Charla sobre aritmética y cuadrados mágicos.

1. Le#carré#magique#de#
Khajuraho et#les#
symétries)de)l’hypercube
Andrés'Navas
USACH
Santiago,)
Chile
UNAM
Cuernavaca,*
México

19. Khajuraho
(centre de#l’Inde)

22. Le#carré#magique#d’Euler

23. Le carré magique de Ramanujan

33. Forme normale de Lucas

34. Carré demi-panmagique
“Formule” générale

35. Carré panmagique (pandiagonal ou diabolique)
Deuxième forme normale

36. 17 9 20 19
18 21 14 12
12 14 16 13
18 21 15 11
C’est une belle journée

37. Automorphismes
Le#groupe'panmagique c’est&
le#groupe#des#permutations#
des$16$cases$qui$transforment$
tout$carré$panmagique en#un#
autre&carré&panmagique.
Des$définitions$similaires$
peuvent'être'données'pour'
d’autres)configurations)
magiques.

38. Le#groupe#magique#du#carré#3x3#est#
isomorphe)au)groupe)diédral)!!.

39. Théorème
(Narayana'Pandit,'
B.#Rosser#&#R.#Walker,#
W.#Müller,#A.#N.)
Le#groupe#panmagique du#
carré%4x4%est%d’ordre%384,%et%
il#est#isomorphe#au#groupe#
des$symétries$
(automorphismes).de.
l’hypercube.

40. Narayana&Pandit&(Gaṇitakaumudī,&1356)
Il#existent#384#carrés#panmagiques 4x4,$et$on$les$
obtient'tous'en'suivant'des'mouvements'd’un'cheval'
d’échecs(avec(quelques(règles(supplémentaires.
À"lire !
! Les$carrés$magiques$de$Narayana (Gautami(Bhowmik).
! Des$carrés$magiques$en$cadeaux$(A.$N.).

41. Carré panmagique (pandiagonal ou diabolique)
Deuxième forme normale

42. Un#autre algorithme
• Placez'le'16'en'n’importe'
quelle%case%et%le%1%dans%la%
case%‘’opposée’’.
• Placez'le'12,'14'et'15'dans'
trois&des&quatre&cases&
voisines'à'celle'de'1.
• Complétez*le*carré*de*sorte*à*
satisfaire(les(propriétés(
panmagiques (il$y$a$une$
unique&manière&de&le&faire).
a b c d
(s!a)+n (s!b)!n (s!c)+n (s!d)!n
s!c s!d s!a s!b
c!n d+n a!n b+n

43. 7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

45. Des$nouveaux$carrés$panmagiques par$des$
transformations

46. Une$transformation$d’ordre 3
⎛
⎝
a b c d
b c d a
⎞
⎠

47. Une$transformation$d’ordre 6
Tσ

48. Une$transformation$d’ordre 8

49. L’hypercube
et#ses
simétries
0000 0001 0011 0010
0100 0101 0111 0110
1100 1101 1111 1110
1000 1001 1011 1010

50. Un#hypercube#
magique de#
Khajuraho(!
1
8
12
13
15
10
6
3
4
5
9
16
11
14
2
7

51. La#structure
algébrique
Il#y#a#16#translations#naturelles#sur#
l’hypercube+(sommer+0+ou+1+à+chaque+
coordonée),#qui#forment#un#groupe#
isomorphe)à)(Z/2Z)4.
Les$translations$forment$un$sous!groupe'
distingué)du)groupe)des)automorphismes,)et)
le#quotient#respectif#est#isomorphe#à#S4.
Le#groupe#des#automorphismes#de#
l’hypercube+est+isomorphe+au+produit+
semidirect entre%S4 et# (Z/2Z)4.

52. Les$carrés
magiques
5x5

53. Des$relations$supplémentaires

54. Formule(à(la(
de#la#Hire – Euler
Le#groupe#panmagique 5x5#est#isomorphe#au#
produit(semidirect entre%Z/2Z%et%S5"x"S5.

55. 36 9 17 19 22
5 40 19 25 14
8 30 2 26 37
23 23 26 13 18
31 1 39 20 12

56. Et#les#carrés#d’ordre#
supérieur(?
Peut!on#dire#des#choses#sur#la#
structure'du'groupe'(pan!)magique)
sans$connaître$tous$les$carrés$?$
On#ne#connait#pas#la#quantité#
de#carrés#magiques#6x6#(à#des#
entrées'1,'2,'…','36).

57. !!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
Des tableaux magiques
avec des carrés parfaits

58. ¿ ?

59. Un problème presque imposible

61. Le#triangle#
rectangle)de)
Don$Zagier
(1993)&
Aire

62. Carrés&magiques&de&
nombres(premiers

63. 2!".!"#.!""
− 1
Les$mystérieux nombres(premiers

64. Des$nombres$premiers$à$des$différences
consécutives+égales
B.#Green,#T.#Tao:#Pour%tout%entier%
positif'n'il'existe'une'suite'arithmétique'
de#n nombres(premiers((distincts).

65. Merci&beaucoup&!

68. MERCI&BEAUCOUP
Libros de#matemática en PDF$$$$$$$$$$$$$$$$$$$Un$viaje a"las"ideas