1. 0
Variación de la temperatura con respecto al tiempo en la
deformación demateriales.
David Álvarez, Sofía Arévalo, Fernando Maldonado, Amor Merino.
Departamento de Ingeniería, Universidad Politécnica Salesiana
Trabajo Integrador de Ecuaciones diferenciales
Ing. Ángel Soto S.
19 de diciembre de 2021

2. 1
ÍNDICE
Resumen.................................................................................................................................2
Introducción ...........................................................................................................................3
Objetivo general.....................................................................................................................4
Objetivo específico ................................................................................................................4
Marco teórico.........................................................................................................................5
Modelo matemático ...............................................................................................................6
Solución del modelo matemático...........................................................................................7
Validación del modelo matemático vs modelo simulado ....................................................10
Anexos .................................................................................................................................10
Conclusiones........................................................................................................................12
Recomendaciones ................................................................................................................12
Referencias...........................................................................................................................12

3. 2
RESUMEN
Isaac Newton, sin duda alguna tuvo un gran impacto dentro varios ámbitos como lo
son el de la matemática, física, cálculo, entre otros; sin embargo, en este punto nos
concentraremos en cómo actúa el enfriamiento de newtoniano y a que campos puede ser
aplicado. Por lo tanto, este trabajo de investigación tendrá como punto de partida la
demostración de la Ley aplicada en el campo de la resistencia y deformaciones de los
materiales, para esto utilizamos un sencillo experimento como validación al trabajo
realizado, el cual será detallado posteriormente. La Ley de Enfriamiento de Newton
establece la rápides en la que un cuerpo comienza a perder calor es proporcional a la resta de
temperatura entre el cuerpo y el entorno. Es así como nuestro grupo se decidió por adaptar
este tema y logramos relacionarlo con la variación de la temperatura y como esto afecta en la
resistencia de los materiales. Al final se demostrará que los cálculos obtenidos son correctos,
estos se basaron en el entorno más conveniente posible, para que los resultados fueran
correctos.
PALABRAS CLAVE
Ley de enfriamiento de Newton, materiales, deformación, ecuaciones diferenciales.
ABSTRACT
Isaac Newton, undoubtedly had a great impact in various fields such as mathematics,
physics, calculus, among others; however, at this point we will concentrate on how Newtonian
cooling acts and to which fields it can be applied. Therefore, this research work will have as a
starting point the demonstration of the Law applied in the field of resistance and deformations
of materials, for this we use a simple experiment as validation of the work done, which will be
detailed later. Newton's Law of Cooling states that the rate at which a body begins to lose heat
is proportional to the subtraction of temperature between the body and its surroundings. This is
how our group decided to adapt this topic and we managed to relate it to the variation of

4. 3
temperature and how this affects the resistance of materials. In the end it will be shown that
the calculations obtained are correct, they were based on the most suitable environment
possible, so that the results were correct.
KEYWORDS
Newton’s cooling law, materials, deformation, differential equations, differential
equations.
INTRODUCCIÓN
La ley de enfriamiento surgió cuando Newton decide construir un termómetro, que
utilizara aceite de semillas de lino en lugar de mercurio. Posterior a esto comenzó a
estudiar el enfriamiento de los cuerpos en esta parte nos centraremos en metales, los
mismos se encuentran a altas temperaturas. Es así como surge que la variación de
temperatura de un cuerpo relacionada a la temperatura del entorno en el que se encuentra, es
decir se habla de la temperatura ambiente; la misma es proporcional a la diferencia de
temperaturas del cuerpo y la ambiente. En el presente informe se explicará de manera
detallada el proceso del experimento relacionado con la ley de enfriamiento de Newton
enfocado en las ecuaciones diferenciales, para de esta manera demostrar de forma
matemática y experimental como es que funciona la ley mencionada anteriormente.
Adicionalmente para relacionar la ley de enfriamiento newtoniana con la deformación de
materiales sometidos a cambios detemperatura, para este caso los datos como el coeficiente
de expansión térmica se obtiene de acuerdo con el tipo de material autilizar y verificando su
valor en la Tabla de materiales. Porotro lado, según (Jhonston, 2010):
Se conoce como deformación unitaria térmica o estrés térmico causado por el
cambio en la temperatura de la varilla. El resultado obtenido es que no existe cambio
en la barra solo aplicable al caso de barras con sección transversal uniforme.

5. 4
Cualquier otro caso que involucre estructuras sujetas a variaciones de temperatura se
analizará en las condiciones aplicables. Sin embargo, la deformación debida al
cambio de temperatura y a la reacción residual y la superposición de las soluciones
resultantes se pueden considerar por separado. (pp. 64-65).
OBJETIVO GENERAL
Utilizar y relacionar de la manera más correcta y precisa posible la Ley de Enfriamiento
Newtoniana y la deformación de materiales sometidos a una variación de temperatura, para
de esta manera poder llegar a obtener los resultados esperados.
OBJETIVO ESPECÍFICO
Realizar una descripción precisa sobre el proceso llevado a cabo sobre todo de la
demostración experimental y matemática, así también se comprobarán los datos obtenidos
experimentalmente con los cálculos realizados; para de esta manera asegurarnos de que el
procedimiento del trabajo sea efectuado correctamente.
Plantear las ecuaciones necesarias que nos servirán en todo el desarrollo del trabajo,
además de estudiar los datos obtenidos, con el propósito de poner en práctica todo lo
estudiado en la materia de ecuaciones diferenciales.

6. 5
MARCO TEÓRICO
La ley de enfriamiento de Newton describe el proceso en el que la velocidad de
enfriamiento expone un cuerpo caliente a un ambiente más frío cuya temperatura es
proporcional a la diferencia entre la temperatura corporal instantánea y la temperatura
ambiente. La transferencia de calor es importante en este tipo de procesos porque es una
forma de energía que se mueve debido a la diferencia de temperatura con la que está
expuesta; por lo tanto, se puede dar capacidad de enfriamiento. Sin embargo, esta energía en
lugar de desperdiciarse sin ser utilizada tiene la capacidad de convertirse en energía.
(Barragán, 2009).
Se trata de objetos fríos y calientes se denominan fuente y receptor realizan el
proceso de reacciones químicas entre otros, además se encuentran procesos como
condensación vaporización, reacciones químicas, entre otros procesos donde la
transferencia de calor tiene su propio mecanismo y cada uno de ellos tiene características
específicas. (Gómez & Razo, 2014) Esto sucede porque la temperatura del cuerpo cambia a
un ritmo proporcional a la diferencia de temperatura entre el amiente externo y el cuerpo T
(t) representa la temperatura del objeto en el tiempo t y Ta es la temperatura constante del
entorno y esta es la velocidad a la que se enfría el objeto; k es una constante de
proporcionalidad (Acuña & Reiman, 2018).
La deformación de materiales a la temperatura se presenta cuando un objeto es
expuesto a una diferente temperatura, es decir, cuando se expone al frio esta llega a
contraerse esto debido a que las partículas de este se recogen, mientras que al exponerse al
calor es todo lo contrario es decir que este material se dilata esto aumentando su tamaño,
claro que estaque dependiendo del material y de a la temperatura a que seexponga existirá
diferentes tamaños.

7. 6
PROCEDIMIENTO DE LA PRÁCTICA
Equipo utilizado Materiales
utilizados
Horno Varilla de
aluminio
Calibrador
Termómetro
Tabla 1: material y equipo.
1. Obtener la medida inicial de la varilla, utilizando el calibrador.
2. Meter la varilla al horno por un tiempo de terminado a una temperatura de
60°C.
3. Luego del tiempo establecido, sacamos la varilla, la medimos nuevamente con
el calibrador y con el termómetro vemos cuál es la temperatura del material.
Revisar el Anexo A.
MODELO MATEMÁTICO
Según todo lo mencionado anteriormente, ahora procedemos a explicar y
detallar el modelo matemático que aplicaremos.
Por lo tanto, se presenta:
Ta = Temperatura ambiente
T = Temperatura de un cuerpo
K = Constante de proporcionalidad que define el ritmo de enfriamiento
dT/dt = Rapidez a la cual cambia la temperatura del cuerpo.
Mediante el uso de operaciones algebraica se obtiene la temperatura, la cual
es la variable que se necesita.
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎)
Se procederá a separar las variables
𝑑𝑇
𝑇 − 𝑇𝑎
= 𝑘𝑑𝑇

8. 7
Luego integramos
∫
𝑑𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑎)
= ∫ 𝑘𝑑𝑇
Simplificamos el logaritmo natural, multiplicando por exponencial en ambos
lados
𝐼𝑛(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑘𝑡 + 𝐶
Se despeja la temperatura y se obtiene la ecuación de la temperatura en
función del tiempo.
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒𝑘𝑡
SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
A continuación, se presentarán los resultados:
Temperatura del Horno a 60°C.
Datos:
Ta = 19,9°C
α = 23 ∗ 10−6
Lo = 0,17689m
El tiempo está dado en minutos, por lo que en la segunda temperatura 2,50
minutos sería 2 minutos y 30 segundos en tiempo real.
T (0) = 23,8°C
T(2,50) = 26,4°C
T(6) = 27°C
T(t) = c𝑒𝑘𝑡
+ 𝑇𝑎
T(t) = c𝑒𝑘𝑡
+ 19,9
Condición 1: T (0) = 23,8°C
23,8 = C𝑒0
+ 19,9

9. 8
C = 23,8 − 19,9
C = 3,9
T(t) = 3,9𝑒𝑘𝑡
+ 19,9
Condición 2: T(2,50) = 26,4°C
26,4 = 3,9𝑒2,5(𝑘)
+ 19,9
ln (
26,4 − 19,9
3,9
) = 2,5𝑘
k = 0,2043
𝑇(𝑡) = 3,9𝑒0,2043𝑡
+ 19,9
-Condición 3 𝑇(6) =?
𝑇(6) = 3,9𝑒0,2043(6)
+ 19,9
𝑇(6) = 33,1892°𝐶
Fórmula de la Deformación con respecto a la Temperatura
𝛿 = 𝛼 ∗ ∆𝑇 ∗ 𝐿𝑜
𝛿 = 23 ∗ 10−6
∗ (33,1892 − 23,8) ∗ 0,17689
𝛿 = 38,2 ∗ 10−6
𝛿 = 0,0000382𝑚
Longitud Final
𝛿 = 𝐿𝑓 − 𝐿𝑜
𝐿𝑓 = 𝛿 + 𝐿𝑂
𝐿𝑓 = 0,0000382 + 0,17689
𝑳𝒇 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟔𝟗𝟐𝒎
Para el valor del coeficiente de expansión térmico se utilizó una tabla de
propiedades mecánicas promedio para ingeniería, en esta se encuentran los materiales de
uso más común en el mercado, además esta tabla esta dada en el Sistema Internacional de

10. 9
Unidades. A continuación, se presenta la tabla:
Tabla 2: tabla de materiales de ingeniería
El valor señalado en la tabla corresponde al tipo de material que estamos utilizando
en para nuestra demostración, por lo tanto, observamos que el coeficiente de expansión
térmica del aluminio es de 23𝑥10−6
, el mismo se utilizó en la fórmula de la deformación
de la temperatura.

11. 10
VALIDACIÓN DEL MODELO CALCULADO VSMODELO SIMULADO
Basándonos en los resultados tanto del modelo matemático como el experimental,
observamos que la diferencia entre los cálculos es mínima, por tal motivo observamos que
el modelo aplicado y la relación de este con respecto a la deformación de materiales es
aplicable. Adicionalmente, se observa que el error presentado es mínimo, estamos
hablando de un 0,0000282%.
Deformación calculada
(m)
Deformación con
medida del calibrador
(m)
Error existente
(m)
0,0000382 0,00001 0,0000282
Tabla 3: comparación de resultados
Observando los resultados, como el error es en un porcentaje sumamente pequeño
esto indica que la validación del modelo matemático de Newton es lo correcta porque los
valores obtenidos son los más aproximados a la realidad.
ANEXOS
A
Calibrador y varilla de aluminio.
Se observa que el calibrador
marca una longitud inicial de
176.90 mm.

12. 11
B
C
Calibrador y varilla de aluminio.
Se observa que el calibrador
marca una longitud final de
176.91 mm.
Termómetro
Se observa que el termómetro
marca una temperatura de 26,4°C.

13. 12
CONCLUSIONES
A la conclusión que se logró llegar después de este trabajo, es que, en base a la
rama de la ciencias exactas específicamente las ecuaciones diferenciales, se da la base
para todas las ingenierías, esto quiere decir que con los conocimientos impartidos se
puede generar diferentes modelos matemáticos los cuales nos ayudan a la resolución de
problemas específicos, en nuestro caso se puede decir que al ocuparse la ley de
enfriamiento de Newton, con la cual se nos hace posible que en un escenario donde se
varia la temperatura en un intervalo de tiempos determinados, se puede llegar a lograr
el cometido de encontrar una temperatura final, la cual se utiliza para poder calcular la
deformación de un material, que en nuestro caso sería una vara de aluminio.
RECOMENDACIONES
Para un trabajo como este lo más recomendado es que se pueda dominar los
temas de la ley de enfriamiento, la integración y los que se encuentran fuertemente
ligados con la materia de ecuaciones diferenciales, también en la parte práctica se
recomienda tener a la mano lo que son materiales de precisión ya sea como un
calibrador un horno industrial o una cámara de térmica, recomendamos utilizar la
cámara térmica porque es más eficiente ya que el calor puede distribuirse de manera
uniforme, por lo tanto, tendremos datos más precisos.

14. 13
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