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RECUEILS D’EXERCICES CORRIGES
Dr Athanas KONIN Avril 2011
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1. Caractéristiques géométriques des sections
Cours de RDM – M A. KONIN
2
EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 1 & 2
1. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS
EXEMPLE 1 : ETUDE D’UNE SECTION EN TE
Déterminer, pour la poutre en T ci-dessous, les caractéristiques géométriques suivantes :
L’aire de la section (B), le moment statique (S), la distance de la fibre supérieure (V) et la distance de la
fibre inférieure (V’ ), le moment d’inertie (I), le module de résistance (I/V et I/V’), le rayon de giration (i)
et le rendement de la section ( )
RESOLUTION
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EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 1 & 2 3
EXEMPLE 2 : ETUDE D’UNE SECTION
Soit une section avec les caractéristiques suivantes : h =110 cm ; B = 0.3912 m2
, moment statique S
=0.17315 m3
, moment d’inertie I = 0.131944 m4
1) Déterminer les caractéristiques de la section brute : la distance de
la fibre supérieure Vs, la distance de la fibre inférieure Vi, le moment
d’inertie par rapport au centre de gravité IG [m4
], le rendement
géométrique de la section
2) Cette section comporte 4 gaines de 70 mm de diamètre situées
respectivement à 105 mm et 245 mm de la fibre inférieure. Le centre de
gravité des gaines est à 0.925 m de la fibre supérieure. Déterminer les
caractéristiques de la section nette:
l’aire de la section Bn [m2
], le moment statique Sn [m3
], la distance de la fibre supérieure Vs [m], la
distance de la fibre inférieure Vi [m], le moment d’inertie par rapport à l’axe « » In [m4
], le moment
d’inertie par rapport au centre de gravité InG [m4], le rendement de la section n
3). Les gaines contiennent chacune un Câble 9T15 de section 1251 mm2. Le coefficient
d’équivalence est pris égal à 5. Déterminer les caractéristiques de la section homogène : l’aire de la
section Bh [m2
], le moment statique Sh [m3
], la distance de la fibre supérieure Vhs [m], la distance de la
fibre inférieure Vhi [m], le moment d’inertie par rapport à l’axe « » Ih [m4
], le moment d’inertie par
rapport au centre de gravité IhG [m4] et le rendement de la section h
RESOLUTION
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1. Caractéristiques géométriques des sections
Cours de RDM – M A. KONIN
4
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EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 1 & 2 5
2. COMBINAISONS D’ACTIONS ET CALCUL DES SOLLICITATIONS
EXEMPLE 3 : IMPACT DE L’EXCENTRICITE DE L’EFFORT DE PRECONTRAINTE
Soit une poutre de section rectangulaire (50, 120 cm) soumise à un moment fléchissant extérieur M et à
un effort de précontrainte centrée P1 ou excentrée P2.
Cas 1 : l’effort de précontrainte est centré Cas 2 : l’effort de précontrainte est excentré de e0
On demande de :
Déterminer la valeur de P1 et de P2 en précontrainte totale (pas de traction). Conclure.
RESOLUTION
Cas 1 : détermination de P1 Cas 2 : détermination de P2 (e0 = - 0,45 m)
A.N : P1 = 4 MN
A.N : P2 = 1,231 MN
Conclusion : grâce à l’excentrement de la précontrainte, on a diminué l’effort de précontrainte et la
contrainte maximale dans le béton. D’où une économie substantielle d’acier et de béton.
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1. Détermination de la précontrainte et son excentricité
Cours de RDM – M A. KONIN
6
EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 3 & 4
1. DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE ET SON EXCENTRICITE
EXEMPLE 4 : SECTION SOUS – CRITIQUE OU SUR - CRITIQUE
Soit une poutre de section rectangulaire (50x120) cm soumise aux moments Mmin=1.2 MNm et Mmax=3.2
MNm avec une valeur de l’enrobage telle que di=0.15m.
1) Déterminer la valeur de la précontrainte (P1 et P2).
2) Donner une constatation sur la nature de la section.
3) Déterminer la valeur de l’excentricité eO
RESOLUTION
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EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 3 & 4 7
EXEMPLE 5 : SECTION MINIMALE DE BETON
2. PERTES DE PRECONTRAINTE
EXEMPLE 6 : PERTES DE PRECONTRAINTE
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2. PERTES DE PRECONTRAINTE
Cours de RDM – M A. KONIN
8
EXEMPLE 7 : PERTES DE PRECONTRAINTE
Soit une poutre de post- tension de longueur de 47.00 m soumise à la précontrainte par 4 câbles de 7T15 à
j = 8 jours. Pour la section à mi travée :
1) Déterminer : la tension à l’origine, la perte due au frottement, la perte due au recul d’ancrage, la
perte due à la déformation instantanée du béton, la perte instantanée, la perte due au retrait du béton, la
perte due au fluage du béton, la perte due à la relaxation des aciers, la perte différée
2) En déduire la valeur de la contrainte finale probable, la contrainte finale maximale, la contrainte
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Données :
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, = 0.002 m-1
, g= 6mm, bc = 12.4 MPa, bM= 15.3 MPa, bfinale= 11.1 MPa
fc28 = 35 MPa, r= 3.10-4
fprg = 1860 MPa, fpeg = 1660 MPa, 1000=2.5 %, 0 =0.43, Ep=190000 MPa
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EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 3 & 4 9
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1. Sollicitations tangentes et ferraillage passif
Cours de RDM – M A. KONIN
10
EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 5 & 6
1. SOLLICITATIONS TANGENTES ET FERRAILLAGE PASSIF
EXEMPLE 8 : ETUDE D’UNE SECTION EN TE
On considère une poutre isostatique de longueur 20 m, précontrainte
par deux câbles
de diamètre 70 mm :
les données sont :
G=51 kN/m, Q=148 kN/m, fcj=30 MPa, P=7.45 MN, Z=1.484 m
1. Déterminer à une distance de 1m de l’appui ( =7°69):
1.1. L’effort tranchant ELS VG
1.2. L’effort tranchant ELS VQ
1.3. L’effort tranchant réduit Vr1 en ELS
1.4. L’effort tranchant réduit Vr2 en ELS
1.5. Contrainte du cisaillement ELS
1.6. Contrainte de compression
2. Déterminer à une distance de 1m de l’appui ( =7°69):
2.1. L’effort tranchant ultime Vru
2.2. L’effort tranchant ultime V ru
2.3. Contrainte de cisaillement ultime
2.4. Angle d’inclinaison des bielles
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  • 1. RECUEILS D’EXERCICES CORRIGES Dr Athanas KONIN Avril 2011 www.4geniecivil.com
  • 2. 1. Caractéristiques géométriques des sections Cours de RDM – M A. KONIN 2 EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 1 & 2 1. CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS EXEMPLE 1 : ETUDE D’UNE SECTION EN TE Déterminer, pour la poutre en T ci-dessous, les caractéristiques géométriques suivantes : L’aire de la section (B), le moment statique (S), la distance de la fibre supérieure (V) et la distance de la fibre inférieure (V’ ), le moment d’inertie (I), le module de résistance (I/V et I/V’), le rayon de giration (i) et le rendement de la section ( ) RESOLUTION www.4geniecivil.com
  • 3. EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 1 & 2 3 EXEMPLE 2 : ETUDE D’UNE SECTION Soit une section avec les caractéristiques suivantes : h =110 cm ; B = 0.3912 m2 , moment statique S =0.17315 m3 , moment d’inertie I = 0.131944 m4 1) Déterminer les caractéristiques de la section brute : la distance de la fibre supérieure Vs, la distance de la fibre inférieure Vi, le moment d’inertie par rapport au centre de gravité IG [m4 ], le rendement géométrique de la section 2) Cette section comporte 4 gaines de 70 mm de diamètre situées respectivement à 105 mm et 245 mm de la fibre inférieure. Le centre de gravité des gaines est à 0.925 m de la fibre supérieure. Déterminer les caractéristiques de la section nette: l’aire de la section Bn [m2 ], le moment statique Sn [m3 ], la distance de la fibre supérieure Vs [m], la distance de la fibre inférieure Vi [m], le moment d’inertie par rapport à l’axe « » In [m4 ], le moment d’inertie par rapport au centre de gravité InG [m4], le rendement de la section n 3). Les gaines contiennent chacune un Câble 9T15 de section 1251 mm2. Le coefficient d’équivalence est pris égal à 5. Déterminer les caractéristiques de la section homogène : l’aire de la section Bh [m2 ], le moment statique Sh [m3 ], la distance de la fibre supérieure Vhs [m], la distance de la fibre inférieure Vhi [m], le moment d’inertie par rapport à l’axe « » Ih [m4 ], le moment d’inertie par rapport au centre de gravité IhG [m4] et le rendement de la section h RESOLUTION www.4geniecivil.com
  • 4. 1. Caractéristiques géométriques des sections Cours de RDM – M A. KONIN 4 www.4geniecivil.com
  • 5. EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 1 & 2 5 2. COMBINAISONS D’ACTIONS ET CALCUL DES SOLLICITATIONS EXEMPLE 3 : IMPACT DE L’EXCENTRICITE DE L’EFFORT DE PRECONTRAINTE Soit une poutre de section rectangulaire (50, 120 cm) soumise à un moment fléchissant extérieur M et à un effort de précontrainte centrée P1 ou excentrée P2. Cas 1 : l’effort de précontrainte est centré Cas 2 : l’effort de précontrainte est excentré de e0 On demande de : Déterminer la valeur de P1 et de P2 en précontrainte totale (pas de traction). Conclure. RESOLUTION Cas 1 : détermination de P1 Cas 2 : détermination de P2 (e0 = - 0,45 m) A.N : P1 = 4 MN A.N : P2 = 1,231 MN Conclusion : grâce à l’excentrement de la précontrainte, on a diminué l’effort de précontrainte et la contrainte maximale dans le béton. D’où une économie substantielle d’acier et de béton. www.4geniecivil.com
  • 6. 1. Détermination de la précontrainte et son excentricité Cours de RDM – M A. KONIN 6 EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 3 & 4 1. DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE ET SON EXCENTRICITE EXEMPLE 4 : SECTION SOUS – CRITIQUE OU SUR - CRITIQUE Soit une poutre de section rectangulaire (50x120) cm soumise aux moments Mmin=1.2 MNm et Mmax=3.2 MNm avec une valeur de l’enrobage telle que di=0.15m. 1) Déterminer la valeur de la précontrainte (P1 et P2). 2) Donner une constatation sur la nature de la section. 3) Déterminer la valeur de l’excentricité eO RESOLUTION www.4geniecivil.com
  • 7. EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 3 & 4 7 EXEMPLE 5 : SECTION MINIMALE DE BETON 2. PERTES DE PRECONTRAINTE EXEMPLE 6 : PERTES DE PRECONTRAINTE www.4geniecivil.com
  • 8. 2. PERTES DE PRECONTRAINTE Cours de RDM – M A. KONIN 8 EXEMPLE 7 : PERTES DE PRECONTRAINTE Soit une poutre de post- tension de longueur de 47.00 m soumise à la précontrainte par 4 câbles de 7T15 à j = 8 jours. Pour la section à mi travée : 1) Déterminer : la tension à l’origine, la perte due au frottement, la perte due au recul d’ancrage, la perte due à la déformation instantanée du béton, la perte instantanée, la perte due au retrait du béton, la perte due au fluage du béton, la perte due à la relaxation des aciers, la perte différée 2) En déduire la valeur de la contrainte finale probable, la contrainte finale maximale, la contrainte finale minimale Données : =0.2984 rd, f = 0.18 rd-1 , = 0.002 m-1 , g= 6mm, bc = 12.4 MPa, bM= 15.3 MPa, bfinale= 11.1 MPa fc28 = 35 MPa, r= 3.10-4 fprg = 1860 MPa, fpeg = 1660 MPa, 1000=2.5 %, 0 =0.43, Ep=190000 MPa RESOLUTION www.4geniecivil.com
  • 9. EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 3 & 4 9 www.4geniecivil.com
  • 10. 1. Sollicitations tangentes et ferraillage passif Cours de RDM – M A. KONIN 10 EXEMPLES PORTANT SUR LES CHAPITRES 5 & 6 1. SOLLICITATIONS TANGENTES ET FERRAILLAGE PASSIF EXEMPLE 8 : ETUDE D’UNE SECTION EN TE On considère une poutre isostatique de longueur 20 m, précontrainte par deux câbles de diamètre 70 mm : les données sont : G=51 kN/m, Q=148 kN/m, fcj=30 MPa, P=7.45 MN, Z=1.484 m 1. Déterminer à une distance de 1m de l’appui ( =7°69): 1.1. L’effort tranchant ELS VG 1.2. L’effort tranchant ELS VQ 1.3. L’effort tranchant réduit Vr1 en ELS 1.4. L’effort tranchant réduit Vr2 en ELS 1.5. Contrainte du cisaillement ELS 1.6. Contrainte de compression 2. Déterminer à une distance de 1m de l’appui ( =7°69): 2.1. L’effort tranchant ultime Vru 2.2. L’effort tranchant ultime V ru 2.3. Contrainte de cisaillement ultime 2.4. Angle d’inclinaison des bielles www.4geniecivil.com