1
CINEMÁTICACINEMÁTICA
Física y química 1º BachilleratoFísica y química 1º Bachillerato

2
EL MOVIMIENTOEL MOVIMIENTO
1 Movimiento y sistemas de referencia
Un cuerpo se mueve, si cambia su posición respecto a un punto de observación
Si está en movimiento, es relativo•
Si dicho punto está en reposo, el movimiento es absoluto•
El viajero se equivoca al pensar que se
mueve el vagón de enfrente.
Al mirar al andén, comprueba que es
su vagón el que se mueve
El conductor está en reposo respecto
al pasajero que transporta, pero está
en movimiento respecto al peatón.
Desde tierra el proyectil cae
describiendo una parábola. Desde el
avión cae en línea recta

3
La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento
sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con
respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y
decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia.
¿Qué es un sistema de referencia? realmente siempre que realizamos cualquier medida la
hacemos respecto a algo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hasta la puerta
hay 2 m" al decir esto nos estamos tomando a nosotros mismos como referencia.
Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del
sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a
nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol
estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha
parece que se mueve respecto a nosotros.
PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA
INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN
REALIZADO LAS MEDIDAS.
PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA
INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN
REALIZADO LAS MEDIDAS.

4
Vector de posición y vector desplazamiento
El vector de posición de un móvil, es el
vector con origen en O y extremo en P1.
r1
→
r1
→
OP1
→
=Se representa por
•
X
Y
P1
P2
r
→
∆
s∆
r2
→
r1
→
Se denomina Trayectoria al camino seguido por el
móvil en su movimiento. Es escalar
El espacio (S) que recorre un cuerpo en su
movimiento se define como la longitud de la
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se
mide en metros
Se denomina Trayectoria al camino seguido por el
móvil en su movimiento. Es escalar
El espacio (S) que recorre un cuerpo en su
movimiento se define como la longitud de la
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se
mide en metros
y
x
desplazamiento
trayectoria
vectores
de
posición
Los vectores de posición determinan las
diferentes posiciones del movimiento
podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos las
posiciones como posición 1 y posición 2.
Son vectores que van desde el origen del
sistema de referencia a la posición que se
mide.

5
En general, r
→
∆| | ≠ ∆s
El vector (posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.
12 rrr

−=∆
Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones
inicial y final del recorrido.
Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros
Es vectorial.
Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones
inicial y final del recorrido.
Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros
Es vectorial.
Coinciden desplazamiento y trayectoria cuando el movimiento
es rectilíneo
EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO
SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR
DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO
SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR
DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
También coinciden cuando
estudiamos desplazamientos
muy pequeñitos , infinitesimales
o diferenciales:
trayectoria
dSrd =


6
Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han
viajado juntos. Tienen en común su velocidad media
t
s
mv
∆
∆
=
t
rvm
∆
∆=
→
→
⇒ j
t
yi
t
xvm
→→→
∆
∆
+
∆
∆
= jviv ymxm
→→
+=
Magnitud velocidad media escalar:•
Vector velocidad media:•
jyixr
→→→
∆+∆=∆•
VELOCIDADVELOCIDAD
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto
son: m/s cm/s o Km / h etc...
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto
son: m/s cm/s o Km / h etc...
Se define velocidad media como
el cambio de posición de un
cuerpo en un intervalo de
tiempo:
Se define velocidad media como
el cambio de posición de un
cuerpo en un intervalo de
tiempo:
12
12
tt
rr
t
r
Vm
−
−
=
∆
∆
=

Rapidez: espacio recorrido
por intervalo de tiempo
Rapidez: espacio recorrido
por intervalo de tiempo
12
12
tt
SS
t
S
Vm
−
−
=
∆
∆
=

7
4 Cuando ∆t → 0 el vector desplazamiento
se sitúa tangente a la trayectoria
La velocidad instantánea es la que posee
un móvil en un punto de su trayectoria
r
→
∆v
→
=
∆t
cuando ∆ t → 0
Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto
considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil
X
Y
r1
→
r
→
∆
r2
→
r3
→
r4
→
r
→
∆
r
→
∆
La velocidad instantánea es el cambio de
posición de un cuerpo en movimiento en
cada instante.
V - Lim ∆r - dr
∆ t →0 ∆ t dt
La velocidad instantánea es el cambio de
posición de un cuerpo en movimiento en
cada instante.
V - Lim ∆r - dr
∆ t →0 ∆ t dt
Cuando el cambio es diferencial el
módulo (valor numérico) de dr es igual
que dS
V – dr - dS
dt dt
V – dr - dS
dt dt

8
Física y Química
1º BACHILLERATO
ACELERACIÓ
N
ACELERACIÓ
N
La aceleración
instantánea
v
→
∆
a
→
=
∆t
cuando ∆ t → 0
La aceleración media am
→
= =
v
→
∆
∆t
v2
→
v1
→
-
t2 - t1
r1
→
r2
→
v
→
∆
v1
→
v1
→
v2
→
v2
→
A A
X
Y
X
Y• •
• B
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por
tanto serán m/s2
o Km/h2
etc...
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por
tanto serán m/s2
o Km/h2
etc...
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
dt
Vd
a


=

9
V

La aceleración media estudia el cambio de
velocidad en un intervalo de tiempo.
Es un vector con la misma dirección y sentido que el
vector resultante de restar la velocidad inicial y final
vectorialmente ,en cierto ∆t se define como :
Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la
dirección y sentido de ∆ .
La aceleración media estudia el cambio de
velocidad en un intervalo de tiempo.
Es un vector con la misma dirección y sentido que el
vector resultante de restar la velocidad inicial y final
vectorialmente ,en cierto ∆t se define como :
Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la
dirección y sentido de ∆ .
12
12
tt
VV
t
V
am
−
−
=
∆
∆
=


V

1
2
∆ = 2 – 1 y en esa misma
dirección y sentido sale
1
- 2V

V

V
 V

V

V

V

ma

La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un
instante determinado del movimiento:
a - Lim ∆V - dV es también una magnitud vectorial
∆ t →0 ∆ t dt
La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un
instante determinado del movimiento:
a - Lim ∆V - dV es también una magnitud vectorial
∆ t →0 ∆ t dt
Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo dt
cada vez mas pequeños.

10
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓNCOMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,
cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario
tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento.
V
V
uT 

= VuV T

=.
Si usamos el sistema de referencia
en función de la trayectoria podemos
descomponer la aceleración en dos
componentes:
uN
uT
eje
perpendicular al
movimiento
eje tangente al
movimiento
aT
aN
a
trayectoria
dt
ud
Vu
dt
Vd
dt
uVd
dt
Vd
a T
T
T



..
).(
+===
aceleración tangencial (aT) :
cambio del módulo de la
velocidad respecto al tiempo
aceleración normal (aN):
cambio de la dirección de
la velocidad respecto al
tiempo
NNTT uauaa

.. += 22
NT aaa +=


11
LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN
INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD
RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio de la magnitud velocidad, es decir,
del módulo de la velocidad. Si aT = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el
movimiento es uniforme.
En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la
aceleración tangencial.
LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA
EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO.
a N
– V2
(m/s2
)
R
Se obtiene con la velocidad, en
un instante dado, al cuadrado
entre el radio de giro
a N
– V2
(m/s2
)
R
Se obtiene con la velocidad, en
un instante dado, al cuadrado
entre el radio de giro
Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la
velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo
si aN =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo.
aT – d V (m /s2
)
dt
Se obtiene derivando
el módulo de la
velocidad
aT – d V (m /s2
)
dt
Se obtiene derivando
el módulo de la
velocidad

12
6
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)
Tiempo
(s)
50 100 150 200 250
Posición A B C D E
Distancia al
hangar (m)
200 400 600 800 1000
r
→
=
→
v
r
→
∆
∆t
r 0
→
=
-
t - t0
⇒ r 0
→
=
→
r + (t - t0)v
→
En forma escalar: s = s0 + v (t - t0)
•
•
•
•
•200
600
1000
50 150 250100 200 t (s)
s (m)
4
50 150 250100 200 t (s)
v (m/s)
Gráfica x-t Gráfica v-t
• • • • •
Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento
( r ) y la trayectoria (S) coinciden.
Como la velocidad es constante la velocidad
media y la instantánea coinciden.
S=V.tS=V.t
Velocidad pendiente de
la gráfica

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2 7
Física y Química
1º BACHILLERATO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (MRUA)
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (MRUA)
Sustituyendo v por su valor resulta:
S = S0 + v0 (t − t0) + a (t − t0)2
2
1
La aceleración media coincide con la
aceleración instantánea ya que la
aceleración es constante
•
t (s)
v (m/s)
Gráfica v-t
v
tt0
v0
α
tg α a=
t (s)
v (m/s)
Gráfica v-t
v
tt0
v0
La ecuación se transforma en:v
→
∆
∆t
a
→
=
⇒
−
−
=
∆
∆
=
tt
vv
t
v
a
0
0
v = v0 + a (t - t0)
•
A =v0(t-t0) + )tt(
2
vv
0
0
−
+
El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es
el espacio recorrido
•
Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración
normal, pero la velocidad va cambiando en módulo
(aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración
tangencial.

14
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2
si hay espacio inicial S0 se añade
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V0 + a. t
dt
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2
si hay espacio inicial S0 se añade
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V0 + a. t
dt
S
(m)
S0
t (s)
S
(m)
S0
t (s)
V
(m/s)
V0
t (s)
V
(m/s)
V0
t (s)
ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO.
(acelerar) (frenar)
La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no
de que el cuerpo acelere o frene.
Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en
contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo
una aceleración positiva lo frenaría.
Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van
en el mismo sentido.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no
de que el cuerpo acelere o frene.
Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en
contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo
una aceleración positiva lo frenaría.
Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van
en el mismo sentido.

15
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcuMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu
Al ser un movimiento uniforme el módulo de la velocidad es constante luego no hay aceleración
tangencial.
Su trayectoria es una circunferencia por lo que el desplazamiento y la trayectoria no coinciden.
La velocidad va cambiando constantemente de dirección por lo que existe aceleración normal.
Si la única aceleración que existe es la normal y la aceleración es constante, la aceleración
media es igual que la instantánea en su única componente en este caso que es la aceleración
normal.
Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S0
Aceleración normal o centrípeta a N – V2
R
Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S0
Aceleración normal o centrípeta a N – V2
R
Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento
uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y V / t NO ES POSIBLE
DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR
UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO
INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS
DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER
LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN
DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA
X,Y.
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo

16
11
P1
r1
→
P2
r 2
→
∆s
r i
→
v
→
•
v
→
φ∆
Magnitudes angulares
∆s=R
R
R
∆φ = 1rad
•
• El vector velocidad es siempre tangente
a la trayectoria y normal al vector
v
→
r
→
•
El vector de posición cambia de
dirección. Cumple que = R
r
→
r
→
| |
•Su trayectoria es una circunferencia de
radio R
•
• Si ∆s = R, se dice que el ángulo ∆ mide
un radián.
φ
Una circunferencia completa 360°≡ 2π rad•
Por definición•
R
s∆
=φ∆ Se mide en rad
t∆
φ∆
=ω (rad/s) ó bien 1 rpm = rad/s
60
2π
VELOCIDAD ANGULAR ω es el ángulo recorrido
por unidad de tiempo.
Como es lógico puede estudiar este cambio en un
intervalo, velocidad angular media, o en un instante,
velocidad angular instantánea.

17
cteR
t
R
t
s
v =ω=
∆
φ∆
=
∆
∆
=
ω = cte (por ser R cte)
La ecuación del movimiento es:• )tt(t 00
−ω+φ=φ⇒∆ω=φ∆
Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa y se mide en segundos
•
Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por
unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1
que también se
llaman Herzios (Hz)
•
V=ω.RV=ω.R
El período y la frecuencia son inversos:
Tiempo (s) número de vueltas
T (periodo) 1 vuelta
1 segundo f (frecuencia)
despejando T= 1
f
La relación de estas dos magnitudes con la
velocidad angular se puede determinar
pensando que si el móvil da una vuelta
completa recorre un ángulo de 2пrad y el
tiempo que tardó en recorrerlo es el período T
luego como la velocidad angular relaciona el
ángulo recorrido con el tiempo empleado en
recorrerlo :
ω= 2п
T
ω= 2п
T

18
13
EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
ACELERADO (MCUA)
EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
ACELERADO (MCUA)
t = 0 s
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y
angular, que varían de forma constante con el tiempo
•
ω0 = 0 rad/s
ω1 = 2 rad/s
ω2 = 4 rad/s
ω3 = 6 rad/s
ω4 = 8 rad/s
α = 2 rad/s2α = 2 rad/s2
α = 2 rad/s2
α = 2 rad/s2
• La ecuación del movimiento es: t
2
1
t 2
00
α+ω+φ=φ
t0 α+ω=ω

19
14
LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOSLA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS
• Un móvil tiene aceleración si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del
vector velocidad
a
→
v
→
• Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a
→
a
→
τ a
→
η= +
v∆
∆t
v
→
| |cuando ∆ t → 0= está relacionada con la variación del móduloaτ
aη = R
v2
está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad
a
→
v
→ a
→
τP
•
r
→
Z
Y
X
a
→
a
→
η
•

20
Movimientos
circulares
aN≠ 0 y R = cte
Movimientos
rectilíneos
aN= 0
Movimiento
rectilíneo
uniforme
aτ = 0
Movimiento
circular
uniforme
aτ = 0
Movimiento
rectilíneo
uniformemente
acelerado
aT ≠0
Movimiento
circular
uniformemente
acelerado
aτ = cte
Movimiento
rectilíneo
acelerado
aτ≠ cte
Movimiento
circular
acelerado
aτ ≠ cte
magnitud lineal= magnitud angular por radio
S(espacio en metros)= ϕ( ángulo en rad ) .R
V(velocidad)= ω(velocidad angular ).R
aT (aceleración tangencial) =α (aceleración angula). R
Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2
2
Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado: ϕ = ω0 .t + 1.α.t2
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V0 + a. t
dt
Derivando se obtiene la velocidad ω= dϕ ω = ω0 + α. t
dt
Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2
2
Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado: ϕ = ω0 .t + 1.α.t2
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V0 + a. t
dt
Derivando se obtiene la velocidad ω= dϕ ω = ω0 + α. t
dt
α . R = aT
α . R = aT

21
2 18
COMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓNCOMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓN
Trayectoria
La velocidad del niño al correr sobre la cinta,
crece o decrece según el sentido elegido
•
El principio de superposición dice que si un
objeto está sometido a la vez a dos o más
movimientos, se cumple que:
•
r...rrrr i321
→→→→→
++++=
v...vvvv i321
→→→→→
++++=
a...aaaa i321
→→→→→
++++=
O
→
x1
O′
→
x2
x1 = x01 + v1x t
x2 = x02 + v2x t
x1 + x2 = (x01 + x02) + (v1x + v2x) t
La suma es un MRU en la misma dirección
En este caso, su composición será:•

22
19
COMPOSICIÓN DE MRU
PERPENDICULARES
COMPOSICIÓN DE MRU
PERPENDICULARES
Sean dos movimientos rectilíneos
uniformes en las direcciones de los
ejes X e Y con velocidades respectivas
vx
→
vy
→
y
•
• Si un móvil experimenta solo el primer movimiento: tvxx x0
→→→
+=
• Si un móvil experimenta solo el segundo movimiento: tvyy y0
→→→
+=
• Cuando experimenta la superposición de ambos: )vv()yx(yx yx00
→→→→→
+
→
+++=
• El resultado es un MRU en la dirección determinada por: vvv yxt
→
+
→→
=
vx
→
vy
→
vt
→
x0
y0
y
Y
O
X
→
x
→
y
→→
+ yx
x

23
Cuándo una partícula se encuentra sometida a dos movimientos simultáneos e independientes,
el movimiento que realiza es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hay movimientos
en apariencia complejos que se pueden estudiar de forma mucho más simple como
superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se habla de Composición de
movimientos.
El caso más corriente de composición de movimientos es el lanzamiento de proyectiles,
ya sea vertical, horizontal u oblicuo.
En primer lugar es necesario tener claro que al lanzar un proyectil lo que hacemos es
dispararlo con una cierta velocidad inicial, desentendiéndonos inmediatamente de él y
dejándolo a merced de la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra y le hace caer sometido
a la aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2
, que es vertical y hacia abajo.
En todos los casos vamos a considerar despreciable la resistencia del aire.
Debemos establecer en primer lugar un sistema de referencia que mantendremos siempre
igual en todos los movimientos, el sistema de referencia más sencillo es aquel que sitúa EL
EJE Y EN LA VERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO.
Los lanzamientos los vamos a clasificar según la dirección en que
lanzamos (la dirección del vector velocidad inicial) en tiros:
verticales, horizontales y oblicuos:

24
TIRO VERTICALTIRO VERTICAL
Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia
abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores
de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:
Y
X
h0
V0
h máxima
V final = 0
g
Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = - 9,8 j m/s2
con el sistema de referencia que hemos tomado.
Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre
que acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo
momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que
cambia de sentido (primero sube y luego baja).
Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con
un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento
es : S = V0 .t + 1. a.t2
2
Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el
espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil
en cada instante es:
r = ( h0 + V0 .t - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 – g.t ) j m/s
Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = - 9,8 j m/s2
con el sistema de referencia que hemos tomado.
Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre
que acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo
momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que
cambia de sentido (primero sube y luego baja).
Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con
un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento
es : S = V0 .t + 1. a.t2
2
Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el
espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil
en cada instante es:
r = ( h0 + V0 .t - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 – g.t ) j m/s

25
X
V0
h 0
Y
En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido ya
que va hacia abajo y por lo tanto diferente signo:
r = ( h0 - V0 .t - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (- V0 – g.t ) j m/s
La gravedad acelera en todo momento al movimiento.
Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la
velocidad inicial es cero:
r = ( h0 - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s
En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido ya
que va hacia abajo y por lo tanto diferente signo:
r = ( h0 - V0 .t - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (- V0 – g.t ) j m/s
La gravedad acelera en todo momento al movimiento.
Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la
velocidad inicial es cero:
r = ( h0 - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s
En los dos casos si se deriva la velocidad sale siempre la misma aceleración , la de
la gravedad:
)/(8,9 2
smjg

−=

26
21
ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTALESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL
Trayectorias descritas por la pelota según el sistema de referencia
Para un observador en tierra, la trayectoria es
parabólica
Para un pasajero del avión, el movimiento es
vertical y en caída libre
Para el observador en caída libre, el móvil posee un
MRU horizontal

27
La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos
simultáneos:
SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la
velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el
MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este
seguiría indefinidamente en línea recta).
SOBRE EL EJE Y: (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad
inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado
(aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo
haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.
X
V0
h 0
Y
alcance
r
El vector de posición tiene:
1) componente x (m r u S= V. t avance del
proyectil)
2) componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a sin velocidad inicial
S= S0 + 1. a.t2
)
2
r = (V0 . t ) i + ( h0 - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 ) i +( -g.t ) j m/s
El vector de posición tiene:
1) componente x (m r u S= V. t avance del
proyectil)
2) componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a sin velocidad inicial
S= S0 + 1. a.t2
)
2
r = (V0 . t ) i + ( h0 - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 ) i +( -g.t ) j m/s

28
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo.
En el suelo la altura es cero luego y=0 entonces: 0 = h0 - 1. g.t2
2
sacando el valor de t es posible obtener el alcance X= V0. t
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES
UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA.
X = V0. t
Y = h0 - 1. g.t2
2
X = t sustituyendo en y queda
V0
Y = h0 - g . X 2
2 V0
2
Ecuación de la trayectoria
Y = h0 - g . X 2
2 V0
2
Ecuación de la trayectoria

29
24
Física y Química
1º BACHILLERATOESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUOESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUO
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 1 2 3 4 5 6
Unas trayectorias muy comunes
jga
→→
−=
v01
→
v02
→
v03
→
αi
Son las descritas, por ejemplo, por el lanzamiento de distintos proyectiles
disparados desde el suelo.
•
Dependen de la velocidad inicial de salida y del ángulo de lanzamientov i0
→
αi•

30
Si el tiro es oblicuo hacia arriba el vector de posición entonces es:
X
V0
Y
alcance
r
h0
V
h
máxima
V0x
V0y
El vector de posición tiene:
1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2
)
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando:
V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s
El vector de posición tiene:
1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2
)
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2
) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando:
V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal
que recorre hasta llegar al suelo. Al llegar al suelo la
altura es cero luego Y =0.
h0+V0Yt-1gt2
=0
2
Resolviendo la ecuación de segundo grado se saca el
tiempo. El recorrido en horizontal es X y por tanto con el
valor de tiempo obtenido se saca X que es el alcance:
X= V0X . t
VoX = V0. cos α
V0Y = V0. sen α
VoX = V0. cos α
V0Y = V0. sen α
α
V0Y
V0X

31
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA
PARABÓLICA
X = V0X. t
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2
X = t
V0X
Y = h0 + V0Y . X - g . X 2
V0X 2 V0
2
Ecuación de la trayectoria
Y = h0 + V0Y . X - g . X 2
V0X 2 V0
2
Ecuación de la trayectoria
La ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuenta que en ese punto el vector
velocidad resulta horizontal luego la componente y de la velocidad es cero.
VoY - g.t = 0 de aquí sacamos el tiempo y para determinar la altura vamos a la
componente Y del vector de posición que mide las diferentes alturas e
introducimos el valor de tiempo obtenido :
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2

32
Para un tiro oblicuo hacia abajo:
V0
Y
alcance
r
h0
V0x
V0y
α
V0Y
V0X
V0
El vector de posición tiene
1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las
alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2
)
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 - V0Y . t - 1. g.t2
) j (m)
2
la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s
El vector de posición tiene
1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las
alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2
)
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 - V0Y . t - 1. g.t2
) j (m)
2
la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s
Y = h0 - V0Y . X - g . X 2
V0X 2 V0
2
Ecuación de la trayectoria
Y = h0 - V0Y . X - g . X 2
V0X 2 V0
2
Ecuación de la trayectoria