1. เอกสารประกอบการบรรยาย
คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP
◙ โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด
1 ประกอบสาระการเรียนรู้ พื้นฐาน
ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
เซต
(Set)
อ.วัฒนา เถาว์ทิพย์
◙ ภาควิชาคณิตศาสตร์
มหาวิทยาลัยขอนแก่น

2. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 1
1 เซต (Set)
Who is George ความรู้พื้นฐาน (Basic Background)
Cantor?
โครงสร้ างระบบจานวนจริง
จานวนจริ ง
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ
…………………
………………… จานวนเต็ม เศษส่ วนหรื อทศนิ ยม
…………………
…………………
………………… จานวนเต็มลบ ศูนย์ จานวนเต็มบวก
…………………
…………………
1. จานวนตรรกยะ คือ จานวนที่สามารถเขียนได้ในรู ปของเศษส่ วน โดยไม่เป็ นศูนย์
3 
หรื อเขียนอยูในรู ปทศนิยม ซ้ าๆ ได้เ ช่น - 7 ,-3,
่ 0, 5, 8, , 01 2
5
◙True or False ? 2. จานวนอตรรกยะ คือ จานวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยูในรู ปเศษส่ วน หรื อทศนิยมซ้ า
่
1. a  a
2 ได้ เช่น 2 , 3 , 5 , 7 , , 0.121221222 ...
2. 3.99999… is an integer 3. จานวนจริง คือ จานวนที่เป็ นตรรกยะ หรื อจานวนอตรรกยะ
3. 27 is an integer.
9 4. รากที่สอง ให้ a เป็ นจานวนจริ งบวกใดๆ หรื อศูนย์ รากที่สองของ a คือจานวนจริ งที่
4. 121 is an integer. ยกกาลังสองแล้วได้ a
5. 1.21 is a rational
number. ข้อสังเกต
6. 12 is a rational 5. รากที่สาม ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆรากที่สามของ a คือจานวนจริ งที่ยกกาลังสาม
number.
7. 2 is an irrational แล้วได้ a ใช้สัญลักษณ์ " 3 a " แทนรากที่สามของ a
number. เช่น รากที่สามของ 27 คือ 3 27  3
8. 3.99999...  2
รากที่สามของ 125 คือ 3 125  5
6. รากที่ n ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆรากที่ n ของ a คือจานวนจริ งที่ยกกาลัง n แล้วได้ a
☼ How to prove that
3.9999...  4 ใช้สัญลักษณ์ " n a " แทนรากที่สามของ a
………………………… เช่น รากที่สี่ของ 16 คือ 4 16  2
………………………… 7. ค่าสั มบูรณ์ ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ
…………………………
…………………………  a, where a  0
………………………… a 
………………………… a, where a  0
………………………… 8. ให้ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ
…………………………
……………………… a2  a
………………………
………………………
………………………
เรื่ อง เซต [Set] 1 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
………………

3. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 2
1.1 ความหมาย และ การเขียนเซต
ความหมายของเซต
True or False?
ในวิชาคณิ ตศาสตร์ เราใช้คาว่า “เซต” เพื่อบ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่ งต่างๆ โดย
(1) 1, 2,3  3, 2,1 ต้องทราบอย่างแน่ชดว่า สิ่ งใดอยูในกลุ่ม และ สิ่ งใดไม่อยูในกลุ่มที่เรากล่าว และ เรี ยก
ั ่ ่
(2) 1, 2,3  1, 2,3,1 สิ่ งที่อยูในเซตนั้นว่า สมาชิก
่
(3) 1, 2,3  1, 2,1
(4) 1, 2,3  1, 2, 2,3
(5) 1, 2,3  1,1, 2, 2,3,3 การเขียนเซต และ ชื่อของเซต
(6) a a , b, a, b การเขียนเซตมี 2 แบบ ดังนี้
(7) a a , b, a, b (1) แบบแจกแจงสมาชิก
(8) b a , b, a, b
(9) b a , b, a, b
(10) b a , b, b , a, b
(11) a, b a , b, a, b หมายเหตุ สมาชิกที่เขียนซ้ ากันให้ถือว่าเป็ นสมาชิกเพียง 1 ตัว
(2) แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
(12) a a , b, a, b
◙ Names of set of สมาชิกของเซต (Element of set)
number:
ใช้เครื่ องหมาย “  “ แทนข้อความ “ เป็ นสมาชิกของเซต ”

I : Positive Integer ใช้เครื่ องหมาย “  “ แทนข้อความ “ ไม่เป็ นสมาชิกของเซต ”
I  : Negative Integer
I : Integer
N : Natural Number เซตของเซต (Set of set)
P : Prime Number
สมาชิกของเซตอาจจะเป็ นเซตก็ได้
Q : Rational Number
R : Positive Integer
True or False? เซตที่เท่ ากัน (Equality of set)
บทนิยาม เซต A เท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน กล่าวคือ
(1) N  I
(2) I  R สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็ นสมาชิก
(3) 9  I ของเซต A
(4) 2 Q เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
(5) 2.9999...  Q เซต A ไม่เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A  B
(6) Q  R
เรื่ อง เซต [Set] 2 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

4. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 3
เซตว่าง (Empty Set)
Who is Venn? บทนิยาม เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก
Who is Euler?
…………………….. เซตว่างเขียนแทนด้วย   หรื อ 
……………………..
◙ Which is empty set ? เซตจากัด และ เซตอนันต์ (Finite and Infinite Set)
(1)  x x  2  2
บทนิยาม เซตจากัด คือ เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากับจานวนเต็มบวกใดๆ หรื อ ศูนย์
กล่าวคือ สามารถนับจานวนสมาชิกได้ครบถ้วน
(2)  x x  2  x
(3)  x x  2  x บทนิยาม เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจากัด กล่าวคือเซตอนันต์เป็ นเซตที่มี่จานวน

(4) x x 2  x  สมาชิกมากมายนับไม่ถวนหรื อไม่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ครบถ้วน
้
(5)  x x 2
 x
(6)  x x 2
 x
◙ Which is finite set ? 1.2 เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe )
(1)  x x  2  2 บทนิยาม เอกภพสัมพัทธ์ (Universal set) คือเซตที่กาหนดขึ้นเพื่อเป็ นขอบเขตของเซต
(2)  x x  2  x ทั้งหมดในการพิจารณา โดยที่ทุกเซตที่กล่าวถึงจะต้องเป็ นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์
(3)  x x  2  x และเอกภพสัมพัทธ์นิยมเขียนแทนด้วย U

(4) x x 2  x 
(5)  x x 2
 x
(6)  x x 2
 x แผนภาพของเวนน์ -ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram)
เป็ นการเขียนแผนภาพแทนเซตเพื่อช่วยให้ความคิด และ การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเซตชัดเจน
◙ Which is infinite set ? และ ง่ายขึ้น
(1)  x x  2  2
(2)  x x  2  x
(3)  x x  2  x

(4) x x 2  x 
(5)  x x 2
 x
(6)  x x 2
 x
เรื่ อง เซต [Set] 3 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

5. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 4
1.3 สับเซต(Subsets) และเพาเวอร์ เซต (Power Set)
สั บเซต(Subset)

A  x x2  x  บทนิยาม A เป็ นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็ นสมาชิกของ B
Is A an empty A เป็ นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A  B
set? แต่ B  A เรี ยกว่า B เป็ น Supper set ของ A
และ A ไม่เป็ นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A  B
? ข้ อตกลงเบืองต้นเกียวกับเซต
้ ่
(1) เซตว่าง เป็ นสับเซตของทุกๆ เซต นันคือ   A เมื่อ A เป็ นเซตใดๆ
่
(2) เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตัวมันเอง นันคือ A  A เมื่อ A เป็ นเซตใดๆ
่
◙ True or False ?
การหาจานวนสับเซต
(1) 1, 2,3  3, 2,1 เซตที่มีสมาชิก k ตัว มีจานวนสับเซตทั้งหมด 2k สับเซต
(2) 1, 2,3  1, 2,3,1
สมบัตเิ บืองต้นเกียวกับสับเซต
้ ่
(3) 1, 2,3  1, 2,1
กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเซตใดๆ และ  เป็ นเซตว่าง จะได้ว่า
(4) 1, 2,3  1, 2, 2,3
1) A  A
(5) 1, 2,3  1,1,, 2,3,3
2)   A
(6) a  a , b, a, b 3) ถ้า A   แล้ว A  
(7) a  a , b, a, b 4) ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C
(8) b  a , b, a, b 5) ถ้า A  B และ B  A แล้ว A  B
(9) b  a , b, a, b
(10) b  a , b, b , a, b เพาเวอร์ เซต (Power set)
(11) a, b  a, b, a, b บทนิยาม ถ้า A เป็ นเซตใด เพาเวอร์ เซตของ A คือเซตของสับเซตของ A และเขียนแทน
(12) a  a , b, a, b ด้วย P(A)
(13) If A  1, 2,1 then นันคือ P(A) ={x x  A}
่
n( A)  3
(14) If A  1, 2, 2 then
n( A)  3
(15)    , b, a, b สมบัติเกี่ยวกับเพาเวอร์ เซต
6)   P( A)
(16)   , b, a, b
7) A  P( A)
(17)   {}, b, a, b 8) P( A)  
(18)  {}, b, a, b 9) ถ้า n( A)  k แล้ว n( P( A))  2k
เรื่ อง เซต [Set] 4 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

6. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 5
1.4 ยูเนียน อินเตอร์ เซกชัน และ คอมพลีเมนต์ของเซต
(Union, Intersection and Complement)
◙ Some of the most
beautiful mathematical
formulas: ยูเนียน (Union)
9 The roots of a
ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
quadratic equation : A  B  {x x  A หรื อ x  B หรื อ x เป็ นสมาชิกของทั้งสองเซต}
If ax  bx  c  0
2
where a  0 , then
b  b 2  4ac สมบัติเกี่ยวกับการยูเนียน ให้ A, B, C เป็ นเซตใดๆ  เป็ นเซตว่าง และ U เป็ นเอก
x .
2a
ภพสัมพัทธ์
10 The golden ratio: (1) A B  B  A
1 5 (2) ( A  B)  C  A  ( B  C )
2 (3) A A  A
(4) A   A    A
11 Imaginary numbers: (5) A U  U  U  A
i  1 (6) A  A  B และ B  A  B
(7) ถ้า A  B แล้ว A  B  B และ ถ้า A  B  B แล้ว A  B
(8) ถ้า A  B   แล้ว A   และ B  
อินเตอร์ เซกชัน (Intersection)
ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
A  B  {x x  A และ x  B}
สมบัติเกี่ยวกับการอินเตอร์ เซก ให้ A, B, C เป็ นเซตใดๆ  เป็ นเซตว่าง และ U เป็ น
เอกภพสัมพัทธ์
1) A B  B  A
2) ( A  B)  C  A  ( B  C )
3) A A  A
4) A       A
5) A U  A  U  A
6) A  B  A และ A  B  B
7) ถ้า A  B แล้ว A  B  A และ ถ้า A  B  A แล้ว A  B
8) ถ้า A  B   แล้ว ไม่จาเป็ นที่ A   หรื อ B  
9) A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
เรื่ อง เซต [Set] 5 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

7. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 6
ผลต่ าง และ คอมพลีเมนต์ (Difference and Complement)
A B  B  A ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ และ U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์
A  B  {x x  A และ x  B}
? A  B  {x x  B และ x  A}
และ A = U - A
………………… หมายเหตุ
…………………
………………… เห็นได้ชดว่า A  B  B  A
ั
…………………
………………… สมบัติเกี่ยวกับผลต่ าง และ คอมพลีเมนต์ ให้ A, B, C เป็ นเซตใดๆ  เป็ นเซตว่าง และ
…………………
………………… U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์
………………… 1) A  B  A  B
……………….... 2) ถ้า A  B   แล้ว A  B  A และ B  A  B
3) ถ้า A  B   แล้ว A  B และ B  A
4) ถ้า A  B แล้ว A  B   และ B  A
5) ( A  B)  A  B
6) ( A  B)  A  B
7) ( A)  A
8) A  A    A  A
9) A  A  U  A  A
10)   U
11) U  
1.5 จานวนสมาชิกของเซตจากัด (Number of Finite Set)
ให้ A, B, C เป็ นเซตจากัดใดๆ และ n( A) แทนจานวนสมาชิกของ A จะได้ว่า
(1) n( A  B)  n( A)  n( A  B)
(2) n( A  B)  n( A  B)  n( B)
(3) n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)
(4) n( A  B)  n( A)  n( B)  n(C)  n( A  B)  n( B  C)  n( A  C)  n( A  B  C)
เพื่อความสะดวก เราสามารถใช้แผนภาพ ของเวนน์ และ ออยเลอร์ แก้ปัญหาเกี่ยวกับ
จานวนสมาชิกของเซตจากัด ได้อย่างมีประสิ ทธิภาพมากยิงขึ้น
่
เรื่ อง เซต [Set] 6 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

8. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 7
◙ ตัวอย่างข้ อสอบที่ท้าทายเรื่องเซต
☻ความรู้เกี่ยวกับพื้นฐานทางเซต
1. ข้อความใดถูกต้อง
1. ถ้า A  B = B แล้ว [(A B)  B] = A – B
2. ถ้า A  B = B แล้ว B A
3.   {0 , {1} ,{  }}
4. (AB)  [ A  (B – (A B)) ]
2. (A – B)  (B – A)  (AB) จะเท่ากับเซตใดเสมอ
1. AB 2. (AB)
3. A 4. (A B)
3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} และให้ A = {1 , 2 , 3 , 4 ,} ,
B = {3 , 4 , 5 , 6 , } , C = {2 , 4 , 6 , 7} แล้ว [(BC) – A]  (A  B  C)
คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. {6} 2. {6 , 8}
3. {5 , 6} 4. {5 , 6 , 7}
4. ให้ A, B, C เป็ นเซต ดังนี้
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {x | x = 1 – 1 เมื่อ y A}
y
C = { x | x = y 1 y เมื่อ y A}
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. B  C = { 1 , 2 , 4 , 4 , 6 , 6 }
2 3
3
5
5
7 2. B  C = { 1 , 2 , 4 , 4 , 6 }
2 3
3
5
5
3. B – C = { 6 } 7 4. C – B = { 0 }
5. ถ้า A = {5 , 6 , 7 , …, 20} และ B = {1 , 2 , 3 , …, 15} แล้วจานวนสมาชิกในเซต
{ X | X เป็ นสับเซตของ A และ X ไม่เป็ นสับเซตของ B} เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 7  210 2. 31  211
3. 31  210 4. 63  211
6. ให้ U = {2 , 3 , 4 , … , 10} A = {2 , 4 , 6}
B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} C = {3 , 5 , 7 , 9}
แล้ว (A – C) B คือข้อใดต่อไปนี้
1. {4 , 6} 2. {3 , 5 , 7}
3. {3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} 4. {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10}
เรื่ อง เซต [Set] 7 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

9. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 8
7. กาหนดให้ A = {x | x 2 – 6x – 16  0}
B = {x | |2 – x|  5}
ถ้า A – B = [a, b] แล้ว a + b มีค่าเท่ากับเท่าใด
8. กาหนดให้ A, B, C เป็ นเซต โดยที่ AB = {6, 8} AC = {6, 7}
AC = {4, 5, 6, 7, 8} AB = {4, 6, 7, 8, 9}
B – C คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. {8} 2. {9}
3. {8, 9} 4. {4, 8}
9. กาหนดให้ A , B และ C เป็ นเซตใดๆ A  (B  C) มีความหมายตรงกับข้อใด
1. สาหรับสมาชิก x ใดๆ ถ้า x  A แล้ว x  B และ x  C
2. มีสมาชิก x ซึ่ ง x  A แต่ x  B และ x  C
3. สาหรับสมาชิก x ใดๆ x  A แต่ x  B หรื อ x  C
4. มีสมาชิก x ซึ่ ง ถ้า x  A แล้ว x  B และ x  C
10. ให้ A , B , C , D เป็ นเซตใดๆ (A  C)  (B  D) เท่ากับเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. (A  B)  (D  C) 2. (A  B)  (C  D)
3. (A  B)  (D  C) 4. (A  B)  (C  D)
☻ความรู้เกี่ยวกับสับเซต และเพาเวอร์ เซต
1. ข้อความใดถูกต้อง
ก. ถ้าเพาเวอร์ เซตของ A และ B มีจานวนสมาชิกเท่ากัน แล้ว A เป็ นสับเซตของ B
และ B เป็ นสับเซตของ A
ข. ถ้า A เป็ นสับเซตของ B แล้ว เพาเวอร์ เซตของ A มีจานวนสมาชิก น้อยกว่าเพาเวอร์
เซตของ B
ค. สามารถสร้าง A ที่เพาเวอร์ เซตของ A มีสมาชิกจานวน 25 สมาชิก
ง. ถ้าเพาเวอร์ เซตของ A และ B มีจานวนสมาชิกเท่ากัน แล้ว A และ B เทียบเท่ากัน
จ. ไม่มีคาตอบที่ถูกต้องในข้อ ก ถึงข้อ ง
2. ถ้า B เป็ นเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ 1 กับ A โดยที่ A = { 1 } แล้วข้อใดถูก
1. P(B) = { 1 ,  , {1} } 2. A  P (B)
3. P(A) = P(B) 4. P(A)  P(B) = {  }
3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5, …,10}
ถ้า A = {1 , 2 , 5 , 6 , 9 , 10} และ B = {2 , 4 , 6 , 8 , 10}
แล้วสมาชิกของเพาเวอร์ เซตของ [(AB)B] มีจานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2. 4
3. 8 4. 16
เรื่ อง เซต [Set] 8 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

10. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 9
4. กาหนดให้ A = {1 , 2 , 3} , B = {1 , 2 , 4} และ P(X) แทนเพาเวอร์ เซตของเซต X
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. {1 , 2}  P(AB) ข. P(A – B) = P(A) – P(B)
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
5. ให้ A, B, C เป็ นเซต ซึ่ ง A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
C = {3, 6, 9,12, 15}
สาหรับเซต X ใดๆให้ n(X) หมายถึงจานวนสมาชิกของเซต X
P(X) หมายถึงเพาเวอร์ เซตของเซต X
ข้อใดต่อไปนี้ถก ู
1. n[(A  B)  C] = 2 2. n[A  (B  C)] = 2
3. n[P(A– B)] = 16 4. n[P(B– C)] = 32
6. ถ้า A = {a, b, {c}, {a}, {a, b}, {b, c}}
และ P(A) เป็ นเพาเวอร์เซตของ A แล้ว จานวนสมาชิกของ [P(A)  A] เท่ากับเท่าไร
7. ถ้า A = { , 0, 1, {1}, {1, 2}, {3}} และ P(A) เป็ นเพาเวอร์เซตของ A
แล้ว จานวนสมาชิกของเซต P(A) – A เท่ากับเท่าใด
8. กาหนดให้ A = {0, 1, 2}
B = { , {0, 1}, {1, 2}, {2, 3, 4,…}}
และ P(S) เป็ นเพาเวอร์ เซตของ S
ถ้า S = {(a, b)  AB | a  b } แล้วจานวนสมาชิกของ P(S) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 32 2. 64
3. 128 4. 256
9. ข้อใดต่อไปนี้ ผิด
1. มีเซต S และ T ซึ่ ง S  T และ S  T
2. มีเซต S , T และ U ซึ่ ง S  T และ T  U แต่ S  U
3. P()  { P()} และ P()  { P()}  
4. P(S)  S สาหรับทุกๆ เซต
10. ถ้า A = { , {} , 0 , {0} , {1} , {0 , 1}} และ P(A) คือเพาเวอร์ เซตของ A แล้วเซต
(P(A) – A)  (A – P(A)) มี จานวนสมาชิกกี่ตว ั
เรื่ อง เซต [Set] 9 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

11. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า
10
☻ความรู้เกี่ยวกับการหาจานวนสมาชิกของเซต โดยใช้ แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
1. ในการสารวจความนิยมเกี่ยวกับเพลงโดยสอบถามจากนักเรี ยนโรงเรี ยนหนึ่งจานวน 300 คน
พบว่าแต่ละคนชอบเพลงลูกทุ่ง เพลงลูกกรุ ง หรื อเพลงไทยเดิมอย่างน้อยหนึ่งประเภท
ปรากฏว่า
120 คน ชอบเพลงลูกทุ่ง
70 คน ชอบเพลงลูกกรุ งอย่างเดียว
80 คน ชอบเพลงไทยเดิมอย่างเดียว
45 คน ชอบทั้งเพลงลูกกรุ ง และเพลงไทยเดิม
30 คน ชอบทั้งเพลงลูกทุ่ง และเพลงลูกกรุ ง แต่ไม่ชอบเพลงไทยเดิม
50 คน ไม่ชอบเพลงไทยเดิม และไม่ชอบเพลงลูกกรุ ง
จะมีคนชอบทั้งเพลงลูกทุ่ง และเพลงไทยเดิมแต่ไม่ชอบเพลงลูกกรุ งกี่คน
1. 25 คน 2. 15 คน
3. 45 คน 4. 5 คน
2. จากการสารวจนักเรี ยนห้องหนึ่งพบว่า
ก) มี 20 คน ที่เลือกเรี ยนฝรั่งเศส หรื อคณิ ตศาสตร์
ข) ถ้าเลือกเรี ยนฝรั่งเศส แล้วจะต้องไม่ เรียนคณิ ตศาสตร์
ค) มีอยู่ 17 คน ที่ไม่ เรียนคณิ ตศาสตร์
ง) มีอยู่ 15 คน ที่ไม่ เรียนฝรั่งเศส
นักเรี ยนที่ไม่ เรียนทั้ งสองวิชามีจานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 6 2. 12
3. 26 4. 32
3. ในการสารวจนักเรี ยนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6 ของโรงเรี ยนแห่งหนึ่งจานวน 69 คน ซึ่ งต้องลง
ทะเบียนเรี ยนอย่างน้อย 1 วิชา พบว่านักเรี ยนลงทะเบียนเรี ยนวิชาคณิ ตศาสตร์ 30 คน วิชา
ภาษาอังกฤษ 27 คน วิชาภาษาไทย 41 คน วิชาคณิ ตศาสตร์ และวิชาภาษาอังกฤษ 19 คน
วิชาภาษาอังกฤษและวิชาภาษาไทย 7 คน วิชาคณิ ตศาสตร์ และวิชาภาษาไทย 8 คน จานวน
นักเรี ยนที่ลงทะเบียนเรี ยนทั้ง 3 วิชาคือข้อใดต่อไปนี้
1. 4 คน 2. 5 คน
3. 6 คน 4. 7 คน
4. ในการสอบถามความเห็นของผูชมรายการข่าวของสถานีโทรทัศน์ 2 ช่อง คือ ช่อง A และ
้
ช่อง B โดยให้ตอบว่า ชอบหรื อไม่ชอบ อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้ามีผตอบว่า ชอบช่อง A 60
ู้
เปอร์ เซ็นต์ ชอบช่อง B 55 เปอร์ เซ็นต์ และชอบทั้งสองช่อง 40 เปอร์ เซ็นต์ แล้วผูชมที่ไม่
้
ชอบรายการทั้งสองช่องคิดเป็ นเปอร์ เซ็นต์เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15 2. 20
3. 25 4. 30
เรื่ อง เซต [Set] 10 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

12. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า
11
5. สาหรับเซต X ใดๆ ให้ n(X) แทนจานวนสมาชิกของเซต X กาหนดให้  เป็ นเอกภพสัมพัทธ์ที่
มีสมาชิก 240 ตัว และ A, B, C เป็ นเซตที่มีสมบัติดงนี้
ั
n(A) = 5x, n(B) = 5x, n(C) = 4x
n(A  B) = n(B  C) = n(A  C) = y
n(A  B  C) = x, n[(A  B  C)] = 60
ถ้า y – x = 20 แล้ว x เป็ นจริ งตามข้อใดต่อไปนี้
1. 18  x  21 2. 21  x  24
3. 24  x  27 4. 27  x  30
6. จากการสอบถามนักเรี ยน 100 คน ผลปรากฏว่าสามารถแบ่งนักเรี ยนออกเป็ น 2 พวก คือ
พวกที่ชอบเล่นกีฬาและพวกที่ไม่ชอบเล่นกีฬา โดยพวกที่ชอบเล่นกีฬามีรายละเอียดดังนี้
ชอบเล่นบาสเกตบอล 31 คน
ชอบเล่นฟุตบอล 21 คน
ชอบเล่นปิ งปอง 46 คน
ชอบเล่นทั้งบาสเกตบอลและฟุตบอล 11 คน
ชอบเล่นทั้งบาสเกตบอลและปิ งปอง 10 คน
ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและปิ งปอง 9 คน
ชอบเล่นกีฬาทั้งสามชนิด 6 คน
มีนกเรี ยนที่ ไม่ ชอบ เล่นกีฬากี่คน
ั
7. กาหนดให้ A , B , C เป็ นเซต โดยที่ AB  BC
ถ้า n(A) = 25 , n(C) = 23 , n(BC) = 7 , n(AC) = 10
และ n(ABC) = 49 แล้ว n(B) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 11 2. 14
3. 15 4. 18
8. กาหนดให้ A , B , C เป็ นเซต ถ้า n(B) = 42 , n(C) = 28 , n(AC) = 8 ,
n(ABC) = 3 , n(ABC) = 2 , n(ABC) = 20 และ n(ABC) = 80
แล้ว n(ABC) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 5 2. 7
3. 10 4. 13
______________________________________
เรื่ อง เซต [Set] 11 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น