Un pequeño repaso sobre conjuntos, números reales y valor absoluto. Una presentación con muchos términos matemáticos y educativos

2.  Un conjunto es una colección
de elementos. Normalmente están
caracterizados por compartir alguna
propiedad. Para que un conjunto esté
bien definido debe ser posible discernir
si un elemento arbitrario está o no en
él.

3. Los conjuntos pueden definirse de
manera explícita, citando todos los
elementos de los que consta entre
llaves:
A={1,2,3,4,5}
o implícita, dando una o varias
características que determinen si un
elemento dado está o no en el conjunto,
A={números naturales del 1
al 5}.

4. Los elementos de un
conjunto no están ordenados,
aunque vengan especificados
como una lista, por tanto
A={3,1,2,5,4}. En una definición
explícita no se pueden repetir
elementos, así que {1,1,2,3,4,5}
sería una manera incorrecta de
expresar el conjunto AA.

5. En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos
definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero
hacemos abstracción y lo pensamos como una colección
desordenada de objetos, los objetos de un conjunto
pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una
relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les
llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un
conjunto contiene a sus elementos. Se representan con
una letra mayúscula y a los elementos o miembros de
ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o
paréntesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden
combinar de muchas
maneras distintas
Operaciones con conjuntos

6. Unión
El símbolo del operador de esta operación
es: ∪, y es llamado copa.
Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos o
incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una
nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este
correspondan a los elementos de los conjuntos originales.
Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el
conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3}∪{4,5,6}={1,2,3,4,5,6}.

7. Intersección
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el
conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.
Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,3,9} sería 3

8. Diferencia
El símbolo de esta operación es: .
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté
en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por
lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que
tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.
Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el
conjunto C {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos B
{1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}.

9. Complemento
El símbolo de esta operación es: A∁, o
también se suele representar con el
símbolo A
Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran
todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con
respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A.
Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos
mayores de 5 incluyendo el 5, es el conjunto {1,2,3,4}

10. Diferencia
simétrica
El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el
cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se
encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no
tiene
ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.

11.  Cuando se definen los números reales se
dice que son cualquier número que se
encuentre o corresponda con la recta
real que incluye a los números racionales y
números irracionales, Por lo tanto, el
dominio de los números reales se encuentra
entre menos infinito y más infinito.

12. Las principales características de los números reales
son:
• Orden. Todos los números reales siguen un orden, por
ejemplo 1, 2, 3, 4 …
• Integral. La integridad de los números reales marca que no
hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de
un límite superior tiene un límite más pequeño.
• Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado
positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre
menos infinito y más infinito.
• Decimal. Los números reales pueden ser expresados como
una expansión decimal infinita.

13. Clasificación de los números reales
• Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no
decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el
cero.
• Números enteros. Son los números positivos y negativos no
decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales
incluyendo los números negativos y el cero.
• Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente
de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones
que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.
• Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como
una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se
trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera
exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este
tipo de números.

14. • Propiedad asociativa
• Propiedad interna
• Propiedad conmutativa
• Elemento neutro y elemento
opuesto
• Propiedad distributiva

15.  Desigualdad matemática es una proposición
de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a
través de los signos: desigual que ≠, mayor
que >, menor que <, menor o igual que ≤,
así como mayor o igual que ≥, resultando
ambas expresiones de valores distintos.

16.  Las desigualdades matemáticas
están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o
componentes. Un miembro se
encontrará a la izquierda del
símbolo y el otro a la derecha.
 Un ejemplo sería expresar: 4x – 2
> 9. Lo leeríamos diciendo que
“cuatro veces nuestra incógnita
menos dos es superior a nueve”.
Siendo el elemento 4x-2 el
elemento A y 9 el elemento B. La
resolución nos mostraría que (en
números naturales) la desigualdad
se cumple si x es igual o superior a
3 (x≥3).

17. Propiedades
• Si los miembros de la expresión son
multiplicados por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
• Si los miembros de la expresión son divididos por
el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
• Si los miembros de la expresión son sumados o
restados por el mismo valor, no cambia el signo
de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x
– 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3

18. Y también se debe saber aquellas propiedades en las que
la desigualdad sí que cambia de sentido:
• Si los miembros de la expresión son
multiplicados por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -
3·9
• Si los miembros de la expresión son
divididos por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 <
9/-3

19. Valor absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el
terreno de las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su
signo. Esto quiere decir que el valor absoluto,
que también se conoce como módulo, es
la magnitud numérica de la cifra sin importar
si su signo es positivo o negativo.

20. Tomemos el caso del valor absoluto 5.
Este es el valor absoluto tanto
de +5 (5 positivo) como de -5 (5
negativo). El valor absoluto, en
definitiva, es el mismo en el número
positivo y en el número negativo: en
este caso, 5. Cabe destacar que el
valor absoluto se escribe entre dos
barras verticales paralelas; por lo
tanto, la notación correcta es |5|.

21. Características
del valor absoluto
El valor absoluto siempre
es igual o mayor que
0 y nunca es negativo. Por lo
dicho anteriormente, podemos
agregar que el valor absoluto de
los números opuestos es el
mismo; 8 y -8, de este modo,
comparten el mismo valor
absoluto: |8|.
También se puede entender el
valor absoluto como
la distancia que existe entre el
número y 0. El número 563 y el
número -563 están, en una
recta numérica, a la misma
distancia del 0. Ese, por lo
tanto, es el valor absoluto de
ambos: |563|.
La distancia que existe entre
dos números reales, por
otra parte, es el valor
absoluto de su diferencia.
Entre 8 y 5, por ejemplo,
hay una distancia de 3. Esta
diferencia tiene un valor
absoluto de |3|.

22. Desigualdades con valor
absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es
una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.

23. Cuando se resuelven desigualdades
de valor absoluto, hay dos casos a
considerar:
• Caso 1: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es
positiva
• Caso 2: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es
negativa

24. Si el valor absoluto de la
variable es menor que el
término constante, entonces la
gráfica resultante será un
segmento entre dos puntos. Si
el valor absoluto de la variable
es mayor que el término
constante, entonces la gráfica
resultante consistirá en dos
rayos apuntando al infinito en
direcciones opuestas.

25. Ejemplo 1
• |x+4|-6<9∣x+4∣−6<9
Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣x+4∣−6<9
∣x+4∣<9+6
∣x+4∣<15
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? No,
es un número positivo, 15. Nos movemos al paso 3.

26. Paso 3: Forma una desigualdad
compuesta: El signo de desigualdad
en este problema es un signo menor
que, por lo que formamos una
desigualdad de tres partes:
−15<x+4<15
Paso 4: Resuelve la desigualdad:
−15−4<x<15−4
−19<x<11

27. Ejemplo 2
• ∣5x+6∣+4<1
Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣5x+6∣+4<1
∣5x+6∣<1−4
∣5x+6∣<−3
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? Sí, es un
número negativo, -3. Miraremos a los signos de cada lado de
la desigualdad para determinar la solución al problema:
∣5x+6∣<−3
positivo < negativo
Este enunciado nunca es verdadero, por lo que el problema
no tiene solución.

28. Bibliografía
NEUROCHISPAS (2023) “Resolver desigualdades con valor numérico” disponible en:
https://www.neurochispas.com/wiki/resolver-desigualdades-con-valor-absoluto/#5-ejemplos-resueltos
[consulta febrero 6, 2023]
Software DELSON (2019) “Números reales” disponible en: https://www.sdelsol.com/glosario/numeros-
reales/#:~:text=utilizando%20n%C3%BAmeros%20reales.-
,Qu%C3%A9%20son%20los%20n%C3%BAmeros%20reales,menos%20infinito%20y%20m%C3%A1s
%20infinito. [consulta febrero 6, 2023]
Universidad Nacional Autónoma De México (2020) “Inecuaciones con valor absoluto” disponible en:
http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/tsm/Applets_Geogebra/in
ecvalabs.html#:~:text=DESIGUALDADES%20DE%20VALOR%20ABSOLUTO%20(%3C),absoluto%20c
on%20una%20variable%20dentro.&text=Cuando%20se%20resuelven%20desigualdades%20de,de%20
valor%20absoluto%20es%20positiva. [consulta febrero 6, 2023]
Superprof (2020) “Ejercicios resueltos de inecuaciones y su conjunto de solución” disponible en:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/inecuaciones/ejercicios-de-
inecuaciones.html [consulta febrero 6; 2023]
SCRIBD (2020) “Inecuaciones y desigualdades” disponible en:
https://es.scribd.com/document/480906795/Inecuaciones-y-Desigualdades#from_embed [consulta
febrero 6, 2023]