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le calcul de la rigidité

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Cours de Dynamique des structures
Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi
Série 6
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Corrigé de la série d'exercices N°7
Exercice 1
Soit K1 la rigidité équivalente du premier étage :
9 6 7 2 2
3 3
6
1 3
210 10 308.2 10 6.472 10 64720
4 4 1280
2 12 1,5 12 2 17.98 10
3 3 9
EI Nm kNm
EI N
K E I E I
m
H H H
Soit K2 la rigidité équivalente du deuxième étage :
3
6
2 3
2
2 12 192 24.27 10
EI N
K EI
m
H H
Soit Kequ est la rigidité équivalente de K1 et K2 associés en série :
1 2 6
1 2 1 2
1 1 1
10.33 10
10330
32.14
2 8
equ
equ
equ
n
K K N
K
m
K K K K K
K rad
m M s
Dans le cas d’un choc mou, la loi de la conservation de la quantité de mouvement nous permet d’écrire :
1 1 2 2
m v m v
Avec : 1 2 1 2
; ; ; ( 0)
m M m M m v V v x t
Phase 1 : L’arbre tombe sur le portique.
Phase 2 : La structure subit des oscillations.
A. On admet des oscillations non amorties.
En respectant les conditions initiales pour la phase 2 (voir cours,section 2.8.7) le déplacement xmax est calculé
de la manière suivante :
1 1
max
1 2
2000 10
0.062
2000 8000 32.14
n n
m v M V
x m
m m m M
Le déplacement maximal au point B est égal à 62 millimètres.
B. Avec un amortissement ζ = 0.1 :
La réponse du portique est donnée par :
( ) cos sin
nt
D D
x t e C t D t
Avec : 2
1
D n
V
x(t)
K1
m
K2
M
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Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi
Série 6
-Corrigé-
2/3
La vitesse est obtenue en dérivant x (t) par rapport au temps,
( ) cos sin
n n
t t
D n D n D D
x t D C e t D C e t
Les coefficients C et D sont déterminés en utilisant les conditions initiales :
(0) 0
x C
(0) ( )
D n D
M
x V D C D
m M
Ce qui donne :
0
D
MV
C et D
m M
L’équation du mouvement (oscillations amorties) devient donc :
( ) sin
nt
D
D
MV
x t e t
m M
Avec : 2
1 31.98
D n
rad
s
Ce qui donne :
3,214
( ) 0,0625 sin 31,98
t
x t e t
Sur la figure ci-dessus,on peut observerque le déplacement maximal est égale à 0.053 m à t=0.05s.
Exercice 2
1. Calculons la valeur du déplacement maximal que trouverai chacun des deux étudiants.
Etudiant A :
max
.
2. 2. 0.06
F M g
x m
k k
  
Etudiant B :
La masse M touche le plateau à une vitesse V1 : 1 2 4.47
V gh m s
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
temps [s]
déplacement
[m]
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3/3
La pulsation propre du système est égale à : 14.14
n
k
rad s
M m
  

1
max 0.19
( ) n
MV
x m
M m 
 

2. L’étudiant B donne une modélisation correcte. L’étudiant A néglige l’effet dynamique du choc entre les deux
masse. Aussi,les caractéristiques du système oscillant sont modifiées après le choc (masse et pulsation propre).

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  • 1. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 6 -Corrigé- 1/3 Corrigé de la série d'exercices N°7 Exercice 1 Soit K1 la rigidité équivalente du premier étage : 9 6 7 2 2 3 3 6 1 3 210 10 308.2 10 6.472 10 64720 4 4 1280 2 12 1,5 12 2 17.98 10 3 3 9 EI Nm kNm EI N K E I E I m H H H Soit K2 la rigidité équivalente du deuxième étage : 3 6 2 3 2 2 12 192 24.27 10 EI N K EI m H H Soit Kequ est la rigidité équivalente de K1 et K2 associés en série : 1 2 6 1 2 1 2 1 1 1 10.33 10 10330 32.14 2 8 equ equ equ n K K N K m K K K K K K rad m M s Dans le cas d’un choc mou, la loi de la conservation de la quantité de mouvement nous permet d’écrire : 1 1 2 2 m v m v Avec : 1 2 1 2 ; ; ; ( 0) m M m M m v V v x t Phase 1 : L’arbre tombe sur le portique. Phase 2 : La structure subit des oscillations. A. On admet des oscillations non amorties. En respectant les conditions initiales pour la phase 2 (voir cours,section 2.8.7) le déplacement xmax est calculé de la manière suivante : 1 1 max 1 2 2000 10 0.062 2000 8000 32.14 n n m v M V x m m m m M Le déplacement maximal au point B est égal à 62 millimètres. B. Avec un amortissement ζ = 0.1 : La réponse du portique est donnée par : ( ) cos sin nt D D x t e C t D t Avec : 2 1 D n V x(t) K1 m K2 M
  • 2. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 6 -Corrigé- 2/3 La vitesse est obtenue en dérivant x (t) par rapport au temps, ( ) cos sin n n t t D n D n D D x t D C e t D C e t Les coefficients C et D sont déterminés en utilisant les conditions initiales : (0) 0 x C (0) ( ) D n D M x V D C D m M Ce qui donne : 0 D MV C et D m M L’équation du mouvement (oscillations amorties) devient donc : ( ) sin nt D D MV x t e t m M Avec : 2 1 31.98 D n rad s Ce qui donne : 3,214 ( ) 0,0625 sin 31,98 t x t e t Sur la figure ci-dessus,on peut observerque le déplacement maximal est égale à 0.053 m à t=0.05s. Exercice 2 1. Calculons la valeur du déplacement maximal que trouverai chacun des deux étudiants. Etudiant A : max . 2. 2. 0.06 F M g x m k k    Etudiant B : La masse M touche le plateau à une vitesse V1 : 1 2 4.47 V gh m s   0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 temps [s] déplacement [m]
  • 3. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 6 -Corrigé- 3/3 La pulsation propre du système est égale à : 14.14 n k rad s M m     1 max 0.19 ( ) n MV x m M m     2. L’étudiant B donne une modélisation correcte. L’étudiant A néglige l’effet dynamique du choc entre les deux masse. Aussi,les caractéristiques du système oscillant sont modifiées après le choc (masse et pulsation propre).