Psikometri Bab a22

Bab 22
Estimasi Paramter Secara
Terpisah

------------------------------------------------------------------------------
Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Bab 22
ESTIMASI PARAMETER SECARA TERPISAH
A. Estimasi Parameter Responden
1. Pendahuluan
• Ada tiga besaran pada karakteristik butir
model logistik
I q a, b, c
II
P(q)
III

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Pada estimasi parameter secara terpisah, ada tiga
kemungkinan
I dan II diketahui, mengestimasi III
Di sini terjadi estimasi probabilitas jawaban
betul
II dan III diketahui, mengestimasi I
Di sini terjadi estimasi satu parameter
kemampuan pada responden
Jika ada M responden, maka terjadi M
estimasi
I dan III diketahui, mengestimasi II
Di sini terjadi estimasi satu, dua, atau tiga
parameter butir
Jika ada N butir, maka terjadi N, 2N, atau
3N estimasi butir
• Banyaknya estimasi parameter yang perlu
dilakukan adalah dari M + N, M + 2N, sampai M +
3N

------------------------------------------------------------------------------
Estimasi Paremter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
2. Estimasi Parameter Kemampuan Melalui Coba-coba
Sebelum menggunakan rumus estimasi, di sini
kita mencoba pengestimasian parameter
kemampuan dengan cara coba-coba
Contoh 1
Satu responden menjawab tiga butir dengan
hasil
Bu- Parameter butir Ha-tir
a b c sil
1 0,75 –2,00 0,10 1
2 1,25 0,00 0,18 1
3 1,00 1,75 0,16 0
Kebolehjadian
1
1
P P Q
1 2 3
1
3
0
3
0
2
1
2
0
1
L P Q P Q P Q
=
= ( )( )( )

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik butir model L3P adalah
Da b
( q
-
)
i i
P c e
Da b
( q
-
)
i i
i
= +
e
+
q
1
Q = -
c
Da b
( )
( )
( )
q
-
i i
i
i
i
1
e
+
q
1
Masukkan parameter butir ke dalam butir 1, 2,
dan 3
( 1 , 7 )( 0 , 75 )( 2 , 00
)
P e
( 1 , 7 )( 0 , 75 )( 2 , 00
)
( 1 , 7 )( 1 , 25 )( 0 , 00
)
e
P e
( , )( , )( , )
( ) ,
1 7 1 25 0 00
= 0 10
+
1
+
= 0 18
+
q
q
( ) = -
,
( , )( , )( , )
( ) ,
1
2
3 1 7 1 00 1 75
1
1 0 16
1
-
-
-
+
+
+
+
q
q
q
q
q
q
e
Q
e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Kebolehjadian dari tiga butir ini menjadi
, ( , )( , ) , e
( 2 , 125
)( q
)
,
( , )( ) ( , )( , )
+
1 275 2 00
( , )( , )
2 125 1 7 1 75
1 275 2 00
0 18
= 0 10
+
+
Masukkan berbagai nilai q ke dalam L
q = – 1,00 P1(q) = 0,803438 L = 0,178855
P2(q) = 0,267486
Q3(q) = 0,832239
q = 0,00 P1(q) = 0,934816 L = 0,410909
P2(q) = 0,550000
. Q3(q) = 0,799203
.
.
q = 2,00 P1(q) = 0,994546 L = 0,326450
P2(q) = 0,988468
Q3(q) = 0,332070
1 2 3
1
0 84
1
1
+ -
+ +
+
=
q q
q
q
e e
e
e
L P P Q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Dihitung untuk berbagai q dan disusun ke dalam
tabel
q P1(q) P2(q) Q3(q) L
–1,00 0,803438 0,267486 0,832239 0,178855
0,00 0,934816 0,550000 0,799203 0,410909
0,50 0,964325 0,789398 0,750380 0,571261
0,70 0,972106 0,848876 0,719303 0,593078
0,75 0,973779 0,861537 0,710249 0,595861
0,76 0,974101 0,863966 0,708373 0,596160
0,77 0,974420 0,866360 0,706475 0,596405
0,78 0,974735 0,868720 0,704555 0,596597
0,79 0,975046 0,871046 0,702612 0,596735
0,80 0,975354 0,873338 0,700461 0,596822
0,81 0,975657 0,875598 0,704100 0,601501 maks
0,82 0,975958 0,877824 0,696651 0,596834
0,83 0,976254 0,880017 0,694618 0,596760
0,84 0,976547 0,882177 0,692563 0,596634
0,85 0,976837 0,884305 0,690485 0,596456
0,90 0,978233 0,894466 0,679751 0,594780
1,00 0,980783 0,912514 0,656542 0,587591
1,25 0,985946 0,946204 0,588476 0,548993
1,50 0,989738 0,967496 0,507930 0,486377
2,00 0,994546 0,988468 0,332070 0,326450
L maksimum terletak di sekitar q = 0,81

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Estimasi Parameter Kemampuan melalui Metoda
Pendekatan Newton-Raphson
• Kebolehjadian pada jawaban dikotomi
Xi = 1 untuk jawaban betul
Xi = 0 untuk jawaban salah (dan blanko)
sehingga pada Xi = 1 P(q)Q(q) = P(q)
pada Xi = 0 P(q)Q(q) = Q(q)
dan fungsi kebolehjadian menjadi
N
Õ=
X
= -
(q ) (q )1
L P i Q i
i
X
i
i
1
Dengan mengenakan logaritma, diperoleh
N
[ ] å=
i i i i L X P X Q
ln = ln (q ) + (1 -
)ln (q )
i
1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Kebolehjadian maksimum dicapai melalui
= 0
d ln L
dq
• Estimasi q melalui metoda pendekatan Newton-
Raphson menghasilkan iterasi
d ln
L
d
q q q
= - +
s s ln
d L
2
1 2
d
q
Dengan memasukkan model karakteristik butir
(L1P, L2P, atau L3P), maka diperoleh bentuk
iterasi untuk tiap model

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi pada L1P
d L
ln = [ -
( )]
i
d L
ln N
[ ( )( ( ))]
sehingga oleh karenanya
q q
q
q
q
å
å
=
=
= - -
i
i i
N
i
i
D P P
d
D X P
d
1
2
2
2
1
1
å
X P
[ ( )]
å
=
=
+
-
= + N
i
q
i i
N
i
i i
s s
D P Q
1
1
1
( q ) ( q
)
q q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
d L
ln = [ -
( )]
i
d L
ln N
2 2
[ ( )( ( ))]
q q
q
q
q
å
å
=
=
= - -
i
i i i
N
i
i i
D a P P
d
D a X P
d
1
2
2
1
1
å
a X P
å
=
=
+
[ -
( )]
= + N
i
q
i i i
N
i
i i i
s s
D a P Q
1
2
1
1
( q ) ( q
)
q q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
D a X P P c
d L
ln [ ( )][ ( ) ]
= - q q
-
i i i i
( )[ ]
i
å
D a P c
d L
ln [ ( ) ]
Q
= -
q q
i i
2 2
X c P
i i i
( )
( )
( )
( )
( )
q
q
q
q
q
q
i
i
i
i
N
i
i
N
i i i
P
P
c
d
P c
d
2
2
1
2
2
1
1
1
-
-
-
å
=
=
a X P P c
[ ( q )][ ( q
) ]
P c
( q
)[ 1
]
2 2
D a P c X c P Q
å
N
å
=
i i i i i
i =
i i
+
- -
-
[ ( q ) - ][ -
( q )] ( q
)
i i i i i i i
( )[ -
]
= - N
i i i
s s
P c
1
2 2
1
1
1
q
q q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Prosedur Estimasi Parameter Kemampuan
• Paramter butir telah diketahui pada metrik tertentu
sehingga hasil estimasi parameter kemampuan
terletak pada metrik itu
• Di ini prosedur ini dilakukan melalui contoh pada
model L1P
Contoh 2
Suatu responden menjawab tiga butir dengan
hasil
Butir bi Xi
1 – 1 1
2 0 0
3 1 1
Estimasi parameter q dari responden itu

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas pada setiap butir
( 1 , 7 )( q
+
1
)
( 1 , 7 )( q
+
1
)
e
( 1 , 7
)
q
( 1 , 7
)
q
e
( 1 , 7 )( q
-
1
)
( , )( )
D b
( )
1
q
-
D b
( q
-
)
=
e
P e
1 1
1
D b
( )
2
q
-
D b
( q
-
)
=
e
+
+
e
P e
1 1
D b
( )
3
2
q
-
D b
( )
( q
)
( q
)
P ( )
e
q
-
1 7 1
1
2
3
q
-
=
+
e
1 3
1
e
+
e
+
+
=
=
=
q
e
• Perhitungan ini memerlukan sejumlah data,
mencakup
Titik awal iterasi q0 yang ditentukan oleh
logit sukses
Rumus iterasi pada metoda pendekatan
Newton-Raphson untuk L1P
å
X P
[ ( )]
å
=
=
+
-
= + N
i
q
i i
N
i
i i
s s
D P Q
1
1
1
( q ) ( q
)
q q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai titik awal
( q
)
P
g
Q
= ln = ln = ln =
,
0 q
q0 = 0,693
2 0 693
2
3
1
3
( q
)
g
• Perhitungan estimasi memerlukan beberapa
besaran, seperti tampak pada rumus, meliputi
Pi(q)
Qi(q)
Xi – Pi(q)
DPi(q)Qi(q)
Perhitungan dilakukan dalam bentuk tabel
untuk memudahkan perhitungan
Setiap iterasi menghasilkan satu tabel

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 1
Butir 1
Dengan q0 = 0,693
(1,7)(q + 1) = (1,7)(0,693 + 1) = 2,878
0 947
,
0 693 2 878
Q1(0,693) = 1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053
X1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053
DP1(0,693)Q1(0,693) = (1,7)(0,947)(0,053)
= 0,085
1
2 878
( , ) =
, 1 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan q0 = 0,693
(1,7)(q)= (1,7)(0,693) = 1,178
0 765
,
0 693 1 178
Q2(0,693) = 1 – P2(0,693) = 1 – 0,765 = 0,235
X2 – P2(0,693) = 0 – 0,765 = – 0,765
DP2(0,693)Q2(0,693) = (1,7)(0,765)(0,235)
= 0,306
1
1 178
( , ) =
, 2 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan q0 = 0,693
(1,7)(q – 1) = (1,7)(0,693 – 1) = – 0,522
0 372
,
= -
0 693 0 522
Q3(0,693) = 1 – P3(0,693) = 1 – 0,372 = 0,628
X3 – P3(0,693) = 1 – 0,372 = 0,628
DP3(0,693)Q3(0,693) = (1,7)(0,372)(0,628)
= 0,397
1
0 522
( , ) =
, 3 ,
+
-
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi pertama
q0 = 0,693
Butir Xi Pi(0,693) Qi(0,693) Xi – Pi(0693) DPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,947 0,053 0,053 0,085
2 0 0,765 0,235 – 0,765 0,306
3 1 0,372 0,628 0,628 0,397
– 0,084 0,788
q1 = q0 + (– 0,084 / 0,788) = 0,693 – 0,107 = 0,586
Selisih = |q0 – q1| = |0,693 – 0,586| = 0,107
Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan
dengan iterasi kedua

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 2
Butir 1
Dengan q1 = 0,586
(1,7)(q + 1) = (1,7)(0,586 + 1) = 2,696
0 937
,
0 586 2 696
Q1(0,586) = 1 – P1(0,586) = 1 – 0,937 = 0,063
X1 – P1(0,586) = 1 – 0,937 = 0,063
DP1(0,586)Q1(0,586) = (1,7)(0,937)(0,063)
= 0,100
1
2 696
( , ) =
, 1 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan q1 = 0,586
(1,7)(q)= (1,7)(0,586) = 0,996
0 730
,
0 586 0 996
Q2(0,586) = 1 – P2(0,586) = 1 – 0,730 = 0,270
X2 – P2(0,586) = 0 – 0,730 = – 0,730
DP2(0,586)Q2(0,586) = (1,7)(0,730)(0,270)
= 0,335
1
0 996
( , ) =
, 2 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan q1 = 0,586
(1,7)(q – 1) = (1,7)(0,586 – 1) = – 0,704
0 331
,
= -
0 586 0 704
Q3(0,586) = 1 – P3(0,586) = 1 – 0,331 = 0,669
X3 – P3(0,586) = 1 – 0,331 = 0,669
DP3(0,586)Q3(0,586) = (1,7)(0,331)(0,669)
= 0,376
1
0 704
( , ) =
, 3 ,
+
-
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi kedua
q1 = 0,586
Butir Xi Pi(0,586) Qi(0,586) Xi – Pi(0,586) DPi(0,586)Qi(0,586)
1 1 0,937 0,063 0,063 0,100
2 0 0,730 0,270 – 0,730 0,335
3 1 0,331 0,669 0,669 0,376
0,002 0,811
q2 = q1 + ( 0,002 / 0,811) = 0,586 + 0,002 = 0,588
Selisih = |q1 – q2| = |0,586 – 0,588| = 0,002
Selisih sudah cukup kecil, sehingga iterasi
dihentikan
Hasil estimasi parameter kemampuan
q = 0,588 ≈ 0,59

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Rekapitulasi
q0 = 0,693
Butir Xi Pi(0,693) Qi(0,693) Xi – Pi(0693) DPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,947 0,053 0,053 0,085
2 0 0,765 0,235 – 0,765 0,306
3 1 0,372 0,628 0,628 0,397
– 0,084 0,788
q1 = 0,586 Selisih = 0,107
q1 = 0,586
Butir Xi Pi(0,586) Qi(0,586) Xi – Pi(0,586) DPi(0,586)Qi(0,586)
1 1 0,937 0,063 0,063 0,100
2 0 0,730 0,270 – 0,730 0,335
3 1 0,331 0,669 0,669 0,376
0,002 0,811
q2 = 0,588 Selisih = 0,002
Estimasi q ≈ 0,59

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 3
Satu responden menjawab 3 butir dengan hasil
Butir bi Xi
1 – 2,00 1
2 0,00 1
3 1,75 0
Estimasi parameter q
Contoh 4
Butir bi Xi
1 – 1,0 1
2 0,0 1
3 1,0 0
4 1,5 1
5 2,0 0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 5
Butir ai bi Xi
1 1,0 – 1,0 1
2 1,2 0,0 0
3 0,8 1,0 1
• Probabilitas tiga butir itu adalah
( 1 , 7 )( 1
)
( 2 , 04
)
( 1 , 36 )( 1
)
( , )( )
Da b
( )
1 1
Da b
1 1 1
1
Da b
( )
2 2
Da b
1 2 2
1
Da b
( )
3 3
( )
( , )
( )
( , )( )
( )
( q
)
( q
)
( )
1 36 1
3
2 04
2
1 7 1
1
1 3 3
1
-
-
-
-
-
-
+
+
-
-
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
e
e
e
P e
e
e
e
P e
e
e
e
P e
Da b

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Rumus iterasi pada estimasi
å
a X P
[ ( q
)]
• Titik awal estimasi q0 pada logit sukses
( q
)
g
Q
= ln = ln = ln =
,
0 q0 = 0,693
å
=
=
+
-
= + N
i
i i i
N
i
i i i
s s
D a P Q
1
2
1
1
( q ) ( q
)
q q
2 0 693
2
3
1
3
( q
)
q
g
P

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 1
Butir 1
Dengan q0 = 0,693
(1,7)(q + 1) = (1,7)(0,693 + 1) = 2,878
0 947
,
0 693 2 878
Q1(0,693) = 1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053
a1[X1 – P1(0,693)] = 1,0 (1 – 0,947) = 0,053
Da2
1 P1(0,693)Q1(0,693)
= (1,7)(1,0)2(0,947)(0,053)
= 0,085
1
2 878
( , ) =
, 1 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan q0 = 0,693
(2,04)(q)= (2,04)(0,693) = 1,414
0 804
,
0 693 1 414
Q2(0,693) = 1 – P2(0,693) = 1 – 0,804 = 0,196
a2[X2 – P2(0,693)] = (1,2)(0 – 0,765) = – 0,965
Da2
2 P2(0,693)Q2(0,693)
= (1,7)(1,2)2(0,765)(0,235)
= 0,386
1
1 414
( , ) =
, 2 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan q0 = 0,693
(1,36)(q – 1) = (1,36)(0,693 – 1) = – 0,418
0 397
,
= -
0 693 0 418
Q3(0,693) = 1 – P3(0,693) = 1 – 0,397 = 0,603
a3[X3 – P3(0,693)] = (0,8)(1 – 0,397) = 0,482
Da2
3P3(0,693)Q3(0,693)
= (1,7)(0,8)2(0,397)(0,603)
= 0,260
1
0 418
( , ) =
, 3 ,
+
-
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
q0 = 0,693
Butir Xi ai[Xi – Pi(0693)] Da2
iPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,053 0,085
2 0 – 0,965 0,386
3 1 0,482 0,260
– 0,430 0,731
q1 = q0 + (– 0,430 / 0,731) = 0,693 – 0,588 = 0,105
Selisih = |q0 – q1| = |0,693 – 0,105| = 0,588

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 2
Butir 1
Dengan q1 = 0,105
(1,7)(q + 1) = (1,7)(0,105 + 1) = 1,879
0 867
,
0 105 1 879
Q1(0,105) = 1 – P1(0,105) = 1 – 0,867 = 0,133
a1[X1 – P1(0,105)] = (1,0)(1 – 0,867) = 0,133
Da2
1P1(0,105)Q1(0,105)
= (1,7)(1,0)2(0,867)(0,133)
= 0,196
1
1 879
( , ) =
, 1 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan q1 = 0,105
(2,04)(q)= (2,04)(0,105) = 0,214
0 553
,
0 105 0 214
Q2(0,105) = 1 – P2(0,105) = 1 – 0,553 = 0,447
a2[X2 – P2(0,693)] = (1,2)(0 – 0,553) = – 0,664
Da2
2 P2(0,105)Q2(0,105)
= (1,7)(0,8)2(0,553)(0,447)
= 0,605
1
0 214
( , ) =
, 2 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan q1 = 0,105
(1,36)(q – 1) = (1,36)(0,105 – 1) = – 1,217
0 228
,
-
e
P e
= -
0 105 1 217
Q3(0,105) = 1 – P3(0,105) = 1 – 0,228 = 0,772
a3[X3 – P3(0,105)] = (0,8)(1 – 0,228) = 0,618
Da2
3P3(0,105)Q3(0,105)
= (1,7)(0,8)2(0,228)(0,772)
= 0,192
1
1 217
( , ) =
, 3 ,
+

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi kedua
q1 = 0,105
iPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,133 0,196
2 0 – 0,664 0,605
3 1 0,618 0,192
0,087 0,993
q2 = q1 + (0,087 / 0,993) = 0,105 + 0,088 = 0,193
Selisih = |q1 – q2| = |0,105 – 0,193| = 0,088
dengan iterasi ketiga

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 3
Butir 1
Dengan q2 = 0,193
(1,7)(q + 1) = (1,7)(0,193 + 1) = 2,028
0 884
,
0 193 2 028
Q1(0,193) = 1 – P1(0,193) = 1 – 0,884 = 0,116
a1[X1 – P1(0,193)] = (1,0)(1 – 0,884) = 0,116
Da2
1P1(0,193)Q1(0,193)
= (1,7)(1,0)2(0,884)(0,116)
= 0,174
1
2 028
( , ) =
, 1 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan q2 = 0,193
(2,04)(q)= (2,04)(0,193) = 0,394
0 597
,
0 193 0 394
Q2(0,193) = 1 – P2(0,193) = 1 – 0,597 = 0,403
a2[X2 – P2(0,193)] = (1,2)(0 – 0,597) = – 0,716
Da2
2 P2(0,193)Q2(0,193)
= (1,7)(0,8)2(0,597)(0,403)
= 0,589
1
0 394
( , ) =
, 2 ,
+
=
e
P e

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan q2 = 0,193
(1,36)(q – 1) = (1,36)(0,193 – 1) = – 1,098
0 250
,
-
e
P e
= -
0 193 1 098
Q3(0,193) = 1 – P3(0,193) = 1 – 0,250 = 0,750
a3[X3 – P3(0,193)] = (0,8)(1 – 0,250) = 0,600
Da2
3P3(0,193)Q3(0,193)
= (1,7)(0,8)2(0,250)(0,750)
= 0,204
1
1 098
( , ) =
, 3 ,
+

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi ketiga
q2 = 0,193
iPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,116 0,714
2 0 – 0,716 0,589
3 1 0,600 0,204
0,000 0,967
q3 = q2 + (0,000 / 0,967) = 0,193 + 0,000 = 0,193
Selisih = |q1 – q2| = |0,193 – 0,193| = 0,000
Selisih sudah cukup kecil sehingga iterasi
dihentikan
Estimasi q = 0,193

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Rekapitulasi
q0 = 0,693
Butir Xi ai[Xi – Pi(q)] Da2
iPi(q)Qi(q)
1 1 0,053 0,085
2 0 – 0,965 0,386
3 1 0,482 0,260
– 0,430 0,731
q1 = 0,105 selisih = 0,588
q1 = 0,105
iPi(q)Qi(q)
1 1 0,133 0,196
2 0 – 0,664 0,605
3 1 0,618 0,192
– 0,087 0,993
q2 = 0,193 selisih = 0,088
q2 = 0,193
iPi(q)Qi(q)
1 1 0,116 0,174
2 0 – 0,716 0,589
3 1 0,600 0,204
0,000 0,967
q3 = 0,193 selisih = 0,000 q = 0,193

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 6
Butir ai bi Xi
1 0,75 – 2,00 1
2 1,25 0,00 1
3 1,00 1,75 0
Contoh 7
Butir ai bi Xi
1 2,00 0,00 1
2 1,00 – 0,50 0
3 2,50 0,00 1
4 1,50 – 0,50 0
5 2,50 0,50 0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Beberapa Hal pada Estimasi Parameter
Ada sejumlah hal yang perlu diperhatikan pada
estimasi parameter ini
• Parameter kemampuan akan menuju minus atau
plus tak hingga jika semua butir adalah betul atau
semua butir adalah salah
• Pada L3P, apabila responden berkemampuan
tinggi banyak menjawab salah pada butir mudah
atau sebaliknya maka nilai parameter
kemampuan juga menuju ke minus atau plus tak
hingga
• Parameter kemampuan memiliki ciri asimptotik,
artinya, jika butirnya banyak, distribusi parameter
kemampuan menuju ke distribusi probabilitas
normal, sehingga
• Pada taraf keyakinan 1 - a, dapat dibuat estimasi
ˆ - z £ ˆ £ ˆ + z
q s q q s
a q 1
a q
2
1
2

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
B. Estimasi Parameter Butir
1. Parameter yang diestimasi
• Ada tiga besaran yang menentukan parameter
butir. Mereka adalah
I q
a, b, c II
P(q)
III
• Di sini I dan III diketahui sehingga melalui
kebolehjadian maksimum, II diestimasi
• Pada L1P hanya satu parameter (b) yang
diestimasi, pada L2P dua parameter (a dan b)
dan pada L3P tiga parameter (a, b, dan c)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
2. Estimasi Parameter Butir melalui Cara Coba-coba
Sebelum menggunakan rumus untuk melakukan
estiamsi, di sini, estimasi parameter butir dilakukan
dengan cara coba-coba
Contoh 8
Pada model L1P, 9 responden dengan berbagai
parameter kemampuan menjawab satu butir.
Jawaban betul (X = 1) dan jawaban salah (X = 0)
adalah
Responden qg Xg
1 – 1,72 0
2 – 1,13 0
3 – 0,72 0
4 – 0,40 0
5 – 0,10 0
6 0,20 1
7 0,52 1
8 0,92 1
9 1,52 0

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Kebolehjadian L adalah
L = (P0
1Q1
1)(P0
2Q1
2)(P0
3Q1
3)(P0
4Q1
4)(P0
5Q1
5)
(P1
6Q0
6)(P1
7Q0
7)(P1
8Q0
8)(P0
9Q1
9)
= Q1Q2Q3Q4Q5P6P7P8Q9
Dengan D = 1,7, pada model L1P
( ) 1 g b g e b
P q = q
- q - + q -
sehingga
; ( ) 1
1,7( ) 1 1,7( )
1
Q
e
=
+
b
1 72 1
1 1 7 1 72
, ( - , -
)
1
113 1
2 1 7 1 13
, ( - , -
)
1 52 1
, ( , )
( , )
( , )
.
.
.
( , )
b
b
e
Q
e
Q
e
Q
-
+
=
+
- =
+
- =
9 1 7 1 52
1
1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Disusun ke dalam tabel untuk berbagai b
b Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 Lx10-3
–1,5 0,592 0,348 0,210 0,134 0,085 0,947 0,969 0,984 0,005 0,003
–1,0 0,773 0,555 0,383 0,265 0,178 0,885 0,930 0,963 0,014 0,084
–0,5 0,888 0,745 0,592 0,458 0,336 0,767 0,850 0,918 0,031 1,127
0,0 0,949 0,872 0,773 0,664 0,542 0,584 0,708 0,827 0,070 5,525
0,1 0,957 0,890 0,801 0,701 0,584 0,542 0,671 0,801 0,082 6,688
0,2 0,963 0,905 0,827 0,735 0,625 0,500 0,633 0,773 0,096 7,763
0,3 0,969 0,919 0,850 0,767 0,664 0,458 0,592 0,742 0,112 8,645
0,4 0,974 0,931 0,870 0,796 0,701 0,416 0,551 0,708 0,130 9,241
0,5 0,978 0,941 0,888 0,822 0,735 0,375 0,508 0,671 0,150 9,490
0,6 0,981 0,950 0,904 0,846 0,767 0,336 0,466 0,633 0,173 9,373
0,7 0,984 0,957 0,918 0,866 0,796 0,299 0,424 0,592 0,199 8,914
0,8 0,986 0,964 0,930 0,885 0,822 0,265 0,383 0,551 0,227 8,173
0,9 0,989 0,969 0,940 0,901 0,846 0,233 0,344 0,508 0,258 7,236
1,0 0,990 0,974 0,949 0,915 0,866 0,204 0,307 0,466 0,292 6,194
1,5 0,996 0,989 0,978 0,962 0,938 0,099 0,159 0,272 0,492 1,823
2,0 0,998 0,995 0,990 0,983 0,973 0,045 0,075 0,138 0,693 0,300
Kebolehjadian maksimum adalah 9,490.10-3
dengan b di sekitar 0,5

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
3. Perhitungan Kebolehjadian Maksimum
Untuk M responden pada satu butir, kebolehjadian
M
Õ=
- =
L P g Q g
g
Dalam bentuk logaritma naturalis
M
g g g g L X P X Q
ln ln (q ) (1 )ln (q )
Estimasi parameter butir melalui kebolehjadian
maksimum
Untuk parameter b
X
g
X
g
1
1 (q ) (q )
[ ] å=
= + -
g
1
[ ( )] 0
P ( q
)
c
gi i
Da
i X P
( )
ln 0
1
1
- =
-
-
-
=
¶
¶
å=
q
q
gi gi
M
g gi
i
P
c
b
L

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Untuk parameter a
=
¶
M
b P c X P
( q ) ( q ) ( q
)
g i gi i gi gi
D
Untuk parameter c
[ ][ ] 0
1
0
1
=
- - -
-
¶
å=
g gi
i
i
P
c
a
L
( )
ln
q
0
( )
X P
gi gi
( )
ln 0
1
=
1
1
=
-
-
¶
¶
M
å=
g gi
i
i
P
c
c
L
q
q

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
4. Estimasi Parameter Butir melalui Metoda
Pendekatan Newton-Raphson
• Kebolehjadian pada jawaban dikotomi
Xi = 1 untuk jawaban betul
Xi = 0 untuk jawaban salah (dan blanko)
sehingga pada Xi = 1 P(q)Q(q) = P(q)
pada Xi = 0 P(q)Q(q) = Q(q)
dan fungsi kebolehjadian menjadi
M
Õ=
X
- =
1 (q ) (q )
L P g Q g
g
X
g
g
1
Dengan mengenakan logaritma, diperoleh
å=
M
[ ] g g g g L X P X Q
ln = ln (q ) + (1 -
)ln (q )
g
1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L1P, M responden menjawab 1 butir
• Kebolehjadian maksimum dicapai melalui
= 0
d ln L
db
• Estimasi q melalui metoda pendekatan Newton-
Raphson menghasilkan iterasi
d ln
L
db
b bs s = - +
1 2 ln
d L
2
db
Dengan memasukkan model karakteristik butir
(L1P, L2P, atau L3P), maka diperoleh bentuk
iterasi untuk tiap model

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
ln [ ( )]
å
= - -
d L
d L
å
=
=
= -
M
g
g
q
g g
M
g
g
D P Q
db
D X P
db
1
2
2
2
1
ln ( q ). ( q
)
å
[ ( )]
å
=
=
+
X -
P
= - N
i
q
g g
N
i
g g
s s
D P Q
b b
1
1
1
( q ). ( q
)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
5. Prosedur Estimasi Parameter Butir pada Model L1P
• Paramter kemampuan telah diketahui pada metrik
tertentu sehingga hasil estimasi parameter butir
terletak pada metrik itu
• Di ini prosedur ini dilakukan melalui contoh pada
model L1P
Contoh 9
Suatu responden menjawab tiga butir dengan
hasil
Responden qg Xg
1 – 1 1
2 0 0
3 1 1
Estimasi parameter b dari butir itu

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas pada setiap fresponden
b
( , )( )
b
- +
1 7 1
( , )( )
- +
1 7 1
b
,
,
b
b
e
-
1 7
e
-
1 7
( , )( )
b
-
1 7 1
( , )( )
D b
( q
-
)
1
D b
( )
e
-
q
1 1
1
D b
( q
-
)
2
D b
( )
e
q
1 2
1
D b
-
( q
-
)
3
D b
( )
P ( )
e
+
=
1
q
P ( )
e
+
=
2
q
P ( )
e
e
e
+
e
+
e
e
-
-
+
=
=
=
q
1 +
1
=
1 7 1
3
3
q
• Perhitungan ini memerlukan sejumlah data,
mencakup
Titik awal interasi b0 yang ditentukan oleh logit
gagal
Rumus iterasi pada metoda pendekatan Newton-
Raphson untuk L1P
å
X P
[ ( )]
å
=
=
+
-
= - M
g
q
g g
M
g
g g
s
D P Q
b b
1
1
1 0
( q ) ( q
)

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai titik awal
b Q
= ln ( ) = = = -
q
i
0 ln ln ,
bo = – 0,693
0 693
1
2
1
2 3
3
( q
)
i
P
• Perhitungan estimasi memerlukan beberapa besaran,
seperti tampak pada rumus, meliputi
Pg(q)
Qg(q)
Xg – Pg(q)
DPg(q)Qg(q)
Perhitungan dilakukan dalam bentuk tabel untuk
memudahkan perhitungan
Setiap iterasi menghasilkan satu tabel

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 1
Responden 1: q1 = – 1
Dengan b0 = – 0,693
– 1,7 (1 + b0) = – (1,7)(1 – 0,693) = – 0,522
,
-
e
P e
1 ( ) , ,
0 372
0 522
- = -
1 0 522
1
=
+
Q1(– 1) = 1 – P1(– 1) = 1 – 0,372 = 0,628
X1 – P1(– 1) = 1 – 0,372 = 0,628
DP1(– 1)Q1(– 1) = (1,7)(0,372)(0,628) = 0,397

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Responden 2: q2 = 0
Dengan b0 = – 0,693
– 1,7 b0 = – (1,7)( – 0,693) = 1,178
,
P e
2 ( ) , ,
0 765
1 178
=
0 1 178
1
=
+
e
Q2( 0 ) = 1 – P2( 0 ) = 1 – 0,765 = 0,235
X2 – P2( 0 ) = 0 – 0,765 = – 0,765
DP2( 0 )Q2( 0 ) = (1,7)(0,765)(0,235) = 0,306

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Responden 3: q3 = 1
Dengan b0 = – 0,693
1,7 (1 – b0) = (1,7)(1 + 0,693) = 2,878
,
P e
3 ( ) , ,
0 947
2 878
=
1 2 878
1
=
+
e
Q3(1) = 1 – P3(1) = 1 – 0,947 = 0,053
X3 – P3(1) = 1 – 0,947 = 0,053
DP3(1)Q3(1) = (1,7)(0,947)(0,053) = 0,085

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
b0 = – 0,693
Responden Xg Xg – Pg(q) DPg(q)Qg(q)
1 1 0,628 0,397
2 0 – 0,765 0,306
3 1 0,053 0,085
– 0,084 0,788
b1 = b0 – (– 0,084 / 0,788) = – 0,693 + 0,107
= – 0,586
Selisih = |b0 – b1| = |– 0,693 + 0,586| = 0,107

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 2
Responden 1: q1 = – 1
Dengan b1 = – 0,586
– 1,7 (1 + b1) = – (1,7)(1 – 0,586) = – 0,704
,
-
e
P e
1 ( ) , ,
0 331
0 704
- = -
1 0 704
1
=
+
Q1(– 1) = 1 – P1(– 1) = 1 – 0,331 = 0,669
X1 – P1(– 1) = 1 – 0,331 = 0,669
DP1(– 1)Q1(– 1) = (1,7)(0,331)(0,669) = 0,376

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Responden 2: q2 = 0
Dengan b1 = – 0,586
– 1,7 b1 = – (1,7)( – 0,586) = 0,996
,
P e
2 ( ) , ,
0 730
0 996
=
0 0 996
1
=
+
e
Q2( 0 ) = 1 – P2( 0 ) = 1 – 0,730 = 0,270
X2 – P2( 0 ) = 0 – 0,730 = – 0,730
DP2( 0 )Q2( 0 ) = (1,7)(0,730)(0,270) = 0,335

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Responden 3: q3 = 1
Dengan b1 = – 0,586
1,7 (1 – b1) = – (1,7)(1 + 0,586) = 2,696
,
P e
3 ( ) , ,
0 937
2 696
=
1 2 696
1
=
+
e
Q3( 1 ) = 1 – P3( 1 ) = 1 – 0,937 = 0,063
X3 – P3( 1 ) = 1 – 0,937 = 0,063
DP3( 1 )Q3( 1 ) = (1,7)(0,937)(0,063) = 0,100

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi kedua
b1 = – 0,586
1 1 0,669 0,376
2 0 – 0,730 0,335
3 1 0,063 0,100
0,002 0,811
b2 = b1 – ( 0,002 / 0,811) = – 0,586 – 0,002
= – 0,588
Selisih = |b1 – b2| = |– 0,586 + 0,588| = 0,002
Selisih sudah cukup kecil, iterasi dihentikan
b = – 0,588 ≈ – 0,59

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
• Rekapitulasi
b0 = – 0,693
1 1 0,628 0,397
2 0 – 0,765 0,306
3 1 0,053 0,085
– 0,084 0,788
b1 = – 0,586 selisih = 0,107
b1 = – 0,586
Responden Xg [Xg – Pg(q) DPg(q)Qg(q)
1 1 0,669 0,376
2 0 – 0,730 0,335
3 1 0,063 0,100
0,002 0,811
b2 = – 0,588 selisih = 0,002
b = – 0,59

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 10
Tiga responden menjawab satu butir dengan
hasil
Responden qg Xg
1 – 1 0
2 0 0
3 1 1
Contoh 11
Tiga responden menjawab satu butir dengan
hasil
Responden qg Xg
1 – 2,00 0
2 0,00 1
3 1,75 1

------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
6. Prossedur Estimasi Parameter Butir pada Model
L2P dan L3P
• Estimasi parameter butir model L2P melibatkan 2
parameter butir
• Untuk N butir, ada 2N parameter butir yang perlu
diestimsi
• Estimasi parameter butir model L3P melibatkan 3
parameter butir
• Untuk N butir ada 3N parameter butir yang perlu
diestimasi
• Prosedur estimasi menjadi cukup rumit sehingga
sebaiknya dilakukan melalui program komputer

Psikometri Bab a22

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

Plus de Universitas Negeri Makassar

Plus de Universitas Negeri Makassar (20)

Dernier

Dernier (20)

Psikometri Bab a22