Este documento resume tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales: 1) ecuaciones exactas resolviéndolas mediante una expresión general, 2) ecuaciones exactas con un factor integrante que las hace exactas, y 3) ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante tres métodos como encontrar un factor integrante, resolver la homogénea asociada o descomponer la función. El documento concluye que explica bien los temas vistos en clase sobre estos métodos y proporciona las herramientas para resolver problemas.

1. Ecuaciones diferenciales exactas.<br />Una ecuación diferencial es exacta si y solo si.<br />Donde y tienen derivadas parciales de primer orden.<br />La ecuación de ser exacta se resuelve mediante la expresión:<br />fx,y=Mx,ydx+[Nx,y-∂∂yMx,ydx]dy<br /> <br />Ejemplo<br />Siendo:<br />Tenemos que:<br />∂M (4xy3+3y2+1)∂y=12xy2+6y<br />∂N (6x2y2+6xy)∂x=12xy2+6y<br />Por lo tanto es exacta.<br />Aplicamos la expresión dada:<br />fx,y=4xy3+3y2+1dx+[6x2y2+6xy-∂∂y4xy3+3y2+1dx]dy<br />Resolviendo la integral de M (x.y) respecto a diferencial de x<br />4y3+x+ [6x2y2+6xy-∂∂y4y3+x]dy<br />Resolviendo la derivada parcial respecto a y<br />4y3+x+ [6x2y2+6xy-12y2]dy<br />Ahora resolvemos la integral con respecto a dy:<br />4y3+x+ 2x2y3+3xy2-4y3+c<br />Siendo igual a:<br />x+ 2x2y3+3xy2+c<br />Factor integrante<br />Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferencial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones.<br />Si la ecuación diferencial no es exacta, pero al multiplicarla por el factor se convierte en exacta, decimos que es un factor integrante de la ecuación diferencial.<br />La expresión es un factor integrante de la ecuación.<br />Ejemplo<br />3x2ydx+ydy=0<br />∂M (3x2y)∂y=3x2<br />∂N (y)∂x=0<br />No es exacta<br />Sabiendo que:<br />px=My-NxN Y que py=Ny-MxM<br /> <br />Utilizando la expresión de p (y):<br />py=Ny-MxM=0-3x23x2y=-1y<br />Aplicando la expresión de factor integrante:<br /> epydy=e-dyy=e-lny=elny-1=y-1<br />Teniendo el factor integrante multiplicamos:<br />y-13x2ydx+ydy=0= 3x2dx+dy=0<br />Verificamos que sea exacta.<br />∂M (3x2)∂y=0<br />∂N (1)∂x=0<br />Es exacta.<br />Se sustituyen valores de la expresión general para resolver.<br />fx,y=3x2dx+[1-∂∂y3x2dx]dy<br />Resolvemos la ecuación de la siguiente forma.<br />x3+y-∂∂yx3dy= x3+ydy= x3+y+c<br />Ecuaciones lineales de primer orden.<br />Son de la forma y′+ a(x) y = b(x).<br />Hay tres métodos de resolución: Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). Resolver la ecuación lineal homogénea asociada<br />y′ + a(x) y = 0 (que es de variables separadas), cuya solución es<br />y = C exp (−Ra(x) dx), y usar el método de variación de las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresión anterior y sustituir en la ecuación lineal). Encontrar de alguna forma una solución particular yp(x), con lo cual la solución general de la lineal es yp más la solución general de la homogénea asociada. Descomponer <br />Y(x) = u(x) v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de u, resolviendo la ecuación que aparece (v′ + a(x) v = 0, que es de variables separadas); tras esto, queda una ecuación en u(x) de variables separadas.<br />De cualquier modo se obtiene que la solución general de la E. D. lineal sea <br />Conclusiones:<br />Los temas expuestos en clase sobre la solución de ecuaciones diferenciales por método de ecuaciones exactas, exactas con factor integrante y ecuaciones diferenciales lineales son los temas explicados en este documento, cada uno de los métodos es interesante de forma que si en un momento se me presenta a mí como alumno un problema a resolver tenga las herramientas necesarias para poder realizar ese cometido.<br />