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Cours de Dynamique des structures
Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3
Série d'exercices N°3
Exercice 1
Un moteur électrique de masse M est situé sur la section médiane de la traverse d'un portique (Figure 3.1). La
partie non équilibrée du moteur peut être représentée par une charge concentrée de masse m1 appliquée à
l’extrémité d'un levier avec un rayon r et tournant autour de l'axe du moteur en faisant n =1500t/min.
Déterminer l'amplitude des oscillations forcées du portique en négligeant l’amortissement.
M = 96 kg, m1 = 4 kg, r = 4 cm,
I = 4 106
mm4
,
E = 2 1011
N/m2
,
Indications:
- La force centrifuge vaut : 2
0
F mrw
 ,
- Le déplacement résultant d’une force P appliquée à mi-travée de la traverse est donné par :
EI
PL
96
7 3
=
∆
Figure 3.1. Le plancher étudiée supportant une machine vibrante
Exercice 2
On considère le portique simple de la Figure 3.2. Le portique est initialement au repos, (0) (0) 0,
x x
 

quand une force F(t) est appliquée en tête de l’un des poteaux du portique. La force F(t) est de la forme
suivante :    
0 sin
F t F t

 .
La réponse de la structure (Figure 3.3) est enregistrée à partir du moment d’application de la force.
Figure 3.2. La structure étudiée
F0 = 600 kN
Keq = 8090 kN/m
F(t)
M
I∞
Keq/2
Keq/2
m 1
M
r
I
I
I
L=1 L=1
I
I
I
L=1 L=1
P
∆
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Figure 3.3. La réponse de la structure
1. S’agit-il d’un système amorti ou non ?, justifier votre réponse.
2. Déterminer approximativement la pulsation de la force d’excitation ω.
3. Déterminer approximativement la valeur du facteur d’amplification Rd.
Exercice 3
Soit un système masse-ressort-amortisseur utilisé comme dispositif de fondation d’une machine. La force
exercée par la machine sur ce dispositif est une fonction harmonique F(t) de pulsation variable entre 0 et 315
rad/s. On admet que la pulsation propre du système est égale à 35 rad/s.
Figure 3.4. Le système étudié et le diagramme de Rf
1. Dans un premier temps, la machine fonctionne avec une pulsation 50 rad s
ω = . Y a-t-il moyen de
diminuer la force transmise au sol en modifiant la valeur de l’amortissement ?
2. En considérant un amortissement 0.01
ζ = , quelle est la valeur de la pulsation de la force perturbatrice
pour laquelle la force transmise à la fondation, FF, est plafonnée de la manière suivante :
0
0.1
F
F
F
≤
3. La machine fonctionne avec une pulsation 105 rad s
ω = . Identifier deux mesures pour que les
sollicitations engendrées par la machine soient moins dommageables pour la fondation.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
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-20
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0
10
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40
50
60
70
80
90
100
110
120
temps [s]
déplacement
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M
FF(t)
F(t)=F0 sin(ωt)
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Exercice 4
On considère le portique simple de la figure ci-dessous. Le portique est initialement au repos, c.-à-d.,
(0) (0) 0,
x x
 
 quand une force F(t) est appliquée en tête de l’un des poteaux du portique.
Figure 3.5. Le système étudié et le diagramme de Rf
h = 4 m, L= 12 m
M = 2000 kg, I1 = 1150 104
mm4
, I2 =∞, E = 210 109
N/m2
Force horizontale :    
0 sin
F t F t

 avec : F0 = 10 kN et ω = 10 rad/s
Déterminer l’expression du mouvement résultant dans les deux cas suivant (on négligera la masse du portique) :
a) en considérant que l’amortissement est négligeable,
b) en considérant un amortissement de ζ = 0.2.
Exercice 5
On considère le portique simple de la Figure 3.6. Le portique est initialement au repos,
(0) (0) 0,
x x
 
 quand une force F(t) est appliquée en tête de l’un des poteaux du portique. La force
F(t) est de la forme d'une demi-sinusoïde avec une amplitude F0.
Figure 3.6. La structure étudiée
F0 = 50 kN ; m = 2000 kg ; E = 210000 MPa ; I = 400 cm4
; H = 5 m
En supposant que la structure est non amortie, établir l'expression de la réponse de la structure x(t)
pout 0
t t
≤ et pour 0
t t
> .
h
E I1
M E I2 F(t)
L
E I1
E I
F
x(t)
F(t)
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m
H F0
F(t)
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t
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  • 1. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 Série d'exercices N°3 Exercice 1 Un moteur électrique de masse M est situé sur la section médiane de la traverse d'un portique (Figure 3.1). La partie non équilibrée du moteur peut être représentée par une charge concentrée de masse m1 appliquée à l’extrémité d'un levier avec un rayon r et tournant autour de l'axe du moteur en faisant n =1500t/min. Déterminer l'amplitude des oscillations forcées du portique en négligeant l’amortissement. M = 96 kg, m1 = 4 kg, r = 4 cm, I = 4 106 mm4 , E = 2 1011 N/m2 , Indications: - La force centrifuge vaut : 2 0 F mrw  , - Le déplacement résultant d’une force P appliquée à mi-travée de la traverse est donné par : EI PL 96 7 3 = ∆ Figure 3.1. Le plancher étudiée supportant une machine vibrante Exercice 2 On considère le portique simple de la Figure 3.2. Le portique est initialement au repos, (0) (0) 0, x x    quand une force F(t) est appliquée en tête de l’un des poteaux du portique. La force F(t) est de la forme suivante :     0 sin F t F t   . La réponse de la structure (Figure 3.3) est enregistrée à partir du moment d’application de la force. Figure 3.2. La structure étudiée F0 = 600 kN Keq = 8090 kN/m F(t) M I∞ Keq/2 Keq/2 m 1 M r I I I L=1 L=1 I I I L=1 L=1 P ∆
  • 2. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 Figure 3.3. La réponse de la structure 1. S’agit-il d’un système amorti ou non ?, justifier votre réponse. 2. Déterminer approximativement la pulsation de la force d’excitation ω. 3. Déterminer approximativement la valeur du facteur d’amplification Rd. Exercice 3 Soit un système masse-ressort-amortisseur utilisé comme dispositif de fondation d’une machine. La force exercée par la machine sur ce dispositif est une fonction harmonique F(t) de pulsation variable entre 0 et 315 rad/s. On admet que la pulsation propre du système est égale à 35 rad/s. Figure 3.4. Le système étudié et le diagramme de Rf 1. Dans un premier temps, la machine fonctionne avec une pulsation 50 rad s ω = . Y a-t-il moyen de diminuer la force transmise au sol en modifiant la valeur de l’amortissement ? 2. En considérant un amortissement 0.01 ζ = , quelle est la valeur de la pulsation de la force perturbatrice pour laquelle la force transmise à la fondation, FF, est plafonnée de la manière suivante : 0 0.1 F F F ≤ 3. La machine fonctionne avec une pulsation 105 rad s ω = . Identifier deux mesures pour que les sollicitations engendrées par la machine soient moins dommageables pour la fondation. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 temps [s] déplacement [mm] M FF(t) F(t)=F0 sin(ωt)
  • 3. EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 3 Exercice 4 On considère le portique simple de la figure ci-dessous. Le portique est initialement au repos, c.-à-d., (0) (0) 0, x x    quand une force F(t) est appliquée en tête de l’un des poteaux du portique. Figure 3.5. Le système étudié et le diagramme de Rf h = 4 m, L= 12 m M = 2000 kg, I1 = 1150 104 mm4 , I2 =∞, E = 210 109 N/m2 Force horizontale :     0 sin F t F t   avec : F0 = 10 kN et ω = 10 rad/s Déterminer l’expression du mouvement résultant dans les deux cas suivant (on négligera la masse du portique) : a) en considérant que l’amortissement est négligeable, b) en considérant un amortissement de ζ = 0.2. Exercice 5 On considère le portique simple de la Figure 3.6. Le portique est initialement au repos, (0) (0) 0, x x    quand une force F(t) est appliquée en tête de l’un des poteaux du portique. La force F(t) est de la forme d'une demi-sinusoïde avec une amplitude F0. Figure 3.6. La structure étudiée F0 = 50 kN ; m = 2000 kg ; E = 210000 MPa ; I = 400 cm4 ; H = 5 m En supposant que la structure est non amortie, établir l'expression de la réponse de la structure x(t) pout 0 t t ≤ et pour 0 t t > . h E I1 M E I2 F(t) L E I1 E I F x(t) F(t) E I m H F0 F(t) F0= 50 kN t t0=1s