z notée Im ( z ). Remarque : Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe sont des nom- bres réels. 3. Conséquences M ( a, b ) et M′ ( a′, b′ ) confondus ⇔ a = a′ et b = b′ ⇔ ⇔ z = a + ib et z′ = a′ + ib′ égaux • M = O ⇔ a = 0 et b = 0 ⇔ z = 0. • M ∈ ( O, u ) ⇔ b = 0 ⇔ Im ( z ) = 0 ⇔ z ∈ . L’axe ( O, u ) est appelé l’axe réel. • M ∈ ( O, v ) ⇔ a = 0 ⇔ Re ( z ) = 0 ⇔ z ∈ i . Dans ce cas on dit que z est un imaginaire pur et que l’axe ( O, v ) est l’axe des imaginaires ou l’axe des imaginaires purs. 10
  • 2. cours savoir-faire exercices corrigés • Les points M ( a, b ) et M′ ( – a, – b ) sont symétriques par rapport à O, leurs affixes sont opposées. • Le point N ( a, – b ) est l’image du nombre complexe appelé conjugué de z et noté z . • Les points M ( a, b ) et N ( a, – b ) sont symétriques par rapport à l’axe réel. b M(z) axe réel v O a u axe imaginaire N(z ) M′ ( – z ) exemple d’application 1. Écrire les nombres complexes, affixes respectives des points : A(0 ; –2) ; B(–2 ; 0) ; C(3 ; –2) ; D(3 ; 2) et E(0 ; 2). 2. Reconnaître s’il y a lieu des nombres conjugués. corrigé commenté 1. L’affixe du point A est z A = – 2i ; l’affixe du point B est z B = – 2 ; celle de C est z C = 3 – 2i ; celle de D est z D = 3 + 2i et celle de E est z E = 2i. 2. z A = z E et z C = z D . 11
  • 3. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 2 Formes trigonométriques 1. Formes trigonométriques • Soit un repère ( O ; u , v ) orthonormé du plan. Un point M distinct de O est repéré de deux façons, soit par ses coordon- nées cartésiennes ( a, b ) soit par ses coordonnées polaires ( r, θ ). • Soit M l’image du nombre complexe z tel que z = a + ib. On pose OM = r avec r 0. Le nombre positif r est appelé module de z et noté z . Le nombre réel θ est une mesure de l’angle ( u , OM ). Cette mesure est défi- nie à 2kπ près avec k ∈ et est appelée argument de z et on écrit : arg z = θ ( 2π ). Remarque : La notion d’angle de vecteurs nécessite une orientation du plan (l’orientation trigonomé- b M trique est la plus souvent utilisée.) + • En projetant M sur chacun des axes, on obtient : a = r cos q et b = r sin q r d’où z = r ( cos θ + i sin θ ) et d’après le théorème de v Pythagore z = a2 + b2 θ O a ( r = OM = OM = z ). u Sachant que r 0, on appelle forme trigonométrique du nombre complexe z l’écriture r ( cos θ + i sin θ ). 2. Propriétés du module et d’un argument d’un nombre complexe • z = 0 ⇔ z = 0. • z = z = – z = – z , quel que soit z. • L’argument de zéro n’est pas déterminé. • Si z ≠ 0, arg ( – z ) = arg z + π ( 2π ). • Si z ≠ 0, arg ( z ) = – arg z.  r = r′ • z = z′ ⇔ r ( cos θ + i sin θ ) = r′ ( cos θ′ + i sin θ′ ) ⇔   θ = θ′ ( 2π ). 12
  • 4. cours savoir-faire exercices corrigés 3. Passage de l’écriture algébrique à une forme trigonométrique b a 2 + b 2 , d’où z = z  --------------------- + i --------------------- . a z = a + ib avec z = - -  a2 + b2 a 2 + b 2 Soit θ le nombre exprimé en radians tel que :  a  cos θ = --------------------- -  a2 + b2  alors z = z ( cos θ + i sin θ ). b  sin θ = --------------------- -  a2 + b2  Remarque : Il est nécessaire d’avoir en tête les sinus et cosinus des valeurs parti- culières des angles. exemple d’application Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u , v ) les π points M, N et R définis par OM = 2 et ( u , OM ) = -- [2π] ; ON = 1 et - 4 π 2π ( u , ON ) = – -- [2π] et OR = 3 et ( u , OR ) = ------ [2π]. - - 2 3 corrigé commenté • Le point M appar- y R tient au cercle de cen- tre O et de rayon 2 et à la bissectrice du premier quadrant. M • Le point N appar- v tient au cercle trigo- π -- - nométrique et à la 4 demi-droite [Oy¢ ). O π u A – -- - • Sur le cercle de cen- 2 tre O et de rayon 3, on reporte deux fois N le rayon à partir de A(3 ; 0) dans le sens trigonométrique, on obtient ainsi le point R. y′ 13
  • 5. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 3 Opérations dans 1. Addition des nombres complexes • L’addition des nombres complexes possède les mêmes propriétés que l’addition dans . L’ensemble est contenu dans . Tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle. Soit les vecteurs OM et OM′ d’affixes respectives a + ib et a′ + ib′. Le vecteur ( OM + OM′ ) a pour coordonnées ( a + a′, b + b′ ) donc si z = a + ib et z′ = a′ + ib′, le nombre complexe z + z′ est tel que Re ( z + z′ ) = a + a′ et Im ( z + z′ ) = b + b′ d’où z + z′ = ( a + a′ ) + i ( b + b′ ). OS est l’image de b + b′ S z + z′. MM′ est l’image de M b z′ – z. b′ M′ v O a a′ a + a′ u • z + z′ = z + z′ ; z + z = 2Re ( z ) ; z – z = 2i Im ( z ). 2. Multiplication des nombres complexes • La multiplication des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la multiplication dans . zz′ = ( a + ib ) ( a′ + ib′ ) = aa′ – bb′ + i ( ba′ + ab′ ). Remarque : ayez toujours à l’esprit que i 2 = – 1 et que i2 ne doit pas figurer dans un résultat ni aucune autre puissance de i. • z ⋅ z′ = z ⋅ z′ ; z ⋅ z = a2 + b2 = z 2 14
  • 6. cours savoir-faire exercices corrigés Si z ≠ 0 et z′ ≠ 0 et z = r ( cos θ + i sin θ ) et z′ = r′ ( cos θ′ + i sin θ′ ), alors zz′ = rr′ ( cos ( θ + θ′ ) + i sin ( θ + θ′ ) ). Donc : zz′ = z × z′ et arg ( zz′ ) = arg z + arg z′ ( 2π ) 3. Division de deux nombres complexes La division de deux nombres complexes a les mêmes propriétés que la divi- sion dans . 1 • Tout nombre complexe non nul admet un inverse -- tel que : - z 1 1 a b . -- = -------------- = ----------------- – i ----------------- - - z a + ib a2 + b2 a2 + b2 Remarque : cette écriture algébrique s’obtient en multipliant numérateur et déno- minateur par le conjugué du dénominateur. 1 a′b – ab′ • Si z′ ≠ 0, --- = z × --- = ----------------------- + i  ----------------------  z aa′ + bb′ - - - - z′ z′ a′ 2 + b′ 2  a′ 2 + b′ 2  Si z′ ≠ 0, z z  z-  z- z --- = ------ et arg  ---  = arg z – arg z′ ( 2π ),  ---  = --- - z′ - z′ z′ - z′ z′ 1 donc, si z ≠ 0, 1 = ---- et arg  --  = – arg z ( 2π ). 1 -- - - - z z  z Exemple d’application 4 – 3i Soit Z le nombre complexe tel que Z = -------------- . - 2 – 2i Calculer Z et donner l’écriture algébrique de Z . corrigé commenté z z Indication : On applique la propriété --- = ------ . - - z′ z′ 4 – 3i 42 + 32 25 5 5 2 Z = ----------------- = ---------------------- = ---------- = ---------- - - - d’où : Z = ---------- . - 2 – 2i 22 + 22 8 2 2 4 z Indication : On applique la propriété  ---  = --- . z - -  z′ z′ 4 – 3i 4 + 3i 4 + 3i ( 4 + 3i ) ( 1 – i ) 7 1 Z = -------------- = -------------- = ------------------- = ------------------------------------ d’où : - - - - Z = -- – -- i. - - 2 – 2i 2 + 2i 2(1 + i) 2×2 4 4 Conseil : N’oubliez pas que zz = z 2 donc que ( 1 + i ) ( 1 – i ) s’écrit sans calcul 2. On pouvait aussi mettre Z sous forme algébrique et écrire ensuite Z . 15
  • 7. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 4 Formes exponentielles 1. Formes exponentielles G Soit la fonction f : θ cos θ + i sin θ. f ( θ ) × f ( θ′ ) = ( cos θ + i sin θ ) ( cos θ′ + i sin θ′ ) f ( θ ) × f ( θ′ ) = ( cos θ cos θ′ – sin θ sin θ′ ) + i ( sin θ sin θ′ + cos θ cos θ′ ) f ( θ ) × f ( θ′ ) = cos ( θ + θ′ ) + i sin ( θ + θ′ ). Donc f ( θ ) × f ( θ′ ) = f ( θ + θ′ ). Cette relation fonctionnelle étant caractéristique des fonctions exponen- tielles on pose : e iθ = sin θ + i sin θ Tout nombre complexe non nul z de module r est tel que z = r ( sin θ + i sin θ ). G L’écriture re iθ est une forme exponentielle du nombre complexe z. Remarques : – Cette écriture est à privilégier dans des calculs de quotients ou de puissances de nombres complexes. – Tous les nombres complexes e iθ ont pour module un et pour images des points du cercle trigonométrique. G De part l’introduction de l’écriture exponentielle : e iθ e iθ × e iθ′ = e i ( θ + θ′ ) ; ------- = e i ( θ – θ′ ) ; - ( e iθ ) n = e inθ avec n ∈ . e iθ′ G Formules d’Euler : e iθ + e – iθ e iθ – e – iθ cos θ = ---------------------- ; sin θ = --------------------- . - 2 2i  r = r′ G re iθ = r′e iθ′ ⇔   θ = θ′ ( 2π ). 2. Résolution d’une équation de type z n = a ∗ ∗ Si n 2 avec n ∈ , z∈ et a ∈ , on écrit z et a sous forme exponen- tielle. 16
  • 8. cours savoir-faire exercices corrigés Soit z = re iθ et a = ρe iα .  rn = ρ z n = a ⇔ r n e inθ = ρe iα ⇔   nθ = α + k2π avec k ∈ r = n ρ  soit  α 2π  θ = -- + k ------ avec k ∈ . - -  n n L’équation admet alors n solutions en donnant à k, n valeurs consécutives. exemple d’application Résoudre dans l’équation z 3 = 8i. Donner les solutions sous forme algébrique. corrigé commenté On pose z = re iθ avec r 0 et i = e 2 . π i -- - π  r3 = 8 i -- -  z3 = 8i ⇔ r 3 e i3 θ = 8e 2 ⇔  π  3 θ = -- + k 2 π avec k ∈ 2 -  r = 2  soit  π 2π  θ = -- + k ------ , k ∈ . 6 - 3 -  π π π = 2  cos -- + i sin --  = i -- - Pour k = 0, z = 2e 6 - - 3+i;  6 6 5π 5π 5π = 2  cos ------ + i sin ------ = – 3 + i ; i ------ - pour k = 1, z = 2e 6 - -  6 6 3π 3π 3π = 2  cos ------ + i sin ------ = – 2i. i ------ - pour k = 2, z = 2e 2 - -  2 2 S = { – 2i ; 3 + i ; – 3 + i}. 17
  • 9. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 5 Résolutions d’équations dans 1. Équations du premier degré Toute équation du premier degré d’inconnue z se ramène à az + b = 0 avec a ∈ ∗ et b ∈ . b Cette équation a pour solution z = – -- . - a Remarque : Il est souvent inutile de poser z = x + iy et de déterminer ensuite x et y par identification des parties réelles et imaginaires. Donner la solution sous une des trois formes algébrique, trigonométrique ou expo- nentielle. 2. Équations du second degré à coefficients réels Toute équation du second degré d’inconnue z se ramène à az 2 + bz + c = 0 avec a ∈ ∗ , b ∈ et c ∈ . Discriminant ∆ ∆ 0 ∆ = 0 ∆ 0 –b+ ∆ – b + i –∆ x′ = --------------------- x′ = -------------------------- - 2a 2a b Solutions x′ = x″ = – ------ - 2a –b– ∆ – b – i –∆ x″ = -------------------- - x″ = -------------------------- - 2a 2a Remarques : • Si ∆ 0, les solutions sont des nombres complexes conjugués non réels. • Veillez à ne pas introduire le nombre complexe i sous un radical. • – ∆ existe si ∆ 0, on peut aussi écrire ∆. 3. Équations dont le degré est strictement supérieur à 2 Les méthodes de résolution sont souvent les mêmes que dans : il faut d’abord essayer de factoriser, voir s’il y a une identité remarquable, cher- cher une racine évidente. On désire donc se ramener à des produits de facteurs du premier degré ou du second degré. Remarque : il faut penser que 1 = – i 2 et donc que z2 + 1 est factorisable dans alors qu’il ne l’est pas dans . 18
  • 10. cours savoir-faire exercices corrigés ³ Résoudre dans exemples d’application l’équation ( 1 – i )z + 3 = – z + i . corrigé commenté On regroupe les termes faisant intervenir z : ( 1 – i )z + z = – 3 + i soit ( 2 – i )z = – 3 + i –3+i (– 3 + i)(2 + i) 7 1 d’où z = --------------- = ------------------------------------- = – -- – -- i. - - - - 2–i 5 5 5  7 1  S =  – -- – -- i . - -  5 5  · Résoudre dans l’équation z 2 – z + 1 = 0. corrigé commenté Indication : on calcule ∆ = b 2 – 4ac ∆ = 1 – 4 = – 3, ∆ 0; on peut écrire ∆ = 3i 2 . Indication : on sait alors que les solutions de l’équation sont deux nombres complexes conjugués. Conseil : ne pas oublier la valeur absolue. –b+i ∆ 1+i 3 z 1 = -------------------------- = ------------------- - 2a 2 1–i 3 z 2 = z 1 = ------------------ . - 2 1 + i 3 1 – i 3  S =  ------------------- ; ------------------ . -  2 2  19
  • 11. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 6 Transformations ponctuelles 1. Transformation et application associée Soit f une application définie par : → z f ( z ). Le point M étant l’image de z et M′ l’image de z′ tel que z′ = f ( z ), on définit dans le plan la transformation T associée à f, qui à M fait correspon- dre M′. 2. Transformations usuelles Soit un repère orthonormé ( O ; u , v ) direct. Transforma- Éléments Définitions de T Écritures tion T caractéristiques avec M′ = T ( M ) complexes de T avec M ( z ) et M′ ( z′ ) Translation Un vecteur u MM′ = u z′ = z + u non nul d’affixe u Homothétie Un point Ω ΩM′ = kΩM z′ – ω = k ( z – ω ) d’affixe ω ou bien et un réel k ≠ 0 z′ = kz + b avec b ∈ Rotation Un point Ω z′ – ω = e iθ ( z – ω )  ΩM′ = ΩM d’affixe ω  ou bien et un angle  ( ΩM, ΩM′ ) = θ z′ = e iθ z + b de mesure θ avec b ∈ . à 2π près Symétrie L’axe réel z′ = z OM = OM′ d’axe réel  ( u , OM ) = – ( u , OM′ ) 20
  • 12. cours savoir-faire exercices corrigés exemple d’application Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et don- ner pour chacune d’elles les éléments caractéristiques. 1. z′ = – 6z + 2 – 3i. 3 1 2. z′ =  ------ + -- i z – 4 + 2i. - -  2 2 corrigé commenté 1. Indication : comme le coefficient de z est – 6, alors la transformation associée est une homothétie de rapport – 6. Pour trouver son centre, qui est le seul point invariant de la transformation, on résout « l’équation aux points fixes » c’est-à-dire celle tra- duisant M′ = M donc z¢ = z. Par suite z = – 6z + 2 – 3i soit 7z = 2 – 3i, 2 3 d’où z = -- – -- i. - - 7 7 2 3 L’homothétie est celle de rapport –6 et de centre W d’affixe -- – -- i.- - 7 7 3 1 2. Indication : comme le coefficient de z est le nombre complexe ------ + -- i dont l’écri- - - 2 2 π i -- - ture exponentielle est e 6 , alors la transformation associée à l’écriture complexe est π une rotation d’angle -- . - 6 Pour trouver son centre, on résout « l’équation aux points fixes ». π 3 1 – 4 + 2i z  1 – ------ – -- i = – 4 + 2i i -- - z = e 6 z – 4 + 2i soit - - d’où z = ---------------------------- , -  2 2 3 1 1 – ------ – -- i - - 2 2 3 1 ( – 4 + 2i )  1 – ------ + -- i - -  2 2 –5+2 3 – 3 soit z = ----------------------------------------------------------- = ------------------------- + i ---------------- , 2 - -  1 – ------ + -- 3 1 2– 3 2– 3 - -  2 4 d’où z = – 4 – 3 – i ( 2 3 + 3 ). π La rotation est celle de centre Ω d’affixe – 4 – 3 – i ( 2 3 + 3 ) et d’angle -- . - 6 21
  • 13. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 7 Interprétations géométriques On se place dans un repère orthonormal ( O ; u , v ) . 1. Interprétation géométrique d’une égalité de modules Soit A, B et M trois points d’affixes respectives a, b et m. • Si m – a = m – b , alors AM = MB ce qui signifie que le point M appartient à la médiatrice du segment [ AB ]. ∗ • Si m – a = r, avec r ∈ + , AM = r donc le point M appartient au cer- cle de centre A et de rayon r. 2. Interprétation géométrique du quotient de deux nombres complexes Les points M et M′ ont pour affixes respectives z et z′. z • Soit Z = --- avec z ≠ 0 et z′ ≠ 0. - z′ arg Z = arg z – arg z′ = ( u , OM ) – ( u , OM′ ) (2π) arg Z = ( u , OM ) + ( OM′, u ) = ( OM′, OM ) (2π). Remarque : un argument d’un quotient de deux nombres complexes non nuls est un angle de vecteurs. • Soit les points A ( z A ), B ( z B ), C ( z C ) et D ( z D ) avec z A ≠ z B et z C ≠ z D . Alors : zA – zB arg  ----------------- = ( DC, BA ) ( 2 π ) -  z C – z D 3. Figures particulières π zA – zB i -- - • (ABC est un triangle rectangle et isocèle direct en B) ⇔ ---------------- = e 2 = i. - zC – zB • (ABC est un triangle équilatéral) ⇔ z B – z A = z C – z B = z C – z A . π zC – zA i -- - • (ABC est un triangle équilatéral direct) ⇔ ---------------- = e 3 . - zB – zA zC – zA π zA – zB π • (ABC est un triangle équilatéral direct) ⇔ arg ---------------- = -- et arg ---------------- = --. - - - - zB – zA 3 zC – zB 3 • (ABCD est un parallélogramme) ⇔ AB = DC ⇔ z B – z A = z C – z D . 22
  • 14. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application ³ Quelle est la nature du triangle ABO sachant que les points A et B ont pour affixes respectives 3 + i et 2i ? corrigé commenté z0 – zA Indication : on explicite le complexe Z tel que Z = ---------------- , puis on en détermine - zB – zA son module et un argument. – 3–i – 3–i Z = -------------------------- = ------------------- . - - 2i – 3 – i – 3+i Indication : les nombres complexes – 3 – i et – 3 + i sont conjugués donc leurs modules sont égaux et leurs arguments opposés, donc Z = 1 soit : z 0 – z A = z B – z A ⇔ OA = OB. 3 1 5π arg ( – 3 – i ) = arg 2  – ------ – -- i - - = – ------ (2π), -  2 2 6 or arg Z = arg ( – 3 – i ) – arg ( – 3 + i ) = 2 arg ( – 3 – i ), 5π π soit arg Z = – 2 × ------ (2π) d’où arg Z = -- (2π). - - 6 3  z AO De plus arg Z = arg  --------  = arg ( z ) – arg ( z ) -  z AB  AO AB soit arg Z = ( u , AO ) – ( u , AB ) = ( AB, AO ) π d’où ( AB, AO ) = -- (2π). - 3 Par suite le triangle AOB est équilatéral. · Soit A, B et C les points d’affixes respectives 1 + 2i, –2 + i et –1 – 2i. Quelle est la nature du triangle ABC ? corrigé commenté Il est souhaitable de placer les points dans un repère pour bien poser le problème. z BA On calcule le nombre complexe Z tel que Z = ------- . - z BC 1 + 2i – ( – 2 + i ) 3+i ( 3 + i ) ( 1 + 3i ) Z = ---------------------------------------------- = -------------- = ------------------------------------ , - - – 1 – 2i – ( – 2 + i ) 1 – 3i 10 10i π d’où z = -------- = i ; on en déduit que ( BC, BA ) = -- (2π). - - 10 2 De plus i = 1 ⇔ BA = BC ⇔ BA = BC. Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B. 23