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Apostila pre calculo

apostila para ingressantes em engenharia

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Apostila pre calculo

  1. 1. UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Cornélio Procópio Diretoria de Graduação e Educação Profissional Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática ENGENHARIAS APOSTILA DE PRÉ-CÁLCULO PARA OS ALUNOS INGRESSANTES NOS CURSOS DE ENGENHARIA Prof. Me. Armando Paulo da Silva Profª. Me. Gabriela Castro S. Cavalheiro CORNÉLIO PROCÓPIO 2012
  2. 2. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro 1 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS O desenvolvimento científico e tecnológico do homem nos últimos séculos, é uma consequência natural da descoberta da contagem (forma de expressar os números). Mesmo desconhecendo a ideia de coleção, o homem primitivo já usava a ideia de números, para determinar “quantos” animais possuía, “quantas” pessoas viviam na tribo, etc.. Assim, pela necessidade de contagem, surgiu o primeiro conjunto numérico, denominado conjunto dos números naturais. a) Conjunto dos Números Naturais: Quando contamos os elementos de um conjunto, o resultado é número natural. N = { 0, 1, 2, 3, .....} Do conjunto N, obtemos o subconjunto N* : N* = { 1, 2, 3, 4, ...} De modo geral, o asterisco indica que o zero foi excluído do conjunto mencionado. b) Conjunto dos Números Inteiros: A necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro é menor que o segundo, deu origem aos números inteiros. Z = { ....  3,  2, 1, 0 , 1, 2, 3, ....} SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z : a) Conjunto dos inteiros não- nulos. Z* = {...3, 2, 1, 1, 2, 3, ...} b) Conjunto dos inteiros não- negativos. Z+ = { 0 , 1, 2, 3, 4, ....} c) Conjunto dos inteiros não-positivos. Z  = { ...., 4,  3,  2, 1, 0} d) Conjunto dos inteiros positivos. * Z = { 1, 2, 3, 4, 5, ....} e) Conjunto dos inteiros negativos. * Z  = {...., 4,  3,  2, 1} O conjunto N também é um subconjunto de Z, pois N = Z+ = { 0 , 1, 2, 3, 4, ....}. c) Conjunto dos Números Racionais: A necessidade de calcular o quociente entre dois números naturais quaisquer a e b ( 0b  ) deu origem aos números fracionários. Q =        *ZqeZpqueem, q p x/x Assim: a) Todo número natural é racional. Exemplo: ..... 2 6 1 3 3  b) Todo número inteiro é racional Exemplo: ..... 2 8 1 4 4      c) Toda dízima periódica é racional. Exemplos: 0,333.. .= 3 1 2,555... = 9 23 d) Todo número decimal exato é racional. Exemplos: 0,5 = .... 4 2 2 1  2,43 = ... 200 486 100 243     Portanto, os conjuntos dos números naturais e dos inteiros são subconjuntos dos números racionais. d) Conjunto dos Irracionais: Toda raiz não- exata, bem como todo número decimal não-exato e não-periódico é um número Irracional (Q’) Exemplos: a) ....414213,12  b) .....141592,3 c) e = 2, 71828..... d) ....154434,2103  Observamos que tais números, não podem ser escritos na forma de fração.
  3. 3. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 2 e) Conjunto dos números Reais: Chamamos número real todo nº Racional ou Irracional, ou seja, o conjunto dos nºs reais ( R) é a reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais ( 'Q ), isto é: R=Q  'Q . É óbvio que: QZN  e 'Q   . Graficamente, temos: Obs. Um número não é real quando ocorrem dois casos: a) divisão por zero; b) raiz de índice par e radicando negativo. 1.1 INTERVALOS REAIS Intervalos Limitados (os dois extremos do intervalo são finitos) a) fechados : na reta: 3 7 colchetes: [ 3 , 7 ] desigualdades:  7x3/x  b) abertos: na reta: 3 7 colchetes: ] 3 , 7 [ ou  7,3 desigualdades:  7x3/x  c) mistos: na reta: 3 7 colchetes: [ 3 , 7 [ ou  7,3 desigualdades:  7x3/x  na reta: 3 7 colchetes: ] 3 , 7 ] ou  7,3 desigualdades:  7x3/x  Intervalo Ilimitado: (quando pelo menos um dos extremos não é finito) a) na reta: 7 colchetes: [,7[  ou  +,7  desigualdades:  7x/x  b) na reta: 3 colchetes:    ,-3-ou3,  desigualdades:  3x/x  c) na reta: 3 8 colchetes: [,8[[3,]  desigualdades:  8xou3x/x  N 2. Z 1. Q 'Q R Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  4. 4. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 3 1.2 OPERAÇÕES COM INTERVALOS 1.2.1 Intersecção: Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se BA  o conjunto formado pelos elementos x tal que x  A e x  B. Em símbolos:  BxeAx/xBA  Exemplos Resolva as seguintes operações                    +,23,)e 8x4/x4x/x)d 3,22,2)c 2,4,1)b 8,35,2)a      1.2.2 União: Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se BA  o conjunto formado pelos elementos x tal que x  A ou x  B. Em símbolos:  BxouAx/xBA  Exemplos Resolva as seguintes operações                  2,13,)e 8x4/x4x/x)d 5, 2 3 2,2)c 2,4,1)b 8,35,2)a            1.2.3 Diferença: Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se AB o conjunto formado pelos elementos x tal que x  A e x  B. Em símbolos: }BxeAx/Sx{BA  . O evento diferença é formado pelos pontos amostrais que pertencem unicamente a A Obs.: Note que A  B  B  A. Exemplos Seja A = ]3,( e B = ),1[  , determine A  B. Exercícios 1. Construa um diagrama contendo os conjuntos N, Z, Q, Q* e  e cite os seguintes números: 3,123; 2 4 4,123....;2,1313...;0;;3; 8 3 ;4;2 3 2. Represente cada intervalo na reta real e represente na notação de desigualdades:        5,5e) 3,+-d) ]2,])c 5,2b) 1,4)a     3. Represente cada conjunto numérico com a notação de intervalos, e na reta real:        3x0/xd)4x3/xc) 2x/xb)4x/x)a   SA B Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  5. 5. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 4 4. Dados os intervalos: A=[ 3, 2 ]; B=]1, 1 ]; C=[2,4] e D=]0,3[ , efetue as seguintes operações:    DCBAe)C)BA(d) DAc)CAb)CB)a   5. Considerando os seguintes intervalos:        2,2=De3,0C +,3Be2,A   efetue as operações: )DC()CB)(dC)BA)(c CBb)BA)a   6. Efetue as seguintes operações:               2, 2 9 ,1)e ,02,)d 3 4 ,0 5 2 ,1c) 3,12,0)b 3,12,0)a                        Respostas 4.    2,2)b 1,1)a        3,1)e 2,2)d 0,3)c    5.        3,0)d3,0)c 0,3)b2,3)a  6.        2,0)5/2,0) 2,1)2,1) dc ba  2,1)e  2. NÚMEROS RACIONAIS Chamamos de número racional a todo número que pode ser representado na forma b a ( fração com a e b inteiros e b  0). Exemplos 8; 100 17 ;0;2; 3 5 ; 3 4  Verificamos que os números naturais e inteiros, pertencem ao conjunto dos números racionais. 2.1 FRAÇÕES EQUIVALENTES A possibilidade de representar qualquer fração por outra equivalente permite-nos facilitar os cálculos necessários. As frações 8 4 e 6 3 ; 4 2 ; 2 1 representam a mesma quantidade do todo referência. Elas são equivalentes, e podemos escrever: 8 4 6 3 4 2 2 1  Quando duas frações são equivalentes, os seus termos estão relacionados pela multiplicação ou pela divisão. Exemplos      2 12 8 6 4 ) 5pordividimos 2 1 10 5 )b 4 8 4 2 1 ) pormosmultiplicac pormosmultiplicaa    2.2 O INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL Consideremos os números 4 1 e 3 2 ;5;2   Seus respectivos inversos são: 4 1 deinversooé4 3 2-deinversooé 2 3 5-deinversooé 5 1 2,deinversooé 2 1   Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  6. 6. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 5 2.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Para somar ou subtrair frações, é preciso que elas possuam o mesmo denominador. Se as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Se as frações possuem denominadores diferentes, primeiramente devemos reduzi-las ao mesmo denominador, usando para isso, a regra prática do m.m.c. Exemplos 60 73 60 124540 5 1 4 3 3 2 )a    2.4 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES O produto de duas ou mais frações é uma nova fração onde: i) o numerador é o produto dos numeradores ii) o denominador é o produto dos denominadores Entretanto, devemos atenção às regras de sinais: Lembrando: Exemplos Efetue as operações:                       10 2 8 3 . 5 4 ) 7 2 . 4 3 ) 3 1 . 4 1 ) c b a 2.5 DIVISÃO DE FRAÇÕES Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda fração Exemplos            45 10 9 )d 2 9 1 )c 12 5 8 3 )b 5 4 5 2 )a    2 1 4)e 3. NÚMEROS DECIMAIS No século XVI, na Europa ocidental, surgiu uma nova maneira de fazer cálculos sem precisar usar frações. Era um jeito mais rápido e simples que os mercadores ambulantes encontraram para contar. Hoje utilizamos essa notação em diversos momentos do nosso dia-a- dia. Exemplos a) o preço de um abacaxi: R$1,79 a unidade b) a extensão do rio amazonas é superior à 6,5 mil quilômetros. Esses números, em cuja representação aparece uma vírgula, indicam as frações na forma decimal. Por isso eles são conhecidos como números decimais. Os Algarismos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira , e os que estão à direita, constituem a parte decimal . 1,23 parte inteira do número 3.1 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO PARA DECIMAL Para se escrever uma fração decimal sob forma de numeração decimal, escreve-se o seu numerador e separa-se com uma vírgula (a partir da direita), tantos algarismos quantos são os zeros do denominador. Exemplos milésimos)5einteiros8(005,8 1.000 8.005 milésimos)décimos29(0029,0 1.0000 29 )centésimos58einteiros32(58,32 100 258.3      )).(()).(( )).(()).(( 2 décimos 3 centésimos Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  7. 7. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 6 3.2 TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL PARA FRAÇÃO Um número decimal é igual a fração que se obtém, escrevendo para numerador o número sem a vírgula e para denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal. Exemplos 19 25 1 1,9 0,25 10 100 4 1 0,001 1000     3.3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL O número decimal não altera seu valor quando se acrescentam ou se suprimem zeros à direita do seu último algarismo significativo. Por exemplo: 2,7 = 2,70 = 2,700 = 2,7000 = . . . 3.4 POTÊNCIAS DE 10 Para facilitar a escrita de números que contém muitos algarismos, dos quais grande parte deles são zeros, podemos usar as potências de 10. Exemplos a) 1 bilhão = 1 000 000 000 = 109 b) 1 centésimo de milésimo = 0,00001= 510 510 1 0000.10 1  c) 1000= d) 0,001= e) 0,01 = f) O diâmetro do sol é de aproximadamente 1 390 000 km. Este número pode ser escrito mais simplificado como mostramos a seguir: 1 390 000 = 139*10 000 = 139*104 Exemplos Escreva os números que aparecem abaixo usando potências de 10 a) a velocidade da luz é de, aproximadamente, 300 000 000 m/s. b) há vírus cuja espessura é de, aproximadamente, 0,0006mm. c) a população da China em 2001 era de, aproximadamente, 1300000000 de habitantes. d) o raio de um átomo é de, aproximadamente, 0,00000000005 mm . e) 5,6 milhões de panfletos de imóveis são distribuídos por fim de semana. f) 6,2 bilhões 3.5 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Cientistas, astrônomos, biólogos, químicos e outros profissionais, costumas trabalhar com números muito “grandes” ou muito“ pequenos”, isto é, com muitos algarismos. Para tornar essa escrita mais simples, foi criada a notação científica, que usa as potências de 10. CARACTERÍSTICAS Um número escrito na notação científica deve ter as seguintes características:  Deve ser escrito como um produto de dois fatores;  Um dos fatores deve ser um número entre 1 e 10  O outro fator deve ser uma potência de 10 Observe estes números escritos em notação científica: Exemplos a) Plutão é o planeta que fica mais distante do Sol, e a distância média entre eles é de 5 910 000 000 km. Em notação científica temos: 5,91 * 109 b) Uma molécula chega a ter um diâmetro de 0,0000018 mm. Em notação científica temos: 1,8*10-6 Exemplos Escreva os números abaixo em notação científica: a) diâmetro do Sol: 1 390 000 km b) comprimento de uma célula do olho: 0,0045cm Exemplos Escreva os números abaixo em escrita decimal comum a) 1,23 * 104 b)1,75 * 10-3 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  8. 8. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 7 Exercícios 1. Calcule: 9 5 )a de 18 5 4 )b de R$ 135,00 8 1 )c de 576 11 2 )d de 121 100 3 )e de R$ 4.000,00 6 5 )f de 96 2. Efetue as seguintes operações 3 2 7 3 1)d 3 2 5 3 2)c 5 1 . 4 3 2 3 )b 2 1 . 3 2 4 3 )a         5 2 . 6 5 )h 2 4 3 )g 6 5 3 2 2 1 )f 3 1 7 3 )e                                          6 1 9 2 3 1 )j2 3 2 1)i 3 2 2 1 )l 4 1 10 3 )k                                                             2 1 . 2 1 4 3 )p 5 1 12)o 5 2 8 3 )n 5 2 1 )m 3. Escreva os números abaixo em notação científica: a) 49000 000 000 b) 0,00000607 c) 9 000 000 d) 0,00001 e) 10 000 000 000 000 f) 0, 00007 g) 0, 0000018 h) 5 910 000 000 4. Escreva os números abaixo em forma de escrita decimal comum     810*5,1)d 510*25,4)c 610*3,3)b 810*5,1)a 5. O diâmetro de um grão de areia varia entre 0,0006 m e 0,0021 m. Escreva estes números em notação científica. 6. Efetue os cálculos abaixo e coloque o resultado em notação científica                                         310*5710*965,2)d 310*2,3*310*1,5)c 210*2,1310*6,3)b 110*5*310*7,3)a Respostas 1. a) 10 b) 108 c) 72 d) 22 e) 120 f) 80 2. a)5/12 b)2/5 c) 11/15 d)7/2 e)-2/21 f)-1/3 g)9/16 h)-1/3 i)5/6 j)6 k)-11/20 l)1/64 m)-1/32 n)-15/16 o)-4/5 p)-1/2 3. a) 4,9 * 1010 b)6,07 * 10-6 c) 9 * 10 6 d)1 * 10-5 e) 1 * 1013 f) 7 * 10 -5 g) 1,8* 10 – 6 h) 5,91 * 10 9 4. a)150 000 000 b) 0,0000033 c)425 000 5. 6*10-4 e 2,1 * 10 –3 6. 3)1,85 *10 )3 *10 9)1,632 *10 )5,93 *10 a b c d Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  9. 9. 4.1 Reta real Os n´umeros reais podem ser representados pelo sistema de coordenadas chamado reta real (ou eixo x) como mostra a figura 1. Figura 1: Reta real • O sentido positivo (para a direita) mostra o sentido dos valores crescentes de x. J´a o sentido negativo (para a esquerda) mostra o sentido dos valores decrescentes de x; • O n´umero real que corresponde a um determinado ponto na reta ´e chamado de coorde- nada do ponto .• O ponto da reta real que corresponde ao zero ´e chamado de origem .• Os n´umeros `a direita da origem s˜ao positivos e os n´umeros `a esquerda da origem s˜ao negativos. A reta real ´e importante porque fornece uma representa¸c˜ao conceitualmente perfeita dos n´umeros reais. Cada ponto na reta real corresponde a um, e somente a um, n´umero real e vice-versa chamado correspondˆencia biun´ıvoca como mostra a figura 2. 4. RETA REAL E ORDEM Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 8 Figura 2: Cada ponto na reta real corresponde a um, e somente a um, n´umero real Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  10. 10. 4.2 Ordem e intervalos na reta real Uma propriedade importante dos n´umeros reais ´e que eles s˜ao ordenados: O n´umero 0 ´e menor que 1, −3 ´e menor que −2, 5, etc. Indicamos a < b ⇔ a estiver `a esquerda de b na reta real. Exemplo 1:3 4 < 1 como mostra a figura 3. Figura 3: Gr´afico Se trˆes n´umeros reais a, x e b est˜ao ordenadas de modo que a < x e x < b, diz-se que x est´a entre a e b e escreve-se: a < x < b. O conjunto de todos os n´umeros reais entre a e b ´e chamado de Intervalo aberto entre a e b e denotado por (a, b). OBS: Neste caso as extremidades n˜ao est˜ao contidos no intervalo. Os intervalos que incluem as extremidades s˜ao chamados de fechados e denotados por [a, b]. Intervalos da forma [a, b) e (a, b] n˜ao s˜ao fechados e nem abertos. A figura 4 mostra os nove tipos de intervalos na reta real. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 9 Figura 4: Intervalos na reta real Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  11. 11. 5. Valor absoluto e distˆancia na reta real 5.1 Valor absoluto de um n´umero real Defini¸c˜ao: O valor absoluto de um n´umero real a ´e: |a| =    a, se ;a ≥ 0 −a, se a < 0 Pela defini¸c˜ao vemos que o valor absoluto de a ∈ R n˜ao pode ser negativo. Exemplo 2:|a| = | − 3| = −(−3) = 3 Propriedades: (a) |ab| = |a|.|b|; (b) a b = |a| |b| , b = 0; (c) |an | = |a|n ; (d) √ a2 = |a|. Exemplo 3:Se a = 2 ⇒ √ 22 = √ 4 = 2 , mas se a = −2 ⇒ (−2)2 = √ 4 = 2 . 5.2 Distˆancia na reta real Considere dois pontos distintos na reta real como mostra a figura 5 Figura 5: Distˆancia entre dois pontos Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 10 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  12. 12. • A distˆancia orientada de a at´e b ´e b − a; • A distˆancia orientada de b at´e a ´e a − b; • A distˆancia entre a e b ´e |a − b| ou |b − a|; Observando a figura 5 vemos que a distˆancia entre dois pontos na reta real nunca pode ser negativa. A distˆancia d entre dois pontos x1 e x2 na reta real ´e dada por d = |x2 − x1| = (x2 − x1)2 ou seja, |x2 − x1| = |x1 − x2|pois(x2 − x1)2 = (x1 − x2)2 . Exemplo 4: A distˆancia entre −3 e 4 na reta real ´e dada por | − 3 − 4| = | − 7| = 7 ou |4 − (−3)| = |7| = 7 como mostra a figura 6 Figura 6: Distˆancia de −3 at´e 4 A distˆancia orientada de −3 a 4 ´e 4 − (−3) = 7. A distˆancia orientada de 4 at´e −3 ´e −3 − 4 = −7. 5.3 Intervalos definidos por valores absolutos Para entendermos melhor a defini¸c˜ao de um intervalo na reta analisaremos o seguinte exem- plo: Exemplo 5:Determine o intervalo da reta real que cont´em todos os n´umeros que est˜ao at´e duas unidades de 3. Solu¸c˜ao: Seja x um ponto neste intervalo. ´E preciso determinar todos os x de modo que a distˆancia entre x e 3 seja menor ou igual a 2, ou seja |x − 3| ≤ 2 ou seja x − 3 deve estar entre −2 e 2. Logo escrevemos Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio . 11 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  13. 13. −2 ≤ x − 3 ≤ 2 −2 + 3 ≤ x − 3 + 3 ≤ 2 + 3 1 ≤ x ≤ 5 Logo o intervalo [1, 5] como mostra a figura 7 Figura 7: Intervalo Dois tipos b´asico de inequa¸c˜oes que envolvem valores absolutos: Suponha a, d ∈ R em que d > 0. • |x − a| ≤ d ⇔ a − d ≤ x ≤ a + d. As interpreta¸c˜oes e os gr´aficos respectivos dos ´ıtens acima s˜ao analisados da figura 8 Figura 8: An´alise dos intervalos 5.4 Exerc´ıcios 1. Nos exerc´ıcios abaixo, determine (a) a distˆancia orientada de a at´e b; (b) a distˆancia orientada de b at´e a; e (c) a distˆancia entre a e b. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio . 12 • |x − a| ≥ d ⇔ x ≤ a − d ou a + d ≤ x. Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  14. 14. (a) a = 126, b = 75 (b) a = 9, 34, b = −5, 65 (c) a = 16 3 , b = 112 75 (d) a = −126, b = −75 (e) a = −2, 05, b = 4, 25 (f) a = −18 5 , b = 61 15 2. Nos exerc´ıcios, utilize valores absolutos para descrever o intervalo dado (ou par de inter- valos) na reta real. (a) [−2, 2] (b) (−∞, −2) ∪ (2, ∞) (c) [2, 8] (d) (−∞, 0) ∪ (4, ∞) (e) Todos os n´umeros a menos de trˆes uni- dades de 5 (f) Todos os n´umeros acima de cinco uni- dades de 2 (g) y est´a no m´aximo a duas unidades de a (h) y est´a a menos de h unidades de c. (i) (−3, 3) (b) (−∞, −3) ∪ (3, ∞) (c) (−7, −1) (d) (−∞, 20) ∪ (24, ∞) 3. Nos Exerc´ıcios, resolva a inequa¸c˜ao e fa¸ca o esbo¸co da solu¸c˜ao na reta real. (a) |x| < 4 (b) |x 2 | > 3 (c) |x − 5| < 2 (d) |x−3 2 | ≥ 5 (e) |10 − x| > 4 (f) |9 − 2x| < 1 (g) |x − a| ≤ b, b > 0 (h) |3x−a 4 | < 2b, b > 0 (i) |2x| < 6 (j) |3x| > 12 (k) |3x + 1| ≥ 4 (l) |2x + 1| < 5 (m) |25 − x| ≥ 20 (n) |1 − 2x 3 | < 1 (o) |2x − a| ≥ b, b > 0 (p) |a − 5x 2 | > b, b > 0. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 13 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  15. 15. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 14 6. EXPRESSÕES RACIONAIS E RADICAIS Exercícios: 1) Reduza a termos de menor grau: 2 3 3 2 25 8 3 ( ) ) b) ) 225 9 x x x a x h x a c x a hx       4 4 3 2 1 ) e) 4 2 2 4 3 22 3 3 1 3 3( ) f) x y x x x d x x y y x x x x h x h            1 2 2: ) b) )2 5 3 2 2 2 1 2 2) e) f)3 3 2 2 2 2 1 x R a x ax a c x h x x y x d x xh h x y x x             2) Explique por que todo polinômio é também uma expressão racional R: Uma expressão racional é aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinômios. Todo polinômio P pode ser escrito como P/1, sendo que o numerador e o denominador são polinômios; portanto, todo polinômio é igualmente uma expressão racional. 3) Faça as operações indicadas: 2 3 27 12 6 9 ) . 2 3 29 4 2( 3) ( 3) x x x x x a x x x x R x x          2 24 2 2) :( 3 2 ) 22 1 ( ) x y b x xy y xy y R y x y       1 1 ) R ( ) h c x h x x x h      2 3 4 2 1 ) R 21 1 11 x d x x xx        1 3 3 ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1) 1 R ( 1)( 1) e x x x x x x x x            5 3 1 ) 22 2 4 3 27 5 36 12 R 4 16 x f x x x x x x x            3 1 2 5 ) 2 2 2( 4) 4 3 22 5 11 21 R 2 2( 4) x x g x x x x x x           2 5 42)( 3 2). 3 26 8 2 2 1 x x h x x x x x x x R x              4) Escreva cada fração complexas na forma de fração simples com termos de menor grau: 2 2 2 ) R 2 3 x y y xy a y y    11 1) R 1 1 x x x xb x x x x x        2 3 23 42) R 4 2( 2)(4 ) x xxc x xx x       1 1 1 ) Rx ad x a ax     Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  16. 16. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 15 5) Simplifique: 2 4 3 5)3( 3) (2 1) 8( 3) (2 1) 2( 3) (2 27) 5(2 1) a x x x x x x R x            2 2( ) 2 ) R 2 2( ) x h x x h b h x x h        6) Escreva na notação mais simples para forma radical: 3 4 5 2 2) 20 R 2 5a x y z xy z xz 33 5 6 2 2) 108 ( ) R 3 ( ) 4b x x y x x y x   153 ) R= 5 5 xyx c y y 3 24 62 3) R 2 39 x xy zx d yzyz  4 6 7 8 24 2 3) 48 R 2 3e x y z xyz x y 4 2 32 3015 4) R 7 28 2 x yzx f y z y z  7) Racionalize o denominador: 32 23 2 4 ) R 23 32 x y x yx y a xy  ) R 11 x x x b xx    2 ) R x h x xh h c x hx h      2 216 ) R ( 4 )( 2 ) 2 x y d x y x y x y      1 ) R a b e a ba b    2 3 2 ) R 11 x x x f xx      8) Racionalize o numerador: ) R 1 x x a x x x    ) R 2 x h x h b x h x xh h       1 ) R x h x c h x h x      1 1 1 ) R 1 1 x a d x a x a         3 3 1 ) R 3 32 23 x a e x a x xa a      1 1 ) 1 R ( x h xf h x x h x x h        9) Escreva em notação exponencial: 3 1 2 3 2) Ra xy x y 3 2 5 2 3 1 3 5 3) ( ) R ( )b a b x y a b x y   10) Escreva como uma soma ou diferença de termos em notação exponencial: 1 1 2 1 2) R x a x x x    3 26 3 1 ) 3 56 1 1 14 3 1 3 2 3 5 3 6 2 6 x x x b x R x x x x         11) Escreva como uma única fração de termos de menor grau possível. Não racionalize os denominadores. 2 ) 2 R 2 2 x a x x x      Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  17. 17. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 16 2 2 1 2 1) 2 1 1 2 3 2( 1) x x xb x R x       2 2 1 2 2( 9) 9 ) 2 9 2 2 1 2( 9) x x x c x R x x       12 1 3 2 2 3( 9) 3 (4 )( )( 9) (2 ) 3) 2 1 3 2[( 9) ] 2 81 2 4 33( 9) x x x x d x x R x        12) Sejam 4 7 e w 6 5z i i     dois números complexos. Calcule: ) 2 2 ) 10 12 ) . 11 62 59 22 ) 65 2) 18 64 a z w i b w z i c w z i w i d z e w iz i                 7. EXPOENTES 7.1.Expoentes naturais: são definidos por: . (n fatores de )n x x x x x Exemplos ) . . . .a x x x x x 4 3 )5 5 . . . . . . .b x yz x x x x y z z z 3 3 )5 3(2 ) 5 . . . 3.(2 ).(2 ).(2 ) c a b ab a a a b ab ab ab     7.2.Expoente zero: 0 * 1 ( )x x   . 0 0 não é definido. 7.3. Expoentes inteiros negativos: são definidos por: *1 ( )n n x x x     * 0 (não é definido )n n   Exemplos 5 5 1 )a x x   3 3 4 )4b y y   3 3 1 1 )5 1255 c    2 2 1 1 ) 4 164 d       7.4. Expoentes racionais: 1/ n x , a raiz n-ésima de x, é definida, sendo n um inteiro maior que 1, como se segue: Se n é ímpar, 1/ n x é o único número real y que elevado à potência n é igual a x. Se n é par, então, Se 1/ 0, n x x é o número real positivo y que elevado à potência n é igual a x; Se 1/ 0, 0n x x  ; Se 1/ 0, n x x não é um número real. Exemplos 1/3 )8 2a  1/3 )( 8) 2b    1/3 ) 8 2c    1/ 4 )16 2d  1/ 4 )( 16) não é um número reald  1/ 4 ) 16 = 2e   Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  18. 18. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 17 m nx é definido por: 1 ( ) m mn nx x , Desde que 1 nx seja real. / / 1m n m n x x   Exemplos 2/3 1/3 2 2)125 (125 ) 5 125  a 1 1 1 14/3)8 4/3 1/3 4 4 168 (8 ) 2     b (50.000.000)(0,0000000006) ) 3(20.000) 7 10(5x10 )(6x10 ) 4 3(2x10 ) 330x10 153,75x10 128x10        c 5 6)( 64) não é um número reald   7.5. Propriedades para expoentes: Para a e b números racionais e x e y números reais (evitando raízes pares de números negativos e divisão por zero): . :a b a b a b a b x x x x x x    ( . ) . : 1/a a a a b b a x y x y x x x    . ( ) ( : ) :a b a b a a a x x x y x y  ( : ) (y: ) : y :    m m n m m n x y x x y x Observação: /1/ se é ímpar ou se é par e não é negativo n n x x n n x  /1/ se é par e não é negativon n x x n x Exemplos Para x qualquer: 2 1/ 2 )( )a x x 3 1/3 )( )b x x 4 1/ 2 2 2 )( )c x x x  6 1/ 2 3 )( )d x x Exercícios de fixação 1) Fatore: 3 3 4 4 3 4 )4(3 2) 3( 5) 3( 5) (3 2) 3(3 2) ( 5) ( +18) a x x x x R x x x             3 2/3 2 5/3 2 2/3 )5 (3 1) 3 (3 1) (3 1) (14 3) b x x x x R x x x       2) Simplifique: 2 ) R= p q q p q x a x x   1 2 1 2 4 )( ) ( ) R=p p p b x x x  2 1/n ) R= mn m n n x b x x          3) Simplifique sem considerar que as variáveis das bases são positivas: 4 1/4 )( ) R=a x x 2 4 6 1/2 2 3 )( y z ) R=y zb x x 3 6 9 1/3 2 3 )( y z ) R=xyc x z 2 1/2 )[ ( ) ] R=d x x h x x h  4)Escreva em notação científica: a)a velocidade da luz é 186.000 milhas/segundo b)o número de segundos em um ano. c)a distância que a luz percorre em um ano. 5) Simplifique: 2/3 3/ 4 5/3 1/ 2 3 17/3 9/ 4 )3 (2 ) 24 y a x y x y R x Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  19. 19. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 18 2 2/3 2/3 3/ 4 3 11/12 23/9 (8 ) 2 ) 2( ) x y b R x y x y  2/3 2 8/3 5/3 2/3 ) ( 3) 3 c x x x R x x x      1/ 2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 2 )( ) R 2 d x y x x y y     1/3 1/3 2 2/3 1/3 1/3 2/3 )( ) R 2 d x y x x y y     Exercícios de fixação Nos Exercícios de 1 a 8 as bases são assumidas como positivas, a menos que seja dito o contrário. 1)Simplifique: 2 3 4 3 2 14 9)2(3 ) ( ) 54a x y x y R x y 5 3 2 7(4 ) 8 ) 4 3 62( ) x y x b R xy y  2)Simplifique e escreva com expoentes positivos: 2 3 1 ) 3 3 6 x y a R x y xy   2 3 2 8 22 3 4 4 ( ) ) ( ) x y b R x y x y     2 2 2 4 2 2 4 1 )( ) 2 c x y R x x y y      10 5 2 4 3 12 125 )(3 ) (5 ) 9 x d x y R y     2 2 2 4 2 2 4 1 2 1 )( )c x y R x x y y       3 4 6 3 5 3 3 64 )( ) 4 t u t f R t u u   3) Simplifique: 1/ 2 1/3 5/6 )a x x R x 2/3 5/8 1/ 24 ) :b x R x 4 4 1/ 2 2 2 )( ) 1/ yc x y R x  4 4 1/ 2 4 4 )( ) 1/ +yd x y R x   4) Fatore: 4 2 2 2 ) 3 +2 ( +1)( +2)a x x R x x      2/3 1/3 1/3 1/3 ) 6 ( 3)( 2)b x x R x x     11/3 8/3 5/3 5/3 ) 7 12 ( 3)( 4) c x x x R x x x      2 3 3 )( 2) ( 2) ( 2) ( 3)d x x R x x         5 3 6 4 5 4 )6 3 3 (2 )e x y x y R x y y x      5) Simplifique: 0 0 0 ) ( ) 3a x y x y R    20 5 10 5 3 16 8 9 ) 3 64 x y x b R x y y           3/52 4 7 6 3 6 32 8 ) x y c R x y x y         6) Faça as operações indicadas: 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 )( )( )a x y x y R x y    1/3 1/3 1/3 1/3 2/3 2/3 )( )( )b x y x y R x y     1/3 1/3 2/3 1/3 1/3 2/3 )( )( )c x y x x y y R x y      2/3 2/3 3 2 4/3 2/3 2/3 4/3 2 )( ) 3 3 d x y R x x y x y y      7) Coloque em evidência os fatores comuns: 8 7 7 8 8 8 ) ( )a x y x y R x y y x         5/3 3 2/3 2 5/3 2 ) ( )b x y x y R x y y x      ) R= ( 1)p q p p q c x x x x   Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  20. 20. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 19 2 3/ 2 1/3)4( 4) (3 5) + 4/3 2 1/ 2(3 5) ( 4) 3 1/3 2 1/ 2 2R=(3 5) ( 4) (13 15 16) d x x x x x x x x x          8) Coloque em evidência os fatores comuns: 5 4 3 5 2 ) 2 2 (1 2 2 )a x x x R x x x         2 2 3/ 2 3 2 1/ 2)6 ( 1) + ( 1) (6 ) 2 2 1/ 2 26 ( 1) (2 1) b x x x x x R x x x      9) Calcule: 1/ 2 1/ 2)25 16 1/ 20a R    1/ 2)(25 16) 1/3b R  3/ 4 3/ 4 )16 16 65/8c R   10) Simplifique e escreva em notação científica: 3 12 10)(7,2x10 )(5x10 ) 3,6x10a R  3 12 15)(7,2x10 ):(5x10 ) 1,44x10b R  5 3 3(3x10 )(6x10 ) 10) 8x10 12 2(9x10 ) c R     11) Há aproximadamente 23 6,01x10 átomos de Hidrogênio em um grama. Calcule a massa aproximada, em grama de um átomo de Hidrogênio. 24 1,67x10R grama  8. POLINÔMIOS 8.1 Introdução Polinômios são funções cuja forma geral obedece à expressão: 0x0a1x1a2x2a..1nx1nanxna)x(P   onde n  , 0121nn a,a,a.....,,a,a  são os coeficientes e x é a variável. Exemplos de Polinômios: t20t5t2)t(P)d 6x2)x(P)c 1x2x3x)x(Pb) x20x15x5)x(P)a 53 34 56     Contra – exemplos: xx4b)P(x) 3 x 1 x)x(P)a 1    8.2 Grau de um Polinômio Seja P(x) um polinômio não nulo. Chamamos de grau do polinômio e indicamos por GR(P) o maior expoente de x tal que o coeficiente do termo onde este expoente aparece seja diferente de zero. Obs. P(x) = 0, não se define o grau do polinômio. Exemplos: Em função das variáveis K, m ou n, determine o grau dos seguintes polinômios: 7x2x3kx)x(P)a 23  Resolução: 2serápolinômiodograuo,0kSe 3,serápolinômiodograuo,0kSe   4x5nxkx)x(P)b 23  Resolução: 1serápolinômiodograuo,0ne0kSe 2.serápolinômiodograuo,0ne0kSe 3,serápolinômiodograuo,0kSe    Não são polinômios pois n não pertence aos naturais Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  21. 21. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 20 8x)2p(x)3m(nxkx)x(P)c 234  Resolução: 1serápol.dograuo2pe3m0,n0,kSe 2serápol.dograuo3me0n,0kSe 3serápolinômiodograuo0,ne0kSe 4,serápolinômiodograuo,0kSe     8.3. Polinômio Nulo ou Identicamente Nulo Quando todos os coeficientes de um polinômio são iguais a zero, dizemos que este polinômio é nulo. 0ae0a,...,0a,0a0)x(P 011nn   Notação: 0)x(P  Exemplos 1) 0x0x0)x(p 2  2) Determine m , n e k, para os quais os polinômios abaixo sejam nulos: x)nK(x)2n(mx)x(P)a 23  Resolução: m=0 n-2=0 logo n = 2 k+n=0 logo k = -2 234 Kxx)5n(x)2m()x(P)b  Resolução: m+2=0 logo m = -2 n-5=0 logo n = 5 k=0 8.4. Polinômios Idênticos Dados os polinômios 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n xaxaxa..xaxa)x(P    e 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n xbxbxb...xbxb)x(Q    dizemos que P(x) é idêntico a Q(x) se, e somente se,                    00 11 22 2n2n 1n1n nn ba ba ba ba ba ba  Notação: )x(Q)x(P  Exemplos 1) Determinar a ,b e c para que o polinômio )2c(x)5b(x)1a()x(P 2  seja nulo. Resolução: a – 1 = 0a =1 b – 5 =0b =5 c – 2 =0c =2 2) Determinar m ,n e p para que o polinômio )pn(x)1nm(x)3nm()x(P 2  seja nulo Resolução: 1p0p-1 :temos1ncomo(3)0pn 1n03-n2 :temos1equaçãonadosubstituin 2m04m2 (2)01nm )1(03nm          8.5. Valor Numérico de um Polinômio Os polinômios são funções, desta maneira, para cada valor da variável, existe um único valor correspondente como resultado. Esse resultado é chamado de valor numérico de um polinômio. Exemplo Se 1x2xx2)x(P 23  Temos para x = 3: 5213.233.2)3(P 23  De modo geral: Se 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n xaxaxaxaxa)x(P     Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  22. 22. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 21 o valor numérico de P(x) para x = b é: 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n bababababa)b(P     8.6. Raiz de um Polinômio Dado um polinômio P(x) e um número  , dizemos que  é raiz ou zero do polinômio P(x) se e somente se P(  )=0. Exemplo Dado 6x5x)x(p 2  verifique se os números 1, 2, 3 são raízes do polinômio. Resolução: polinômiodoraizénão1logo, 261.51)1(p :temos1xpara6x5x)x(p 2 2   polinômiodoraizé2logo, 062.52)2(p :temos2xpara6x5x)x(p 2 2   polinômiodoraizé3logo, 063.53)3(p :temos3xpara6x5x)x(p 2 2   Exercícios de fixação 01) Calcule m   de modo que o polinômio 7x5x).1m(x).1m()x(P 2243  seja do 1° grau em relação a x. R: m = 1 02) Determine m  , para que o polinômio 4x).4m(x).16m()x(P 22  seja de grau 2. R: m   4 03) Calcule os valores de m, p e q para os quais o polinômio abaixo seja identicamente nulo: )q23(x).2p5(x).1m2()x(P 23  R: 2 3 qe 5 2 p, 2 1 m  04) Dados cx).1b(x).1a()x(A 2  e c3x.bx.a)x(B 2  , calcule a, b e c, para que: 0)x(B)x(A  R: 0ce 2 1 b, 2 1 a  05) Determine os valores de m, n e p, de modo que sejam idênticos os polinômios: nx)pn( mxx)1p(x)pnm()x(P 234 1   m2mx5x).7p2(mx2)x(P 23 2  R: m =1, n=2 e p= 3 06) Dado o polinômio: 1xxx4)x(P 23  , calcule: a)  2P R: 329  b) )0(P )1(P)1(P  R: 10 c)              2 1 P.2 )0(P 3 1 P R: 27 140 07) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raiz e P(1) = 2 e P(3) =4. R: 2xx)x(P 2  8.7. Operações com Polinômios 8.7.1 Adição e Subtração Para somar ou subtrair polinômios, basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos correspondentes. Assim, dados os polinômios: 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n xaxaxa..xaxa)x(P    e 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n xbxbxb...xbxb)x(Q    a soma de P(x) com Q(x) é dada por:       )ba(x.ba... x.bax.ba)x(Q)x(P 0011 n 1n1n n nn    Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  23. 23. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 22 a subtração é dada por:       )ba(x.ba... x.bax.ba)x(Q)x(P 0011 n 1n1n n nn    Obs.: Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser necessariamente do mesmo grau. Exemplo: Considere os polinômios: 8x5x2xQ(x) e2x3x5x3x5)x(P 23 234   Determine P(x) + Q(x) e P(x)  Q(x) Resolução: 6x8x3x4x5)x(Q)x(P 8x5x2x 2x3x5x3x5)x(Q)x(P 234 23 234    )8x5x2x( 2x3x5x3x5)x(Q)x(P 23 234   10x2x7x2x5)x(Q)x(P 8x5x2x 2x3x5x3x5)x(Q)x(P 234 23 234    8.7.2 Multiplicação Para multiplicar polinômios devemos multiplicar cada termo de um polinômio por todos os termos do outro, e efetuar a redução dos termos semelhantes. Exemplo Sejam P(x) e Q(x) do exemplo anterior, então o produto será dado por: 16x14 x59x41x48x24x7x5)x(Q).x(P 16 x10x42xx24x15x6x3 x40x25x105xx24x15 x6x3x40x25x10x5)x(Q).x(P )8x5x2(x. ).2x3x5x3x5()x(Q).x(P 234567 23234 234534 564567 23 234         8.7.3 Divisão de Polinômios a) Método da chave( algoritmo de Euclides) Dados os polinômios A(x) e D(x) , não nulos, dividir A(x) por D(x) é obter os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: A(x) D (x) R(x) Q(x) Assim: A(x) = D(x).Q(x) + R(x) R(x) = 0 ou gr ( R) < gr(D) gr ( Q) = gr(A)  gr(D) Onde: A(x) é o dividendo; D(x) é o divisor; Q(x) é o quociente; R(x) é o resto. Exemplos 1) Calcule o quociente e o resto da divisão da A(x) por B(x) dados 1x32xB(x) 8x2x2x3x6)x(A)a 2 245   8x2x2x3x6 245  1x32x2  345 x3x9x6  3x3 2x3 x3 4 8x2x2x3x60 234  234 x3x9x6  8x2xx60 23  x3x9x6 23  8x5x80 2  4x12x8 2  4x70  Importante: Quando R(x) = 0 dizemos que A(x) é divisível por D(x). Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  24. 24. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 23 47xR(x)4x3x3x3)x(Q 23  1xB(x) 4x3x)x(A)b 2 23   2) Determine k, de modo que 3kxx)x(P 3  seja divisível por B(x) = x1 b) Método dos Coeficientes a Determinar (Método de Descartes) Já vimos que, na divisão de A(x) por B(x), temos: A(x) = D(x).Q(x) + R(x) R(x) = 0 ou gr ( R) < gr(D) gr ( Q) = gr(A)  gr(D) Essas relações podem ser usadas como recursos para determinarmos os coeficientes de um polinômio em uma divisão. Exemplo Determinar o quociente e o resto da divisão de 2x3x2x)x(A 23  por 1xx)x(B 2  Resolução: O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois: gr (Q) = gr (A)  gr (B) = 3 2 = 1, logo: bax)x(Q  Como gr (R) < gr (B), sendo o divisor 1xx)x(B 2  , então gr ( B) = 2 e gr ( R) < 2, isto é, o resto tem no máximo, grau 1, assim: dcx)x(R  Como A(x)  B(x).Q(x)+R(x), podemos escrever: 2x3x2x 23  =  1xx2  . bax  + cx + d Comparando os termos, temos:            1d 5c 1b 1a Logo 1x)x(Q  e 1x5)x(R  Exemplos 1) Determinar K, de modo que 3kxx3  seja divisível por x  1. 2) Determinar K e m, de modo que kxmxx3x 234  seja divisível por x3x2  . 8.7.4 Teorema do Resto O resto da divisão de P(x) por  ax  é P (a). 8.7.5 Teorema de D’Alembert Um polinômio P (x) é divisível por  ax  se, e somente se, P (a) = 0 . Exemplos 1) Determinar K, de modo que o resto da divisão de 4kxx3x)x(P 23  por x 2 seja 10. 2) Calcular a e b, de modo que os polinômios b3axx)x(P 2  e bax2x)x(Q 3  sejam divisíveis por x  1. 8.7.6 Divisão de P(x) por ( ax + b), a  0 O resto da divisão de P(x) por ( ax + b) é        a b P Exemplos Determinar K, de modo que 4kxxx)x(P 23  seja divisível por 2x + 1. 8.7.7 Dispositivo prático de Briot- Ruffini Utilizado para determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (xa) Exemplo 01: Obter o quociente e o resto da divisão de 3x2x7x3x4x3)x(P 2345  por (x 1) a) Primeiramente devemos dispor os coeficientes de P(x) e a raiz de x-1 conforme abaixo: b) 1 3 + 4 +3 7  2 3 Raiz de x1 Coeficientes do polinômio Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  25. 25. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 24 c) Abaixa o primeiro coeficiente de p(x), o qual será o primeiro coeficiente do quociente. 1 3 + 4 +3 -7 - 2 3 3 d) Multiplica-se o 1 (a raiz) pelo 3 (primeiro coeficiente), o resultado obtido adiciona-se com o segundo coeficiente do polinômio, e o resultado encontrado será o segundo coeficiente do quociente. 1 3 +4 +3 7 2 3 3 7 e) Análogo a isso, devemos agora multiplicar o 1 ( raiz) por 7 ( segundo coeficiente do quociente ), somar o resultado com 3 ( terceiro coeficiente do polinômio e o resultado encontrado será o terceiro coeficiente do quociente. 1 3 +4 +3 7 2 3 3 7 Assim por diante, e encontraremos o quociente e o resto. Como o polinômio dado era do grau 5, dividindo por um binômio do tipo (x  1) abaixaremos um grau. Assim o quociente e o resto encontrado será: 1x3x10x7x3)x(Q 234  R(x) = 4 Exemplo 2: Divida 10x4x2x3)x(P 34  por (x - 2), determinando o quociente e o resto. Exercícios 1) Dados os polinômios 5x10xx2)x(A 23  , 4x4x)x(B 3  , C(x) = x3 e D(x)= x 2, determine o valor de:   )x(C )x(D.)x(B2)x(A  R: 2xx2  2) Dados os polinômios 3nxmxx2)x(P 23 1  e 3xx)x(P 2 2  , se P1(x) é divisível por P2(x), então m  n é igual a: R: 8 3) Dividindo um polinômio P(x) por x 3, resulta um resto de 7 e um quociente de x  4. Qual é P(x)? R: 5x7x2  4) A divisão de do polinômio P(x) por x a fornece quociente 1xxx)x(Q 23  e resto P(a) =1. Sabendo-se que P(0) = 15, o valor de a é? R: 16 1 3 + 4 +3 7  2 3 3 7 10 3 1 4 Soma 3+4=7 Multiplica-se 1x3=3 Soma 7+3=10 Multiplica-se 1x7=7 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  26. 26. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 25 5) Dados os polinômio P(x) e Q(x), onde m2x3x3mxP 23  )()( e x)3m2(x)2m(x)1m()x(Q 23  determine P(x).Q(x) de modo que gr(P+Q) = 1. R: x4x3x4x2xxQxP 2346 )().( 6) Sabendo-se que     1x B 4x A 4x3x 10x5 2   , calcular A e B. R: A = 2 e B =3 7) Se 6x B 4x A 24x2x 1x 2       , então 2A + B é igual a: R: 2 3 8) Um polinômio cbxaxx)x(P 23  que satisfaz as condições P(1)= 0, P( x) +P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)? R: P(2) = 6 9) O resto da divisão do polinômio xxxxxx)x(P 392781243  por x1 é? R: 6 10) Qual é o número real que se deve adicionar a ,xx2x)x(P 23  para se obter um polinômio divisível por x 3? R: a = 12 9 EQUAÇÕES POLINOMIAIS Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível à forma: 0xaxaxa...xaxa 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n    Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número  tal que 0)(P  Lembrando que quando um número  é raiz de uma equação, o resto é igual a zero. 9.1 Resolução de uma Equação Polinomial Resolver uma equação polinomial é obter o seu conjunto verdade, que é o conjunto de todas as suas raízes. a equação for do primeiro grau: Isolamos a variável através de operações elementares. Exemplo: 3x 03x   A equação admite uma única solução. Se a equação for do segundo grau: Usaremos a fórmula de Báskara ou as relações de Girard para resolver. Exemplo: 02x3x2  Solução x = 2 e x = 1 Se a equação for de grau > 2 Utilizaremos o diapositivo prático de Briot Ruffini, para facilitar nosso trabalho, primeiramente encontraremos as possíveis raízes racionais da equação. 9.2 Teorema das Raízes Racionais Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros: 0xaxaxa...xaxa 0 0 1 1 2 2 1n 1n n n    Seja p os divisores de a0 e seja q os divisores de an. Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão: Q q p  Exemplo 1 : Encontre as possíveis raízes da equação 05x14x23x4 23  . Temos que: p ( divisores de 5) = { 1 ,1, 5, 5} q (divisores de 4 ) = { 1, 1, 2, 2, 4, 4} Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  27. 27. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 26 Possíveis raízes racionais da equação        4 5 ; 2 5 ;5; 4 1 ; 2 1 ;1 q p Agora para encontrar as raízes, utilizaremos o dispositivo de BriotRuffini, testando as possíveis raízes. Lembrando que se for raíz o resto da equação será zero. Assim, temos: Assim , as raízes da equação são x = 1, x = ¼ e x = 5. Exemplo 2 : Encontre as possíveis raízes da equação 06x73x  9.3 DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM FATORES DO 1º GRAU (FATORAÇÃO) Se P(x) = 0 é de grau n ( 1n  ) e tem raízes n21 ...,,  , então P(x) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau, sendo  1nn  o fator em evidência: Exemplos 1) Decomponha (fatore) a equação 04x2  Como as raízes desta equação são – 2 e 2, temos 0)2x)(2x( 04x2   2) Decomponha (fatore) a equação 02x3x2  Como as raízes desta equação são 1 e 2 , temos 0)2x)(1x( 02x3x2   9.4 RAÍZES MÚLTIPLAS As raízes de uma equação polinomial podem ser todas distintas, ou não. Se uma equação possui duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla, se tiver três raízes iguais , a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e assim, sucessivamente. Se um número  for uma só vez raiz de uma equação algébrica, ele será chamado raiz simples ou raiz de multiplicidade 1. Exemplos 1) Determine a multiplicidade das raízes 1, 2 e –3 na equação e coloquea na forma fatorada. 012x44x59x32x2x4x 23456  1 1 4 2 32 59 44 12 1 1 3 5 27 32 12 0 1 1 2 7 20 12 0 1 1 1 8 12 0 2 1 1 6 0 2 1 3 0 3 1 0 Notamos que esta equação tem uma raiz tripla igual a 1, uma raiz dupla igual a 2 e uma raiz simples igual a –3. 2)Resolva a equação 04x3x 23  0)nx)...(2x).(1x.(na 0x0a1x1a...1nx1nanxna    4 +23 14 5 1 4 27 41 36 1 4 19  5 0 1/2 4 25 43/2 33/2 1/4 4 20 0 0  5 4 0 x = 1 não é raiz da equação x =1 é raiz da equação x=1/2 não é raiz da equação x= ¼ é raiz da equação x =  5 é raiz da equação Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  28. 28. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 27 Exercícios: 1) Em função das variáveis k, m e n, determine o grau de cada polinômio abaixo: kx)3n(x)4m()x(P)c px2nx3x)8m()x(P)b 2x3x)1m2()x(P)a 22 23 2    2) Determine os valores de m, n e k para os quais o polinômio abaixo seja identicamente nulo x)2k(nxx)3m()x(P)b )k23(x)2n5(x)1m2()x(P)a 34 23   3) Determine os valores de m, n e k para que os polinômios A(x) e B(x) sejam idênticos. x3xB(x) x)2k(x) 2 1 n(x)2m()x(A)b 2x35xB(x) kx)2n(x)3m()x(A)a 3 23 2 2     4) Dado o polinômio 1xxx4)x(P 23  calcule: a) P(2) b) P(1) c) P(0) 5) Entre os números 1, 1, 2, 2, 3 e –3, quais são raízes de 12x4x15x5x3x)x(P 2345  ? 6) Divida utilizando o método da chave, D(x) por d(x), indicando o quociente e o resto. 1-xd(x)e1x2xc)D(x) 3xd(x)e2x35xb)D(x) 1-2xd(x)e2xx3x2)x(D)a 23 2 23    7) Divida A(x) por B(x) , utilizando o dispositivo de BriotRuffini, indicando o quociente e o resto: 4 3 2) ( ) 5 2 3 1 e B(x) x-2 3 2b)A(x) 2x 1 e B(x) x-1 2c)A(x) 5x 3 2 e B(x) 3 a A x x x x x x x x                8) Resolva as seguintes equações e coloqueas na forma fatorada: 0x6x11x6x)f 03x13x13x3)e 01x2xx2)d 04x5x)c 018x3x13x7x)b 010x13x2x)a 3456 23 23 24 234 23       Respostas dos exercícios 1 ao 8 1) grauprimeirodoserápolinômioo 2 1 -mSe grau.segundodoserápolinômioo 2 1 -mSe)a   grau1ºdoserápolinômioo0pe0n,8mSe grau2ºdoserápolinômioo0ne8mSe grau.terceirodoserápolinômioo8mSe)b    grau1ºdoserápolinômioo3ne2mSe grau.2ºdoserápolinômioo2mSe)c   2) 2k0,n,3m)b 2 3 k, 5 2 n, 2 1 m)a   3) 5k, 2 1 n3,b)m 2k5,n,2m)a   4) a) 29 b) –7 c) -1 5)1, -1, 2, -2, -3 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  29. 29. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 28 6) 0R(x),1x2xc)Q(x) 56R(x),18-5xb)Q(x) 2R(x),xx)x(Q)a 2 2    7) 56R(x)e18-5xc)Q(x) 0R(x)e1x2xb)Q(x) 11-R(x)e5x4x3x)x(Q)a 2 23    8) 0)3x)(2x).(1x.()x)(f 0)3x).(1x).( 3 1 x.(3)e 0)1x).(1x).( 2 1 x.(2)d 0)1x)(2x).(1x).(2x)(c 0)2x.()3x).(1x)(b 0)2x).(1x).(5x)(a 3 2       Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  30. 30. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 29 9. TRIGONOMETRIA 10.1 ORIGEM DA TRIGONOMETRIA: A etimologia da palavra TRIGONOMETRIA significa “ medida dos triângulos”, sendo formada pelos radicais gregos tri ( três), gonos ( ângulo) e metron ( medir). A trigonometria teve origem na antiga Grécia, em decorrência dos estudos das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo, possivelmente com o intuito de resolver problemas de navegação, agrimensura e astronomia. O astrônomo grego Hiparco ( 150 a.C.) construiu a primeira tabela trigonométrica, mas o vocábulo Trigonometria foi criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (15611613). 10.2 ÂNGULO: Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por 10.3 MEDIDA DE UM ÂNGULO. É igual à medida do arco que ele determina sobre uma circunferência, cujo centro é o vértice. 10.4 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos e complementares. Os lados de um triângulo retângulo chamamse catetos e hipotenusa. Os catetos são sempre perpendiculares e formam um ângulo reto. Quando construímos sobre um ângulos agudo dois triângulos retângulos, estes serão semelhantes e, portanto, terão lados proporcionais. Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. Como seus lados são proporcionais, podemos escrever: Reescrever estas proporções utilizando a nomenclatura de catetos e hipotenusa, temos: Estas relações que acabamos de generalizar recebem nomes especiais. A primeira é chamada seno do ângulo x e escrevese: vértice ângulo lado lado B A 0  ˆ ABmed AOB med Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  31. 31. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 30 cateto oposto sen x = hipotenusa A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escrevese: cateto adjacente cos x = hipotenusa A terceira é chamada tangente do ângulo x e escrevese: cateto oposto tg x = cateto adjacente  Determinar o diâmetro d da cabeça do parafuso, conforme as medidas da figura. R: d = 22,44 mm  A torre de Pisa, na Itália, é um campanário cuja construção iniciouse em 1174. Devido ao tipo de solo, a torre inclinouse, significativamente, desde sua construção. A reta vertical que passa pelo centro A de seu terraço superior encontra o solo em um ponto B distante 4m do centro C de sua base. Sabendo que a distância CA é 56 m, calcule a inclinação )ACˆB( dessa torre, em graus. R:  85º14’  Um observador na margem de um rio, vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º. Afastandose vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º. Calcule a largura do rio. R: x=17,95 m Quebra Cabeça: Quaisquer dois quadrados, não importa seus tamanhos relativos, podem ser cortados em cinco peças que se juntarão novamente para formar um só quadrado maior. Os cortes estão ilustrados nos quadrados do exemplo abaixo. Trace outros dois quadrados. Você sabe onde fazer os cortes de modo que depois sejamos capazes de remontar as peças num outro quadrado? Exercícios: Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  32. 32. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 31 1) Determine os elementos incógnitos: a) b) c) R: a) x =26,75m; b) x =8,76m, y = 7,10m e z =5,75m c) x =12,99m e y = 10m 2) Determine a altura de um painel de propaganda situado no topo de um edifício, sabendose que o observador está situado a 100 m do edifício e pode visualizar a base inferior e superior, segundo um ângulo de 30º e 45º, respectivamente. (R.: 42 m ) 3) Numa rua horizontal um menino vê o topo de um prédio sob um ângulo de 36º. Deslocandose 18 m no sentido do prédio, passa a avistálo sob um ângulo de 42º. Calcular a altura do prédio. (R.: 66,67 m ou 69,56 m). 4) Um engenheiro civil que constrói uma estrada diz que, em certo trecho, há uma “rampa” de 33%. Qual, então, a medida aproximada do ângulo de inclinação? ( R.:   18º). 5) Um mastro de 6 m está em cima de uma colina de altura d. De um ponto A avistamos seu pé sob um ângulo de 60º e sua ponta sob 75º. Calcule a altura da colina. ( R: 5,19 m ou 5, 22 m). 6) As posições relativas de uma pista de aeroporto e de uma torre de controle de 6,1 m de altura são ilustradas na figura abaixo. A cabeceira da pista está a uma distância perpendicular de 100 metros da base da torre. Se x é a distância percorrida na pista por um avião, expresse a distância d entre o avião e a torre de controle como função de x. (R:   2d 10037 x ) 7) De um ponto exterior P que está a h unidades de um círculo de raio r, traça-se uma tangente ao círculo (veja a figura). Seja y a distância do ponto P ao ponto de tangência T. Expresse y como função de h e r. ( lembre-se Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  33. 33. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 32 que se C é o centro do círculo, PT é perpendicular a CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura de um foguete, então podemos deduzir uma fórmula para a distância máxima ( à terra) que um astronauta pode ver da nave. Em particular, se h= 321.800 m e r = 6 436 000 m, dê uma aproximação para y. (R: 2 2 y h hr  2.060 milhões ) 10.5 PONTO MÓVEL SOBRE UMA CURVA Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P pertence à curva, dizemos que P é um ponto fixo da mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel. Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido antihorário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo. 10.6 ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. 10.7 MEDIDA DE UM ARCO A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB , é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB . Na figura abaixo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u . Denotando a medida do arco AB por m( AB ) e a medida do arco u por m(u ), temos: m( AB ) = 5 m(u ). A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. 10.8 UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum. Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad. Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  34. 34. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 33 Lembramos que o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por 2r. Assim, para calcularmos em radianos a medida a de um arco de uma volta, fazemos: a = 2r/r = 2rad Exemplos: Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Exemplos: Dividindo a circunferência em 4 e 6 partes congruentes, temos: O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto ( ’) e segundo (”) , de forma que: 1º = 60' e 1' = 60” Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. 10.9 ARCOS DE UMA VOLTA Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, então: 2 rad = 360º Podemos estabelecer os seguintes resultados: Desenho Grau 90º 180º 270º 360º Grado 100 200 300 400 Radiano /2  3/2 2 Obs: 0 graus = 0 grado = 0 radianos 10.10 MUDANÇA DE UNIDADES Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção: 2 rad …………… 360 graus R rad …………… G graus Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou ainda: a) b) c) Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  35. 35. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 34 180 GR   Exercícios: 1) Determinar a medida em radianos dos arcos: 120º e 300º ( R: rad 8 5 erad 3 2  ). 2) Determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano ( R: 57º19’29”). 11 CICLO TRIGONOMÉTRICO Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o antihorário. Assim, chamase círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir. Os eixos OX e OY decompõem o ciclo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue: 2o. quadrante abscissa: negativa ordenada: positiva 90º<ângulo<180º 1o. quadrante abscissa: positiva ordenada: positiva 0º<ângulo<90º 3o. quadrante abscissa: negativa ordenada: negativa 180º<ângulo<270º 4o. quadrante abscissa: positiva ordenada: negativa 270º<ângulo<360º Obs.: Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. 11.1 ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido antihorário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM . A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação. Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos, mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M. Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso. Se o sentido for o antihorário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  36. 36. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 35 de uma infinidade de arcos positivos de medidas: m, m+2, m+4, m+6, ... Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas: m2, m4, m6, ... Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por: µ( AM ) = m + 2k onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,2,3,1,0,1,2,3,...}. Família de arcos: Uma família de arcos { AM } é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M. Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2/3, então os arcos desta família { AM }, medem: Exemplos: Obter a menor determinação, o quadrante e a expressão geral dos arcos. a) AB = 1690º  Dividimos o arco por 360º  O quociente representa o número de voltas que o arco descreve sobre a circunferência trigonométrica.  O resto será a menor determinação.  Menor Determinação: 250º Quadrante:3º Expressão Geral: AB K.360º 250º         b) AM = 1270º15’40”  Dividimos o arco por 360º  O quociente representa o número de voltas no sentido negativo sobre o ciclo trigonométrico.  O resto é um arco negativo, portanto, não é a menor determinação.  Para obtermos a menor determinação, adicionamos 360º ao resto obtido.  Menor Determinação: α = 169º44'20" Quadrante:4º Expressão Geral: AM = K.360º +169º44'20"      c) AC = rad 3 23  Dividimos o numerador pelo dobro do valor do denominador.  O quociente representa o número de voltas que o arco descreve sobre a circunferência trigonométrica.  O resto será o numerador da menor determinação procurada.  5 Menor Determinação: 3 Quadrante: 4º 5 Expressão Geral: AC 2K 3             Exercícios: Determinações positivas (sentido antihorário) k=0 µ( AM ) = 2/3 k=1 µ( AM ) = 2/3+2=8/3 k=2 µ( AM ) = 2/3+4=14/3 k=3 µ( AM ) = 2/3+6=20/3 ... ... k=n µ( AM ) = 2/3+2n = (2+6n) /3 Determinações negativas (sentido horário) k=1 µ( AM ) = 2/32 = 4/3 k=2 µ( AM ) = 2/34 = 6/3 k=3 µ( AM ) = 2/36 = 16/3 k=4 µ( AM ) = 2/38 = 22/3 ... ... k=n µ( AM ) = 2/32n = (26n) /3 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  37. 37. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 36 1) Obter a menor determinação , o quadrante e a expressão geral dos arcos dados:¨ a) AM = 535º R: 175º 2º        quadrante AM 360º.K 175º b) AC =  430º R: 290º 4º 2        quadrante AM 360º.K 90º c) AR = 1079º23” R: 59º37" 1º 59º37"        quadrante AM 360º.K d) AB = rad 5 26 R: 6 . 5 3º 6 2 . 5              rad quadrante AP .K. rad e) AP = rad 11 43  R: 11 1º 2 11             rad quadrante AP .K. rad 11.2 ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se: x  y = k . 360º , onde k é um número inteiro. Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2 radianos, pois 2 rad = 360º). OBS. ARCOS DE UMA MESMA FAMÍLIA SÃO CÔNGRUOS. EXEMPLO: Os arcos 2780º e 1700º, são côngruos, pois: 2780º  1700º = 1080º e 1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3). Exercício resolvido: Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas (4m+10).180º e (3m2).180º ? Solução: Pela definição de arcos côngruos dada, deveremos ter: (4m+10).180º  (3m2).180º = k . 360º, com k. 720m + 1800 [540m  360] = k . 360 720m + 1800  540m + 360 = k . 360 180m + 2160 = k . 360 180m = k . 360  2160 m = 2k  12 Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo: 30 < 2k  12 < 40 42 < 2k < 52 21 < k < 26  k = 22, 23, 24 ou 25. Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também 4 valores possíveis para m, já que m = 2k  12. Portanto: m = 32, 34, 36 e 38. Exercícios: 1) Testes: Verdadeiro  Falso a) Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos b) Os arcos de ( 420º ) e 300º são côngruos. c) O arco de 10.002º pertence ao segundo quadrante. d) O arco de ( 200º) pertence ao segundo quadrante. R: Verdadeiro: a, b e d. 11.3 ARCOS DE MESMA ORIGEM, SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO OX Sejam AM e 'AM arcos no círculo trigonométrico, com A=( 1, 0 ) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco 'AM é dada por: µ( 'AM ) = 2m. Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  38. 38. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 37 11.4 ARCOS DE MESMA ORIGEM, SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO OY Sejam AM e 'AM arcos no círculo trigonométrico, com A = ( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco 'AM será dada pela expressão µ( 'AM ) = m. 11.5 ARCOS COM A MESMA ORIGEM E EXTREMIDADES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO À ORIGEM Sejam AM e 'AM arcos no círculo trigonométrico, com A=( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0). Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco 'AM é dada por: µ( 'AM ) =  +m. 12 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS Seja a figura: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OQM, temos:       2 2 2 QM OQ OM  como: QM OP senx  OQ cosx OM r 1  , temos a relação trigonométrica fundamental nº 01: Dividindo a relação fundamental nº 01 por sen2 (x) e por cos2 (x) e aplicando os conceitos de tangente, cotangente, secante e cossecante, teremos outras duas relações fundamentais, a saber: e Exemplos: 01) Simplifique a expressão: cossecx senx cotgx secx   Solução: Utilizando os conceitos vistos, temos: 2 2 2 1 1 sen x senx senx senx 1 sen x cos x cosx 1 1 . senx cosx senx       sen2 x + cos2 x = 1 tg2 x + 1 = sec2 x cotg2 x + 1 = cosec2 x M v uQ P 0 x Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  39. 39. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 38 02) Sendo x um arco tal que cos x = tgx , calcule senx. Solução: Sabemos que tgx = senx cosx Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem: cosx = senx cosx donde vem: cos2 x = senx. Mas, cos2 x = 1  sen2 x . Substituindo, fica: 1  sen2 x = senx. Daí, vem: sen2 x + senx 1 = 0 Fazendo senx = y e substituindo: y2 + y  1 = 0. Resolvendo esta equação do 2º grau, fica: Como y = senx e , temos somente um dos valores acima satisfazendo o problema, ou seja: 5 1 senx , 2   que é a resposta procurada. 03) Para que valor de m a expressão: y = (m 1)(sen4 x  cos4 x) + 2cos2 x + m.cosx  2.cosx + 1 é independente de x? Solução: Podemos escrever: y = (m  1)[(sen2 x  cos2 x)(sen2 x + cos2 x)] + 2cos2 x + mcosx  2cosx + 1 Como sen2 x + cos2 x = 1, substituindo, fica: y = (m1)(sen2 x cos2 x) +2cos2 x + mcosx 2cosx +1 y = m.sen2 x  m.cos2 x  sen2 x + cos2 x + 2cos2 x + m.cosx  2cosx + 1 Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2 x = 1  cos2 x, vem: y = m(1  cos2 x)  mcos2 x  (1  cos2 x) + cos2 x + 2cos2 x + mcosx  2cosx + 1 y = m  mcos2 x  mcos2 x  1 + cos2 x + cos2 x + 2cos2 x + mcosx  2cosx + 1 Simplificando os termos semelhantes, fica: y = m + (4  2m)cos2 x + (m  2)cosx Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4  2m = 0 e m  2 = 0 portanto: m = 2, que é a resposta procurada. Exercícios: 1) Dado 3 sen x 5  , com x 2     , calcule as demais funções. R.:   4 cos x 5 ;   3 tgx 4 ;   5 sec x 4 ;  5 csc x 3 ;   4 cot x 3 2) Sendosecx 2  e x 2     , calcule tgx e senx. R.:   2 tgx 1 e senx= 2 3) Sendo cot a = 3 e 3 a 2     ,calcule o valor de : seca cosseca y cosseca cosa    R.:  1 y 3 4) Sendo 2 232sen x 16cos x 25  , calcule o valor do senx. R.:    3 y senx 4 5) Calcule m, de modo que se tenha simultaneamente: m 2 senx 8   e 5 m cosx 2   . R.: m =2 6)Para que valor de m a expressão: y = m(sen4 x  cos4 x) + 2cos2 x 1 + m é independente de x? R.: m=1 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  40. 40. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 39 13 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Uma igualdade entre expressões trigonométricas é chamada Identidade, quando a igualdade é satisfeita para todos os valores que pertencem aos domínios das funções que envolvem. Para provarmos uma identidade trigonométrica, podemos proceder de duas maneiras: Tomando um dos membros (geralmente o mais “complicado”) transformando-o no outro. Tomando os dois membros e transformando simultaneamente em expressões iguais. Exemplos: Provar as identidades: a) 4 4 2cos x sen x 2sen x 1   b)    2 2 21 tgx 1 tgx 2sec x    c) 3 tgx senx secx 1 cosxsen x    14 OPERAÇÕES COM ARCOS Conhecidas as linhas trigonométricas dos arcos a e b, determinaremos as funções circulares dos arcos da forma a + b, a  b, 2.a e a . 2 14.1 Fórmulas de Adição e Subtração de arcos a) sen(a b) sena.cosb senb.cosa   b) sen(a b) sena.cosb senb.cosa   c) cos(a b) cosa.cosb sena.senb   d) cos(a b) cosa.cosb sena.senb   e) tga tgb tg(a b) 1 tga.tgb     f) tga tgb tg(a b) 1 tga.tgb     Obs. Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da divisão por zero! Exemplos: 01) Calcular sen 75º. Solução: Sen 75º = sen (30º+45) = sen30º. cos 45º+sen45º.cos 30º = 1 2 2 3 . . 2 2 2 2  = 2 6 4  02) Determine cos (x  90º) Solução: Aplicando a equação d, temos: cos (x  90º) = cosx . cos90º + senx . sen90º como cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem: cos(x  90º) = senx. Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos: cos(0  b) = cos0 . cosb + sen0 . senb e como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica: cos( b) = cosb 03) Sabendo-se que sen x = 8 17 , cos y = 3 5  , 0 x 2    e y , 2     calcular tg(x+y): Solução: Pela expressão e, temos: tg( x + y) = tgx tgy 1 tgx.tgy   = 8 4 15 3 8 4 1 . 15 3               = 8 20 15 32 1 45   tg( x+ y) = 12 45 . 15 77  tg( x+ y) = 36 77  Exercícios: 1) Simplificar as expressões abaixo: a) cos(a b) cos(a b) y sen(a b) sen(a b)        b) senb.cos(a b) sen(a b) y sen(a 60º) sen(a 60º)        c) 2sen (a b) 2.senb.cosa.sen(a b) y sen(a b).sen(a b)       R: a) cotg a; b) 1; c) 1 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  41. 41. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 40 2) Calcule tg (a b). Sabendo-se que cot a =2, secb 2  e 3 b , 2     R: 1 3  3) Calcular sen a, sabendo-se que a + b = 150º, 3 sen.b 4  e b . 2     R: 7 3 3 8   4) Achar a sec( ab), dados tg a = 3 4 ,cossec b = 13 , 12  3 a 2     e 3 b 2 . 2     R: 65 33 5) Simplificar a seguinte expressão: y = cos(x  90º)  cos(x  270º). R: 2senx 6) Calcule: a)cos 15º R: 6 2 4  b) tg 75º R: 2 3 c) sen 105º R: 6 2 4  7) Sabendo que 13 12 acos  , a + b = 120º e 0 a 2    , calcule o cos b. R: 12 5 3 26   14.2 ARCO DUPLO Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:  2 2cos(2a) cos a sen a   sen(2a) 2sena.cosa  2 2.tga tg(2a) 1 tg a   Obs. A fórmula acima somente é válida para tg a  1 e tg a  1, já que nestes casos o denominador seria nulo. EXEMPLOS: a) sen4x = 2.sen2x.cos2x b) senx = 2.sen(x/2).cos(x/2) c) cosx = cos2 (x/2) - sen2 (x/2) d) cos4x = cos2 2x - sen2 2x EXERCÍCIOS: 1) Dado tg x 2 1  , calcule tg 2x . R: 1 2) Sendo sen x + cos x = 5 6 , calcular: sen 2x. R: 11 25 3) Calcular sen(2a+b) , sendo sen a = 3 5 e sen b = 5 , 13 0 a e b 2 2        . R: 253 325  14.3 ARCO METADE Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores. Cosseno do arco metade: Sabemos que: cos2a = cos 2 a  sen 2 a Substituindo sen2 a, por: 1  cos2 a e sen2 a + cos2 a por 1, vem: cos2a = 2.cos2 a  1, isolando cos2 a : cos2 a = (1+cos2a) / 2 Fazendo a = x/2, vem, cos2 (x/2) = [1+cosx]/2. Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:  x 1 cosx cos 2 2    Seno do arco metade: De maneira análogo, obtemos o seno e do arco metade.  x 1 cosx sen 2 2    Tangente do arco metade: Dividindo membro a membro as equações anteriores, lembrando que tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:  x 1 cosx tg 2 1 cosx     Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  42. 42. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 41 Obs: o sinal algébrico de cada expressão, vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. Exercício resolvido: Sabendo que sen x = 4 3 e <x< 5 2    , calcular tg x 2 . Resolução: 1º passo: determinar o quadrante de x 2 : Se 3 <x< 2   , dividindo todos os termos por 2, temos: x 3 2 2 4     , isto é: x 2 é um arco do 2º quadrante. 2º passo: cálculo de cos x: 2 24 cos x 1 5         3 cosx 5    3º passo: cálculo de tg x 2 2 5x sen x 52tg 2 x2 5cos 2 5      Exercícios: 1) Sabendo que tg a= 7 3  e 3 a 2 2     , calcular a sen 2 . R: 2 4 2) Calcular cotg a 2 , sabendo que sec a = 5 4  e 3 a 2     . R: 1 3  3) Dada 2 3 cossecx 3  e x 2     , calcular tg x 2 . R: 3 15 TRANSFORMAÇÃO DE SOMAS EM PRODUTO Veremos nesta seção transformações de expressões da forma sen p  sen q e cos p  cos q, em produto, cujas fórmulas são de grande importância nas simplificações de expressões trigonométricas. Já sabemos que: sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a Fazendo : a + b = p a b = q    , temos: p q 2 p + q a = 2 b =       Somando membro a membro estas igualdades, obteremos: sen(a + b)+ sen(a  b) = 2.sen a . cos b. Daí:  p q p q senp senq 2sen .cos 2 2     Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:  p q p q senp senq 2sen .cos 2 2      p q p q cosp cosq 2cos .cos 2 2      p q p q cosp cosq 2sen .sen 2 2      Exemplos: 01) Transformar em produto a expressão: y = sen50º + sen40º Solução: 50º 40º 40º 50º y 2sen .cos 2 2    y 2sen45º.cos( 5º)  , como cos (a) = cos a, temos y 2sen45º.cos5º 02) cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º 03) cos 60º +cos40° = 2.sen50º.sen10º 04) sen70º  sen 30º = 2 sen20°.cos 50º Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  43. 43. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 42 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então tg2x é igual a: Solução: Usando as fórmulas de transformação em produto, teremos: 3x x 3x x 3x x 3x x 2.sen .cos 2cos .cos 2 2 2 2      2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx.Simplificando: sen2x = cos2x e, portanto, sen2x 1 cos2x   tg2x =1. 02) Determine o período da função: y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x. Solução: Sabemos que sena.cosb + senb.cosa = sen (a + b). Logo, y = sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30x Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x. Como, o período de uma função da forma y = senbx é dado por T = 2 / b. O período da função dada será: T = 2 / 30 =  /15 rd. 03) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida por: 100 y 100 cosx.cos4x senx.sen4x    Solução: Sabemos que: cosx.cos4x senx.sen4x = cos(x + 4x) = cos5x Portanto, podemos escrever: 100 y 100 cos5x   Para que y seja máximo, devemos ter 100+cos5x sendo o mínimo, e isto só ocorrerá quando cos5x =1. Logo, o valor máximo da função será: 100 100 y 100 1 99    . 04) Seja dada a função y = f(x), definida por: cosx.cos13x y cos3x cos5x   . Nestas condições, pedese calcular o valor de y = f( /17). Solução: Vamos transformar em produto o denominador da função: cosx.cos13x cos13x y 2.cos4x.cosx 2.cos4x   mas, cos13x = cos(17x  4x) = cos17x.cos4x + sen17x.sen4x. Como x =  /17, vem imediatamente que 17x =  . Logo, substituindo vem: cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x = 1.cos4x + 0.sen4x =  cos4x Já que cos13x =  cos4x , para x =  /17, substituindo, vem finalmente: y =  cos4x / (2.cos4x) = 1/2. Exercícios: 1) Transformar em produto: sen28º  sen52º tg20º + tg60º 2senx + sen2x sen5a + sena + sen9a  sen3a R: a) 2sen12ºcos40º b) 2 80 20 sen º cos º c) 24 2 x senxcos d) 4sen3a.cos4a.cos2a Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  44. 44. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 43 16 TRIÂNGULO QUALQUER 16.1 LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:       2 a b c R sen Bsen A sen C    Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A. Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construímos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C. Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:   2 a sen A R  isto é,   2 a R sen A  Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes     2 b c R sen B sen C   Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A' =  A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então   2 a sen A senA R     isto é,   2 a R sen A  Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes:     2 b c R sen B sen C   Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  45. 45. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 44 Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que       90 1 b c sen B , sen C e sen A sen º a a     Como, neste caso a=2R, temos,       a b c sen Bsen A sen C   16.2 LEI DOS COSSENOS: Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.  a² = b² + c²  2bc cos( A )  b² = a² + c²  2ac cos( B )  c² = a² + b²  2ab cos(C C) Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação a² = b² + c²  2bc cos(A) recai no teorema de Pitágoras. a² = b² + c² uma vez que cos(A)=cos(/2)=0. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CHB, temos: a² = h² + ( c x)² = h² + (c ²2cx + x²) = (h² + x²) + c² 2cx (Equação 01) No triângulo AHC, temos que:b² = h² + x² e também cos(A)=x / b, ou seja, x = b cos(A) Substituindo estes resultados na equação (Eq. 01), obtemos: a² = b² + c²  2bc cosA Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que: a² = h² + ( c x)² Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  46. 46. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 45 = h² + (c ²2cx + x²) = (h² + x²) + c² 2cx (Equação 02) No triângulo AHC, temos que b² = h² + x² e também: cos(D)= x / b= cos( A) = cos(A), então, x = b cos(A) Substituindo estes resultados na equação (Eq.02), obtemos: a² = b² + c²  2bc cos(A) Exemplos: 01) Dadas duas forças concorrentes F1 = 10 Kgf e F2 =15 Kgf, sabendo que formam um ângulo de 120º, calcular a resultante. Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos: 2 2 2 r 1 21 2F F F 2F F cos60º   2 2 2 r 1 F 10 15 2.10.15. 2    2 rF 175 rF 175 rF 5 7 Kgf 02) Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado? Solução: Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos: x2 = 42 + 82 – 2.4.cos60º = 16 + 64 – 8.(1/2), já que cos60º = 1/2. x2 = 16 + 64 – 4 = 76 x2 = 22 .19  x = 2 19 cm 03) Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R. Solução: R = raio do círculo. Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pela lei dos cossenos por: PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 PQ2 = R2 , de onde conclui-se: PQ = R, ou seja, a medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R 03) Em uma região há um rio com curso irregular. Sua largura não é constante e ele faz muitas curvas. Entre os ponto A e B, situados em margens opostas, deseja-se construir uma ponte. Para isso, é necessário determinar a distância AB. O topógrafo, que está na margem inferior assinala com uma estaca um ponto C qualquer. Com a trena, ele mede a distância AC e encontra 56 m. Com o teodolito ele mede os ângulos BAC e ACB encontrando 118º e 35º, respectivamente. Qual será o valor da distância AB? Solução: Vamos analisar o triângulo ABC. Se A =118º e C = 35º, então podemos calcular o ângulo B . Como sabemos, a soma dos triângulos é 180º. 118º B 35º 180º B 27º     F1 60º 120º F2 Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
  47. 47. Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio 46 Determinando AB = c e AC = b, a lei dos senos nos informa que: c b senBsenC  , ou seja, c 56 sen35º sen27º  Utilizando uma calculadora científica, determinamos o valor de c = 70,75 m. Exercícios: 1) Num triângulo ABC, b = 7m, c = 5 m e Â= 60º. Calcule a medida do lado a. R: 39a cm 2) Em um triângulo, são dados: a = 4cm , b = 3cm, c = 3cm, calcule o cos Â. R: A = arc cos 1 9 3) Em um triângulo, são dados: A = 30º, B = 45º e a = 4m . Calcule os lados b e c. R:  4 2 2 2 b m e c= 2 6 m 4) Num triângulo, os lados que formam um ângulo de 60º, a medida de um é o dobro do outro. Calcular a medida dos demais ângulos internos. R: 30º e 90º Desafio final: O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110m e triplica quando se aproxima mais 50m. Calcular a altura da torre. R: 88 m Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro

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