5 επαναληπτικά θέματα σε όλη την ύλη

1. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[1]
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ
ΘΕΜΑ 1
Δίνονται τα σημεία ( )2,6Α , ( )1,1Β και ( )3,2Γ
α) Να αποδείξετε ότι τα , ,Α Β Γ είναι κορυφές τριγώνου
β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και με τη βοήθεια
τους να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες.
γ) Θεωρούμε τα διανύσματα 2 3= ΑΒ − ΑΓu και ( )1,2 1= + −v λ λ . Να βρείτε την
τιμή του ∈ℝλ , ώστε τα u και v να είναι μεταξύ τους κάθετα
δ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας Γ . Να αιτιολογήσετε για ποιο λόγο
το βρήκατε θετικό ή αρνητικό.
ε) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται:
i. H πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ
ii. To ύψος ΑΕ του τριγώνου ΑΒΓ
iii. H διάμεσος ΒΜ του τριγώνου ΑΒΓ
iv. H μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ
στ) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΑΕ
ζ) Να βρείτε σημείο ∆ έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ να είναι
παραλληλόγραμμο
η) Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓ∆
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται τα διανύσματα α , β για τα οποία ισχύουν 2=α , 3=β και
( ),
3
=
π
α β . Θεωρούμε επιπλέον τα διανύσματα 3= −u α β και 3 2= − +v a β
α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο ⋅α β
β) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων u και v

2. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[2]
γ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο ⋅u v και στη συνέχεια να βρείτε τη
γωνία ( ),u v
δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο
( ), 1Α ⋅ −v α β και σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα ′x x
ε) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που έχει κέντρο ( )3,1Κ και εφάπτεται
στην ευθεία ε του προηγούμενου ερωτήματος.
στ) Αν Ε το σημείο επαφής του κύκλου C και της ευθείας ε , τότε να βρείτε την
εξίσωση της παραβολής που έχει εστία το σημείο Ε και κορυφή την αρχή των
αξόνων.
ΘΕΜΑ 3
Δίνονται οι ευθείες 1 : 1 0− + =x yε λ και 2 : 1 0− + + =x yε λ , ∈ℝλ
α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία οι ευθείες 1ε και 2ε είναι παράλληλες.
β) Αν 1=λ , τότε να βρείτε:
i. Την απόσταση των παραλλήλων ευθειών 1ε και 2ε
ii. Την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των 1ε και 2ε
iii. Την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας 1ε με
τον άξονα ′x x και αποκόπτει από την ευθεία 2ε χορδή μήκους 2 2=d
δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται
ε) Αν 1≠ ±λ , τότε:
i. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών 1ε και 2ε
ii. Να αποδείξετε ότι καθώς το λ διατρέχει το σύνολο { }1,1− −ℝ το σημείο
τομής των 1ε και 2ε κινείται στην ευθεία με εξίσωση : =y xε
iii. Θεωρούμε τα διανύσματα / /v ε , ( )1,2=α και ( )3, 2= −β . Να αναλύσετε το
v σε δύο συνιστώσες 1v και 2v τέτοιες, ώστε 1 / /v α και 2 ⊥v β

3. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[3]
ΘΕΜΑ 4 (με λίγο Άλγεβρα)
Δίνονται οι εξισώσεις:
( ) ( )3 1 1 0− + + + + =x yλ λ λ , ∈ℝλ (1) και
2 2
2 2 2ln ln4+ + + =x y x θ , ( )0,∈ +∞θ (2)
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ∈ℝλ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία 1ε
β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνει 1ε διέρχονται από σταθερό
σημείο Α, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες
γ) Να βρείτε τις τιμές του θ για τις οποίες η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο C
Έστω 0 2< < eθ
δ) Θεωρούμε επιπλέον την ευθεία 2 :ln 2 2ln 0⋅ − + =x yε θ θ , η οποία απέχει από
το κέντρο του κύκλου C απόσταση ίση με 1
i. Να βρείτε τις τιμές του θ
ii. Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του θ που βρήκατε στο προηγούμενο
ερώτημα, να υπολογίσετε τις τιμές του λ έτσι, ώστε οι ευθείες 1ε και 2ε να
σχηματίζουν αμβλεία γωνία 135
ε) Για 2=θ , να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το
σημείο Α του β) ερωτήματος.
ΘΕΜΑ 5 (με λίγο Γεωμετρία)
Δίνεται η εξίσωση 2 2
2 2 3 3 4 2 0− − + + − =x y xy x y (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο κάθετες ευθείες 1 2,ε ε και να
βρείτε το σημείο τομής τους Α
Δίνεται επιπλέον ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( 90 )Α = ∆ = του οποίου οι
κάθετες πλευρές ΑΒ και Α∆ βρίσκονται πάνω στις ευθείες 1ε και 2ε αντίστοιχα.
Αν ( )2, 3∆ − , τότε:
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται η πλευρά ∆Γ
του τραπεζίου
γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του τραπεζίου
δ) Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του τραπεζίου έχει εξίσωση : 2 3 0− − =x yε

4. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
[4]
ε) Να βρείτε την εξίσωση κύκλου C που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα Α∆
στ) Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής του κύκλου C που έχει μέσο το σημείο
( )1, 2Μ −