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2.6 Force quelconque
Les forces dynamiques qui s’exercent sur les structures ne sont souvent connues que par des mesures
(séisme, pression du vent, etc.) et ne peuvent donc pas être exprimées par une fonction mathématique.
Concrètement, partant de l’expression originale de la deuxième loi de Newton: ,
une impulsion (F(τ)·dτ) peut être transformée en vitesse initiale:
(2.36)
2.6.1 Impulsion
La méthode consiste à considérer la force comme une suite d’impulsions très brèves. En d’autres ter-
mes, la fonction de la force est décomposée en une série d’impulsions successives. Chaque impulsion
(divisée par la masse) est transformée en une vitesse initiale appliquée à l’oscillateur immédiatement
après l’application de l’impulsion, c’est-à-dire à l’instant donné (τ).
F
∑
d m v
⋅
( )
dt
-------------------
- m
v
Δ
t
Δ
-----
-
⋅
≅
=
F τ
( ) m
=
x
· τ
( )
dτ
----------
⋅ x
· τ
( )
F τ
( ) dτ
⋅
m
--------------------
-
=
⇒
Après l’impulsion, la réponse de l’oscillateur est connue par la solution des oscillations libres. Pour
déterminer la réponse complète, il suffit d’appliquer le principe de superposition et d’additionner les
réponses dues aux impulsions successives, en prenant soin de considérer les instants différents auxquels
elles apparaissent.
Figure 2.26: Une force quelconque peut être considérée comme une suite d’impulsions (F(τ)·dτ).

d
t
F t
( )
( )
( )
( )
 ,
x
F d
m
x

 

= = 0
0 t
0
F(t)
Dt
t
a) b)
τ dτ
F(τ)
Figure 2.27: L’impulsion correspond à une vitesse initiale appliquée à l’instant τ à l’oscillateur dont les déplace-
ments consécutifs sont totalement connus par les solutions générales des oscillations libres (amorties ou non).
0 t
0
F(t)
Dt
t
0 t
0
x(t)
t
non amorti
amorti
a) b)
τ dτ
τ
Figure 2.28: La réponse totale est la superposition des réponses dues aux impulsions individuelles.
0 t
0
F(t)
impulsion 1
0 t
0
x(t)
réponse impulsion 1
0 t
0
F(t)
impulsion 2
0 t
0
x(t)
réponse impulsion 2
0 t
0
F(t)
impulsion t
0 t
0
x(t)
réponse impulsion t
0 t
0
F(t)
suite des impulsions
0 t
0
x(t)
réponse totale
τ τ
2.6.2 Intégrale de Duhamel (ou convolution)
A partir des vitesses initiales de l’équation (2.36) et de la solution générale des oscillations libres amor-
ties, l’application du principe de superposition permet d’obtenir la solution générale jusqu’à l’instant
considéré (t) par l’intégrale de convolution ou intégrale de Duhamel:
(2.37)
dans laquelle apparaît la pseudo-pulsation: .
Dans le cas d’une excitation sismique ( ), l’intégrale de Duhamel prend la forme:
(2.38)
x t
( )
1
m ω
⋅ D
----------------
- F τ
( ) e
ζωn t τ
–
( )
–
ωD t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
⋅
0
t
∫
⋅
=
ωD ωn 1 ζ
2
–
⋅
=
F τ
( ) m x
··
g τ
( )
⋅
–
=
x t
( )
1
ωD
-------
-
– x
··
g τ
( ) e
ζωn t τ
–
( )
–
ωD t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
⋅
0
t
∫
⋅
=
2.7 Forces appliquées brusquement
2.7.1 Force constante
Pour une charge constante (F0) appliquée brusquement à l’instant t=0, l’intégrale de Duhamel devient:
(2.39)
Dans le cas sans amortissement (ζ=0), l’expression se simplifie:
(2.40)
x t
( )
1
m ω
⋅ D
----------------
- F τ
( ) e
ζωn t τ
–
( )
–
ωD t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
⋅
0
t
∫
⋅
1
m ω
⋅ D
----------------
- F0 e
ζωn t τ
–
( )
–
ωD t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
⋅
0
t
∫
⋅
=
=
x t
( )
1
m ω
⋅ n
---------------
- F0 ωn t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
0
t
∫
⋅
F0
m ω
⋅ n
---------------
-
ωn
cos t τ
–
( )
ωn
------------------------------
-
τ 0
=
τ t
=
⋅
F0
m ωn
2
⋅
---------------
- 1 ωn
cos t
–
( )
⋅
F0
k
-----
- 1 ωn
cos t
–
( )
⋅
= =
= =
Avec amortissement, on obtient l’expression suivante de la réponse:
(2.41)
Sans amortissement, la réponse maximale atteint le double du déplacement statique (δstat=F0/k):
Figure 2.29: Force constante (F0) appliquée brusquement (a). La réponse oscille autour du déplacement statique
(δstat) à la fréquence propre de l’oscillateur (b). Sans amortissement, elle atteint le double du déplacement statique.
x t
( )
F0
k
-----
- 1 e
ζωnt
–
ωD
cos t
ζ
1 ζ
2
–
------------------
- ωDt
sin
+
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
–
⋅
=
0
t
0
0.5
1
1.5
2
F(t)/F
0
F
0
0 0.5 1 1.5 2
t/Tn
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
z= 0
z= 0.05
z= 0.2
a) b) ζ=0.0
ζ=0.05
ζ=0.20
x(t)/δ
stat
2.7.2 Force augmentant linéairement
Pour une charge linéaire (F0/tr) appliquée brusquement à l’instant t=0, l’intégrale de Duhamel devient:
(2.42)
Dans le cas sans amortissement (ζ=0), l’expression se simplifie:
(2.43)
x t
( )
1
m ω
⋅ D
----------------
-
F0
tr
-----
- τ e
ζωn t τ
–
( )
–
ωD t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
⋅ ⋅
0
t
∫
⋅
=
x t
( )
1
m ω
⋅ n
---------------
-
F0
tr
-----
- τ ωn t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅ ⋅
0
t
∫
⋅
F0
m ω
⋅ n tr
⋅
-----------------------
-
τ ωn
cos t τ
–
( )
⋅
ωn
-------------------------------------
-
–
τ 0
=
τ t
=
ωn
sin t τ
–
( )
ωn
2
-----------------------------
-
τ 0
=
τ t
=
+
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
F0
k
-----
-
t
tr
--
-
ωn
sin t
ωn tr
⋅
----------------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅ δstat
t
tr
--
-
ωn
sin t
ωn tr
⋅
----------------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
=
=
= =
+
La réponse sans amortissement oscille à la fréquence propre de l’oscillateur autour du déplacement qui
surviendrait si la force était appliquée statiquement (xst=F0·t/k/tr=δstat·t/tr).
Figure 2.30: Force linéaire (F0/tr) appliquée brusquement (a). A nouveau, la réponse oscille autour du déplacement
statique (xstat=δstat·t/tr) à la fréquence propre de l’oscillateur (b).
0 1 2 3 4
t
0
0.5
1
1.5
2
F(t)
F
0
t
r
0 1 2 3 4
t/Tn
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
a) b)
x(t)/δ
stat
2.7.3 Force augmentant linéairement avant stabilisation
Une charge linéaire (F0/tr) est appliquée brusquement à l’instant t=0, puis se stabilise à partir de l’ins-
tant t=tr à un niveau constant (F0).
Figure 2.31: Force linéaire (F0/tr) appliquée brusquement puis restant stable à partir de l’instant tr (a). Cette fonc-
tion peut être obtenue en soustrayant deux fonctions linéaires, décalées de tr (b).
0 1 2 3 4
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)
F
0
t
r
0 1 2 3 4
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)
F
0
t
r
a) b)
L’expression de la force peut être décomposée en deux parties de la manière suivante:
pour
pour
La réponse s’exprime également en deux parties. Dans le cas sans amortissement (ζ=0), on obtient:
(2.44)
(2.45)
Les deux premiers termes correspondent aux oscillations libres avec les conditions initiales ( et
) en tr. Le 3e terme correspond à une force appliquée brusquement à l’instant tr.
F t
( ) F0
t
tr
--
-
⋅
= t tr
≤
F t
( ) F0
= t tr

x t
( )
1
m ω
⋅ n
---------------
-
F0
tr
-----
- τ ωn t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅ ⋅
0
t
∫
⋅
F0
k
-----
-
t
tr
--
-
ωn
sin t
ωn tr
⋅
----------------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
= = t tr
≤
x t
( )
x
·
tr
( )
ωn
----------- ωn t tr
–
( )
sin
⋅ x tr
( ) ωn t tr
–
( )
cos
⋅
F0
k
-----
-
+ + 1 ωn t tr
–
( )
cos
–
[ ]
⋅
= t tr

x
·
tr
( )
x tr
( )
L’expression de la réponse après la stabilisation de la force (ttr) peut également être déterminée avec
la superposition; i.e. la soustraction de deux forces variant linéairement et décalée dans le temps de tr:
pour
Connaissant la réponse pour une force linéaire, la réponse après stabilisation de la force (ttr) devient:
(2.46)
L’amplitude de la réponse dynamique est plus ou moins accentuée selon la rapidité de l’augmentation
de la force. Elle est maximale pour une augmentation très rapide (petits rapports tr/Tn) et elle s’atténue
avec l’extension de la durée de l’augmentation de la force. Pour certains cas particuliers, le système
n’oscille plus après que la force se soit stabilisée. Cette situation survient pour des valeurs entières du
rapport (tr/Tn), car dans ce cas, le système atteint sa nouvelle position d’équilibre avec une vitesse nulle
exactement au moment où la force se stabilise.
F t
( ) F0 F0
t
tr
--
-
⋅ F0
t tr
–
tr
----------
-
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
–
= = t tr

x t
( )
F0
k
-----
- 1
ωn
sin t
ωn tr
⋅
----------------
–
ωn t tr
–
( )
sin
ωn tr
⋅
------------------------------
-
+
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
δstat 1
1
ωn tr
⋅
--------------
-
– ωn
sin t ωn t tr
–
( )
sin
–
[ ]
⋅
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⋅
=
⋅
=
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
tr
/Tn
= 2.5
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
tr
/Tn
= 2
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
tr
/Tn
= 1.5
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
tr
/Tn
= 1
0 1 2 3 4
t/Tn
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
tr
/Tn
= 0.5
0 1 2 3 4
t/Tn
0
0.5
1
1.5
2
x(t)/d
s
tat
tr
/Tn
= 0.2
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
Figure 2.33: Spectre de réponse.
0 1 2 3 4
tr
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
Pour le dimensionnement, seule l’amplitude maximale du déplacement compte. Un graphique spécial
permet de synthétiser l’information concernant l’amplitude maximale du déplacement atteinte en fonc-
tion de la rapidité de l’augmentation de la force (rapport tr/Tn). C’est le spectre de réponse.
2.8 Forces de type impulsionnel (chocs et explosions)
Dans le cas d’explosion ou de choc, la force disparaît après un temps d’application plus ou moins long.
Ce type de forces est désigné par le terme général de forces impulsionnelles.
La réponse dynamique des oscillateurs simples soumis à des cas de charge de type impulsionnel peut
être déterminée par une des trois méthodes suivantes:
1) superposition;
2) intégrale de convolution (de Duhamel);
3) résolution de l’équation différentielle.
La résolution par l’intégrale de convolution (intégrale de Duhamel) s’applique à n’importe quel cas de
charge. La superposition est une méthode très efficace lorsque les résultats dus à des cas de charge stan-
dards sont connus. La résolution de l’équation différentielle n’entre pratiquement en ligne de compte
qu’avec des charges harmoniques.
Figure 2.34: Pour les charges impulsionnelles, superposer des cas déjà résolus est une méthode efficace.
0 1 2 3 4
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)
F
0
t
r
0 1 2 3 4
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)
F
0
t
r
-F
0
0 0.5 1 1.5 2
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)
F
0
t
r
0 0.5 1 1.5 2
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)
F
0
t
r
-F
0
a)
b)
2.8.1 Impulsion rectangulaire
Pour une charge constante (F0) appliquée brusquement en t=0 et qui disparaît après un temps td. La
réponse peut se déterminer avec l’intégrale de Duhamel en considérant deux phases ( et ).
Figure 2.35: Impulsion rectangulaire (a). Cette fonction peut être obtenue par la superposition de deux forces cons-
tantes décalées et opposées (b).
t td
≤ t td

0 0.5 1 1.5 2
t/td
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)/F
0
F
0
t
d
0 0.5 1 1.5 2
t/td
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)/F
0
F
0
t
d
-F
0
a) b)
La phase d’application de la force ( ) a déjà été déterminée. Avec la relation ωn=2π/Tn, on obtient:
Pour la phase après la disparition de la force ( ), la méthode la plus simple est la superposition. En
considérant le décalage temporel de la partie complémentaire, l’expression de la réponse totale est:
En fonction de la durée d’application de la force, l’amplitude maximale de la réponse peut se produire
dans deux régimes différents. Si l’application de la force est brève (td/Tn1/2), la réponse maximale se
produit après la disparition de la force (régime libre). Si l’application de la force est longue (td/Tn1/2),
la réponse maximale survient lorsque la force est encore active (régime forcé). La transition entre ces
deux régimes correspond à une durée d’application égale à td/Tn=1/2. Pour des valeurs entières du rap-
port (td/Tn), le système n’oscille plus après la disparition de la force.
t td
≤
x t
( )
1
m ω
⋅ n
---------------
- F0 ωn t τ
–
( ) τ
d
⋅
sin
⋅
0
t
∫
⋅
F0
k
-----
- 1 ωn
cos t
–
( )
⋅ δstat 1
2π
Tn
-----
-
cos t
–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⋅
= = =
t td

x t
( )
F0
k
-----
- 1 ωn
cos t
–
( )
⋅
F0
k
-----
- 1 ωn
cos t td
–
( )
–
( )
⋅
– δstat
2π
Tn
-----
-
cos t td
–
( )
2π
Tn
-----
-
cos t
–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⋅
= =
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.125
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.25
0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.5
0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1.5
0 1 2 3 4
t/Tn
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1.75
0 1 2 3 4
t/Tn
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 2
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
Le spectre de réponse représente l’amplitude maximale de la réponse en fonction du rapport (td/Tn). La
courbe est constituée de deux parties correspondant aux deux régimes (forcé et libre).
Figure 2.37: Spectre de réponse pour l’impulsion rectangulaire.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
forcé
libre
0 0.5 1 1.5 2 2.5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
a) b)
2.8.2 Impulsion sinusoïdale
Pour une charge évoluant selon un demi-sinus (amplitude F0), appliquée en t=0 pendant une durée td, la
réponse peut se déterminer avec les équations différentielles en prenant deux phases ( et ):
Figure 2.38: Impulsion sinusoïdale (a). Cette fonction peut être obtenue par la superposition de deux sinusoïdes
décalées de td (b).
t td
≤ t td

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t/td
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)/F
0
F
0
t
d
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t/td
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)/F
0
F
0
t
d
-F
0
a) b)
L’expression de la réponse pour la phase d’application de la force ( ) a déjà été déterminée (oscilla-
tions forcées). En tenant compte des relations ω=π/td et ωn=2π/Tn, la réponse (ζ=0) s’exprime:
(2.47)
Pour la phase après la disparition de la force ( ), la réponse est celle des oscillations libres avec les
valeurs finales (t=td) de l’équation (2.47) comme conditions initiales:
(2.48)
L’amplitude maximale de la réponse peut se produire en régime libre, si l’application de la force est
brève (td/Tn1/2) ou en régime forcé avec une durée d’application suffisamment longue (td/Tn1/2).
La transition entre ces deux régimes correspond à une durée d’application égale à td/Tn=1/2. Pour des
valeurs demi-entières du rapport (td/Tn), le système n’oscille plus après la disparition de la force.
t td
≤
x t
( )
δstat
1 Tn 2td
⁄
( )
2
–
----------------------------------
-
π
td
---
-t
⎝ ⎠
⎛ ⎞ Tn 2td
⁄
( )
2π
Tn
-----
-t
⎝ ⎠
⎛ ⎞
sin
⋅
–
sin
⋅
=
t td

x t
( )
δstat Tn td
⁄
( ) π
td
Tn
-----
-
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
cos
⋅ ⋅
Tn 2td
⁄
( )
2
1
–
----------------------------------------------------------------
-
2π
Tn
-----
- t
td
2
---
-
–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⋅
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
sin
⋅
=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.125
0 0.5 1 1.5
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1.5
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 2
0 1 2 3 4 5 6
t/Tn
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 2.5
0 1 2 3 4 5 6
t/Tn
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 3
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
Le spectre de réponse est constitué de deux parties correspondant aux deux régimes (forcé et libre). La
courbe du régime forcé est une enveloppe, car en allongeant la durée d’application, la réponse maximale
survient d’abord (1/2td/Tn2.5) au 1er pic du déplacement, ensuite (2.5td/Tn4.5) au 2e ...
Figure 2.40: Spectre de réponse pour l’impulsion sinusoïdale.
0 1 2 3 4 5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
forcé
libre
0 1 2 3 4 5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
a) b)
2.8.3 Impulsion triangulaire
Pour une charge triangulaire (amplitude F0), appliquée à l’instant t=0 pendant une durée td, la réponse
de l’oscillateur peut se déterminer à l’aide de la méthode de superposition en considérant trois phases
( , et ).
Figure 2.41: Impulsion triangulaire (a). Cette fonction peut être obtenue par la superposition de trois fonctions
linéaires décalées avec une pente ajustée (b).
t td 2
⁄
≤ td 2
⁄ t td
≤
 t td

0 0.5 1 1.5 2
t/td
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(t)/F
0
F
0
t
d
0 0.5 1 1.5 2
t/td
-4
-2
0
2
4
F(t)/F
0
F
0
F
0
td
td
/2
-2F
0
a) b)
Les expressions correspondantes sont:
pour
pour
pour
F t
( ) 2F0
t
td
---
-
⋅
= 0 t
td
2
---
-

≤
F t
( ) 2F0
t
td
---
- 4F0
t td 2
⁄
–
td
------------------
-
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
–
⋅
=
td
2
---
- t td

≤
F t
( ) 2F0
t
td
---
- 4F0
t td 2
⁄
–
td
------------------
-
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
2F0
t td
–
td
-----------
-
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
+
⋅
–
⋅
= t td
≥
A partir de la réponse pour une force variant linéairement, la réponse se détermine en cascade:
pour
pour
pour
L’amplitude maximale de la réponse peut se produire en régime libre, si l’application de la force est
brève ou en régime forcé avec une durée d’application suffisamment longue. La transition entre ces
deux régimes correspond à une durée d’application proche de td/Tn=1. Pour des valeurs paires d’entiers
du rapport (td/Tn), le système n’oscille plus après la disparition de la force.
x t
( )
2F0
k
--------
-
t
td
---
-
ωn
sin t
ωn td
⋅
----------------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅ 2 δ
⋅ stat
t
td
---
-
2π
Tn
-----
-
sin t
2π
Tn
-----
- td
⋅
----------------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
= = 0 t
td
2
---
-

≤
x t
( ) 2 δ
⋅ stat 1
t
td
---
-
–
ωn
sin t
ωn td
⋅
----------------
–
2 ωn t td 2
⁄
–
( )
⋅
( )
sin
ωn td
⋅
--------------------------------------------------
-
+
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
=
td
2
---
- t td

≤
x t
( ) 2 δ
⋅ stat
ωn
sin t
ωn td
⋅
----------------
–
2 ωn t td 2
⁄
–
( )
⋅
( )
sin
ωn td
⋅
--------------------------------------------------
-
ωn t td
–
( )
⋅
( )
sin
ωn td
⋅
----------------------------------------
-
–
+
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⋅
= t td
≥
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.125
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.25
0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 0.5
0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 1.5
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 2
0 1 2 3 4 5 6
t/Tn
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 2.5
0 1 2 3 4 5 6
t/Tn
-2
-1
0
1
2
x(t)/d
s
tat
td
/Tn
= 3
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
x(t)/δ
stat
Le spectre de réponse est similaire à celui d’une impulsion sinusoïdale. Après une partie presque
linéaire et un maximum aux environs de td/Tn=1, la courbe redescend vers le cas statique (Rd=1), à la
manière d’une bille qui rebondit sur le sol, lorsque la durée d’application de la force augmente.
Figure 2.43: Spectre de réponse pour l’impulsion triangulaire.
0 1 2 3 4 5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
forcé
libre
0 1 2 3 4 5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
a) b)
2.8.4 Comparaison des spectres de réponse
L’impulsion rectangulaire est clairement la plus défavorable pour toutes les valeurs du rapport (td/Tn),
car son spectre de réponse se situe au-dessus des deux autres.
Dans le domaine correspondant au régime libre (td/Tn1/2), la pente initiale des spectres de réponse est
proportionnelle à l’aire comprise sous leur diagramme force-temps, c’est-à-dire à l’impulsion (I). En
effet si l’on considère un temps d’application très bref, l’amplitude maximale des oscillations libres non
amorties après disparition de la force est de:
Le déplacement maximal est donc directement proportionnel à l’impulsion (I). Par conséquent, si les
spectres de réponse sont normalisés pour une même aire sous les courbes force-temps (même impul-
sion), on peut mettre en évidence que les pentes à l’origine sont proportionnelles à l’impulsion, car elles
sont égales dans cette représentation.
max x t
( )
V0
ωn
------
-
F t
( ) t
d
0
td
∫
m ωn
⋅
------------------
-
I
m ωn
2
⋅
---------------
- ωn
⋅
I
k
--
-
2π
Tn
-----
-
⋅
= = = =
Figure 2.44: Comparaison des spectres de réponse pour une même intensité maximale F0 de la force (a) et après
normalisation (b) pour une même impulsion (aire sous la courbe).
0 1 2 3 4 5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
rectangle
sinus
triangle
0 1 2 3 4 5
td
/Tn
0
0.5
1
1.5
2
R
d
/
I
rectangle
sinus
triangle
a) b)
2.8.5 Influence de l’amortissement
L’amortissement est bénéfique car il réduit le facteur d’amplification Rd. Par ailleurs, son influence est
relativement faible pour les valeurs usuelles de l’amortissement dans les structures.
Figure 2.45: Spectres de réponse amortis (coefficient d’amortissement ζ) pour l’impulsion triangulaire.
0 1 2 3 4
td
/Tn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
R
d
0 1 2 3 4
td
/Tn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
R
d
z= 0
z= 0.05
z= 0.1
z= 0.2
ζ=0
ζ=0.05
ζ=0.10
ζ=0.20
2.8.6 Force d’explosion
Les forces d’explosion sont décrites par l’évolution rapide au cours du temps de la pression due à
l’expansion des gaz libérés par la charge explosive. Une courte phase de forte pression positive et
dégressive est suivie d’une phase de plus longue durée de pression négative plus faible.
Figure 2.46: Evolution de la pression lors d’une explosion.
temps
0
pression P
S0
t
d
Pour l’analyse dynamique, l’évolution de la pression en fonction du temps est souvent simplifiée par
une droite débutant avec la pression maximale (PS0) et s’annulant après td. Les valeurs typiques de la
pression maximale initiale sont de 100 à 500 mbar et celles de la durée sont de 0.05 à 0.2 s.
D’une manière générale, la réponse de la structure dépend essentiellement de la durée d’application de
la force d’explosion. Le caractère de la force d’explosion peut être classé selon trois cas possibles:
1) impulsif, ωn·td0.4 (td/Tn0.06)
2) quasi-statique, ωn·td40 (td/Tn6.4)
3) dynamique, 0.4ωn·td40 (0.06td/Tn6.4)
Pour des durées d’application brèves (par rapport à la période de la structure), on se trouve dans le
domaine impulsif (cas n°1). La réponse de la structure dépend uniquement de l’impulsion (aire sous la
courbe) et le facteur d’amplification dynamique ne dépasse pas l’unité (Rd1).
Pour des durées d’application longues, on se trouve dans le domaine quasi-statique (cas n°2). La
réponse de la structure dépend uniquement de la charge effective (maximum de la courbe).
Pour des durées d’application intermédiaires, on se trouve dans le domaine dynamique (cas n°3). Dans
ce cas, une analyse dynamique temporelle est nécessaire pour déterminer la réponse de la structure.

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  • 1. 2.6 Force quelconque Les forces dynamiques qui s’exercent sur les structures ne sont souvent connues que par des mesures (séisme, pression du vent, etc.) et ne peuvent donc pas être exprimées par une fonction mathématique. Concrètement, partant de l’expression originale de la deuxième loi de Newton: , une impulsion (F(τ)·dτ) peut être transformée en vitesse initiale: (2.36) 2.6.1 Impulsion La méthode consiste à considérer la force comme une suite d’impulsions très brèves. En d’autres ter- mes, la fonction de la force est décomposée en une série d’impulsions successives. Chaque impulsion (divisée par la masse) est transformée en une vitesse initiale appliquée à l’oscillateur immédiatement après l’application de l’impulsion, c’est-à-dire à l’instant donné (τ). F ∑ d m v ⋅ ( ) dt ------------------- - m v Δ t Δ ----- - ⋅ ≅ = F τ ( ) m = x · τ ( ) dτ ---------- ⋅ x · τ ( ) F τ ( ) dτ ⋅ m -------------------- - = ⇒
  • 2. Après l’impulsion, la réponse de l’oscillateur est connue par la solution des oscillations libres. Pour déterminer la réponse complète, il suffit d’appliquer le principe de superposition et d’additionner les réponses dues aux impulsions successives, en prenant soin de considérer les instants différents auxquels elles apparaissent. Figure 2.26: Une force quelconque peut être considérée comme une suite d’impulsions (F(τ)·dτ). d t F t ( ) ( ) ( ) ( ) , x F d m x = = 0 0 t 0 F(t) Dt t a) b) τ dτ F(τ)
  • 3. Figure 2.27: L’impulsion correspond à une vitesse initiale appliquée à l’instant τ à l’oscillateur dont les déplace- ments consécutifs sont totalement connus par les solutions générales des oscillations libres (amorties ou non). 0 t 0 F(t) Dt t 0 t 0 x(t) t non amorti amorti a) b) τ dτ τ
  • 4. Figure 2.28: La réponse totale est la superposition des réponses dues aux impulsions individuelles. 0 t 0 F(t) impulsion 1 0 t 0 x(t) réponse impulsion 1 0 t 0 F(t) impulsion 2 0 t 0 x(t) réponse impulsion 2 0 t 0 F(t) impulsion t 0 t 0 x(t) réponse impulsion t 0 t 0 F(t) suite des impulsions 0 t 0 x(t) réponse totale τ τ
  • 5. 2.6.2 Intégrale de Duhamel (ou convolution) A partir des vitesses initiales de l’équation (2.36) et de la solution générale des oscillations libres amor- ties, l’application du principe de superposition permet d’obtenir la solution générale jusqu’à l’instant considéré (t) par l’intégrale de convolution ou intégrale de Duhamel: (2.37) dans laquelle apparaît la pseudo-pulsation: . Dans le cas d’une excitation sismique ( ), l’intégrale de Duhamel prend la forme: (2.38) x t ( ) 1 m ω ⋅ D ---------------- - F τ ( ) e ζωn t τ – ( ) – ωD t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ = ωD ωn 1 ζ 2 – ⋅ = F τ ( ) m x ·· g τ ( ) ⋅ – = x t ( ) 1 ωD ------- - – x ·· g τ ( ) e ζωn t τ – ( ) – ωD t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ =
  • 6. 2.7 Forces appliquées brusquement 2.7.1 Force constante Pour une charge constante (F0) appliquée brusquement à l’instant t=0, l’intégrale de Duhamel devient: (2.39) Dans le cas sans amortissement (ζ=0), l’expression se simplifie: (2.40) x t ( ) 1 m ω ⋅ D ---------------- - F τ ( ) e ζωn t τ – ( ) – ωD t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ 1 m ω ⋅ D ---------------- - F0 e ζωn t τ – ( ) – ωD t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ = = x t ( ) 1 m ω ⋅ n --------------- - F0 ωn t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ 0 t ∫ ⋅ F0 m ω ⋅ n --------------- - ωn cos t τ – ( ) ωn ------------------------------ - τ 0 = τ t = ⋅ F0 m ωn 2 ⋅ --------------- - 1 ωn cos t – ( ) ⋅ F0 k ----- - 1 ωn cos t – ( ) ⋅ = = = =
  • 7. Avec amortissement, on obtient l’expression suivante de la réponse: (2.41) Sans amortissement, la réponse maximale atteint le double du déplacement statique (δstat=F0/k): Figure 2.29: Force constante (F0) appliquée brusquement (a). La réponse oscille autour du déplacement statique (δstat) à la fréquence propre de l’oscillateur (b). Sans amortissement, elle atteint le double du déplacement statique. x t ( ) F0 k ----- - 1 e ζωnt – ωD cos t ζ 1 ζ 2 – ------------------ - ωDt sin + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ – ⋅ = 0 t 0 0.5 1 1.5 2 F(t)/F 0 F 0 0 0.5 1 1.5 2 t/Tn 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat z= 0 z= 0.05 z= 0.2 a) b) ζ=0.0 ζ=0.05 ζ=0.20 x(t)/δ stat
  • 8. 2.7.2 Force augmentant linéairement Pour une charge linéaire (F0/tr) appliquée brusquement à l’instant t=0, l’intégrale de Duhamel devient: (2.42) Dans le cas sans amortissement (ζ=0), l’expression se simplifie: (2.43) x t ( ) 1 m ω ⋅ D ---------------- - F0 tr ----- - τ e ζωn t τ – ( ) – ωD t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ = x t ( ) 1 m ω ⋅ n --------------- - F0 tr ----- - τ ωn t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ F0 m ω ⋅ n tr ⋅ ----------------------- - τ ωn cos t τ – ( ) ⋅ ωn ------------------------------------- - – τ 0 = τ t = ωn sin t τ – ( ) ωn 2 ----------------------------- - τ 0 = τ t = + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ F0 k ----- - t tr -- - ωn sin t ωn tr ⋅ ---------------- – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ δstat t tr -- - ωn sin t ωn tr ⋅ ---------------- – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ = = = = +
  • 9. La réponse sans amortissement oscille à la fréquence propre de l’oscillateur autour du déplacement qui surviendrait si la force était appliquée statiquement (xst=F0·t/k/tr=δstat·t/tr). Figure 2.30: Force linéaire (F0/tr) appliquée brusquement (a). A nouveau, la réponse oscille autour du déplacement statique (xstat=δstat·t/tr) à la fréquence propre de l’oscillateur (b). 0 1 2 3 4 t 0 0.5 1 1.5 2 F(t) F 0 t r 0 1 2 3 4 t/Tn 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat a) b) x(t)/δ stat
  • 10. 2.7.3 Force augmentant linéairement avant stabilisation Une charge linéaire (F0/tr) est appliquée brusquement à l’instant t=0, puis se stabilise à partir de l’ins- tant t=tr à un niveau constant (F0). Figure 2.31: Force linéaire (F0/tr) appliquée brusquement puis restant stable à partir de l’instant tr (a). Cette fonc- tion peut être obtenue en soustrayant deux fonctions linéaires, décalées de tr (b). 0 1 2 3 4 t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t) F 0 t r 0 1 2 3 4 t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t) F 0 t r a) b)
  • 11. L’expression de la force peut être décomposée en deux parties de la manière suivante: pour pour La réponse s’exprime également en deux parties. Dans le cas sans amortissement (ζ=0), on obtient: (2.44) (2.45) Les deux premiers termes correspondent aux oscillations libres avec les conditions initiales ( et ) en tr. Le 3e terme correspond à une force appliquée brusquement à l’instant tr. F t ( ) F0 t tr -- - ⋅ = t tr ≤ F t ( ) F0 = t tr x t ( ) 1 m ω ⋅ n --------------- - F0 tr ----- - τ ωn t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ ⋅ 0 t ∫ ⋅ F0 k ----- - t tr -- - ωn sin t ωn tr ⋅ ---------------- – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ = = t tr ≤ x t ( ) x · tr ( ) ωn ----------- ωn t tr – ( ) sin ⋅ x tr ( ) ωn t tr – ( ) cos ⋅ F0 k ----- - + + 1 ωn t tr – ( ) cos – [ ] ⋅ = t tr x · tr ( ) x tr ( )
  • 12. L’expression de la réponse après la stabilisation de la force (ttr) peut également être déterminée avec la superposition; i.e. la soustraction de deux forces variant linéairement et décalée dans le temps de tr: pour Connaissant la réponse pour une force linéaire, la réponse après stabilisation de la force (ttr) devient: (2.46) L’amplitude de la réponse dynamique est plus ou moins accentuée selon la rapidité de l’augmentation de la force. Elle est maximale pour une augmentation très rapide (petits rapports tr/Tn) et elle s’atténue avec l’extension de la durée de l’augmentation de la force. Pour certains cas particuliers, le système n’oscille plus après que la force se soit stabilisée. Cette situation survient pour des valeurs entières du rapport (tr/Tn), car dans ce cas, le système atteint sa nouvelle position d’équilibre avec une vitesse nulle exactement au moment où la force se stabilise. F t ( ) F0 F0 t tr -- - ⋅ F0 t tr – tr ---------- - ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ – = = t tr x t ( ) F0 k ----- - 1 ωn sin t ωn tr ⋅ ---------------- – ωn t tr – ( ) sin ωn tr ⋅ ------------------------------ - + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ δstat 1 1 ωn tr ⋅ -------------- - – ωn sin t ωn t tr – ( ) sin – [ ] ⋅ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⋅ = ⋅ =
  • 13. 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat tr /Tn = 2.5 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat tr /Tn = 2 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat tr /Tn = 1.5 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat tr /Tn = 1 0 1 2 3 4 t/Tn 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat tr /Tn = 0.5 0 1 2 3 4 t/Tn 0 0.5 1 1.5 2 x(t)/d s tat tr /Tn = 0.2 x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat
  • 14. Figure 2.33: Spectre de réponse. 0 1 2 3 4 tr /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d
  • 15. Pour le dimensionnement, seule l’amplitude maximale du déplacement compte. Un graphique spécial permet de synthétiser l’information concernant l’amplitude maximale du déplacement atteinte en fonc- tion de la rapidité de l’augmentation de la force (rapport tr/Tn). C’est le spectre de réponse. 2.8 Forces de type impulsionnel (chocs et explosions) Dans le cas d’explosion ou de choc, la force disparaît après un temps d’application plus ou moins long. Ce type de forces est désigné par le terme général de forces impulsionnelles. La réponse dynamique des oscillateurs simples soumis à des cas de charge de type impulsionnel peut être déterminée par une des trois méthodes suivantes: 1) superposition; 2) intégrale de convolution (de Duhamel); 3) résolution de l’équation différentielle. La résolution par l’intégrale de convolution (intégrale de Duhamel) s’applique à n’importe quel cas de charge. La superposition est une méthode très efficace lorsque les résultats dus à des cas de charge stan- dards sont connus. La résolution de l’équation différentielle n’entre pratiquement en ligne de compte qu’avec des charges harmoniques.
  • 16. Figure 2.34: Pour les charges impulsionnelles, superposer des cas déjà résolus est une méthode efficace. 0 1 2 3 4 t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t) F 0 t r 0 1 2 3 4 t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t) F 0 t r -F 0 0 0.5 1 1.5 2 t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t) F 0 t r 0 0.5 1 1.5 2 t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t) F 0 t r -F 0 a) b)
  • 17. 2.8.1 Impulsion rectangulaire Pour une charge constante (F0) appliquée brusquement en t=0 et qui disparaît après un temps td. La réponse peut se déterminer avec l’intégrale de Duhamel en considérant deux phases ( et ). Figure 2.35: Impulsion rectangulaire (a). Cette fonction peut être obtenue par la superposition de deux forces cons- tantes décalées et opposées (b). t td ≤ t td 0 0.5 1 1.5 2 t/td -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t)/F 0 F 0 t d 0 0.5 1 1.5 2 t/td -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t)/F 0 F 0 t d -F 0 a) b)
  • 18. La phase d’application de la force ( ) a déjà été déterminée. Avec la relation ωn=2π/Tn, on obtient: Pour la phase après la disparition de la force ( ), la méthode la plus simple est la superposition. En considérant le décalage temporel de la partie complémentaire, l’expression de la réponse totale est: En fonction de la durée d’application de la force, l’amplitude maximale de la réponse peut se produire dans deux régimes différents. Si l’application de la force est brève (td/Tn1/2), la réponse maximale se produit après la disparition de la force (régime libre). Si l’application de la force est longue (td/Tn1/2), la réponse maximale survient lorsque la force est encore active (régime forcé). La transition entre ces deux régimes correspond à une durée d’application égale à td/Tn=1/2. Pour des valeurs entières du rap- port (td/Tn), le système n’oscille plus après la disparition de la force. t td ≤ x t ( ) 1 m ω ⋅ n --------------- - F0 ωn t τ – ( ) τ d ⋅ sin ⋅ 0 t ∫ ⋅ F0 k ----- - 1 ωn cos t – ( ) ⋅ δstat 1 2π Tn ----- - cos t – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⋅ = = = t td x t ( ) F0 k ----- - 1 ωn cos t – ( ) ⋅ F0 k ----- - 1 ωn cos t td – ( ) – ( ) ⋅ – δstat 2π Tn ----- - cos t td – ( ) 2π Tn ----- - cos t – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⋅ = =
  • 19. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.125 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.25 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1.5 0 1 2 3 4 t/Tn -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1.75 0 1 2 3 4 t/Tn -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 2 x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat
  • 20. Le spectre de réponse représente l’amplitude maximale de la réponse en fonction du rapport (td/Tn). La courbe est constituée de deux parties correspondant aux deux régimes (forcé et libre). Figure 2.37: Spectre de réponse pour l’impulsion rectangulaire. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d forcé libre 0 0.5 1 1.5 2 2.5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d a) b)
  • 21. 2.8.2 Impulsion sinusoïdale Pour une charge évoluant selon un demi-sinus (amplitude F0), appliquée en t=0 pendant une durée td, la réponse peut se déterminer avec les équations différentielles en prenant deux phases ( et ): Figure 2.38: Impulsion sinusoïdale (a). Cette fonction peut être obtenue par la superposition de deux sinusoïdes décalées de td (b). t td ≤ t td 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t/td -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t)/F 0 F 0 t d 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t/td -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t)/F 0 F 0 t d -F 0 a) b)
  • 22. L’expression de la réponse pour la phase d’application de la force ( ) a déjà été déterminée (oscilla- tions forcées). En tenant compte des relations ω=π/td et ωn=2π/Tn, la réponse (ζ=0) s’exprime: (2.47) Pour la phase après la disparition de la force ( ), la réponse est celle des oscillations libres avec les valeurs finales (t=td) de l’équation (2.47) comme conditions initiales: (2.48) L’amplitude maximale de la réponse peut se produire en régime libre, si l’application de la force est brève (td/Tn1/2) ou en régime forcé avec une durée d’application suffisamment longue (td/Tn1/2). La transition entre ces deux régimes correspond à une durée d’application égale à td/Tn=1/2. Pour des valeurs demi-entières du rapport (td/Tn), le système n’oscille plus après la disparition de la force. t td ≤ x t ( ) δstat 1 Tn 2td ⁄ ( ) 2 – ---------------------------------- - π td --- -t ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Tn 2td ⁄ ( ) 2π Tn ----- -t ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ sin ⋅ – sin ⋅ = t td x t ( ) δstat Tn td ⁄ ( ) π td Tn ----- - ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ cos ⋅ ⋅ Tn 2td ⁄ ( ) 2 1 – ---------------------------------------------------------------- - 2π Tn ----- - t td 2 --- - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⋅ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ sin ⋅ =
  • 23. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.125 0 0.5 1 1.5 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1.5 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 2 0 1 2 3 4 5 6 t/Tn -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 2.5 0 1 2 3 4 5 6 t/Tn -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 3 x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat
  • 24. Le spectre de réponse est constitué de deux parties correspondant aux deux régimes (forcé et libre). La courbe du régime forcé est une enveloppe, car en allongeant la durée d’application, la réponse maximale survient d’abord (1/2td/Tn2.5) au 1er pic du déplacement, ensuite (2.5td/Tn4.5) au 2e ... Figure 2.40: Spectre de réponse pour l’impulsion sinusoïdale. 0 1 2 3 4 5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d forcé libre 0 1 2 3 4 5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d a) b)
  • 25. 2.8.3 Impulsion triangulaire Pour une charge triangulaire (amplitude F0), appliquée à l’instant t=0 pendant une durée td, la réponse de l’oscillateur peut se déterminer à l’aide de la méthode de superposition en considérant trois phases ( , et ). Figure 2.41: Impulsion triangulaire (a). Cette fonction peut être obtenue par la superposition de trois fonctions linéaires décalées avec une pente ajustée (b). t td 2 ⁄ ≤ td 2 ⁄ t td ≤ t td 0 0.5 1 1.5 2 t/td -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(t)/F 0 F 0 t d 0 0.5 1 1.5 2 t/td -4 -2 0 2 4 F(t)/F 0 F 0 F 0 td td /2 -2F 0 a) b)
  • 26. Les expressions correspondantes sont: pour pour pour F t ( ) 2F0 t td --- - ⋅ = 0 t td 2 --- - ≤ F t ( ) 2F0 t td --- - 4F0 t td 2 ⁄ – td ------------------ - ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ – ⋅ = td 2 --- - t td ≤ F t ( ) 2F0 t td --- - 4F0 t td 2 ⁄ – td ------------------ - ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ 2F0 t td – td ----------- - ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅ – ⋅ = t td ≥
  • 27. A partir de la réponse pour une force variant linéairement, la réponse se détermine en cascade: pour pour pour L’amplitude maximale de la réponse peut se produire en régime libre, si l’application de la force est brève ou en régime forcé avec une durée d’application suffisamment longue. La transition entre ces deux régimes correspond à une durée d’application proche de td/Tn=1. Pour des valeurs paires d’entiers du rapport (td/Tn), le système n’oscille plus après la disparition de la force. x t ( ) 2F0 k -------- - t td --- - ωn sin t ωn td ⋅ ---------------- – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ 2 δ ⋅ stat t td --- - 2π Tn ----- - sin t 2π Tn ----- - td ⋅ ---------------- – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ = = 0 t td 2 --- - ≤ x t ( ) 2 δ ⋅ stat 1 t td --- - – ωn sin t ωn td ⋅ ---------------- – 2 ωn t td 2 ⁄ – ( ) ⋅ ( ) sin ωn td ⋅ -------------------------------------------------- - + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ = td 2 --- - t td ≤ x t ( ) 2 δ ⋅ stat ωn sin t ωn td ⋅ ---------------- – 2 ωn t td 2 ⁄ – ( ) ⋅ ( ) sin ωn td ⋅ -------------------------------------------------- - ωn t td – ( ) ⋅ ( ) sin ωn td ⋅ ---------------------------------------- - – + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⋅ = t td ≥
  • 28. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.125 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.25 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 1.5 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 2 0 1 2 3 4 5 6 t/Tn -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 2.5 0 1 2 3 4 5 6 t/Tn -2 -1 0 1 2 x(t)/d s tat td /Tn = 3 x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat x(t)/δ stat
  • 29. Le spectre de réponse est similaire à celui d’une impulsion sinusoïdale. Après une partie presque linéaire et un maximum aux environs de td/Tn=1, la courbe redescend vers le cas statique (Rd=1), à la manière d’une bille qui rebondit sur le sol, lorsque la durée d’application de la force augmente. Figure 2.43: Spectre de réponse pour l’impulsion triangulaire. 0 1 2 3 4 5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d forcé libre 0 1 2 3 4 5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d a) b)
  • 30. 2.8.4 Comparaison des spectres de réponse L’impulsion rectangulaire est clairement la plus défavorable pour toutes les valeurs du rapport (td/Tn), car son spectre de réponse se situe au-dessus des deux autres. Dans le domaine correspondant au régime libre (td/Tn1/2), la pente initiale des spectres de réponse est proportionnelle à l’aire comprise sous leur diagramme force-temps, c’est-à-dire à l’impulsion (I). En effet si l’on considère un temps d’application très bref, l’amplitude maximale des oscillations libres non amorties après disparition de la force est de: Le déplacement maximal est donc directement proportionnel à l’impulsion (I). Par conséquent, si les spectres de réponse sont normalisés pour une même aire sous les courbes force-temps (même impul- sion), on peut mettre en évidence que les pentes à l’origine sont proportionnelles à l’impulsion, car elles sont égales dans cette représentation. max x t ( ) V0 ωn ------ - F t ( ) t d 0 td ∫ m ωn ⋅ ------------------ - I m ωn 2 ⋅ --------------- - ωn ⋅ I k -- - 2π Tn ----- - ⋅ = = = =
  • 31. Figure 2.44: Comparaison des spectres de réponse pour une même intensité maximale F0 de la force (a) et après normalisation (b) pour une même impulsion (aire sous la courbe). 0 1 2 3 4 5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d rectangle sinus triangle 0 1 2 3 4 5 td /Tn 0 0.5 1 1.5 2 R d / I rectangle sinus triangle a) b)
  • 32. 2.8.5 Influence de l’amortissement L’amortissement est bénéfique car il réduit le facteur d’amplification Rd. Par ailleurs, son influence est relativement faible pour les valeurs usuelles de l’amortissement dans les structures. Figure 2.45: Spectres de réponse amortis (coefficient d’amortissement ζ) pour l’impulsion triangulaire. 0 1 2 3 4 td /Tn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 R d 0 1 2 3 4 td /Tn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 R d z= 0 z= 0.05 z= 0.1 z= 0.2 ζ=0 ζ=0.05 ζ=0.10 ζ=0.20
  • 33. 2.8.6 Force d’explosion Les forces d’explosion sont décrites par l’évolution rapide au cours du temps de la pression due à l’expansion des gaz libérés par la charge explosive. Une courte phase de forte pression positive et dégressive est suivie d’une phase de plus longue durée de pression négative plus faible. Figure 2.46: Evolution de la pression lors d’une explosion. temps 0 pression P S0 t d
  • 34. Pour l’analyse dynamique, l’évolution de la pression en fonction du temps est souvent simplifiée par une droite débutant avec la pression maximale (PS0) et s’annulant après td. Les valeurs typiques de la pression maximale initiale sont de 100 à 500 mbar et celles de la durée sont de 0.05 à 0.2 s. D’une manière générale, la réponse de la structure dépend essentiellement de la durée d’application de la force d’explosion. Le caractère de la force d’explosion peut être classé selon trois cas possibles: 1) impulsif, ωn·td0.4 (td/Tn0.06) 2) quasi-statique, ωn·td40 (td/Tn6.4) 3) dynamique, 0.4ωn·td40 (0.06td/Tn6.4) Pour des durées d’application brèves (par rapport à la période de la structure), on se trouve dans le domaine impulsif (cas n°1). La réponse de la structure dépend uniquement de l’impulsion (aire sous la courbe) et le facteur d’amplification dynamique ne dépasse pas l’unité (Rd1). Pour des durées d’application longues, on se trouve dans le domaine quasi-statique (cas n°2). La réponse de la structure dépend uniquement de la charge effective (maximum de la courbe). Pour des durées d’application intermédiaires, on se trouve dans le domaine dynamique (cas n°3). Dans ce cas, une analyse dynamique temporelle est nécessaire pour déterminer la réponse de la structure.