Estudiante
Andrés Melo 31,088,972
Sección: IN0124.
Conjuntos, números
reales, desigualdades y
valor absoluto
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara

Conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice
que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los
números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos
es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Otro ejemplos es:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

Operaciones con Conjuntos
En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo,
pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un
conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto
se les llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan
con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o
paréntesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la
gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones
como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que
no juegan a baloncesto, etc.
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por
ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de
la unión, y el elemento absorbente de la intersección y del producto cartesiano. El conjunto universal es el
elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.
Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las
operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.4
Por lo tanto vamos a ver las distintas operaciones que hay en los conjuntos:

Operaciones con conjuntos (Union)
El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa.
Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos o incluso más
conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual
los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales.
Cuando un elemento es repetido, forma parte de una vez solamente; esto difiere del concepto
de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes
se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos
los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B.
Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto
A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto
Ejemplos
En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es
de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos:
Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto
es: {1,2,3}∪{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto
serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto.
Diagrama de Venn
de la unión de dos
conjuntos A ∪ B

Operaciones con conjuntos (Intersección)
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa.
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene
los elementos que están en A y que están en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al
conjunto A y x pertenece al conjunto B a la vez, por lo tanto
Disjuntividad
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto
vacío. A ∩ B=
Ejemplos
1. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares
sería el conjunto C= o sea serían disjuntos.
2. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan sólo al baloncesto y el
conjunto de personas que juegan sólo al fútbol es el conjunto vacío. Por lo tanto son
disjuntos.
3. Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C= , ya que {3,7,8}∩{1,2,9}= por lo
tanto A y B son disjuntos.
Diagrama de Venn
que muestra la
intersección de dos
conjuntos A ∩ B

El símbolo de esta operación es: .
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar
con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto
C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.
También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.
Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si
Ejemplos
1. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el conjunto C {2,4}, sin
embargo la diferencia de los conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}.
2. Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de
las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y
exclusivamente juegan al fútbol.
Diagrama de Venn
que muestra la
diferencia de dos
conjuntos A B
Operaciones con conjuntos (Diferencia)

El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar
con el símbolo A
Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran
todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con
respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A.
Ejemplos
1. Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el
conjunto de números impares
2. Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a
fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan.
3. Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números
positivos mayores de 5 incluyendo el 5, es el conjunto {1,2,3,4}
Diagrama de Venn
que muestra el
complemento de un
conjunto A
Operaciones con conjuntos (Complemento)

El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual
posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se
encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no
tiene
1. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que
juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto
es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a
baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.
Diagrama de Venn que
muestra la diferencia
simétrica de dos
conjuntos A Δ B
Operaciones con conjuntos (Diferencia simétrica)

En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello
necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados,
de ahí salen las n-tuplas ordenadas.
La n-tupla ordenada es la colección ordenada dónde su primer elemento
es , es su segundo elemento, ... y el elemento n-ésimo.
Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado
de cada par es igual, o sea, = esto sucede si, y sólo
si = para i= 1,2,3,...,n. Las 2-tuplas se llaman pares ordenados (a,b) y (c,d), estos son
iguales si, y sólo si a=c y b=d.
Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos:
El símbolo de esta operación es: ×
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares
ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo
elemento perteneciente a B.
x
Ejemplos
1. Ejemplo: El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es
A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}
Operaciones con conjuntos (Producto cartesiano)

Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que
se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números
racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números
reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
• Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
• Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios
vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un
límite más pequeño.
• Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el
lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
• Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión
decimal infinita.
Números reales

Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los
reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual
a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor
que el otro, o siquiera si son comparables.
Desigualdades

Valor absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para
nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir
que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5
positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo
en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar
que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo
tanto, la notación correcta es |5|.

Desigualdades con Valor Absoluto
Las desigualdades con valor absoluto siguen las mismas reglas que el valor absoluto en números; la diferencia es que
en las desigualdades tenemos una variable.
Una desigualdad de valor absoluto es una expresión con funciones absolutas y con signos de desigualdad. Por ejemplo,
la expresión | x + 3 | > 1 es una desigualdad de valor absoluto que contiene un símbolo mayor que.
Las siguientes son las reglas generales a considerar al resolver desigualdades de valor absoluto:
• Aísle a la izquierda la expresión de valor absoluto.
• Resuelve las versiones positiva y negativa de la desigualdad de valor absoluto.
• Cuando el número del otro lado del signo de desigualdad es negativo, concluimos todos los números reales como
soluciones o la desigualdad no tiene solución.
• Cuando el número del otro lado es positivo, procedemos estableciendo una desigualdad compuesta eliminando las
barras de valor absoluto.
• El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad compuesta que se formará. Por ejemplo, si un
problema contiene mayor o mayor que / igual al signo, establezca una desigualdad compuesta que tenga la siguiente
formación: (Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O (Los valores dentro de
las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).
• De manera similar, si un problema contiene un signo menor o menor que / igual, configure una desigualdad
compuesta de 3 partes de la siguiente forma:-(El número al otro lado del signo de desigualdad) <(cantidad dentro de
las barras de valor absoluto) <(El número al otro lado del signo de desigualdad)

Ejemplos de Desigualdad
con Valor Absoluto
Ejemplo 1
Resolver | x + 4 | - 6 <9
Solución
Aislar el valor absoluto.
| x + 4 | - 6 <9 → | x + 4 | <15
Dado que nuestra expresión de valor
absoluto tiene un signo de
desigualdad menor que, configuramos
la solución de desigualdad compuesta
de 3 partes como:
-15 <x + 4 <15
-19 <x <11
Ejemplo 2
Resolver | 2x - 1 | - 7 ≥ -3
Solución
Primero, aísle la variable
| 2x - 1 | - 7≥-3 → | 2x - 1 | ≥4
Estableceremos una desigualdad
compuesta "o" debido al signo mayor
o igual que en nuestra ecuación.
2 - 1≤ - 4 o 2x - 1 ≥ 4
Ahora, resuelve las desigualdades;
2x - 1 ≤ -4 o 2x - 1 ≥ 4
2x ≤ -3 o 2x ≥ 5
x ≤ -3/2 ox ≥ 5/2

Ejercicio propuesto para resolver
Resolver | 5x + 6 | + 4 <1

Bibliografía
• https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
• https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntos
• https://www.sdelsol.com/glosario/numeros-reales/
• https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
• https://definicion.de/valor-absoluto/
• https://www.mdematematicas.com/es/desigualdades-de-valor-absoluto-explicacion-
y-ejemplos