LES MATHÉMATIQUES AU SERVICE DU
TRANSPORT DE L’INFORMATION
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INTRODUCTION
QU’APPELLE T-ON INFORMATION ?
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• Information = Ce qui donne une forme à l'esprit, du latin informare qui signifie « donne...
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Information
(élément de connaissance)
Ecriture sur un
support physique
Conservation
Alphabet
+
protocole d’écriture
Trai...
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Information
« Texte »
Ecriture sur un cahier
ou un livre
Conservation
dans une bibliothèque
Alphabet = Alphabet latin, 2...
UN MONDE NUMÉRIQUE
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Pierre ou papier ? Les supports comme la pierre ou le papier sont de plus en plus délaissés car
peu a...
L’INFORMATION PEUT PRENDRE
PLUSIEURS FORMES :
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TEXTE
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IMAGE
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SON
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OÙ SONT LES MATHS ?
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Les mathématiques participent de façon essentielle au traitement de l’information,
par exemple pour ...
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CONVERSER AVEC UN ORDINATEUR
BINAIRE & HEXADÉCIMAL
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Le langage machine est le seul langage qu'un ordinateur puisse exécuter. Il s’agit d’un texte
uti...
SYSTÈME BINAIRE
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011000012 = 6116 = 9710
01100001 = 26 + 25 + 1 = 64 + 32 + 1 = 97
Base 2
(binaire)
Base 10
(décimale)
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Transformer une écriture décimale en écriture binaire
Nombre en
base 2
Divisions
successives
De l’arithmétique !
OPERATIONS EN BINAIRE
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Encore de
l’arithmétique !
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SYSTÈME HEXADÉCIMAL
On travaille en base 16.
Les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
97 = 6 ...
CODE ASCII
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American Standard Code for Information Interchange
Réf. http://www.cpptutor.com/ascii.htm Codé sur 7 bits : ...
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CODER DES SONS
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Le son est une onde mécanique qui se propage dans l’air.
Il est modélisé par une courbe donnant la pression de l’air en...
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L’oreille humaine entend les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 KHz.
Bande passante audible : environ 20 KHz.
L’éch...
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CODER DES IMAGES
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On numérise une image en échantillonnant dans les deux directions .
Les capteurs CCD des appareils photos ont une grill...
CODAGE DES COULEURS
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Le codage couleur d'un pixel peut se faire en 3 octets, soit 24 bits. Ces octets définissent les
te...
IMAGES BITMAP
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• Définition = nombre de pixels dans l’image
• Résolution = nombre de pixels par unité de longueur
dpi = ...
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Réf. http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf Un « A » en bitmap suivant la résolution.
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COMPRESSER DES FICHIERS
POURQUOI COMPRESSER ?
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Diagramme d’Eric Briantais sur http://fr.slideshare.net/briantais/standards-de-compression-audio-...
COMPRESSION DE DONNÉES
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• But : réduire le poids des fichier (son, audio, vidéo) sans trop perdre de qualité.
• Moyen : ...
ALGORITHME RLE
(RUN LENGHT ENCODING)
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On remplace des chaînes de caractères identiques par un couple formé de la valeur ...
ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH)
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Exemple 2
Réf. [MAR]
(p, l, c)
p = distance entre le début du tampon de lecture et la...
ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH)
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Exemple 2 (suite)
(p, l, c)
p = distance entre le début du tampon de lecture et la po...
ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH)
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Exemple 2 (suite)
Réf. [MAR]
Evidemment, il faut ensuite
écrire un algorithme et
l’im...
COMPRESSION JPG (AVEC PERTES)
Transformation discrète en cosinus (DCT)
Exemple 3
 C’est une transformation par blocs qui ...
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Exemple d’une matrice de pixels et du résultat obtenue après multiplication par la matrice DCT :
Matrice DCT obtenue
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En fait c’est plus compliqué !
Exemple 3 (suite)
Relevé sur [SER]
COMPRESSION JPG (AVEC PERTES)
Transformation discrète...
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Exemple 3 (suite)
Réf. [SER]
COMPRESSION JPG (AVEC PERTES)
Transformation discrète en cosinus (DCT)
On multiplie la mat...
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DESSINER DES POLICES DE CARACTÈRES
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Bitmap (bmp) = Dessin donné par une matrice de pixels.
Polices crées à des tailles fixées et impossibles à redimensionn...
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Les courbes de Bézier sont largement utilisées
en infographie dans tous les logiciels de dessin :
DAO (dessin assisté p...
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Un changement d’échelle s’opère
facilement grâce à la description
mathématique des courbes utilisant
des points et des ...
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COURBES DE BÉZIER
Le binôme de Newton !
Des coefficients binomiaux et des polynômes
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COURBES DE BÉZIER
 M(t) est le barycentre des points Pi affectés des coefficients Bi,n(t).
 B(P₀,P₁,...,Pn) est indép...
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Des paraboles comme en seconde !
Liens entre dérivées et
tangentes à une courbe
Dérivation de fonctions vectorielles !
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Les courbes de Bézier ont été inventées vers 1960 par Pierre Bézier (1910 - 1999), ingénieur français
à la régie Renaul...
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Gros avantage des courbes de Bézier :
Encore une propriété
géométrique !
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Exemples de polices TTF : que de courbes mathématiques !
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CODES CORRECTEURS D’ERREURS
PROBLEME DU TRANSFERT DE DONNÉES
48
• L’échange d’information sur n’importe quel canal de transmission n’est possible que ...
49
L’expéditeur envoie le message « 1 ». Ce message peut subir des dommages pendant sa
transmission, et le message reçu se...
50
On répète le même symbole
Message envoyé
11111
Message reçu
10110
CODE À RÉPÉTITION
Message à envoyer
1
Message décodé
...
51
Il est naturel d'allonger un message pour le protéger.
Cela revient à éloigner les mots les uns des autres.
Exemple : l...
BIT DE PARITÉ
52
Très utilisé en informatique. A un message de 7 bits, par exemple 0010110, on
adjoint un dernier bit obte...
53
Un archer placé au centre O d’un cercle vise une cible A parmi des cibles disposées
à égales distances sur ce cercle. L...
PROBLÈME DU TIREUR
54
Si la flèche ne peut atteindre que des points régulièrement disposés sur le cercle, et si X=g,
alors...
DISTANCE DE HAMMING
55
La distance de Hamming entre deux mots de même longueur est le nombre de lettres par
lesquelles ces...
56
CODES PARFAITS
57
Un code C est parfait si l’ensemble formé par les boules centrées sur les mots de code et de
rayon la ca...
CODES PARFAITS
58
Un exemple de code parfait dont les boules B(c,e) sont de rayon 2 :
En vert les mots de code
Les lignes ...
CODES PARFAITS
59
Un autre exemple :
IN THE REAL LIFE
60Tous les exemples des pages IN THE REAL LIFE sont traités en exercices dans [MER)
Les maths sont partou...
IN THE REAL LIFE
61
13 chiffres pour l’EAN 13
Des congruences !
IN THE REAL LIFE
62
Des congruences encore !
IN THE REAL LIFE
63
IN THE REAL LIFE
64ISBN 13
On adore les congruence !
IN THE REAL LIFE
65
Cela ne s’arrête jamais ?
IN THE REAL LIFE
66
De la géométrie et de l’algèbre !
CODES LINÉAIRES
67
CODES LINÉAIRES
68
CODES LINÉAIRES
69
Bon là on est en plein dedans !
CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES
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CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES
71
CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES
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CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES
73
LRO = LUNAR RECONNAISSANCE ORBITER
74
Sonde spatiale de type orbiteur lancée par la NASA en 2009 pour étudier la Lune depu...
LRO = LUNAR RECONNAISSANCE ORBITER
75
To clean up transmission errors introduced by Earth’s atmosphere (left), Goddard sci...
CODES DES SONDES VOYAGER
76
Photographies de Jupiter et Saturne en 1977
Images = 800 x 800 pixels avec des couleurs sur 8 ...
77
Un même principe pour les CD, DVD et les liaisons spatiales…
CD & DVD
78
Surface d’un CD agrandie : le faisceau
laser décode les cavités (pits) comme
des 1, et décode 0 sinon.
Photo :...
FIN
79
80
On trouvera la présentation de cet exposé à cette adresse :
http://megamaths.perso.neuf.fr/irem/iremaccueil.html
Autre ...
81
BIBLIOGRAPHIE
82
[COH] G. Cohen, J.-L. Dornstetter , P. Godlewski, Codes correcteurs d'erreurs, une introduction
au codage...
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Les mathématiques participent de façon essentielle au traitement de l’information, par exemple pour :
- Converser avec l’ordinateur
- Coder des sons et des images
- Compresser des fichiers
- Dessiner des polices
- Transmettre des données (codes correcteurs d’erreurs)
Cette présentation, issue d'une conférence donnée le 20 mars 2015 au lycée Baimbridge de Pointe-à-Pitre dans le cadre de la semaine des mathématiques, permet de faire le point et de voir où et quand les mathématiques interviennent pour écouter écrire un texte et le transmettre, écouter de la musique ou regarder une vidéo.

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  1. 1. LES MATHÉMATIQUES AU SERVICE DU TRANSPORT DE L’INFORMATION
  2. 2. 2 INTRODUCTION
  3. 3. QU’APPELLE T-ON INFORMATION ? 3 • Information = Ce qui donne une forme à l'esprit, du latin informare qui signifie « donner forme à » ou « se former une idée de ». • Information = « Elément de connaissance susceptible d'être représenté à l'aide de conventions pour être conservé, traité ou communiqué » (B.O.E.N., 26 févr. 1981, no8). • La connaissance n’a pas de forme, mais peut être écrite sur des supports divers : pierre, parchemin, papier, bande magnétique, disque optique (CD, DVD, Blu-ray…), disque dur, etc. pour être conservée et communiquée. • Avec l’informatique, il est devenu important de distinguer l'information en tant que connaissance et les supports de l’information qui font intervenir un objet physique sur lequel on écrit , associés à un protocole d’écriture. Il est aussi devenu important de faciliter le transport de l’information pour communiquer plus facilement.
  4. 4. 4 Information (élément de connaissance) Ecriture sur un support physique Conservation Alphabet + protocole d’écriture Traitement Communication
  5. 5. 5 Information « Texte » Ecriture sur un cahier ou un livre Conservation dans une bibliothèque Alphabet = Alphabet latin, 26 lettres Protocole = langue française Traitement Métadonnées : titre, auteur, résumé, ISBN… Communication Prêt, transport du livre, envoi par la poste Exemple d’un livre
  6. 6. UN MONDE NUMÉRIQUE 6 Pierre ou papier ? Les supports comme la pierre ou le papier sont de plus en plus délaissés car peu adaptés à la copie et aux échanges. Aujourd’hui, on aime transporter l’information (texte, image, son, vidéo) instantanément, ce qui demande des appareils et des protocoles efficaces. Un ordinateur fonctionne en binaire. Une porte ne peut être qu’ouverte ou fermée, une mémoire d’ordinateur ne peut être que chargée ou déchargée. Cela explique que la langage de l’ordinateur soit le binaire formé de symboles 0 ou 1 (fermé ou ouvert). Un cerveau qui ne comprend que les 0 et les 1. Le processeur (CPU = Central Processing Unit) est le cerveau de l'ordinateur. Il ne manipule que des chiffres 0 ou 1 et peut exécuter des instructions stockées en mémoire.
  7. 7. L’INFORMATION PEUT PRENDRE PLUSIEURS FORMES : 7 TEXTE • txt • doc • odt • pdf… IMAGE • bmp • jpg • png • gif • tiff… SON • wav • mp3 • AC3 • ogg… VIDEO • avi • mp4 • xvid • wmv • flv…
  8. 8. OÙ SONT LES MATHS ? 8 Les mathématiques participent de façon essentielle au traitement de l’information, par exemple pour :  Converser avec l’ordinateur  Coder des sons et des images  Compresser des fichiers  Dessiner des polices de caractères  Transmettre des données (codes correcteurs d’erreurs)  Protéger les données (cryptographie) (liste non exhaustive) NB : nous n’aborderons pas la CRYPTOGRAPHIE dans cet exposé, celle-ci ayant fait déjà l’objet d’une conférence en mars 2014.
  9. 9. 9 CONVERSER AVEC UN ORDINATEUR
  10. 10. BINAIRE & HEXADÉCIMAL 10 Le langage machine est le seul langage qu'un ordinateur puisse exécuter. Il s’agit d’un texte utilisant uniquement deux symboles : 0 ou , appelés « bits » pour « binary digits ». En maths, on parle de nombres écrits dans le système binaire, comme : 10110000 01100001 Ces nombres sont difficiles à manipuler par des humains. On utilise l’Assembleur, un langage proche du langage machine qui utilise le système hexadécimal (base 16). Pour un processeur x86, l’instruction ci-dessus est remplacée par : movb $0x61,%al 10110000 = movb %al 01100001 = $0x61 = 61 en hexadécimal = 97 en décimal Ce qui signifie : « écrire le nombre 97 dans le registre AL ». Des compilateurs-optimiseurs transforment du langage de haut niveau en code ! Des maths ! Numération en base a
  11. 11. SYSTÈME BINAIRE 11 011000012 = 6116 = 9710 01100001 = 26 + 25 + 1 = 64 + 32 + 1 = 97 Base 2 (binaire) Base 10 (décimale)
  12. 12. 12 Transformer une écriture décimale en écriture binaire Nombre en base 2 Divisions successives De l’arithmétique !
  13. 13. OPERATIONS EN BINAIRE 13 Encore de l’arithmétique !
  14. 14. 14 SYSTÈME HEXADÉCIMAL On travaille en base 16. Les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 97 = 6 x 16 + 1 donc 97 = &61 N = 19071 = 4 × 16³ + 10 × 16² + 7 × 16 + 15 donc 19071 = &4A7F N = 4 × (2⁴)³ + 10 × (2⁴)² + 7 × 2⁴ + 15 = 4 × 2¹² + 10 × 2⁸ + 7 × 2⁴ + 15 = 2² × 2¹² + (2³ + 2) × 2⁸+ (2² + 2 + 1) × 2⁴ + (2³ + 2² + 2 + 1) = 2¹⁴ + (2¹¹ + 2⁹) + (2⁶ + 2⁵ + 2⁴) + (2³ + 2² + 2 + 1) = 2¹⁴ + 2¹¹ + 2⁹ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2 + 1 donc N = 100101001111111 = 19071 = &4A7F Conversion hexadécimal vers binaire facile ! & pour hexadécimal Opérations sur des puissances… L’écriture hexadécimale utilise jusqu’à 4 fois moins de chiffres qu’en binaire, ce qui facilite la tâche du programmeur et diminue la longueur des programmes.
  15. 15. CODE ASCII 15 American Standard Code for Information Interchange Réf. http://www.cpptutor.com/ascii.htm Codé sur 7 bits : pas de place pour les lettres accentuées dans cette version…
  16. 16. 16 CODER DES SONS
  17. 17. 17 Le son est une onde mécanique qui se propage dans l’air. Il est modélisé par une courbe donnant la pression de l’air en fonction du temps. Echantillonnage = prélever la valeur du signal à intervalles réguliers (au moins 40KHz) Quantification = associer une valeur numérique à la valeur du signal. Réf. http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf
  18. 18. 18 L’oreille humaine entend les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 KHz. Bande passante audible : environ 20 KHz. L’échantillonnage minimum sera donc de 2 x 20 = 40 KHz. Théorème d'échantillonnage de Nyquist Le taux minimum d'échantillonnage nécessaire pour reconstituer le signal doit être au moins deux fois plus élevé que la bande passante du signal analogique original. Réf. de l’exercice : http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf Exercice - En vous appuyant sur le théorème de Nyquist, évaluez la taille d'un enregistrement audio stéréo d'une heure avec un codage sur 16 bits (plage de fréquences de 22000 Hz) et celle d'un DVD quadriphonique de même durée avec un codage sur 16 bits (plage de fréquences de 24000 Hz). Solution - Pour une heure de musique numérisée sur 16 bits en stéréo, le calcul donne : Fréquence d'échantillonnage : 22000 × 2 = 44000. Soit pour chacune des deux voies : 44000 × 16 pour une seconde. Soit pour une voie et une heure : 44000 × 16 × 3600. Soit pour deux voies : 44000 × 16 × 3600 × 2 = 5 068 800 000 bits. Cela fait 5068800000 / 8 = 633600000 octets, soit environ 634 Mo. Pour le DVD quadriphonique, on obtient 48000 × 16 × 4 × 3600 = 11 059 200 000 bits, soit 1 382 400 000 octets, c'est-à-dire environ 1,3 Go.
  19. 19. 19 CODER DES IMAGES
  20. 20. 20 On numérise une image en échantillonnant dans les deux directions . Les capteurs CCD des appareils photos ont une grille de capteurs espacés régulièrement. Le code couleur de chaque pixel est retenu.
  21. 21. CODAGE DES COULEURS 21 Le codage couleur d'un pixel peut se faire en 3 octets, soit 24 bits. Ces octets définissent les teintes primaires : R = 8 bits pour le rouge V = 8 bits pour le vert B = 8 bits pour le bleu Un dernier octet peut être adjoint pour préciser d’autres informations, comme la transparence. Exemple : la couleur est codée ainsi : R = 251 soit 11111011, V = 208 soit 11010000, B = 151 soit 10010111. Son codage binaire est : 111110111101000010010111 soit &FBD097 en hexadécimal. 1 octet = 8 bits Exemple : 01101011 Composantes RVB 28 = 256 256 x 256 x 256 = 16,7 millions de couleurs !
  22. 22. IMAGES BITMAP 22 • Définition = nombre de pixels dans l’image • Résolution = nombre de pixels par unité de longueur dpi = dot per inch = ppp = point par pouce • Poids = nombre d’octets nécessaire pour décrire l’image • Transparence Pixel = picture element 1 inch = 2,54cm On conserve seulement une description géométrique de l'images, par exemple une suite d‘équations mathématiques qui définissent des courbes paramétrées, et des attributs (couleur, transparence, nature et épaisseur du trait...). IMAGES VECTORIELLES Des matrices de pixels pour jouer avec ! Des fonctions, des courbes paramétrées, des tangentes et des barycentres…
  23. 23. 23 Réf. http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~ioana/c7-sol.pdf Un « A » en bitmap suivant la résolution.
  24. 24. 24 COMPRESSER DES FICHIERS
  25. 25. POURQUOI COMPRESSER ? 25 Diagramme d’Eric Briantais sur http://fr.slideshare.net/briantais/standards-de-compression-audio-et-vido
  26. 26. COMPRESSION DE DONNÉES 26 • But : réduire le poids des fichier (son, audio, vidéo) sans trop perdre de qualité. • Moyen : définir des couples CODEUR/DECODEUR (codec) et des normes. • Dans la pratique, on exploite les : • redondances spatiales (intra-images), • redondances temporelles (inter-images), • redondances subjectives liées à la perception d’un œil humain. • Toutes les méthodes de compression utilisent des algorithmes mathématiques, J’en était sûr !
  27. 27. ALGORITHME RLE (RUN LENGHT ENCODING) 27 On remplace des chaînes de caractères identiques par un couple formé de la valeur du caractère répété et du nombre de répétitions. Par exemple : Exemple 1 Chaine à compresser : 000110010111111111001011000 Chaîne compressée : (0,3)(1,2)(0,2)(1,1)(0,1)(1,9)(0,2)(1,1)(0,1)(1,2)(0,3) En binaire : 32211921123
  28. 28. ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH) 28 Exemple 2 Réf. [MAR] (p, l, c) p = distance entre le début du tampon de lecture et la position de répétition dans le tampon de recherche l = longueur de la répétition c = premier caractère du tampon de lecture différent du caractère correspondant dans le tampon de recherche Tampon de recherche Tampon de lecture
  29. 29. ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH) 29 Exemple 2 (suite) (p, l, c) p = distance entre le début du tampon de lecture et la position de répétition dans le tampon de recherche l = longueur de la répétition c = premier caractère du tampon de lecture différent du caractère correspondant dans le tampon de recherche p = 5 l = 2 c = d Tampon de lecture Tampon de recherche
  30. 30. ALGORITHME LZW (LEMPEL-ZIV-WELCH) 30 Exemple 2 (suite) Réf. [MAR] Evidemment, il faut ensuite écrire un algorithme et l’implémenter, mais ça c’est une autre histoire…
  31. 31. COMPRESSION JPG (AVEC PERTES) Transformation discrète en cosinus (DCT) Exemple 3  C’est une transformation par blocs qui utilise des produits de matrices.  Il existe une certaine continuité entre les valeurs des pixels. Les changements brusques entre pixels voisins sont rares dans une photographie. L’image dépend donc d’un petit nombre de pixels et le codage d’un pixel pourra être déduit des pixels voisins.  Domaine mathématique utilisé : algèbre linéaire, analyse & transformée de Fourier. Des maths de terminale ! Coefficient (i,j) de la matrice DCT de taille N en fonction des pixels de la photo Et encore des maths ! Formule relevée sur http://www-ljk.imag.fr/membres/Valerie.Perrier/SiteWeb/node9.html
  32. 32. 32 Exemple d’une matrice de pixels et du résultat obtenue après multiplication par la matrice DCT : Matrice DCT obtenue Matrice DCT après quantification Exemple 3 (suite) Relevé sur [MAS] Matrice de départ COMPRESSION JPG (AVEC PERTES) Transformation discrète en cosinus (DCT)
  33. 33. 33 En fait c’est plus compliqué ! Exemple 3 (suite) Relevé sur [SER] COMPRESSION JPG (AVEC PERTES) Transformation discrète en cosinus (DCT)
  34. 34. 34 Exemple 3 (suite) Réf. [SER] COMPRESSION JPG (AVEC PERTES) Transformation discrète en cosinus (DCT) On multiplie la matrice de pixels par la matrice DCT permettant de réduire l'écart entre les coefficients. La matrice obtenue prépare les données en retenant les variation d'un pixel à l'autre. Les coefficients sont ensuite réduits par division de chaque terme par le terme de même indice d'une matrice de quantification. La matrice quantifiée est enfin lue en zigzag pour subir une compression sans perte RLE suivie d'un codage Huffman. Le parcours en zigzag augmente la probabilité d'obtenir une suite de coefficients identiques.
  35. 35. 35 DESSINER DES POLICES DE CARACTÈRES
  36. 36. 36 Bitmap (bmp) = Dessin donné par une matrice de pixels. Polices crées à des tailles fixées et impossibles à redimensionner (crénelage). Fichiers volumineux. PostScript (ps) = Langage de programmation développé par Adobe pour décrire des pages, et construit sur une description vectorielle des courbes (courbes de Bézier). Permet de définir des polices de caractères « format Type 1 ». Utilisation privilégiée dans l'industrie graphique. Utilise 2 fichiers : l’un pour afficher la police à l'écran au format Bitmap, l’autre pour décrire mathématiquement le dessin pour l'impression. True Type (ttf) = Développé par Apple/Microsoft pour contrer Adobe. Un seul fichier pour visionner et imprimer. Utilise des courbes B-Splines carrés, similaires aux courbes de Bézier mais avec des points de contrôle sur la courbe et non à l'extérieur : moins de points de contrôle = plus d’économies. TROIS FORMATS IMPORTANTS
  37. 37. 37 Les courbes de Bézier sont largement utilisées en infographie dans tous les logiciels de dessin : DAO (dessin assisté par ordinateur), CAO (conception assistée par ordinateur) CFAO (conception fabrication assistée par ordinateur). Elles sont incontournables dans l'industrie pour créer des pièces d'usine. Elles permettent de générer des polices de caractères. Elles permettent de créer des images de synthèse 3D et sont utilisées dans les logiciels de morphing. COURBES DE BÉZIER
  38. 38. 38 Un changement d’échelle s’opère facilement grâce à la description mathématique des courbes utilisant des points et des tangentes… Des maths ! Fonctions, dérivation, arcs paramétrés, tangentes, la totale,,,
  39. 39. 39 COURBES DE BÉZIER Le binôme de Newton ! Des coefficients binomiaux et des polynômes
  40. 40. 40
  41. 41. 41 COURBES DE BÉZIER  M(t) est le barycentre des points Pi affectés des coefficients Bi,n(t).  B(P₀,P₁,...,Pn) est indépendante du choix de O et de tout repère du plan.  Elle ne dépend que des points de contrôle P₀, P₁, ..., Pn .  Les coordonnées x(t) et y(t) de M(t) sont des fonctions polynomiales de degrés n en t.  On obtient donc d'un chemin très « lisse » (de classe C∞) qui relie P₀ à Pn. Des barycentres ! De l’analyse et de la géométrie ! Des vecteurs !
  42. 42. 42 Des paraboles comme en seconde ! Liens entre dérivées et tangentes à une courbe Dérivation de fonctions vectorielles ! Ici t vaut 0, puis ¼, puis ½, puis 3/4
  43. 43. 43
  44. 44. 44 Les courbes de Bézier ont été inventées vers 1960 par Pierre Bézier (1910 - 1999), ingénieur français à la régie Renault, pour concevoir des machines pour des lignes de fabrication d'automobiles (modélisation de courbes en 2D et 3D). La solution devait être : a) Ergonomique L'interface doit être simple à prendre en main pour répondre rapidement aux besoins des dessinateurs. Ici on place quelques points et la machine calcule une courbe polynomiale lisse qui approche en un certain sens la ligne brisée formée par ces points . Bézier inventa aussi les poignées de contrôle. b) Indépendante du choix du repère dans lequel on travaille Utiliser des barycentres permet aux courbes de Bézier de ne dépendre que des points de contrôle. c) Compatible avec les transformations affines En DAO il est utile de pouvoir appliquer une transformation affine à une courbe en appliquant cette transformation aux seuls points de contrôle. Les applications d'animation ou de morphing sont alors plus faciles à réaliser. Historique & intérêt
  45. 45. 45 Gros avantage des courbes de Bézier : Encore une propriété géométrique !
  46. 46. 46 Exemples de polices TTF : que de courbes mathématiques !
  47. 47. 47 CODES CORRECTEURS D’ERREURS
  48. 48. PROBLEME DU TRANSFERT DE DONNÉES 48 • L’échange d’information sur n’importe quel canal de transmission n’est possible que si le message reçu est identique au message envoyé. • Les conditions physiques de la liaison peuvent abîmer plus ou moins le message. Toutes les communications sont touchées : téléphoniques, internet, ADSL, optique … • Les bits peuvent être modifiés ou effacés. Un orage violent à proximité d’une ligne téléphonique transforme un message binaire en une succession de 0, donc détruit l’information. Un signal venant de Mars peut ne jamais arriver sur la Terre. • Dans des conditions normales, la probabilité de faire une erreur sur un symbole est connue. Elle dépend des modalités de transmission (matériel, distance…).
  49. 49. 49 L’expéditeur envoie le message « 1 ». Ce message peut subir des dommages pendant sa transmission, et le message reçu sera « 0 » ou « 1 ». Message envoyé 1 Message reçu 1 Message envoyé 1 Message reçu 0 Orage magnétique OK DEUX QUESTIONS FONDAMENTALES : 1) Comment savoir si le message reçu contient des erreurs ? 2) Comment retrouver le message envoyé à partir du message reçu ?
  50. 50. 50 On répète le même symbole Message envoyé 11111 Message reçu 10110 CODE À RÉPÉTITION Message à envoyer 1 Message décodé 1 Canal de transmission Dans cet exemple on corrige 2 erreurs et on en détecte une. Efficacité ? Le message expédié est 5 fois plus long que l’information qu’il contient. Le taux de transmission est 1/5.
  51. 51. 51 Il est naturel d'allonger un message pour le protéger. Cela revient à éloigner les mots les uns des autres. Exemple : l'alphabet phonétique de l'OTAN reconnu par l'UIT (Union Internationale des Télécommunications) et utilisé dans l'aviation civile :
  52. 52. BIT DE PARITÉ 52 Très utilisé en informatique. A un message de 7 bits, par exemple 0010110, on adjoint un dernier bit obtenu en additionnant les 7 bits précédents. Ici : 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 1 Donc on transmet l’octet : 00101101 L'adjonction d'un bit de parité permet de détecter une erreur sans la corriger. Il suffit de faire la somme des 8 bits reçus. Si l’on obtient 0, tout va bien. Si l’on obtient 1, il y a eu une erreur et il faut redemander la transmission du message.
  53. 53. 53 Un archer placé au centre O d’un cercle vise une cible A parmi des cibles disposées à égales distances sur ce cercle. La flèche atteint le point X. Quelle cible visait-il ? PROBLÈME DU TIREUR
  54. 54. PROBLÈME DU TIREUR 54 Si la flèche ne peut atteindre que des points régulièrement disposés sur le cercle, et si X=g, alors l’archer visait A. Distance entre les cibles = 6 Correction de 2 erreurs et détection de 5 erreurs
  55. 55. DISTANCE DE HAMMING 55 La distance de Hamming entre deux mots de même longueur est le nombre de lettres par lesquelles ces deux mots différent. On démontre que d est une distance, Exemple : a = 01100011001 b = 10100001001 donc : d(a,b) = 3 Si x = (x₁,...,xn) et y = (y₁,...,yn) alors : d(x,y) = Card ( { i ∈ [[1,n]] / xi ≠ yi } ). Des maths !
  56. 56. 56
  57. 57. CODES PARFAITS 57 Un code C est parfait si l’ensemble formé par les boules centrées sur les mots de code et de rayon la capacité de correction e du code, sont toutes disjointes entre elles deux à deux et recouvrent parfaitement l’ensemble Qn des mots possibles à l’arrivée. Mazette, encore des maths ! Ce code est parfait si et seulement si cette inégalité est une égalité !
  58. 58. CODES PARFAITS 58 Un exemple de code parfait dont les boules B(c,e) sont de rayon 2 : En vert les mots de code Les lignes vertes montrent la limite des boules Des boules carrées ? En maths on verra des boules encore plus étonnantes que celles-là !
  59. 59. CODES PARFAITS 59 Un autre exemple :
  60. 60. IN THE REAL LIFE 60Tous les exemples des pages IN THE REAL LIFE sont traités en exercices dans [MER) Les maths sont partout présentes dans la vie réelle…
  61. 61. IN THE REAL LIFE 61 13 chiffres pour l’EAN 13 Des congruences !
  62. 62. IN THE REAL LIFE 62 Des congruences encore !
  63. 63. IN THE REAL LIFE 63
  64. 64. IN THE REAL LIFE 64ISBN 13 On adore les congruence !
  65. 65. IN THE REAL LIFE 65 Cela ne s’arrête jamais ?
  66. 66. IN THE REAL LIFE 66 De la géométrie et de l’algèbre !
  67. 67. CODES LINÉAIRES 67
  68. 68. CODES LINÉAIRES 68
  69. 69. CODES LINÉAIRES 69 Bon là on est en plein dedans !
  70. 70. CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES 70
  71. 71. CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES 71
  72. 72. CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES 72
  73. 73. CODES POLYNOMIAUX ET CODES CYCLIQUES 73
  74. 74. LRO = LUNAR RECONNAISSANCE ORBITER 74 Sonde spatiale de type orbiteur lancée par la NASA en 2009 pour étudier la Lune depuis son orbite. Masse totale : 1916 kg. Sept instruments scientifiques embarqués. Orbite basse de 50 km. [NAS]
  75. 75. LRO = LUNAR RECONNAISSANCE ORBITER 75 To clean up transmission errors introduced by Earth’s atmosphere (left), Goddard scientists applied Reed-Solomon error correction (right), which is commonly used in CDs and DVDs. Typical errors include missing pixels (white) and false signals (black). The white stripe indicates a brief period when transmission was paused.
  76. 76. CODES DES SONDES VOYAGER 76 Photographies de Jupiter et Saturne en 1977 Images = 800 x 800 pixels avec des couleurs sur 8 bits Données GSE (General Science and Engineering) Utilise des codes de Golay Diagramme : [MAR], p. 116
  77. 77. 77 Un même principe pour les CD, DVD et les liaisons spatiales…
  78. 78. CD & DVD 78 Surface d’un CD agrandie : le faisceau laser décode les cavités (pits) comme des 1, et décode 0 sinon. Photo : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:REM_CD_GEPRESST.jpg Les normes adoptées par Philips pour les CD audio (sortis en 1982) demandent la correction d'une rayure de 0,2 mm, Le code CIRC permet de corriger des paquets d'erreurs ou d'effacements de 4096 bits consécutifs, ce qui correspond approximativement à une rayure d'un millimètre.
  79. 79. FIN 79
  80. 80. 80 On trouvera la présentation de cet exposé à cette adresse : http://megamaths.perso.neuf.fr/irem/iremaccueil.html Autre façon d’arriver au même endroit : Taper « MégaMaths » dans Google, puis choisir « Exposés IREM »
  81. 81. 81
  82. 82. BIBLIOGRAPHIE 82 [COH] G. Cohen, J.-L. Dornstetter , P. Godlewski, Codes correcteurs d'erreurs, une introduction au codage algébrique, Coll. Technique & Scientifique des Télécom, Masson, 1992. [MAR] B. Martin, Codage, cryptologie et applications, Ed. Presses polytechniques et universitaires romandes, Coll. Technique et scientifique des té́lé́communications, 2004. (https://books.google.gp/books?id=SNYrhjDGlPsC) [MAS] R. Massaoudi , Formats d’images, ppt en http://fr.slideshare.net/rumibozu/formats-dimages [MER] D.-J. Mercier, Codes correcteurs d’erreurs, CSIPP, 2014. [NAS] http://lunarscience.nasa.gov/articles/nasa-beams-mona-lisa-at-the-moon/ [PAP] O. Papini & J. Wolfmann, Algèbre discrète et codes correcteurs, Springer-Verlag, Mathématiques & Applications n⁰20, 1995. [SER] C. Servin, Réseaux & télécoms, 4e édition, Dunod, 2013. (Chap. 1 en http://inova.snv.jussieu.fr/ALF/servin_chapitre1_complet.htm) [VNA] Van Lint, Introduction to Coding Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol.86, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, Springer, 1982. [WEI] G. Weidenfeld & alii, Techniques de base pour le multimédia, coll. Enseignement de l'Informatique, Masson, 1997. [ZAN] J.P. Zanotti, Codage d'un signal audionumérique sur un support à lecture optique, Erreurs au décodage et codes MDS, Mémoire de DEA, Université d'Aix-Marseille II, Faculté des Sciences de Luminy, 1992.

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