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A UU AL
                                                                                 A L          A

                                                                                 62
                                                                                  62
        Expressões algébricas


                               N   a aula anterior, vimos que expressão nu-
mérica é aquela que apresenta uma seqüência de operações e de números.
                                                                                 Introdução
    Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para
representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmu-
las da Geometria, por exemplo.
    As expressões que apresentam letras, além de operações e números são
chamadas expressões algébricas e as letras são as variáveis.


      Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.                Nossa aula

   Em linguagem matemática, essa propriedade pode ser escrita da seguinte
maneira: x . 1 = x
   Onde x representa um número natural qualquer.
    Veja o exemplo:
    Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa
pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão
algébrica: 20 . x
    Onde x representa o número de dias trabalhados.
    Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00
    Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00
    Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa,
por meio da multiplicação da variável x pelo número de dias trabalhados.
    A expressão algébrica da área de um quadrado de x cm de lado é
determinada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja:



                             Área: x²
A U L A      Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da
          substituição da variável x pela medida do lado do quadrado.

62            Observações:
              1º) Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplica-
              ção, veja:
                         2 . x se escreve 2x
                         a . b se escreve ab
              2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda
              sem variável:
                         2xy        _         expressão com duas variáveis: x e y
                         5a²² b c³³ _         expressão com três variáveis: a, b e c
                         25         _         expressão sem variável.

              Valor numérico
              Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e
          efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o v a l o r n u m é r i c o
          da expressão.
              O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo, é:
                                             5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14
             Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda:
          qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm.


                                                       O valor numérico de ab é :
                                                       2,5 x 4 = 10
                                                       Logo, a área do retângulo é 10 cm²


              As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre
          os números e as variáveis, são chamadas de m o n ô m i o s. Por exemplo: 6x, 3x2y2,
          ab, 10 etc.
              A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada
          por letras é a parte literal.
              De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a
          parte literal de cada monômio:
                                        6x   ®    coeficiente: 6
                                                  parte literal: x

                                        3x³ y³ ®
                                           ² ³          coeficiente: 3
                                                        parte literal: x²² y³³

                                        ab        ®     coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab)
                                                        parte literal: ab

                                        10        ®     coeficiente 10
                                                        parte literal: não tem
Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes      A U L A


                                                                                62
diferentes são chamados de monômios semelhantes.
    Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso
contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas.

    A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:

              4xy + 7 xy - 5 xy = (4 + 7 - 5) xy = 6xy

    Veja outro exemplo:

    No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De
acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com
menos termos) que representa o perímetro desse retângulo.




   O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de
seus lados:

         2 (2x + 1) + 2 (x - 3) =      Propriedade distributiva da multipli-
cação.
     = 4x + 2 + 2x - 6 =               Propriedade comutativa da adição.
     = 4x + 2x + 2 - 6 =               Efetuando-se as operações dos
monômios                                                       semelhan-
tes.

    Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do
retângulo é 6x - 4.

    Polinômios

    Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada
de polinômio (poli = muitos).

    Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²²é um polinômio
formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes
nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na
seqüência:
                4a²² - 7ab + b²² - 2a² - ab - b²²
             = 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b² - b² =
             = 2a² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab

    A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois
os termos restantes não podem mais ser efetuados.
    Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos
semelhantes.
A U L A        Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x²² - 2xy + 4y² , temos:


  62               (3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²²) = Retirar os parênteses.
                 = 3x² - 4xy + y² - x² - 2xy + 4y² =
                 = 3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² =
                                                             Aplicar a propriedade comutativa.
                                                            Reduzir os termos semelhantes.
                 = 2x² - 6xy + 5y²           _              Somar dos dois polinômios.


                 No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:

                     (- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) =       Retirando os parênteses e trocan-
                                                           do os sinais do 2º polinômio.
                  = - 14ab + 7a + 12ab - 6a =
                  = - 14ab + 12ab + 7a - 6a =
                  = - 2ab + a       _                      Diferença dos dois polinômios.




Exercícios   Exercício 1
                A expressão 2x representa um número múltiplo de 2.
                Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5.

             Exercício 2
                Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressão
                algébrica.

             Exercício 3
                Responda:
                a) qual o monômio que ao somar com - 2x y resulta zero?
                b) qual o resultado de - 2a² - 5a²?

             Exercício 4
                Escreva a expressão mais simples (reduzida) que possa representar a área
                da figura:




             Exercício 5
             Determine o valor numérico da expressão x³y² - x² + y³ , para x = 2 e y = -1

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  • 1. A UU AL A L A 62 62 Expressões algébricas N a aula anterior, vimos que expressão nu- mérica é aquela que apresenta uma seqüência de operações e de números. Introdução Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmu- las da Geometria, por exemplo. As expressões que apresentam letras, além de operações e números são chamadas expressões algébricas e as letras são as variáveis. Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo. Nossa aula Em linguagem matemática, essa propriedade pode ser escrita da seguinte maneira: x . 1 = x Onde x representa um número natural qualquer. Veja o exemplo: Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão algébrica: 20 . x Onde x representa o número de dias trabalhados. Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00 Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00 Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicação da variável x pelo número de dias trabalhados. A expressão algébrica da área de um quadrado de x cm de lado é determinada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja: Área: x²
  • 2. A U L A Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da substituição da variável x pela medida do lado do quadrado. 62 Observações: 1º) Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplica- ção, veja: 2 . x se escreve 2x a . b se escreve ab 2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável: 2xy _ expressão com duas variáveis: x e y 5a²² b c³³ _ expressão com três variáveis: a, b e c 25 _ expressão sem variável. Valor numérico Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o v a l o r n u m é r i c o da expressão. O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo, é: 5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14 Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda: qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm. O valor numérico de ab é : 2,5 x 4 = 10 Logo, a área do retângulo é 10 cm² As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre os números e as variáveis, são chamadas de m o n ô m i o s. Por exemplo: 6x, 3x2y2, ab, 10 etc. A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por letras é a parte literal. De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a parte literal de cada monômio: 6x ® coeficiente: 6 parte literal: x 3x³ y³ ® ² ³ coeficiente: 3 parte literal: x²² y³³ ab ® coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab) parte literal: ab 10 ® coeficiente 10 parte literal: não tem
  • 3. Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes A U L A 62 diferentes são chamados de monômios semelhantes. Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas. A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios: 4xy + 7 xy - 5 xy = (4 + 7 - 5) xy = 6xy Veja outro exemplo: No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com menos termos) que representa o perímetro desse retângulo. O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas de seus lados: 2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = Propriedade distributiva da multipli- cação. = 4x + 2 + 2x - 6 = Propriedade comutativa da adição. = 4x + 2x + 2 - 6 = Efetuando-se as operações dos monômios semelhan- tes. Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do retângulo é 6x - 4. Polinômios Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada de polinômio (poli = muitos). Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²²é um polinômio formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na seqüência: 4a²² - 7ab + b²² - 2a² - ab - b²² = 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b² - b² = = 2a² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois os termos restantes não podem mais ser efetuados. Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos semelhantes.
  • 4. A U L A Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x²² - 2xy + 4y² , temos: 62 (3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²²) = Retirar os parênteses. = 3x² - 4xy + y² - x² - 2xy + 4y² = = 3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² = Aplicar a propriedade comutativa. Reduzir os termos semelhantes. = 2x² - 6xy + 5y² _ Somar dos dois polinômios. No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo: (- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocan- do os sinais do 2º polinômio. = - 14ab + 7a + 12ab - 6a = = - 14ab + 12ab + 7a - 6a = = - 2ab + a _ Diferença dos dois polinômios. Exercícios Exercício 1 A expressão 2x representa um número múltiplo de 2. Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5. Exercício 2 Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressão algébrica. Exercício 3 Responda: a) qual o monômio que ao somar com - 2x y resulta zero? b) qual o resultado de - 2a² - 5a²? Exercício 4 Escreva a expressão mais simples (reduzida) que possa representar a área da figura: Exercício 5 Determine o valor numérico da expressão x³y² - x² + y³ , para x = 2 e y = -1